七年级数学上册 第2章 整式的加减 2.1 整式 第3课时 多项式及整式(预习)优质课件新人教版
2022秋七年级数学上册 第二章 整式的加减2.1 整式 3多项式教学设计(新版)新人教版
多项式课题第3课时多项式授课人教学目标知识技能1.掌握多项式及其项、次数、常数项的概念.2.准确地确定一个多项式的项数和次数.3.知道整式的概念．数学思考能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．教学目标问题解决通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知识的形成过程，培养学生比拟、分析、归纳的能力．由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生对知识的迁移和知识结构体系的更新．情感态度让学生经历数学活动，体验主动探究问题的乐趣与成功的快乐，感受数学活动充满探索与创新的机遇．教学重点多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念．教学难点多项式的次数．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回忆提出问题：(多媒体展示问题)1.什么叫单项式、单项式的系数和次数？指出以下各式哪些是单项式？哪些不是？－1，a，abc，1x，a＋b2，a－2b＋c，－25ab，0.78ab2，x2－12x＋7.2.说出以下单项式的系数与次数.x，－2x2y，52vt，a3b3c，()－22m2n3，16ab2，2×105xyz.师生活动：教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点.通过对单项式相关知识的复习，稳固旧知并为后面的学习做铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(多媒体展示)用字母表示数：(1)假设长方形的长与宽分别为a，b，那么长方形的周长是________；(2)假设某班有男生x人，女生21人，那么这个班共有学生______人；(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，那么共有头______个，脚______只.观察以上所得出的四个代数式，与上节课所学单项式有何区别.由旧知识引入新课，既可以稳固复习旧知识，又可以把新知识由浅入深、由简单到复杂、由低层到高层地建立在旧知识的根底之上，有利于新旧知识的联系，促进对新知识的理解.活动二：实践探究交流新知1.多项式的定义：上面这些式子都是由几个单项式相加而成的．像这样，几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．(要特别注意项的符号)如：多项式5＋2x中，5，2x是它的项，5是常数项.2.一个多项式含有几项，就叫几项式.如：6x2－2x＋7中，项是6x2，－2x，7，是三项式.3.多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．(假设每一项的次数都相等，那么称多项式为齐次多项式)如：5＋2x是一次二项式；6x2－2x＋7是二次三项式；a2＋ab＋b2是二次三项式.4.单项式和多项式统称整式.判断：(1)多项式a3－a2b＋ab2－b3的项为a3、a2b、ab2、b3，次数为12；(2)多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1.说明：这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念，第(1)题中第二、四项应为－a2b、－b3，而往往很多同学都误认为是a2b和b3，不把符号包括在项中．另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：多项式的次数为次数最高的项的次数．通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充.教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念，并让学生比拟多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想.活动三：开放训练表达应用【应用举例】例1指出以下多项式的项和次数.(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.例2指出以下多项式是几次几项式.(1)x3－x＋1；(2)x3－2x2y2＋3y2.讲述例1时应特别提醒学生注意，多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为次数最高的项的次数.在例2讲完后插入整式的定义.活动三：开放训练表达应用【拓展提升】例33x n－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的值.师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法．例3分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力.活动四：课堂总结反思【课堂小结】(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.【当堂训练】1.填空：－54a 2b －43ab ＋1是________次________项式，其中三次项系数是________，二次项为________，常数项为________，写出所有的项：__＋5__. 2.判断以下各式是否是整式.(1)1；(2)r ；(3)43πr ；(4)1x ＋1；(5)2x ＋15；(6)2x2π.3.式子2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x ，y 的三次三项式，求m ，n 满足的条件.第1、2题可让学生直接口答，第3题需说出理由，鼓励有不同意见的同学大胆说出自己的看法.学生进行当堂训练，完成后，教师进行批阅，点评、讲解. 布置作业：教材P 58练习.通过设置当堂训练，进一步稳固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清〞.【知识网络】提纲挈领，重点突出.活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]情境导入使学生了解多项式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，既稳固了旧知识，又可以借此引出多项式及整式的概念．前两个课时学生学习了用字母表示数，在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，深刻感受到用字母表示数的表示作用．本环节开始就有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性，学生主动学习和合作交流较为充分.反思，更进一步提升.②[讲授效果反思]根据课程标准把握教材．新的课程标准要求淡化概念，注重知识的形成过程，如在学生已有的知识根底上引入多项式、整式的概念，显得自然流畅，学生学得轻松，让学生充分观察、思考、分析和讨论，帮助学生在不断地纠错中学习新知识，在不断归纳中学习新知识，在不断创新中学习新知识，使学生的大脑始终处于兴奋之中，收到了意想不到的教学效果.③[师生互动反思]从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加提高其兴趣和思维敏捷性的训练.④[习题反思]好题题号_____________________________________ ______错题题号_____________________________________ ______。
七年数学上册第2章整式的加减21整式第3课时多项式目标一多项式习题课件
5 多项式－x2－12x－1 的各项分别是( B )
A．－x2，12x，1 B．－x2，－12x，－1
C．x2，12x，1
D．x2，－12x，－1
6 【2021•成都青羊区模拟】多项式1＋2xy－3xy2的次数 及最高次项的系数分别是( A ) A．3，－3 B．2，－3 C．5，－3 D．2，3
A．2S2－S
B．2S2＋S
C．2S2－2S
D．2S2－2S－2
【点拨】 因为2100＝S，所以2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200 ＝S＋2S＋22S＋…＋299S＋2100S ＝S(1＋2＋22＋…＋299＋2100) ＝S(1＋2100－2＋2100) ＝S(2S－1) ＝2S2－S.
【点拨】 因为第1个图中平行四边形的个数为1＝12＋02， 第2个图中平行四边形的个数为5＝22＋12， 第3个图中平行四边形的个数为13＝32＋22， 第4个图中平行四边形的个数为25＝42＋32， 所以第5个图中平行四边形的个数为52＋42＝41， 第n个图中平行四边形的个数为n2＋(n－1)2.
(2)当a＝3，b＝2时，求长方形中空白部分的面积．
当a＝3，b＝2时， S空白＝3×2－3－2＋1＝2.
(2) 把 多 项 式 － 3ab ＋ 4b4 － 6a5 － 4a2b2 按 字 母 b 的 升 幂 排 列．
－6a5－3ab－4a2b2＋4b4.
10 【2019·贵阳】如图是一个长为a，宽为b的长方形，两 个阴影图形都是底边长为1，且底边在长方形对边上 的平行四边形．
(1)用含字母a，b的式子表示长方形中空白部分的面积； 解：S空白＝ab－a－b＋1.
