切割线定理(一)(含解析)

切割线定理（一）? 2011 菁优网

一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1、（10分）（2010?江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r．

（1）若∠E=30°，求证：BC?BD=r?ED；

（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

2、（10分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）求∠ABE+2∠D的度数；

（3）求的值．

3、（10分）（2008?苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．

（1）求证：AK=MT；

（2）求证：AD⊥BC；

（3）当AK=BD时，求证：．

4、（10分）（2008?濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；

（2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．

5、（10分）（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，

（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；

（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，

①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；

②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

6、（10分）（2007?天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于

C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．

（1）求PE的长；

（2）求△COD的面积．

7、（10分）（2007?庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B 作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．

8、（10分）（2007?河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点

（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG=CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

9、（10分）（2007?安顺）如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．

（1）计算；

（2）计算CE?BE的值；

（3）探究：BE的取值范围．

10、（10分）（2006?日照）阅读下面的材料：

如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．

求证：AP?AC+BP?BD=AB2．

证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，

∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．

由割线定理得：AP?AC=AM?AB，BP?BD=BM?BA，

所以，AP?AC+BP?BD=AM?AB+BM?AB=AB?（AM+BM）=AB2．

当点P在半圆周上时，也有AP?AC+BP?BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：

（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP?AC+BP?BD=AB2是否成立？为什么？

（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

答案与评分标准

一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）

1、（10分）（2010?江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r．

（1）若∠E=30°，求证：BC?BD=r?ED；

（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．

考点：切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）取AB中点O，由题意得△ABC是Rt△，O是外接圆心，连接CO，可证得OC∥DB，则，即

OC?DE=CE?BD；作CF⊥BE，然后证得∠CBE=∠E=30°，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BC?BD=r?ED；（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值．

解答：解：（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，

∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，

∵BC是∠DBE平分线，

∴∠DBC=∠CBA，

∴∠OCB=∠DBC，

∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），

∴，把比例式化为乘积式得BD?CE=DE?OC，

∵OC=r，

∴BD?CE=DE?r．

∵∠D=90°，∠E=30°，

∴∠DBE=60°，

∴∠CBE=∠DBE=30°，

∴∠CBE=∠E，

∴CE=BC，

∴BC?BD=r?ED．

（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，

设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4﹣x）2=x2，x=，

由前所述，OC∥BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，

CE是圆O切线，CE2=AE?BE，

AE=（）2÷5=．

点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．

（1）求BD的长；

（2）求∠ABE+2∠D的度数；

（3）求的值．

考点：切割线定理；三角形中位线定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，根据OC∥BD，OC为△ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根据圆周角相等，得：∠D=∠AEB，可将∠ABE+2∠D 的值求出；

（3）根据△BGO∽△AGB，可将的值求出．

解答：解：

（1）连接AE，OC，并延长BO交AE于点H，

∵AB是小圆的切线，C是切点，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中点．

∵AD是大圆的直径，

∴O是AD的中点．

∴OC是△ABD的中位线．

∴BD=2OC=10．

（2）由（1）知C是AB的中点．

同理F是BE的中点．

由切线长定理得BC=BF．

∴BA=BE．

∴∠BAE=∠E．

∵∠E=∠D，

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．

（3）连接BO，在Rt△OCB中，

∵OB=13，OC=5，

∴BC=12．

由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．

∵∠BGO=∠AGB，

∴△BGO∽△AGB．

∴．

点评：在解本题的过程中要用到切线长定理，中位线定理，相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握和应用．3、（10分）（2008?苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．

（1）求证：AK=MT；

（2）求证：AD⊥BC；

（3）当AK=BD时，求证：．

考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质。

专题：证明题。

分析：（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；

（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系．

（3）连接PN，MK，根据已知证明△ABD≌△CMT再根据边之间的转化即可得到结论．

解答：证明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC=90°，MT⊥BC，

∴AM=MT．

又∵AM=AK，

∴AK=MT．

（2）∵BM平分∠ABC，

∴∠ABM=∠CBM．

∵AM=AN，

∴∠AMN=∠ANM．

又∵∠ANM=∠BND，

∴∠AMN=∠BND．

∵∠BAC=90°，

∴∠ABM+∠AMB=90°．

∴∠CBM+∠BND=90°．

∴∠BDN=90°．

∴AD⊥BC．

（3）∵BNM和BPK为⊙A的割线，

∴BN?BM=BP?BK．

∴．

∵AK=BD，AK=MT，

∴BD=MT．

∵AD⊥BC，MT⊥BC，

∴∠ADB=∠MTC=90°．

∴∠C+∠CMT=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠C+∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠CMT．

