北京市人大附中高三数学基础练习题三
北京市人大附中高三数学基础练习题三
北京市人大附中高三数学根底练习题三一．选择题：1．假设集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，那么称〔A 1，A 2〕为集合的一种分拆，并规定当且仅当A 1=A 2时，〔A 1，A 2〕与〔A 2， A 1〕为集合的同一种分拆，那么集合A ={1，2，3}的不同分拆种数为〔 〕A ．27B ．26C ．9D ．8 2．函数 y =f (x +1)+1 的图象经过点P 〔m ,n 〕，那么函数y =f (x －1)－1的反函数图象必过点 〔 〕 A ．〔n +2,m － 2〕 B ．(n －2,m +2) C ．(n ,m ) D ．(n ,m +2) 3．假设,x R n N ∈∈，定义()()()121nx M x x x x n =+++-，例如：()()()3443224M -=---=-，那么函数()115sin x f x M x -=的奇偶性是〔 〕A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．假设1sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象按象量a 平移得到1sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,那么向量a等于( )A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()f x 的定义域为R ,且1x ≠,()1f x +为奇函数,当1x <时,()221f x x x =-+,那么当1x >时, ()f x 的递减区间是( )A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在AB 上,且AM =13,点P 是平面ABCD 上的动点,且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1,那么动点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 7．以下各式中,对任意实数x 都成立的一个是 ( )A ．2lg(1)lg(2)x x +≥B ．212x x +>C ．2111x ≤+ D ．131x x +≥- 8．点A ,B 是抛物线22y px =()0p >上原点以外的两动点,假设0OA OB =,那么直线AB 交抛物线的对称轴于定点N 的坐标为 ( ) A ．(),0p B ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0pD ．()4,0p9．()()2cos f x x b ωϕ=++对于任意的实数x 有()4f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭成立,且8f π⎛⎫⎪⎝⎭1=-,那么实数b 的值为( ) A ．1± B ．3± C ．1-或3 D ．3-或110．设,l m 两条不同的直线，,αβP :假设l β⊥,αβ⊥,那么//l α；命题q :l m ⊥,m α⊥,l α⊄,那么//l α.对于以下复命题的真假性判断:①p 且q 为假 ②p 或q 为真 ③p 或非q 为真 ④非p 且q 为真 ⑤非p 或非q 为真，其中所有正确的序号为〔 〕A ．①②③④B ．①②④C ．①②③④⑤D ．①②④⑤ 二．填空题：11．x 为正实数,设1u x x =+，那么1u u+的最小值为__________. 12．如下图:某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足正弦曲()sin y A x ωϕ=+b +的表达式，那么y =___________.13．函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，那么()2f =________.14．给定()()1log 2n n a n +=+()n N +∈,定义乘积12k a a a 为整数的()k k N +∈叫做希望数，那么区间[]1,2005内的所有希望数之和为________.15．()f x 是R 上的增函数,A ()0,1-,B (3,1)是其图象上的两个点，那么()|1|1f x +≥的解集为 。
人大附中高三月考试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f(x)$的图像大致为：A. 图像在y轴左侧逐渐上升，在y轴右侧逐渐下降B. 图像在y轴左侧逐渐下降，在y轴右侧逐渐上升C. 图像在y轴左侧和右侧均逐渐上升D. 图像在y轴左侧和右侧均逐渐下降2. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$对应的点在复平面上的轨迹是：A. 以点(0,0)为圆心，半径为2的圆B. 以点(0,0)为圆心，半径为1的圆C. 以点(0,0)为圆心，半径为3的圆D. 以点(0,0)为圆心，半径为2的圆的内部3. 下列函数中，在其定义域内是增函数的是：A. $y=-2x^2+3x+1$B. $y=x^3-x$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=x^2$4. 若$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是：A. $a^2+b^2\geq 2ab$B. $a^3+b^3\geq 2ab$C. $a^2b^2\geq 2ab$D. $ab^2+ba^2\geq 2ab$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=10$，$S_8=24$，则$a_6$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数$y=\sin x$在区间$[0,2\pi]$上的图像与直线$y=k$有4个交点，则$k$的取值范围是：A. $[-1,1]$B. $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$C. $[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$D. $[-1,-\frac{1}{2}]$或$[\frac{1}{2},1]$7. 若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha$的值为：A. 1B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 28. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 129. 在极坐标系中，点$(3,\frac{\pi}{6})$对应的直角坐标是：A. $(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$B. $(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$C. $(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$D. $(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$10. 下列不等式中，恒成立的是：A. $x^2+y^2\geq 2xy$B. $x^2+y^2\leq 2xy$C. $x^2-y^2\geq 2xy$D. $x^2-y^2\leq 2xy$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，若$f(x)=0$的三个根分别是$a$、$b$、$c$，则$a+b+c=$12. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，若$a_1+a_4+a_7=30$，则$a_5=$13. 在$\triangle ABC$中，若$A=\frac{\pi}{3}$，$B=\frac{\pi}{4}$，$c=2$，则$BC=$14. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$对应的点在复平面上的轨迹方程是15. 若$y=\sin x+\cos x$，则$y$的最大值是16. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，若$f'(x)=0$，则$x=$17. 在极坐标系中，点$(4,\frac{\pi}{3})$对应的直角坐标是18. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=9$，则$a_1q^2=$19. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，则$f(-1)=\frac{1}{f(1)}$的充要条件是20. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$对应的点在复平面上的轨迹是三、解答题（本大题共4小题，共100分）21. （20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$的极值；（3）方程$f(x)=0$的实根个数及根的情况。