1，由于1x不是单项式，所以 x2＋1x＋1 不是多项式．
人教版七年级上册数学 第二章 整式的加减 教案
第二章 整式的加减2．1 整式第1课时 用字母表示数01 教学目标1．通过分析实际问题中的数量关系以及列式表示这些数量关系的活动过程，会用含有字母的式子表示数量关系． 2．通过例题学习和习题训练，会用字母表示几何图形的周长、面积和体积． 02 预习反馈阅读教材P54～56，完成下列内容．1．我们常用字母t 表示行驶的时间，在小学列方程解应用题时，用字母x 表示未知数． 2．用字母表示：(1)有理数减法法则：a －b ＝a ＋(－b)； (2)有理数除法法则：a÷b ＝a·1b(b ≠0)．3．客车每小时行v 千米，t 小时行的路程为vt 千米．4．衬衫原价每件x 元，若按6折出售，则现在的售价为每件0.6x 元． 03 名校讲坛例1 (1)苹果原价是每千克p 元，按8折优惠出售，用式子表示现价；(2)某产品前年产量是n 件，去年的产量是前年产量的m 倍，用式子表示去年的产量； (3)一个长方体包装盒的长和宽都是a cm ，高是h cm ，用式子表示它的体积； (4)用式子表示数n 的相反数．解：(1)现价是每千克0.8p 元． (2)去年的产量是mn 件．(3)由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体包装盒的体积是a·a·h cm 3，即a 2h cm 3. (4)数n 的相反数是－n.【点拨】 用字母表示数书写时“四注意”：(1)数和字母相乘或字母和字母相乘时，通常将乘号写作“·”或省略不写，数与数相乘时，乘号不能省略；数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的前面；带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式． (2)数和字母相除或字母和字母相除时，写成分数形式．(3)有单位时，若最后结果是积或商的形式，则式子后面直接写单位；若最后结果是和或差的形式，则把式子用括号括起来后再写单位名称．(4)±1乘字母时，1可以省略不写．【跟踪训练】1．今天中午气温为18 ℃，晚上下降了a ℃，则晚上气温为(18－a)℃． 2．一个两位数，十位数为m ，个位数为2，则这个两位数为10m ＋2． 例2 (教材P55例2补充例题)求下列图形中阴影部分即房间的建筑面积．解：房间的建筑面积等于四个长方形面积的和．根据图中标出的尺寸，可得出这所住宅的建筑面积是6x ＋2y ＋18. 【点拨】 用字母表示图形的面积的要点：把图形的面积转化为规则图形面积的和或差．【跟踪训练】3．如图，将长和宽分别是a ，b 的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积为ab －4x 2.04 巩固训练1．下列式子中，符合书写格式的是(C)A ．x ＋12克B ．117×m 2n C.xy3D ．s÷t2．某省参加课改实验区初中毕业学业考试的学生约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有(B) A ．(15＋a)万人 B ．(15－a)万人 C ．15a 万人 D ．(a －15)万人3．笔记本每本m 元，圆珠笔每支n 元，买x 本笔记本和y 支圆珠笔，共需(A) A ．(mx ＋ny)元 B ．(m ＋n)(x ＋y)元 C ．(nx ＋my)元 D ．mn(x ＋y)元 4．边长为x 的正方形的周长为4x ．5．仓库里有一批水泥，运走5车，每车n 吨，还剩m 吨，这批水泥有(5n ＋m)吨． 6．用字母表示两个图形中阴影部分的面积．图1 图2解：(1)阴影部分的面积为ab －bx. (2)阴影部分的面积为R 2－14πR 2.05 课堂小结用字母表示数量关系：用一个(几个)字母表示问题中的某个(某些)量，然后用这个(这些)字母表示问题中的其他量．第2课时 单项式01 教学目标1.经历观察、思考、归纳一类式子的共性的过程，理解单项式的概念，能准确识别单项式．2.通过阅读教材，理解单项式的系数和次数的概念，能确定单项式的系数和次数． 02 预习反馈阅读教材P56～57，完成下列内容．1．由数与字母或字母与字母相乘组成的式子叫单项式．如：在式子1，a 2，a －b ，y ，15x ，1x 中，是单项式的有1，a 2，y ，15x ．2．单项式中的数字因数叫单项式的系数．单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数． 如：(1)－a 的系数是－1，次数是1； (2)单项式－3x 2的系数是－3，次数是2； (3)2ab 3c 3的系数是23，次数是5．03 名校讲坛 知识点1 识别单项式例1 (教材补充例题)下列各式中，哪些是单项式？ 25x ，－85a 3，3x 2y m ，a ，0.4x ＋3，a 2＋b ＋7，x ＋y 2. 解：单项式有：25x ，－85a 3，a.【点拨】 识别单项式的要点：(1)单项式中不能含有加减运算，不能含有表示大小关系的符号，如＝，≠，＞等； (2)单项式的分母中不能含有字母．【跟踪训练1】 在式子3a ，x ＋1，－2，－b 3，0.72xy ，2π，3x －14中，单项式有(C)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点2 确定单项式的系数和次数 例2 写出下列各单项式的系数和次数：【点拨】 确定单项式的系数和次数的注意点：(1)单项式的系数：若一个单项式只含有字母因数，则它的系数是1或－1；若单项式是一个常数，则它的系数就是它本身．(2)单项式的次数是所有字母的指数的和，与系数的指数无关，如24x 2y 3的次数是5，而不是9. 【跟踪训练2】 若关于x ，y 的单项式23mx n y 2的系数是6，次数是5，则m ＝9，n ＝3．04 巩固训练1．下列代数式中，不是单项式的是(A)A .1xB ．－12 C ．t D ．3a 2b 2．(《名校课堂》2.1第2课时习题)单项式2xy 3的次数是(D)A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列说法中，正确的是(D)A ．0不是单项式B ．－3abc 2的系数是－3C ．－23x 2y 23的系数是－13 D.πab 2的次数是24．用单项式填空：(1)一辆汽车的速度是v 千米/时，行驶t 小时所走过的路程为vt 千米； (2)王洁同学买2本练习本花了n 元，那么买m 本练习本要mn2元；(3)边长为a 的正方体的表面积为6a 2，正方体的体积为a 3． 5．说出下列单项式的系数和次数： (1)a; (2)－6m 3n; (3)－35πx 2y.解：(1)a 的系数是1，次数是1. (2)－6m 3n 的系数是－6，次数是4.(3)－35πx 2y 的系数是－35π，次数是3.6．列代数式，如果是单项式，请分别指出它们的系数和次数：(1)某中学组织七年级学生春游，有m 名师生租用45座的大客车若干辆，且刚好坐满，那么租用大客车的辆数是多少？(2)一个长方体的长和宽都是a ，高是h ，它的体积是多少？ 解：(1)m 45，它是单项式，系数是145，次数是1.(2)a 2h ，它是单项式，系数是1，次数是3. 05 课堂小结 1．字母表示数． 2．单项式的概念．3．单项式的系数及次数的概念．第3课时 多项式及整式01 教学目标1．经历观察、思考、归纳一类式子的共性的过程，理解多项式、整式的概念，能准确识别多项式、整式． 2．通过阅读教材，交流讨论，理解多项式的项、常数项和次数． 02 预习反馈阅读教材P57～58，完成下列内容．1．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项叫做多项式的常数项．如：多项式3x 2y －4xy －1由单项式3x 2y ，－4xy ，－1组成，它是三次三项式，其中二次项是－4xy ，最高次项的系数为3，常数项是－1． 2．单项式和多项式统称为整式． 