在△ABD和△CMT中，，

∴△ABD≌△CMT．

∴AB=MC．

∵AK=AM，

∴AB+AK=MC+AM．

即BK=AC．

∴．

点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强．

4、（10分）（2008?濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；

（2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．

考点：切割线定理；勾股定理；解直角三角形。

专题：综合题。

分析：（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题．

（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF=，转化为求AF的问题．

②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长．

解答：证明：（1）∵BE切⊙O于点B，

∴∠ABE=∠C．

∵∠EBC=2∠C，

即∠ABE+∠ABC=2∠C．

∴∠ABC=∠C．

∴AB=AC．

（2）①如图，连接AO，交BC于点F

∵AB=AC，∴；

∴AO⊥BC，且BF=FC．

∵∴∴；

设AB=m，BF=2m，

由勾股定理，得AF=﹣=﹣；

∴tan∠ABE=tan∠ABF=．

②在△EBA和△ECB中，

∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，

∴；

∵，

∴EB=EA（※）；

由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）；

将（※）式代入上式，得EA2=EA（EA+AC）；

∵EA≠0，

∴AC=EA=×=4．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．

5、（10分）（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；

（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，

①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；

②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；切线的判定。

专题：证明题；探究型。

分析：（1）由已知可得到∠APO=30°，根据HL判定△PAO≌△PBO，从而得到∠OPB=∠OPA=30°．

（2）①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，从而得到AC=BD；

②本题要充分利用l=2AP的条件．延长射线PA到F，使AF=BD；易证得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；

由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；

在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可证得△OCF≌△OCD，那么两三角形的对应边上的高也相等，则过O作OE⊥CD，则OE=OA，由此可证得CD与⊙O相切．

解答：解：（1）∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP=90°；

又∠AOP=60°，

∴∠APO=30°；

由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；

又OP=OP，

∴△PAO≌△PBO（HL）；

∴∠OPB=∠OPA=30°．

（2）①由（1）中知△PAO≌△PBO；

∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；

∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，

∴△AOC≌△BOD；

∴AC=BD；

②延长射线PA到F使AF=BD，

∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；

∴△OAF≌△OBD；

∴OF=OD；

∵△PCD的周长为l，l=2AP，

∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；

∴CD=AC+BD，

∵AF=BD，

∴CF=CD；

又∵OC=OC，OF=OD；

∴△OFC≌△OCD（SSS）；

所以CF和CD边上所对应的高也应该相等．

过OE⊥CD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；

所以CD与⊙O相切．

点评：此题主要考查学生对切线长定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定等知识点的综合运用能力．

6、（10分）（2007?天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于

C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．

（1）求PE的长；

（2）求△COD的面积．

考点：切割线定理；垂径定理。

（1）在⊙O中，根据割线定理，得PC?PD=PA?PB；在⊙O′中，由切割线定理，得PE2=PA?PB；联立两式得PE2=PC?PD，分析：

由此可求出PE的长．

（2）△COD中，已知底边CD的长，需求出CD边上的高；过O作CD的垂线，设垂足为F；由垂径定理得CF=FD=4；在Rt△COF中，已知了OC的长，可用勾股定理求出OF的长；进而可根据三角形的面积公式求得△COD的面积．解答：解：（1）∵PD、PB分别交⊙O于C、D和A、B；

根据割线定理得PA?PB=PC?PD．

又∵PE为⊙O′的切线，PAB为⊙O′的割线；

根据切割线定理得PE2=PA?PB．

即PE2=PC?PD=4×（4+8）=48；

∴PE=4．

（2）在⊙O中过O点作OF⊥CD，垂足为F；

根据垂径定理知OF平分弦CD，即CF=CD=4；

在Rt△OFC中，OF2=OC2﹣CF2=52﹣42=9；

∴OF=3；

∴S△COD=CD?OF=×8×3=12个面积单位．

点评：本题考查了切割线定理、垂径定理、勾股定理等知识．求圆的弦长、弦心距的问题可以转化为解直角三角形的问题．

考点：切割线定理；圆周角定理。

分析：连接OD；设AE=x，根据切割线定理和勾股定理列方程求得x的值，再进一步求得AD的长．

解答：解：连接OD，则∠ADO=90°；

又∵∠ABC=90°，∠A=∠A；

∴△ADO∽△ABC；

∴；

设AE=x，则有：，；

（）（）；

又∵AD2=x（x+6），∴

整理，得：x2+4x﹣12=0；

∴x=2，x=﹣6（舍）；

即：AE=2，（）．

点评：解决此题的关键是能够综合运用切割线定理和勾股定理列方程求解．

8、（10分）（2007?河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG=CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