北京市人大附中2023届高三三模数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 设函数（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[1，e]B ．[1，1+e]C ．[e ，1+e]D ．[0，1]2. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．3.复数的虚部为（ ）A．B．C．D．4. 形如1､1､2､3､5…的数列叫斐波那契数列，其特点是从第三项开始，每一项都等于前面两项的和.如果把数列第一项换成正整数，第二项换成正整数，第三项开始仿照斐波那契数列的规则，可以得到一个新的数列．如果新的数列中某一项出现了100，则的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125. 等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形式.一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为（）A．B．C．D．6. 设向量，，若向量与同向，则（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．07. ，，是的内角，，所对的边，若，则（ ）A ．1011B ．2022C ．2020D ．20218.已知符号函数那么的大致图象是A．B．C．D．北京市人大附中2023届高三三模数学试题(高频考点版)北京市人大附中2023届高三三模数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题9.已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递增B．的图象关于点对称C．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D ．在上的最大值为210. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）A ．函数 为偶函数B ．函数 的值域是C ．对于任意的 ，都有D ．在图象上不存在不同的三个点 ，使得为等边三角形E ．在图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形11. 下列运算法则正确的是（ ）A．B．C ．（且）D．12. 已知直线l ：y =kx +m与椭圆交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，，使得B．当时，，C ．当时，，使得D ．当时，，13.已知集合，若，则__________．14.设等比数列的前项和为，若，，则______，______.15. 设函数则_____________.16.设数列的前n项和，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列的前n 项和，，求数列的前n 项和．17. 某汽车4S 店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t （单位：元），绩效工资如下表：月售车台数01234绩效工资根据以往销售统计，该4S 店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：月售车台数01234概率0.320.280.130.120.090.06(1)求该4S店一名销售员的绩效工资大于的概率；(2)若已知该4S店一名销售员上个月工资大于，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；(3)根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？（精确到百位）18. 某公众号根据统计局统计公报提供的数据，对我国2015—2021年的国内生产总值GDP进行统计研究，做出如下2015—2021年GDP和GDP实际增长率的统计图表．通过统计数据可以发现，GDP呈现逐年递增趋势．2020年，GDP增长率出现较明显降幅，但GDP却首次突破100万亿．现统计人员选择线性回归模型，对年份代码x和年度实际GDP增长率进行回归分析．年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年年度GDP（亿元）688858.2746395.1832035.9919281.1986515.21015986.21143669.7年份代码x1234567GDP实际增长率7.0 6.8 6.9 6.7 6.0 2.38.1(1)用第1到第7年的数据得到年度实际GDP增长率关于年份代码x的回归方程近似为：，对该回归方程进行残差分析，得到下表，视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据．年份代码x1234567GDP实际增长率7.0 6.8 6.9 6.7 6.0 2.38.1GDP增长率估计值 6.98 6.50 6.26 6.02 5.54残差0.020.400.74-0.02 2.56将以上表格补充完整，指出GDP增长率出现异常数据的年份及异常现象，并根据所学统计学知识，结合生活实际，推测GDP增长率出现异常的可能原因；(2)剔除（1）中的异常数据，用最小二乘法求出回归方程：，并据此预测数据异常年份的GDP增长率．附：，19. 某工厂有工人500名，记35岁以上（含35岁）的为类工人，不足35岁的为类工人，为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从，两类工人中分别抽取了40人、60人进行测试.（1）求该工厂，两类工人各有多少人？（2）经过测试，得到以下三个数据图表：图一：75分以上A 、B两类工人成绩的茎叶图图二：100名参加测试工人成绩的频率分布直方图表：100名参加测试的工人成绩频率分布表组号分组频数频率1[55,60)50.052[60,65)200.203[65,70)4[70,75)350.355[75,80)6[80,85)合计100 1.00图一：75分以上，两类工人成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）①先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；②该厂拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类工人中随机抽取2人参加高级技工培训班，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.20. 已知双曲线，，设点在上，点为坐标原点.(1)若，求的最小值；(2)设点在上，直线、分别与相切于点，对于给定的、，在以下结论中（多选的按第一个给分），并加以证明：①和的面积之和为定值；②和的面积之差的绝对值为定值；③直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为定值.选择一个正确的结论21. 已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为坐标原点，斜率存在的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线与直线的斜率之积．。
北京市人大附中2024-2025高三10月月考数学试卷及答案
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（ ） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
北京市人大附中2023届高三三模数学试题
