2015-2016学年四川省成都市树德中学高一下学期期末考试数学(解析版)

四川省成都市树德中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学
一、选择题：共12题
1．设a,b∈R,若b-|a|>0,则下列不等式中正确的是
A.a-b>0
B.a+b>0
C.a2-b2>0
D.a3+b3<0
【答案】B
【解析】由b>|a|,可得-b<a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项A错误.由-b<a,可得a+b>0,所以选项B正确.由b>|a|,两边平方得b2>a2,则a2-b2<0,所以选项C错误.由-b<a,可得-b3<a3,则a3+b3>0,所以选项D错误.故选B.
2．已知，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意
知,===.选
D.
【备注】若,，则.
3．已知数列满足，,则
A.1
B.2
C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查递推公式.由题意知,,,所以
,,,,,所以该数列是以6为周期的
周期数列,所以.选C.
4．给出下列关于互不重合的三条直线、、和两个平面、的四个命题：
①若，，点，则与不共面；
②若、是异面直线，，，且，，则；
③若，，，则；
④若，，，，，则，
其中为真命题的是
A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
【答案】C
【解析】本题考查点线面之间的位置关系.对①,若，，点，则与不共面, ①正确；对②,若、是异面直线，，，且，，则,②正确；对③,若，，，则或与相交或与异面,③错；对④，若，，，，，则,④正确.所以真命题有①②④.选C.
5．规定记号“”表示一种运算，定义：为正实数)，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查新定义问题.因为,所以可化为,即
,所以.选A.
6．棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积.还原出空间几何体(如图所示);被截去的与剩下的几何体体积相同;所以被截去的几何体的体积.选B.
7．如图,已知,,且,任意点关于点的对称点为,点关于点的对称点为,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为为的中点,所以
=;所以
====6.选A.
8．已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是
A.18
B.16
C.9
D.4
【答案】A
【解析】本题考查平面向量的数量积，基本不等式，三角形的面积公式.，可得；而++=,即+=；所以
+.即的最小值是18.选A.
【备注】; 三角形的面积公式：.
9．在中，内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理,三角形的面积公式.由三角形的面积公式知,,因为,所以；由余弦定理知,所以
,整理得,所以,所以
,所以,解得.选C.
10．如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为
A.是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心)
B.直线∥平面.
C.平面.
D.直线与平面所成的角的正弦值为.
【答案】B
【解析】本题考查线面平行与垂直.两两垂直且相等,所以是正三棱锥,A正确;将正四面体放入正方体中(如图所示),显然,而与平面相交,所以直线与平面相交,B错误,选B.
11．已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为
A. B.2 C. D.4
【答案】D
【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为空集,所以恒成立,即,即;所以
===4(当且仅当
时等号成立).即的最小值为4.选D.
12．设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查等差数列,和角差角公式.因为为等差数列,所以,即
=,;=
====1,而,所以;所以
=;由题意得对称轴满足,解得.选C.
【备注】等差数列中，.
二、填空题：共4题
13．已知的顶点坐标分别为,,,则
【答案】
【解析】本题考查空间中两点间的距离公式和余弦定理.由题意
知,,,,所以,由余弦定理知,.所以.
14．如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为
【答案】
【解析】本题考查直观图.由题意得;而,所以=,解得.即在直观图中梯形的高为.
【备注】.
15．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】本题考查等比数列和均值不等式.因为为等比数列,所以亦为等比数列,即=,所以;而,所以;所以
(当且仅当时等号成立).即的最小值为
20.
16．已知是锐角的外接圆圆心，，是边上一点(与不重合)，且，若，则 .
【答案】
【解析】本题考查平面向量的数量积,诱导公式,和角公式,正弦定理.作,在直角三角形
中,;在直角三角形中,;而=;即
,即,即,
所以,即为的中点,所以三角形为等腰三角形,而,可得;取的中点
,;代入等式得,等式两边同乘得
,即,即;
由正弦定理得======.
三、解答题：共6题
17．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式：为常数).
【答案】(1)由题知为关于的方程的两根，即；
∴.
(2)不等式等价于，所以：当时解集为；
当时解集为；当时解集为.
【解析】本题考查一元二次不等式、分式不等式.(1)转化为方程的根,解得.(2)将分式不等式转化为一元二次不等式,即可求得.
18．如图，在三棱柱中，侧棱与底面成角为，．
(1)若，求证：；
(2)若为的中点，问:上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)因为侧棱与底面成角,即;
而在内,所以;
而=,,所以;
所以.
(2)上存在点(为上的中点),即,使得∥平面. 因为为的中点，为上的中点,所以为中位线,即; 而内,所以∥平面,此时.
【解析】本题考查线面平行与垂直.(1),所以,所以,所以.(2),∥平面,为上的中点.
19．已知数列的前项和是，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求适合方程的正整数的值.
【答案】(1)时，,
时，,，.
是以为首项，为公比的等比数列，.
(2),.
.
.
由解得.
【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由的关系得.所以是等比数列，所以.(2)裂项相消得.
20．如图，中，,，点为线段上一点，过作垂直于与，作垂直于BC与.
(1)若,则,求的长.
(2)在(1)的结论下,若点为线段上运动，求面积的最大值.
【答案】(1)因为sin∠ABC＝，所以cos∠ABC＝1－2×＝.
△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.
因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以有＝－，所以3b2－a2＝－6，②
由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.
(2)令，则△ABC的面积为×2×3×＝，
从而可得. 而△DEF的面积为(当且仅当时取等)
即面积的最大值为.
【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式.(1)由同角三角函数的基本关系及余弦定理得BC ＝3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得.即面积的最大值为.
21．在直角梯形中，，,(如图1)．把沿翻折，使得二面角的平面角为(如图2),、分别是和中点.
(1)若为线段上任意一点，求证：
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
(3)、分别为线段与上一点，使得.令与和所成的角分别为和.求
的取值范围.
【答案】(1)又⇒.
(2)由(1)知，从而为等边三角形，从而易得答案为
(3)在BN线段取点R使得.
从而易得且，.
另一方面，易证，从而.
又,,所以,所以；
又有PR//AN且RQ//BDA, 所以.从而有
∴.
.
【解析】本题考查线面垂直与平行,三角恒等变换.(1)线线垂直线面垂直线线垂直.(2)为等边三角形，得答案为；(3)证得∴.
22．数列满足，，令.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)数列的前项和为．求证：对任意的，．
【答案】(1)，，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
(2)，．
.
∴S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1.②
①－②，得—S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.
∴S n＝(n-1)2n+1+2.
(3)当时，则
=
．
，对任意的，．
【解析】本题考查等比数列,数列的通项与求和.(1)求得，数列是首项为，公比为的等比数列．(2),错位相减得S n＝(n-1)2n+1+2.(3)放缩法得
．。