考点：切割线定理；正方形的性质；解直角三角形。

专题：动点型；开放型。

分析：（1）根据切线长定理得到FB=FE，PE=PA；

（2）根据切线长定理，发现：该四边形的周长等于正方形的三边之和；

（3）根据若要满足结论，则∠BFO=∠GFC，根据切线长定理得∠BFO=∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．

解答：解：（1）FB=FE，PE=PA．

（2）四边形CDPF的周长为

FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF

=BF+FC+CD+DP+PA

=BC+CD+DA

=×3=．

（3）存在．

∵BF?FG=CF?OF

∴

∵cos∠OFB=，cos∠GFC=

∴∠OFB=∠GFC

∵∠OFB=∠OFE

∴∠OFE=∠OFB=∠GFC=60°

∴在Rt△OFB中，FE=FB==1

∴在Rt△GFC中

∵CG=CF?tan∠GFC=CF?tan60°=（2﹣1）tan60°=6﹣

∴DG=CG﹣CD=6﹣3

∴DP=DG?tan∠PGD=DG?tan30°=2﹣3

∴AP=AD﹣DP=2﹣（2﹣3）=3．

点评：此题综合运用了切割线定理直角三角形的性质进行求解．

9、（10分）（2007?安顺）如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．

（1）计算；

（2）计算CE?BE的值；

（3）探究：BE的取值范围．

考点：切割线定理。

专题：探究型。

分析：（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得△ABE和△DCE中的两组对应角相等，再根据相似三角形的判定和性质进行证明；

（2）根据已知条件可以计算出DE和AE的长，再根据割线定理得到CE?BE的长；

（3）根据切线的性质和AE的长确定它的取值范围．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠CDE=∠B，∠DCE=∠A；

∴△CDE∽△ABE；

∴．

（2）根据题意得DE=13﹣5=8，AE=10+8=18；

根据割线定理得CE?BE=AE?DE=144．

（3）若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE=12；

∴12＜BE≤18．

点评：此题能够综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、割线定理、切线的性质定理和勾股定理．10、（10分）（2006?日照）阅读下面的材料：

如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．

求证：AP?AC+BP?BD=AB2．

证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，

∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．

由割线定理得：AP?AC=AM?AB，BP?BD=BM?BA，

所以，AP?AC+BP?BD=AM?AB+BM?AB=AB?（AM+BM）=AB2．

当点P在半圆周上时，也有AP?AC+BP?BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：

（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP?AC+BP?BD=AB2是否成立？为什么？

（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

考点：切割线定理；圆周角定理。

专题：压轴题。

分析：（1）连接BC，AD，根据圆周角定理及四边形的对角互补得到，点C、D在以PM为直径的圆上，由割线定理得到AC?AP=AM?MD，BD?BP=BM?BC，对其进行整理即可得到结论．

（2）过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，由割线定理得AP?AC=AB?AM，BP?BD=AB?BM，由图象可知：AB=AM﹣BM，对三个式子进行整理即可得到所求的结论．

解答：

解：（1）成立．

证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，

∴点C、D在以PM为直径的圆上，

∴AC?AP=AM?MD，BD?BP=BM?BC，

∴AC?AP+BD?BP=AM?MD+BM?BC；

∵AM?MD+BM?BC=AB2，

∴AP?AC+BP?BD=AB2．

（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；∴AP?AC=AB?AM①，

∵D、M在以PA为直径的圆上，

∴BP?BD=AB?BM②，

由图象可知：AB=AM﹣BM③

由①②③可得：AP?AC﹣BP?BD=AB?（AM﹣BM）=AB2．

点评：本题利用了四点共圆的判定，割线定理，直径对的圆周角是直角求解．

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