(1)判断直线 l 和 BC 的位置关系，并说明理由； 试卷第 3 页，共 5 页
(2)若点 D 到平面 PBC 的距离为 2 ，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角
3
B-l-D 余弦值大小． ① CD AD ； ②∠PAB 为二面角 P AD B 的平面角． 18．每年 8 月 8 日为我国的全民健身日,倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了 激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主 题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取 100 名学生作为样本,统计他 们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表：
北京市人大附中 2023 届高三三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知复数 z (m2 1) (m 1)i 是纯虚数，则实数 m （ ）
A．1
B． 1
C． 1
2．已知集合 A
x |1 3x 9
条件①：
a
2
；条件②：
B
4
；条件③：
c
3b ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分
别解答，按第个解答计分．
17．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为梯形 ABCD，且 AB / / CD，又 PA AD ，AB=AD=1，
CD=2，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 PBC= l ．
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点，过 F2 作
C
的两条
2023-2024学年北京市中国人民大学附属中学高三下学期5月热身练习数学试卷(三模)含详解
中国人民大学附属中学高三热身练习数学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A .240- B.240 C.60D.60-4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞ B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若1AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12xg x x ax x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.中国人民大学附属中学高三热身练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】化简集合P ，由P M M = 得出M P ⊆，由子集的定义得出实数a 的取值范围.【详解】 集合{}210{11}[1,1]P x x x x =-≤=-≤≤=-∣∣,{},M a P M M =⋂=,[1,1]M P a ∴⊆∴∈-故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B【分析】根据()a b a -⊥ ，得()0a b a -×=，结合数量积得运算律求出a b ⋅ ，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -×= ，即20a a b -⋅= ，所以21a b a ⋅== ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a与b的夹角为60︒.故选：B.3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.240-B.240C.60D.60-【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为264n =，可得6n =，其展开式的通项为()()63362166C 12C ,0,1,2,,6rr rrr rr r T x xr---+=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令3302r -=，解得2r =，所以其展开式的常数项为()242612C 240-⋅⋅=.故选：B.4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，11y xx y xy--=，其中0y x -<，但xy 的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，例如ππ,4x y ==，此时tan tan 0110x y -=-=-<，所以B 不正确；对于C 中，由函数()1e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 为单调递减函数，因为x y >，所以11e e xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D 中，例如2,3x y ==-，此时2ln ||ln ||ln 2ln 3ln 03x y -=-=<，所以D 不正确.故选：C.5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线221:142x y C -=的渐近线为2y x =±，22222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，由题可知22a b=，所以2C 的离心率c e a ====故选：C.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-【答案】D【分析】由题可得()1,111,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，当1x ≥时，(1)11xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴1<1x ≤-，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选:D ．7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由PA PB ⊥可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为()0,0，半径为1，又直线:((1)0l m x n y -+-=，其过定点)，13+=.故答案为：C8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将2b ac =代入余弦定理，利用基本不等式得到1cos 2B ≥，从而得到3sin 2B ≤，接着根据3sin 2B ≤得到B 可能为钝角，不满足,,a b c 成等比数列，从而得答案.【详解】当,,a b c 成等比数列时，2b ac =，所以22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，又()0,πB ∈，所以π3B ≤，所以3sin 2B ≤，充分性满足；当3sin 2B ≤时，π2π0,,π33B ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，而当2π,π3B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b 为最长的边，不满足,,a b c 成等比数列，必要性不满足.则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点G 到平面ACEF 的垂线段，在根据已知条件得sin 22KGIGθ==h 即可.