03 名校讲坛知识点1 识别整式、单项式及多项式例1 (教材补充例题)下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ a ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，x －y 2，2xx －1.解：单项式：a ，－5，π. 多项式：ax 2＋bx ＋c ，x －y2.整式：a ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，x －y2.【点拨】 (1)单项式不含加减运算，多项式必含加减运算．(2)多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式．【跟踪训练】1．把下列各式填在相应的集合里．①0.②x 2；③－x 2－2x ＋5；④94；⑤xy.⑥8＋b7；⑦－5；⑧x ＋y 5.整式：{①②③④⑤⑥⑦⑧，…} 多项式：{③⑥⑧，…} 单项式：{①②④⑤⑦，…} 知识点2 确定多项式的项和次数例2 (教材补充例题)指出下列多项式的次数与项： (1)23xy －14； (2)a 2＋2a 2b ＋ab 2－b 2； (3)2m 3n 3－3m 2n 2＋53mn.解：(1)2次，23xy ，－14.(2)3次，a 2，2a 2b ，ab 2，－b 2. (3)6次，2m 3n 3，－3m 2n 2，53mn.【点拨】 确定多项式的项和次数“六注意”： (1)多项式的各项应包括它前面的符号；(2)多项式没有“系数”这一概念，但每一项均有系数，每一项的系数应包括它前面的符号； (3)次数最高项的次数就是多项式的次数； (4)一个多项式的最高次项可以不唯一；(5)区分多项式的次数与单项式的次数，不能误认为多项式的次数是各个单项式的次数之和；(6)多项式的“项”与“项数”是不同的概念，“项”是指组成多项式的单项式，包括它前面的符号，“项数”是指项的个数．例3 (教材补充例题)若多项式－72x 2y 2n ＋1z ＋34x 2y ＋4是八次三项式，则n ＝2．【思路点拨】 由题意可知，多项式的最高次项为－72x 2y 2n ＋1z ，所以2＋2n ＋1＋1＝8.解得n ＝2.【跟踪训练】2．指出下列多项式的项和次数． (1)a 3－a 2b ＋ab 2－b 3; (2)3n 4－2n 2＋1.解：(1)a 3，－a 2b ，ab 2，－b 3，3次．(2)3n 4，－2n 2，1，4次． 3．指出下列多项式是几次几项式： (1)x 3－x ＋1; (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.解：(1)三次三项式．(2)四次三项式． 知识点3 多项式的应用例4 如图，用式子表示圆环的面积，当R ＝15 cm ，r ＝10 cm 时，求圆环的面积(π取3.14)．解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR 2－πr 2. 当R ＝15 cm ，r ＝10 cm 时，圆环的面积(单位：cm)是 πR 2－πr 2＝3.14×152－3.14×102 ＝392.5.答：这个圆环的面积是392.5 cm 2. 【跟踪训练】4．a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形的面积S ＝12(a ＋b)h ，当a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，h ＝5 cm时，S ＝15__cm 2． 04 巩固训练1．下列各式中，不属于整式的是(D)A ．abB ．x 3－2yC ．－a 3 D.a b2．(《名校课堂》2.1第3课时习题)多项式3x 2－2x －1的各项分别是(D)A ．3x 2，2x ，1B ．3x 2，－2x ，1C ．－3x 2，2x ，－1D ．3x 2，－2x ，－1 3．多项式2a 2b －ab 2－ab 的项数及次数分别是(A)A ．3，3B ．3，2C ．2，3D ．2，2 4．如果x n ＋x 2－1是五次多项式，那么n 的值是(C)A ．3B ．4C ．5D ．65．多项式3x 4＋5x 3y ＋8－2x 2y 4－10xy ，次数最高的项是－2x 2y 4；常数项是8；它的次数是6．6．一个关于x 的多项式，它的一次项系数是1，二次项系数和常数项都是－13，则这个多项式是－13x 2＋x －13．7．如图，用式子表示图中阴影部分的面积．当x ＝4时，求阴影部分的面积(π取3.14)．解：图中阴影部分的面积为x 2－π4x 2. 当x ＝4时，π取3.14，阴影部分的面积为3.44.05 课堂小结 1．多项式的概念．2．项、常数项、多项式的次数．2．2 整式的加减 第1课时 合并同类项01 教学目标1．了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项． 2．能先合并同类项化简后求值． 02 预习反馈阅读教材P62～65，完成下列内容．1．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项． 如：判断下列各题中的两个项是否是同类项． (1)4与－12；(是)(2)32与a 2；(不是) (3)2x 与2x ；(不是)(4)3mn 与3mnp ；(不是) (5)2πr 与－3x ；(不是) (6)3a 2b 与3ab 2.(不是)2．合并同类项的法则：系数相加，字母和字母指数不变． 如：合并同类项：－3a ＋2ab －4ab ＋2a ＝－a －2ab ． 03 名校讲坛 知识点1 同类项的概念例1 (教材补充例题)下列各组中的两个单项式是同类型的是(C) A ．3x 2y 与2xy 2 B ．a 2b 与12a 2c C.13x 4y 与12yx 4 D ．a 2与b 2【点拨】 识别同类项的方法：一看字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同，只有这两者都相同时，它们才是同类项，特别是，几个常数也是同类项．【跟踪训练1】 若2x 2y n 与－3x m y 4是同类项，则m ＝2，n ＝4． 知识点2 合并同类项例2 合并同类项：(1)4a 2＋3b 2＋2ab －4a 2－3b 2； (2)3x －2x 2＋5＋3x 2－2x －5； (3)a 3＋a 2b ＋ab 2－a 2b －ab 2－b 3； (4)6a 2－5b 2＋2ab ＋5b 2－6a 2. 解：(1)2ab.(2)x 2＋x.(3)a 3－b 3.(4)2ab. 【点拨】 合并同类项的“三注意”： (1)合并同类项时，不要漏掉系数的符号；(2)若一个多项式中含有若干个不同的同类项，则可用交换律、结合律和分配律将同类项进行合并； (3)不是同类项的不能合并，不能合并的项在运算的每一步中都要写上，直至化简的最后结果． 【跟踪训练2】 合并同类项： (1)3x 2－2xy ＋y 2－x 2＋2xy ； (2)2a 2b －3a 2b ＋12a 2b ；(3)a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3； (4)4x 2－8x ＋5－3x 2＋6x －2.解：(1)2x 2＋y 2.(2)－12a 2b.(3)a 3＋b 3.(4)x 2－2x ＋3.知识点3 化简求值例3 求多项式5x 2＋4x －6x 2－x ＋2x 2－3x －1的值，其中x ＝－3. 解：原式＝x 2－1.当x ＝－3时，原式＝8. 【点拨】 多项式化简求值的“三个步骤”：“一化、二代、三求值”，即(1)化简所给多项式，使其不再含有同类项；(2)将所给的值代入化简后的式子，若是负数，则需添加括号；(3)计算第(2)步所得的算式．【跟踪训练3】 求多项式3a ＋abc －13c 2－3a ＋13c 2的值，其中a ＝－16，b ＝2，c ＝－3.解：3a ＋abc －13c 2－3a ＋13c 2＝(3－3)a ＋abc ＋(－13＋13)c 2＝abc.当a ＝－16，b ＝2，c ＝－3时，原式＝(－16)×2×(－3)＝1.