对数与对数函数.复习题 普通高中数学复习讲义Word版

板块一.对数运算题型一：对数的定义与对数运算【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【答案】⑴①5log 6254=；②21log 664=-；③13log 5.73m =；④41()162-=；⑤2100.01-=； ⑥ 2.30310e =. ⑵①()2232331644416x ---====；②68x =，又0x >，∴11136628(2)2x ==== ③21010010x ==，∴2x =；④2x e e -=，∴2x =-.【例2】 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 1287=；（3）lg0.012=-； （4）ln10 2.303=【答案】（1）16)21(4=-（2）72128=；（3）2100.01-=；（4）303.2e =10【例3】 已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 12 【解析】 A【例4】 计算：()2151515log 5log 45log 3⋅+【答案】1对数与对数函数【例5】 若2510a b ==，则11a b+= . 【答案】1【例6】 求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵log ；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺；⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【答案】⑴1；⑵12；⑶0；⑷5；⑸25；⑹9；⑺32；⑻1；⑼109【例7】 求值：⑴2572lg3lg7lglg 94++-；⑵；⑷32516log 4log 9log 5⋅⋅.【答案】⑴2，⑵5312题型二：对数运算法则的应用【例8】 求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a aMM N N-=.【例9】 试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.【例10】 已知32a =，用 a 表示33log 4log 6- 【答案】1a -【例11】 已知3log 2a =，35b =用a b ，表示3log【答案】1(1)2a b ++【例12】 设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小. 【答案】34x y >题型三：对数方程【例13】 求底数：（1）533log -=x , （2）872log =x【答案】（1）353-=x ，（2）2=x【例14】 证明：b xxa ab a log 1log log +=【例15】 设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.【答案】当a ≤1或4133<<a 时方程无实根； 当1＜a ≤3或413=a 时方程有一实根分别为24135a x --=或25=x ；当4133<<a 时，方程有两个实根24135a x -±=板块二.对数函数题型一 对数函数的基本性质【例16】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 43，15，310B. 43，310，15 C. 15，310，43D. 43，310，15【答案】A【例17】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.0 x C 1C 2 C 4C 3 1yA B C D 【答案】C【例18】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？【答案】两个函数图象关于直线y x =对称.【例19】 如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围. 【答案】01b a <<<【例20】 比较下列各数大小：1．0.30.4log 0.7log 0.3与2．120.6 3.41log 0.8,log 0.73-⎛⎫⎪⎝⎭和3．0.30.2log 0.1log 0.1和【答案】1. 0.30.4log 0.7log 0.3<2.123.40.61log 0.7log 0.83-⎛⎫<< ⎪⎝⎭3.0.30.2log 0.1log 0.1>题型二 对数型符合型复合函数的定义域值域【例21】 求下列函数的定义域：（1）y =(2)y =【答案】⑴{}0x x >， ⑵314x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤【例22】 求下列函数的定义域：⑴2log a y x =； ⑵log (4)a x -； ⑶y .【答案】⑴{|0}x x ≠⑵{|4}x x <⑶(12],【例23】 求下列函数的定义域、值域：1．y =2．22log (25)y x x =++3．213log (45)y x x =-++4．y 【答案】1.定义域：11x -≤≤，值域：102y ≤≤。

2.定义域：R ，值域：2y ≥3.定义域：15x -<<，值域：2y ≥-4.定义域：1001x a -<<<<且，值域：y ≥【例24】 已知函数2328()log 1mx x nf x x ++=+的定义域为R ，值域为[]02，，求m ，n 的值. 【答案】5m n ==题型三 对数型符合型复合函数的单调性【例25】 证明函数y=12log (2x +1)在（0，+∞）上是减函数；【例26】 求()20.3log 2y x x =-的单调递减区间【答案】（2，+∞）【例27】 已知()log (1)x a f x a =-(0,a >且1)a ≠，⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；【答案】⑴当1a >时，函数的定义域为(0,)+∞；当01a <<时，函数的定义域为(,0)-∞.⑵函数在(,0)-∞及(0,)+∞上是增函数.【例28】 已知()lg()x x f x a b =-，a,b 为常数①当a ，0b >且a b ≠时，求()f x 的定义域；②当10a b >>>时，判断f (x )在定义域上的单调性，并用定义证明【答案】①若a ＞b ＞0，（0，+∞）为()f x 的定义域；若0＜a ＜b ，（-∞，0）为()f x 的定义域； ②增函数【例29】 在函数(01a y log x a =<<，1)x ≥的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4，（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）； （2）判断S ＝f （t ）的单调性； （3）求S ＝f （t ）的最大值.【答案】（1）2(4)log (2)a t t S t +=+（2）单调递减（3）最大值5log 9a题型四 对数函数的综合与应用【例30】 函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围. 【答案】12a <<或112a <<【例31】 已知a ＞0，a ≠1，01x <<，比较|log (1)|a x +和|log (1)|a x -的大小.【答案】|log (1)||log (1)|a a x x +<-【例32】 若关于lg()2lg lg3x a x -=-至少有一个实数根，则求a 的取值范围.【答案】9(,]4-∞【例33】 已知2{|log (583)2}x A x x x =-+>，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实数k 的取值范围.【答案】k ≤≤【例34】 已知2520x y +=，求lg lg x y +的最大值. 【答案】最大值为1.【例35】 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中. 当燃料重量为1)m 吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =； （2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？【答案】（1）8ln().m x y m+=（2）344。