【详解】取AC 中点M ，连接MI ，过G 作MI 的垂线交MI 的延长线于点K，取AB 中点N ，连接FN ，由已知，M 、I 分别为AC 、EF 中点，因为ABF CDE -是直三棱柱，所以AF AC ⊥，//EF AC 且EF AC =，所以//FI AM 其=FI AM ，所以四边形AMIF 为平行四边形，又AF AC ⊥，所以AMIF 为矩形，所以EF MK ⊥，又EF GH ⊥，MK ⊂平面KIG ，GH Ì平面KIG ，MK GH I ⋂=，所以EF ⊥平面KIG ，KG ⊂平面KIG ，所以EF KG ⊥，又因为KG MK ⊥，EF ⊂平面ACEF ，MK ⊂平面ACEF ，EF MK I ⋂=，所以KG ⊥平面ACEF ，所以点G 到平面ACEF 的距离等于线段KG 的长度，设为h ；AF BF ⊥，在Rt ABF 中，AF BF a ==，所以AB ==，设角FAB θ∠=，则有2sin 2θ=，因为四边形AMIF 为平行四边形，所以//MI AF ，又因为因为BDG ACH -是直三棱柱，所以//AB HG ，且HG AB a ==，所以KIG FAB θ∠=∠=，22IG =，又因为KG ⊥平面ACEF ，IK ⊂平面ACEF ，所以KG IK ⊥，所以sin 22KGIGθ==2222=，解得2a h =，所以点G 到平面ACEF 的距离是2a ，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点G 到平面ACEF 的垂线段.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】()()()()()22i 1i 2i 1i 1i 221i1i 1a a a a a a a +++==--+-+++，因为2i1ia +-是纯虚数，所以20210a a -=⎧⎨+≠⎩，得2a =.故答案为：212.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.【答案】10x y -+=或10x y ++=【分析】先根据焦半径公式求出点B 坐标，进而可得直线方程.【详解】设(),B x y ，则||12FB x =+=，则1x =，此时2y =±，所以()1,2B 或()1,2B -，又由已知()1,0A -，直线AB 的方程为()()20111y x -=+--或()()20111y x --=+--，整理得10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=或10x y ++=.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.【答案】①.2（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，取特值检验即可.【详解】若lg lg lg()a b a b +=+，则lg lg()ab a b =+，可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，例如2a b ==符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.【答案】①.π2②.[)1,2【分析】根据偶函数的对称性分析可知ππ,Z 2k k ϕ=+∈，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅覆盖1个()f x 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为()f x 是偶函数，则ππ,Z 2k k ϕ=+∈，且0πϕ<≤，所以π0,2k ϕ==；可得π()sin πcos π2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，因为()f x 和222x y +≤均关于y 轴对称，可知圆面在y 轴右侧仅覆盖()f x 图象的1个最低点，对于222x y +=，令1y =±，解得1x =（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；可得121TT ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解得12T <≤，且0ω>，则2π12πω<≤，解得12ω≤<，所以ω的取值范围是[)1,2，故答案为：π2；[)1,2.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,N n n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos 2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +≥，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+≥≥，当且仅当1n =等号成立，所以12n na a +≥，所以111212422n n n n n a a a a ----≥≥≥≥= ，所以1*2N ,n n n S a n -≥≥∀∈，②正确；对于③：由已知1231,2,10a a a ===，此时1322a a a +>，所以*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<不成立，③错误；对于④：由已知1231,2,10a a a ===，此时323π2cos 2a a ≠，所以*11πN ,2cos 2n nn n a a ++∀∈=不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若16AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）65（3）2155【分析】（1）取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，通过证明BC ⊥面1A AE 可得结论；（2）先证明出1,,AE A E BC 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，因为四边形ABCD 为菱形，且π3ABC ∠=，所以ABC ，1A BC 为等边三角形，所以1,BC AE BC A E ⊥⊥，又11,,AE A E E AE A E =⊂ 面1A AE ，所以BC ⊥面1A AE ，又1AA ⊂面1A AE ，所以1BC AA ⊥；【小问2详解】由ABC ，1A BC 为边长为2的等边三角形可得13AE A E ==，所以22211AE A E A A +=，结合BC ⊥面1A AE 可得1,,AE A E BC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，)()()13,2,0,0,0,3,3,0,0,0,1,0DA AB -，(()11,,DA AB A A ===，设面1ABA 的法向量为(),,n x y z =，直线1DA 与平面1ABA 所成角为θ，则10AB n y A A n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =得()n =，116sin 5n DA n DA θ⋅===⋅ ，即直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值为65；【小问3详解】由（2）得点D 到平面1ABA的距离为16215sin 55DA θ==.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】（1）1（2）(【分析】利用三角恒等变换整理可得π()2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合最小正周期分析求解；以π26x +为整体，结合正弦函数最值可得3c =.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π12πω==.【小问2详解】由（1）可知：π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可知当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取到最大值3，即3c =.