知识点4 合并同类项的应用例4 (1)水库水位第一天连续下降了a h ，每小时平均下降2 cm ；第二天连续上升了a h ，每小时平均上升0.5 cm ，这两天水位总的变化情况如何？(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋．进货后这个商店有大米多少千克？解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正．第一天水位的变化量是－2a cm ，第二天水位的变化量是0.5a cm.两天水位的总变化量(单位：cm)是 －2a ＋0.5a ＝(－2＋0.5)a ＝－1.5a.这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm. (2)把进货的数量记为正，售出的数量记为负． 进货后这个商店共有大米(单位：kg) 5x －3x ＋4x ＝(5－3＋4)x ＝6x.【跟踪训练4】 国家规定初中每班的标准人数为a 人，某中学七年级共有六个班，各班人数情况如下表用含a 的代数式表示该中学七年级学生总人数为(6a ＋5)人．04 巩固训练1．在下列单项式中，与2xy 是同类项的是(C)A ．2x 2y 2B ．3yC ．xyD ．4x 3．计算2m 2n －3m 2n 的结果为(C)A ．－1B ．－5m 2nC ．－m 2nD ．不能合并 3．下列各组中的两个单项式能合并的是(D) A ．4和4x B ．3x 2y 3和－y 2x 3 C ．2ab 2和100ab 2c D ．m 和m24．当a ＝－5时，多项式a 2＋2a －2a 2－a ＋a 2－1的值为(B)A ．29B ．－6C ．14D ．24 5．已知3x 5y 2和－2x 3m y n 是同类项，则m ＝53，n ＝2．6．合并下列各式的同类项：(1)15x ＋4x －10x; (2)－p 2－p 2－p 2；(3)2a＋6b－7a－b; (4)5x2－7xy＋3x2＋6xy－4x2.解：(1)原式＝9x.(2)原式＝－3p2.(3)原式＝－5a＋5b.(4)原式＝4x2－xy.7．求多项式7a2b－4a2b＋5ab2－4a2b＋6ab2的值，其中a＝－1，b＝2.解：原式＝－a2b＋11ab2.当a＝－1，b＝2时，原式＝－46.05课堂小结1．同类项：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．3．合并同类项法则．第2课时去括号01教学目标1．探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．2．发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则．02预习反馈阅读教材P65～67，完成下列内容．1．去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．2．下列去括号过程是否正确？若不正确，请改正．(1)a－(－b＋c－d)＝a＋b＋c－d；(不正确)a＋b－c＋d；(2)a＋(b－c－d)＝a＋b＋c＋d；(不正确)a＋b－c－d；(3)－(a－b)＋(c－d)＝－a－b＋c－d.(不正确)－a＋b＋c－d．03名校讲坛知识点1先去括号，再合并同类项例1去括号，再合并同类项：(1)x－(3x－2)＋(2x＋3)；(2)(3a2＋a－5)－(4－a＋7a2)；(3)(2m－3)＋m－(3m－2)；(4)3(4x－2y)－3(－y＋8x)．解：(1) 5.(2)－4a2＋2a－9.(3)－1.(4)－12x－3y.【点拨】去括号的三种不同情况：1．＋()：括号前是正号时，去掉括号及正号后，括号里面各项的符号均不变．(2)－()：括号前面是负号时，去掉括号及负号后，括号里面各项的符号都要改变．注意：“都”即每一项的符号都要改变．(3)－n()：括号前面有因数时，根据分配律去括号，即将括号前面的数与括号里面各项系数分别相乘．注意：每项系数都包括其前面的符号．【跟踪训练1】去括号，并合并同类项：(1)－(5m＋n)－7(m－3n)；(2)－2(xy－3y2)－[2y2－(5xy＋x2)＋2xy]．解：(1)－12m＋20n.(2)xy＋4y2＋x2.知识点2利用去括号解决实际问题例2两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h.(1)2 h后两船相距多远？(2)2 h后甲船比乙船多航行多少千米？解：顺水航速＝船速＋水速＝(50＋a)km/h，逆水航速＝船速－水速＝(50－a)km/h.(1)2 h后两船相距(单位：km)2(50＋a)＋2(50－a)＝100＋2a＋100－2a＝200.(2)2 h后甲船比乙船多航行(单位：km)2(50＋a)－2(50－a)＝100＋2a－100＋2a＝4a.【跟踪训练2】船在静水中的速度为a km/h，水速为10 km/h，船顺流航行5 h的行程比逆流航行3 h的行程多(80＋2a)__km.04巩固训练1.－(x－2y＋3z)去括号后的结果为(B)A．x－2y＋3z B．－x＋2y－3zC．x＋2y－3z D．－x＋2y＋3z2．化简5(2x－3)＋4(3－2x)的结果为(A)A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－33．下列各式中，去括号正确的是(D)A．x2－(x－y＋2z)＝x2－x＋y＋2zB ．x －(－2x ＋3y －1)＝x ＋2x ＋3y ＋1C ．3x ＋2(x －2y ＋1)＝3x －2x －2y －2D ．－(x －2)－2(x 2＋2)＝－x ＋2－2x 2－44．三个小队植树，第一队种x 棵，第二队种的树比第一队种的树的2倍还多8棵，第三队种的树比第二队种的树的一半少6棵，三队共种树(4x ＋6)棵．5．化简：(1)5a －(2a －4b); (2)2x 2＋3(2x －x 2)；(3)6a 2－4ab －4(2a 2＋12ab); (4)－3(2x 2－xy)＋4(x 2＋xy －6)．解：(1)原式＝3a ＋4b.(2)原式＝－x 2＋6x.(3)原式＝－2a 2－6ab.(4)原式＝－2x 2＋7xy －24.6．先化简，再求值：(4a 2－3a)－(2a 2＋a －1)＋(2－a 2)＋4a ，其中a ＝－2.解：原式＝a 2＋3.当a ＝－2时，原式＝(－2)2＋3＝7.05 课堂小结去括号法则．第3课时 整式的加减01 教学目标1．经历列式、去括号、合并同类项，代入求值等解题过程，能熟练地进行整式的加减运算．2．经历用整式的加减解决简单实际问题的过程，掌握整式加减运算的应用．02 预习反馈阅读教材P67～69，完成下列内容．1．整式加减混合运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．2．化简下列各题：(1)－3(2x －y)－2(4x ＋12y)＋2 018； (2)－[2m －3(m －n ＋1)－2]－1.解：(1)－14x ＋2y ＋2 018.(2)m －3n ＋4.03 名校讲坛知识点1 整式的加减与化简求值例1 (教材补充例题)求多项式－x 3－2x 2＋3x －1与－2x 2＋3x －2的差．解：－x 3－2x 2＋3x －1－(－2x 2＋3x －2)＝－x 3－2x 2＋3x －1＋2x 2－3x ＋2＝－x 3＋1.【点拨】 整式加减运算的注意点：(1)计算多项式的和与差是整个多项式参与和差运算，所以要用括号将多项式括起来，然后再去括号、合并同类项；(2)去括号时，若括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项要改变符号．例2 (教材补充例题)已知A ＝12x ，B ＝x －13y 2，C ＝－32x ＋13y 2，(x －2)2＋|y －23|＝0，求2A －B ＋C 的值． 解：2A －B ＋C ＝2·12x －(x －13y 2)－32x ＋13y 2＝x －x ＋13y 2－32x ＋13y 2＝－32x ＋23y 2. 因为(x －2)2＋|y －23|＝0， 所以x ＝2，y ＝23. 