RLC电路的建模与分析

d uC ( t ) duC ( t ) + + uC ( t ) = u ( t ) 2 dt dt
2

南京工学院数学教研组.积分变换（第三版）.北京：高等教育出版社，1989.
经典法
求解信号 解微分方程 通过系统 的响应
列系统微分方程 n α1t h(t ) = Ai e u (t ) 求微分方程的特征根α i i =1 得齐次解 求各阶导数 代入微分方程 两边奇异函数的系数平衡， 两边奇异函数的系数平衡，可求出系数 Ai
∑

拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换(又名拉式转换)。
拉氏变换： 拉氏变换：
F(s)=￡{f(t)}= 0 f(t)estdt {f(t)}=∫
拉氏逆变换： 拉氏逆变换：
∞
f(t)=￡1{F(s)}=1/2pij∫ F(s)estds c-j∞
基尔霍夫第二定律，又称基尔霍夫电压定律即 KVL，是电 场为位场时电位的单值性在集总参数电路上的体现，其物 理背景是能量守恒公理 能量守恒公理。基尔霍夫电压定律是确定电路中 能量守恒公理 任意回路内各电压之间关系的定律，因此又称为回路电压 回路电压 定律，它的内容为：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕 定律 行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降 之和，即： u t = uL t + uR t + uC t

目
录
1

简要说明： 简要说明：采用阳树脂对水进行软 化，主要目的是让阳树脂吸附水中 的钙、镁离子，降低水的硬度，并 可以进行树脂再生，循环使用 工作原理：RLC自动软水器采用钠离 工作原理 子交换树脂将原水中的钙’镁离子置换出去， 经该设备流出后而为硬度极低的软化水。当 树脂吸附到一定量的钙、镁离子后，必须进 行再生：用饱和的盐水浸泡树脂里的钙、镁 等离子再置换出来，恢复树脂的软化交换能 力，并将废液排出。整个再生过程包括：反 洗-松动树脂层，吸盐再生-发生交换反应， 冲洗-将化学反应交换下来的钙、镁离子冲 净，注水-为了下次再生。 应用范围：RLC系列全自动软水器：可广泛应用于工业锅炉、热交换器、 应用范围 空调、洗衣、沐浴设备及食品、制药、电子、酿酒、印染、化工等行业。

RLC二阶电路图 图1 RLC二阶电路图
-
目
录
1 2

基尔霍夫定律是由德国物理学家基尔霍夫提出的。它概括 基尔霍夫定律是由德国物理学家基尔霍夫提出的。 了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。 了电路中电流和电压分别遵循的基本规律。它包括基尔霍 夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。 夫电流定律（ ）和基尔霍夫电压定律（ ）。
目
录
1 2 3 4 5

1. 建立RLC二阶电路的时域和复频域数学模 型以及Simulink模型. 2. 对其进行理论和仿真分析，有助于加深 对RLC二阶电路的理解. 3. 对RLC电路的应用设计具有重要的工程指 导意义.

()
()
()
()

KVL定律 定律
uL ( t ) = L
di ( t ) dt
u ( t ) = uL ( t ) + uR ( t ) + uC ( t )
uR ( t ) = i ( t ) ⋅ R
duC ( t ) i (t) = C dt
LC
d uC ( t )

陈晓平等.MATLAB及其在电路与控制理论中的应用.安徽：中国科学技术大学出版社，2004.
RLC电路的 电路的Simulink模型 电路的 模型

目
录
1 2 3

R < 2 L C ： 欠阻尼工作状态

UCzi ( s )
( s −1) uC ( 0− ) + uC' ( 0− ) =
s2 +1s +1
1 UCzs ( s ) = 2 U ( s) s + s +1
拉普拉斯逆变换 UC ( s )
uC ( t )
uC ( t ) = uCzi ( t ) + uCzs ( t ) = L−1 U Czi ( s ) + U Czs ( s ) = L−1 U Czi ( s ) + L−1 U Czs ( s )
c+j∞

（1）假设电感、电容的初态为零 假设电感、
将二阶微分方程等式两边取拉普拉斯变换，得
( LCs
2
+ RCs +1)UC ( s ) = U ( s )
则系统函数模型
1 1 G ( s) = = = 2 2 U ( s) LCs + RCs +1 s + s +1
www.themegallery.பைடு நூலகம்om

目
录
1 2 3 4 5

利用系统函数H(s)的极点分布情况可以判定系统的稳定性。 当H(s)的极点均位于S平面左半平面内时，系统是有界输入、 有界输出意义下的稳定。
（图6） 系统函数零极点分布图

过祥龙等.基础物理学.苏州：苏州大学出版社，2003.
R
L
C
电阻 电感 电容
i (t )
R +u t R( )
L +u t L( ) C +
uC ( t )
具有电阻、电感和电 容的无源二端网络如 图1所示， 其中，
+
u (t )
R = 1Ω L = 1H C = 1F
现以电压为输入， 取电容两端电压为 输出，分析RLC电 路特性。

UC ( s )
（2）假设电感、电容的初态不为零 假设电感、
将二阶微分方程等式两边取拉普拉斯变换，得
全响应的象函数
R 1 s − uC ( 0− ) + uC ' ( 0− ) L LC UC ( s ) = + U ( s) R R 1 1 s2 + s + s2 + s + L LC L LC ( s −1) uC ( 0− ) + uC' ( 0− ) + 1 U s = ( ) 2 2 s + s +1 s + s +1
电路中输入交流电的频率等于RLC电路的固有频率 当RLC电路中输入交流电的频率等于 电路中输入交流电的频率等于 电路的固有频率 时，电路会发生串联谐振现象
X轴：t，5s/div Y轴：uc(t)，0.2V/div 轴 ， 轴 ，
（图5） RLC电路的稳态响应 ） 电路的稳态响应
在 R 、 L 、 C 的串联电路中，电压与电 的串联电路中， 流的相位差 一般情况下 X L -X C ≠ 0 ，即 u 、 不同相， i 不同相，但适当调节 L 、 C 或 f ， 可使 X L =X C ， X L -X C =0 时， 同相，电路呈现电阻性， 这时 u 与 i 同相，电路呈现电阻性， cos Φ =1 ，电路的这种现象称串联 谐振现象。 谐振现象。

序 言 电阻、电感及电容是常见的电子元器件。 在电子技术中，常需要利用电阻、电感及 电容元件组成不同的电路，用来改变输入 正弦信号和输出正弦信号之间的相位差， 可以构成各种振荡器、选频网络、滤波器 等。因此，研究RLC电路特性在工程应用上 具有重要意义 。

2
dt
2
+ RC
duC ( t ) dt
+ uC ( t ) = u ( t )

对式2变形即得标准二阶微分方程
d2uC ( t ) R duC (t ) 1 1 + + uC ( t) = u( t ) 2 dt L dt LC LC
代 入 参 数 R L C
空气
油

应
仿 （a） 单） 真 位 原 阶 理 跃 图 响
(图3)
应 （b） 单） 位 h(t) 阶 跃 响

应
仿 （a） 单） 真 位 原 冲 理 激 图 响
（图4） ） 响 应 （b） 单） 位 冲 激 g(t)