所以原式＝－32×2＋23×(23)2 ＝－3＋827＝－21927. 【点拨】 整式化简求值的“三个步骤”：一化：去括号，合并同类项；二代：将字母的值代入化简后的式子；三计算：按指定的运算顺序进行计算．【跟踪训练1】 在解“当x ＝－2，y ＝23时，求12x －2(x －13y 2)＋(－32x ＋13y 2)的值”时，甲同学不小心把“y ＝23”写成“y ＝－23”，但计算结果也是正确的，这是为什么？ 解：原式＝12x －2x ＋23y 2－32x ＋13y 2＝－3x ＋y 2. 因为数的平方的结果是相同的，所以代入互为相反数的结果值相等．知识点2 整式加减的应用【例3】 做大小两个长方体的纸盒，尺寸如下(单位：cm)：(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？解：小纸盒的表面积是(2ab ＋2bc ＋2ca)cm 2，大纸盒的表面积是(6ab ＋8bc ＋6ca)cm 2.(1)做这两个纸盒共用料(单位：cm 2)(2ab＋2bc＋2ca)＋(6ab＋8bc＋6ca)＝2ab＋2bc＋2ca＋6ab＋8bc＋6ca＝8ab＋10bc＋8ca.(2)做大纸盒比做小纸盒多用料(单位：cm2)(6ab＋8bc＋6ca)－(2ab＋2bc＋2ca)＝6ab＋8bc＋6ca－2ab－2bc－2ca＝4ab＋6bc＋4ca.【点拨】解决整式加减运算应用题的“三步法”：列式→根据实际问题的题意列出算式↓计算→运用整式的加减法则进行计算↓结论→计算出最后需要的结果【跟踪训练2】某校有A，B，C三个课外活动小组，A小组有学生(x＋2y)名，B小组学生人数是A小组学生人数的3倍，C小组比A小组多3名学生，问A，B，C三个课外活动小组共有多少名学生？解：B小组学生人数为3(x＋2y)名，C小组学生人数为[(x＋2y)＋3]名．所以A，B，C三个课外活动小组人数共有(x＋2y)＋3(x＋2y)＋(x＋2y)＋3＝5(x＋2y)＋3＝5x＋10y＋3(名)．答：A，B，C三个课外活动小组共有(5x＋10y＋3)名学生．04巩固训练1．设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M－N等于(B)A．4a－6b B．4aC．－6b D．4a＋6b2．当x＝2时，(x2－x)－2(x2－x－1)的值等于(D)A．4 B．－4 C．1 D．03．减去－2x等于－3x2＋2x＋1的多项式是(C)A．－3x2＋4x＋1 B．3x2－4x－1C．－3x2＋1 D．3x2－14．一个长方形的一边长是2a＋3b，另一边的长是a＋b，则这个长方形的周长是(B)A．12a＋16b B．6a＋8b C．3a＋8b D．6a＋4b5．一个十位数字是a，个位数字是b的两位数可表示为10a＋b，交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得一个新的两位数，新数与原数的差是9b－9a．6．计算：(1)3a＋2－(－4a);(2)2(x2＋3)－(5－x2)；(3)(ab－3a2)－2b2－5ab－(a2－2ab)；(4)2(3b2－a3b)－3(2b2－a2b－a3b)－4a2b.解：(1)原式＝7a＋2.(2)原式＝3x2＋1.(3)原式＝－4a2－2b2－2ab.(4)原式＝a3b－a2b. 05课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？。
人教版七年级数学上册整式的加减《整式(第3课时)》示范教学设计
2.1整式（第3课时）教学目标1．理解多项式、多项式的项及其次数以及整式的概念．2．能确定一个多项式的项和次数，会用多项式表示简单的数量关系．教学重点理解整式及多项式的有关概念，会用多项式表示实际问题中的数量关系．教学难点准确确定多项式的项及次数．教学过程新课导入填空：1．买一个书包需要x元，买一支铅笔需要y元，买一个本子需要z元，买1个书包、2支铅笔、2个本子共需要(x＋2y＋2z)元．2．若三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的周长是a＋b＋c ．3．如下图，长方形的宽为a，长为b，圆的半径为r，则阴影部分面积是ab－πr² ．新知探究一、探究学习【问题】思考：列出的这些式子有什么共同特点？与单项式有什么联系？x＋2y＋2z，a＋b＋c，ab－πr²．【师生活动】学生先独立分析所写出的三个式子，尽自己努力找到它们的共同特点，师生再共同进行总结．【设计意图】通过自主探究，让学生更深刻地理解多项式和单项式之间的关系．二、新知精讲【新知】多项式的定义几个单项式的和叫做多项式．【师生活动】学生复述这一定义．【设计意图】通过重复记忆，让学生进一步加深对多项式的定义的理解．【新知】多项式的相关概念：x2－2x＋18多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．【师生活动】结合实例，让学生认识多项式的项和次数．【设计意图】为后面确定多项式的项和次数做好铺垫．【问题】多项式的次数与单项式的次数有什么区别？【师生活动】引导学生结合定义做出回答．【设计意图】通过对问题的解答，使学生理解多项式和单项式的次数之间的联系和区别．【思考】展示单项式与多项式的动图，想一想单项式和多项式有什么关系．【思考】多项式是几个单项式的和，那么多项式与单项式有统称吗？【新知】整式的概念单项式与多项式统称整式．【思考】单项式、多项式、整式之间有什么关系？【师生活动】对三者的定义进行区分，明确它们之间的关系．【设计意图】巩固并加深学生对概念的理解．三、典例精讲【例1】请指出下列式子中的多项式：（1）12xy3－5x＋3；（2）222+a b；（3）2+mnm n；（4）－7．【答案】解：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可．（1）12xy3－5x＋3可看成单项式12xy3，－5x，3的和，是多项式；（2）222+a b可看成单项式22a，22b的和，是多项式；（3）2+mnm n的分母中含有字母，显然不符合题意；（4）－7是单项式．所以，（1）（2）是多项式．【师生活动】学生回答，老师点评．【设计意图】巩固学生对多项式的概念的理解和掌握．【例2】指出下列多项式的项与次数：（1）a3－a2b＋ab2－b3；（2）3n4－2n2＋1．【答案】解：（1）多项式a3－a2b＋ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3，次数是3．（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4，－2n2，1，次数是4．【师生活动】学生独立解决，组内探讨答案是否正确．【设计意图】让学生熟练找出多项式的项和次数．【例3】如图，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，r＝10 cm时，求圆环的面积（π取3.14）．【答案】解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2－πr2．当R＝15 cm，r＝10 cm时，圆环的面积（单位：cm2）是πR2－πr2＝3.14×152－3.14×102＝392.5．这个圆环的面积是392.5 cm2．【师生活动】首先用式子表示出圆环面积，再把数值代入求解．【设计意图】掌握用多项式表示数量关系的方法，并能对多项式进行求值．课堂小结板书设计一、多项式的定义二、多项式的项和次数三、整式的定义课后任务完成教材第58页练习1～2题．。
2024年秋新沪科版七年级上册数学教学课件 第2章 整式加减 2.2 整式加减 2.2.3 整式加减
同学们，通过这节课的学习 ，你有什么收获呢？
谢谢 大家
对于某些特殊式子，可采用“整体代入”进行计算.
随堂演练
1.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这 个多项式是（ A ）
A.-5x-1
B.5x+1
C.-13x-1
D.13x+1
2.计算： （1）-3a+(-2a2)-(-2a)-3a2；
【选自教材P80练习 第1题】
解：（1） -3a+(-2a2)-(-2a)-3a2 = -3a-2a2+2a-3a2 = (-2a2-3a2)+(-3a+2a) = -5a2-a
解：A-B=(-3x2+4x-1)-(2x2+4x) = -5x2-1.
因为-5x20， 所以-5x2-1<0. 所以 A-B<0，即 A<B.
课堂小结
①列代数式
整式加减的步骤 ②去括号
整
③合并同类项
式
加
①化简
减
整式的化简求值 ②值代入化简后的式子
③计算
布置作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
【选自教材P81练习 第2题】
3.（1）求3x2-2x+1与3-2x2-x的和，结果按x的降幂排列； （2）求7-2x+x2与5+3x-2x2的差，结果按x的升幂排列.
解：（1）(3x2-2x+1)+(3-2x2-x) =3x2-2x+1+3-2x2-x =x2-3x+4
（2）(7-2x+x2)-(5+3x-2x2) =7-2x+x2-5-3x+2x2 =2-5x+3x2
人教版初中数学七年级上册精品教学课件 第2章 整式的加减 2.2 第3课时 整式的加减
快乐预习感知
5.式子2(x-2y)与(2x+y)的差为
-5y
.
解析:2(x-2y)-(2x+y)=2x-4y-2x-y=-5y.
6.若多项式x2-7x-2减去m的差为3x2-11x-1,则m= -2x2+4x-1 .
一个二次三项式,形式如下:
-3x=x2-5x+1.
(1)求所捂住的二次三项式;
(2)若x=-1,求所捂住的二次三项式的值.
解: (1)所捂住的二次三项式为(x2-5x+1)+3x=x2-2x+1.
(2)当x=-1时,所捂住的二次三项式的值为
(-1)2-2×(-1)+1=1+2+1=4.
பைடு நூலகம்
2 2
1
=213.
3
互动课堂理解
2.整式加减运算的实际应用
【例2】 我国出租车收费标准因地而异.甲市为起步价8元,3 km后
每千米收取2元;乙市为起步价10元,3 km后每千米收取1.6元.(燃油费
计入起步价中)
(1)试问在甲、乙两市乘坐出租车s(s>3)km的费用差是多少元?
(2)如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都为10 km,那么哪个市的
=x2-3xy+4y2.
(2)2M-3N=2(3x2-2xy+y2)-3(2x2+xy-3y2)
=(6x2-4xy+2y2)-(6x2+3xy-9y2)
=6x2-4xy+2y2-6x2-3xy+9y2
新人教版七年级上册数学第二章《整式的加减》全章教案
第1课时：整式(1)教学内容：教科书第54—56页，2.1整式：1．单项式。
教学目标和要求：1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
4．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。
教学重点和难点：重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
难点：单项式概念的建立。
教学方法：分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程：一、复习引入：1、 列代数式(1)若正方形的边长为a ，则正方形的面积是 ；(2)若三角形一边长为a ，并且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为 ；(3)若x 表示正方形棱长，则正方形的体积是 ；(4)若m 表示一个有理数，则它的相反数是 ；(5)小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
(数学教学要紧密联系学生的生活实际，这是新课程标准所赋予的任务。
让学生列代数式不仅复习前面的知识，更是为下面给出单项式埋下伏笔，同时使学生受到较好的思想品德教育。
)2、 请学生说出所列代数式的意义。
3、 请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。
由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨。
(充分让学生自己观察、自己发现、自己描述，进行自主学习和合作交流，可极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性。
)二、讲授新课：1．单项式：通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？ (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5。
七年级数学上册 第2章 整式的加减 2.1 整式 第3课时 多项式及整式备课素材
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.1 整式第3课时多项式置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣情景导入如图2－1－15，我们学校的操场由一个长方形和两个半圆组成．图2－1－15(1)两个半圆的面积和是多少？(2)整个操场的面积是多少？(待得出以上两个答案后)观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？这就是我们这节课要研究的整式．[说明与建议] 说明：从学生身边的情境出发，使学生了解整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，既巩固了旧知识，又可以借此自然引入新课．建议：在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性．也可以采取以下方式提问学生：(1)是单项式，(2)是单项式吗？和(1)相比有什么区别呢？用字母表示数：(1)若长方形的长与宽分别为a，b，则长方形的周长是__2(a＋b)__；(2)若某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生__(x＋21)__人；(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头__(a＋b)__个，脚__(2a＋4b)__只．观察以上所得出的四个式子，与上节课所学的单项式有何区别．[说明与建议] 说明：由于本课的主题是多项式，通过用字母表示数引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知识提供丰富的素材．建议：由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼了他们的语言表达能力．通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充．[命题角度1] 多项式的有关概念多项式的项数是由组成该多项式的单项式的个数确定的，有几个单项式就有几项，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．例 [佛山中考] 多项式1＋2xy －3xy 2的次数及次数最高的项的系数分别是( A ) A ．3，－3 B ．2，－3 C ．5，－3 D ．2，3 [命题角度2] 多项式的项及次数的应用根据多项式的有关概念，列出方程，解方程求出待定字母的值，再代入所求的式子求值即可．例 [济宁中考] 如果整式x n －2－5x ＋2是关于x 的二次三项式，那么n 等于( B )A ．3B ．4C ．5D ．6P58练习 1．填空：(1)a ，b 分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l ＝________，面积S ＝________，当a ＝2 cm ，b ＝3 cm 时，l ＝________ cm ，S ＝________ cm 2；(2)a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形的面积S ＝________，当a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，h ＝5 cm 时，S ＝________ cm 2.[答案] (1)2(a ＋b ) ab 10 6(2)（a ＋b ）2h 152．用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项： (1)每袋大米5 kg ，x 袋大米( )kg ；(2)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是( )m 2； (3)体重由x kg 增加2 kg 后是( )kg. [答案] (1)5x ，次数为1；(2)x 2＋3x ＋6，次数为2，有三项：x 2，3x ，6； (3)x ＋2，次数为1，有两项：x ，2. P59习题2.1 复习巩固1．列式表示：(1)棱长为a cm 的正方体的表面积．(2)每件a 元的上衣，降价20%后的售价是多少元？(3)一辆汽车的行驶速度是v km/h ，t h 行驶多少千米？(4)长方形绿地的长、宽分别是a m，b m，如果长增加x m，新增加的绿地面积是多少平方米？[答案] (1)6a2 cm2；(2)a(1－20%)；(3)vt；(4)xb.2．列式表示：(1)温度由t℃上升5 ℃后是多少？(2)两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是x km/h，慢车行驶速度是y km/h，3 h 后两车相距多千米？(3)某种苹果的售价是每千克x元(x<10)，用50元买5 kg这种苹果，应找回多少钱？(4)如图(图中长度单位：cm)，钢管的体积是多少？[答案] (1)t＋5；(2)3(x－y)；(3)50－5x；(4)πa(R2－r2)．3．填表：，综合运用4．测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高100 cm)：述关系，用式子表示生长了n年的树苗的高度．[答案] 前四年树苗高度每年增长5 cm.生长了n年的树苗的高度是(100＋5n)cm.5．礼堂第1排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位. 第2排有多少个座位？第3排呢？用式子表示第n排的座位数．如果第1排有20个座位，计算第19排的座位数．[答案] 第2排有(a＋1)个座位，第3排有(a＋2)个座位，第n排的座位数为(a＋n－1)个．第19排的座位数；20＋19－1＝38(个)．6．一块三角尺的形状和尺寸如图所示．如果圆孔的半径是r ，三角尺的厚度是h ，用式子表示这块三角尺的体积V .若a ＝6 cm ，r ＝0.5 cm ，h ＝0.2 cm ，求V 的值(π取3)．[答案] V ＝12a 2h －πr 2h ，当a ＝6 cm ，r ＝0.5 cm ，h ＝0.2 cm ，π＝3时，V ＝12×62×0.2－3×0.52×0.2＝3.45(cm 3)．拓广探索7．设n 表示任意一个整数，用含n 的式子表示： (1)任意一个偶数； (2)任意一个奇数． [答案] (1)2n ；(2)2n ＋1.8．3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场数是多少？4个队呢？5个队呢？n 个队呢？[答案] 3个队赛3场，4个队赛6场，5个队赛 10场，n 个队赛n （n －1）2场．9．对于密码L dp d vwxghqw ，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x －3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：a b c d e f g h i j k 1 m n o p q r s t u v w x y z如果规定a 又接在z 的后面，使26个字母排成圈，并能想到x －3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw ―→I am a student. 这样你就能解读它的意思了．为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x －3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信．[答案] 略．[当堂检测]1. 多项式-x 2- 3x+2的各项分别是（ ）A. -x 2、 3x 、 2B. -x 2、- 3x 、2C. -x 2、3x +2D. x 2、- 3x 、+22. 在代数式x 2+5， -1， x 2-3x+2， π，xx2，x 2+a1，0中，整式有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3. 一组按规律排列的多项式：a+b ，a 2-b 3，a 3+b 5，a 4-b 7，…，其中第10个式子是（ ）A ．a 10+b 19B ．a 10-b19C ．a 10-b 17D ．a 10-b 214..代数式：5)1(223-+-x x x 是___ 次___项式，其中二次项的系数是______ .5. 某班级中一个小组5人，在一次测试中，小华得了72分，其余4人的平均分数为a 分，则这个小组的平均分数是_______ .参考答案： 1. B 2. C 3. B 4. 三 四 - 52 5. 5724+a[能力培优]专题一 用代数式表示实际问题 1.10名学生的平均成绩是x ，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）2.某种商品进价为a 元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折（即原售价的70%）的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为（ ）. A.a 元 B.0.7 a 元 C.1.03 a 元 D.0.91a 元 专题二 单项式的系数与次数3.代数式-23xy 3的系数与次数分别是（ ）A ．-2，4B ．-6，3C ．-2，3D ．-8，44.如果-33a m b 2是7次单项式，则m 的值是（ ）3a , 12 xy 2,－5xy 4 ,a π ,－x , 13 (a +1), 1x ．专题三 考查多项式的项、项数与次数7.如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( )A.小于6B.等于6C.不大于6D.不小于68.若2210a a +-=，则2242013a a ++= . 9.m 为何值时，2123(2)3m m x y xy -+-是五次二项式？专题四 列代数式解决中考中的规律探索题10.（2012·山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形组合成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 （用含有n 的代数式表示）.11.（2012·桂林）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n 个图中的阴影部分小正方形的个数是 .12.（2011·汕头）如图数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数. 知识要点： 1．单项式的概念：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式．单独的一个数或字母也是单项式． 2．单项式的系数和次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.单独一个非零的数，规定它的次数为0.3. 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．4．多项式的有关概念．多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项． 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 5．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．温馨提示：1.用字母表示数要点：（1）字母与字母相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序．如a ×b 写成ab ；（2）数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，当数是带分数时,一定要化为假分数．如a ×3要写成3a ，不要写为a 3；313×m 要写为310m ，不要写成313m ； （3）带括号的式子与字母的地位相同．如a ×（b －2）可写为a （b －2），也可以写成（b－2）a ；（π－3）×2可写为2（π－3），但不要写成（π－3）2； （4）含字母的除法中，一般不用除号，而改为分数线．如ｘ与ｙ的商一般写为yx，而不写x ÷y ； （5）和或差关系，又带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位．如气温从t ℃下降6℃后是（t －6）℃，不要写为t －6℃． 2.与单项式有关的注意事项：（1）确定一个单项式的系数，要注意包括它前面的性质符号．（2）看上去只含有字母因式的单项式，其系数是1或1-，1往往省略不写.（3）计算单项式的次数时，应注意是所有字母指数的和，不要漏掉字母指数是1的指数． （4）单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关． 3.与多项式有关的注意事项：（1）多项式中的每一项要包括它前面的符号.（2）“×次×项式”，用大写“一、二、三…”表示. 方法技巧：1.本节概念性的东西较多，熟记概念是做好题目的保证.2.与图形有关的规律探索问题，往往先从最简单的前1至3个入手，找到它们共同的规律（规律一般是与图形的序号有关的式子）,然后将要解决的复杂图形的问题，代入到前面发现的规律中，得到问题的解. 答案:1. B 解析:先求出这15个人的总成绩10x +5×84=10x +420,再除以15可求得平均值为1042015x +.2. D 解析 :因为商品每件a 元,按进价提高30%出售,则售价为(1+30%)a =1.3a 元,商品以7折销售时售价为1.3a ×70% =0.91a 元.3. D 解析：该单项式的因数是-23，即-8，所以该单项式的系数是-8．字母x 、y 的指数分别是1和3，指数和是4，所以该单项式的次数是4．4. B 解析：由题意得，所有字母的指数和为7，即m +2=7，则m =5．5.解析：根据四次单项式的定义，x 2y 2，x 3y ，xy 3等都符合题意（答案不唯一）． 6.解析：3a 表示3与a 相乘,是单项式,系数为3,次数为1； 12 xy 2表示12 与xy 2相乘,是单项式,系数为12,次数为3；－5xy 4 表示－54 与xy 相乘，是单项式,系数为－54,次数为2； aπ表示1π与a 相乘,是单项式,系数为1π,次数为1；－x 表示-1与x 相乘,是单项式，系数为-1,次数为1； 13 (a +1)表示a 与1的和的31倍,含有加法运算,不是单项式． 1x表示1与x 的商,不是单项式． 7.C 解析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此六次多项式中，次数最高的项是六次的，其余项的次数可以是六次的，也可以是小于六次的，却不能是大于六次的．因此六次多项式中的任何一项都是不大于六次的．8.2015 解析：222420132(2)2013220132015a a a a ++=++=+=.9.解析：根据条件，有m 2-1+2=5，且m +2≠0.所以m =2.10. 4n －2 解析：第1个图案中阴影小三角形的个数是2；第2个图案中阴影小三角形的个数是6=2+4×1；第三个图案中阴影小三角形的个数是10=2+4×2；第4个图案中阴影小三角形的个数是14=2+4×3；…，所以第n 个图案中阴影小三角形的个数是2+4（n －1）=4n －2.11. n (n +1)＋2或 n 2+n +2 解析：根据图形可知：第一个图形中阴影部分小正方形个数为4＝2＋2＝1×2＋2, 第二个图形中阴影部分小正方形个数为8＝6＋2＝2×3＋2, 第三个图形中阴影部分小正方形个数为14＝12＋2＝3×4＋2, …所以第n 个图形中阴影部分小正方形个数为n (n +1)＋2或 n 2+n +2.12.（1）64 8 15 （2）2(1)1n -+ 2n 21n -解析：（1）观察所给数阵可知，每行最右侧的数是该行序号的平方.每一行数字的个数是每行的序号乘以2减去1.所以第8行的最后一个数是自然数8的平方，即82=64，共有2×8-1=15个数；（2）第n －1行的最后一个数为2(1)n -，所以第n 行的第一个数是2(1)1n -+，最后一个数为2n ，第n 行共有2n －1个数.整式陷阱面面观整式是单项式和多项式的统称.其中单项式是数字因数和字母因数的乘积形式，单独的一个数字也是单项式；多项式是几个单项式和的形式，它的很多概念都和单项式息息相关.正确把握整式及其相关概念，有助于我们学好整式运算.但同时，这些概念的把握不准，极有可能掉进一个个的陷阱.陷阱一：单项式的系数错例：1.单项式22r π的系数是2. 2.单项式232xy a b -、的系数都是0. 点拨：单项式的系数指的是单项式的数字因数．．．．，而不是数字．．，尤其这个数字因数以分数或科学记数法的形式出现或有常数π时易出现错误.因此判断单项式系数时，关键在于正确分离单项式的因数成分.正解：1.单项式22r π的系数是2π. 2.单项式232xy a b -、的系数分别是1和-1. 陷阱二：单项式的次数错例：1.单项式22xy 次数是2次. 2.222ab 是五次单项式.点拨：单项式的次数指的是所有字母指数的和．．．．．．．．，而不是部分指数的和．．．．．．，特别是当字母没有指数时，应理解为指数为1，而不是0；但同时，因为单项式次数，只和字母指数有关，因此在判断单项式次数时，也并非“见指数就相加．．．．．．”. 正解：1.单项式22xy 次数是3次. 2.222ab 是三次单项式. 陷阱三：多项式的项、项数错例：多项式222331x x x x --+-有5项构成，他们分别是222 3 3 1x x x x 、、、、. 点拨：我们知道，几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每一个单项式称作该多项式的项，其中不含有字母的项叫做常数项.因此，多项式中的项必须带有“前边的符号．．．．．”.而判断多项式的项数的前提是必须把多项式化为最简．．，即要把多项式合并. 正解：多项式222331x x x x --+-有3项构成，他们分别是22 1x x ---、、. 陷阱四：多项式的次数错例：多项式325234x x x -+-是六次四项式.点拨：多项式的次数指的是多项式中最高次数项的次数．．．．．．．．.不要理解为多项式中所有项的次．数之和．．．.所以判断多项式次数时，应该逐项判断构成多项式的每一项的次数，然后找到最高次数项的次数，而不是将她们相加.正解：多项式325234x x x -+-是三次四项式. 陷阱五：同类项错例：１.3-xy xy 和不是同类项. 2. 22-35yx zx yz 和不是同类项. 3.222-3ab a b 和是同类项.点拨：同类项是整式加减运算的基础，它的概念是：含有相同字母．．．．，并且相同字母的指．．．．．．数也相同．．．．的项.它和字母的先后顺序，项的系数及次数没有任何关系. 正解：１.3-xy xy 和是同类项. 2. 22-35yx z x yz 和是同类项. 3. 222-3ab a b 和不是同类项.。