若条件①：因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，可得sin 2sin cos C C C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C ≠，可得1cos 2C =，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭1sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若条件②；因为2sin cos sin 2a A B b A +=，由正弦定理可得：22sin cos sin sin 2A B B A A +=，则22sin cos 2sin sin cos A B B A A A +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0A ≠，可得()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C +=+==即3sin 2C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若选③：因为)2224a b c S +-=，则132cos sin 24ab Cab C =，整理得tan C =π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；() 1.2E X =元（3）25b =（答案不唯一，满足1132b <≤即可）【分析】（1）根据可得A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，求相应的概率，进而可得期望，令()()E Y E X >运算求解即可.【小问1详解】设A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率分别为123,,p p p ，用频率估计概率可得：1235075800.5,0.75,0.8100100100p p p ======，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M ，所以()0.50.750.80.3P M =⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，则有：()()()()31220.3,110.5P X P M P X p p p =====-=，()()()0.51210.2P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为X 210.5P0.30.50.2X 的期望()20.310.50.50.2 1.2E X =⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为Y ，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，则有：()()1.80.50.750.80.60.3P Y b b ==+⨯⨯=+，()()0.80.810.50.750.50.6P Y b b ==-+⨯=-⎡⎤⎣⎦，()()()0.31210.2P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的期望()()()1.80.60.30.80.50.60.30.20.61E Y b b b =⨯++⨯-+⨯=+（元），令()()E Y E X >，即0.61 1.2b +>，解得1132b <≤，例如25b =符合题意.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.【答案】（1）22:12x C y +=；2（2【分析】（1）线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，即b c =，然后计算离心率e ，从而点()1,e 代入C 可得椭圆C 的方程并可求短轴长；（2）由题可知，12PF F △的面积等于1212P F F y ，所以求P y 的值；由1212//,2AF BF AF BF =，得122AF BF =uuu r uuu r ，进而得点,A B 的坐标关系，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，将点,A B 代入C ，求得2y ，再由12APF F PB △△∽，得12PF BP = ，即223P y y =，从而计算12PF F △的面积即可.【小问1详解】设()()120,,0F c F c -，，上下顶点分别为()()120,,0,B b B b -.由以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，得22b c =，即b c =.因为22222a b c c =+=，即a =，所以22c e a ==，由点2)2在C 上，得22222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，2211122b b +=，解得1b =，所以2222a b ==，则22:12x C y +=，短轴长1222B B b ==.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为1212//,2AF BF AF BF =，所以122AF BF =uuu r uuu r ，又12APF F PB △△∽，则1122PF AF BP BF ==，即12PF BP =，12PF BP = .设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y ，()()121,0,1,0F F -由122AF BF =uuu r uuu r 得()12121212x x y y ⎧--=-⎨-=-⎩，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，所以()()222222222322222x y x y ⎧-+⨯=⎪⎨+=⎪⎩，即22222222241287488x x y x y ⎧-+=-⎨+=⎩，两式相减得，21215x =即254x =，2225224y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点,A B 在x 轴的上方，所以2148y =.又12PF BP = 得()22P P y y y -=-，即222141433812P y y ==⨯=.于是12121114142221212PF F P S F F y ==⨯⨯= .20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）0（2）(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞-+【分析】（1）求导，然后根据(0)0f '=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a '=-+-，则0(0)(1)e 1f a a '=-+-=-，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a -=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x '=+-，令()(1)e 1x h x x =+-，则()(2)e x h x x '=+，当<2x -时，()0h x '<，()f x '单调递减，当2x >-时，()0h x '>，()f x '单调递增，又当<2x -时，()0f x '<恒成立，2(2)e 1f -'-=--，0(0)e 10f '=-=，所以当0x <时()0f x '<，0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a '⎡⎤=-++--+=+-+-⎣⎦，令()(1)e 1x v x x a =-+-，则()(2)e xv x x a '=-+，当2x a <-时，()0v x '<，()v x 单调递减，当2x a >-时，()0v x '>，()v x 单调递增，又当2x a <-时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a --=--<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a -+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <-，即()11(11)e 10v a --=--+->，解得e a <-，此时若()0g x '<，解得01x x <<-，()g x 在()0,1x -上单调递减，若()0g x '>，解得0x x <或1x >-，()g x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >-，即()11(11)e 10v a --=--+-<，解得e a >-，此时若()0g x '<，解得01x x -<<，()g x 在()01,x -上单调递减，若()0g x '>，解得1x <-或0x x >，()g x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极大值，符合1-是()g x 的极大值点，当01x =-时，即()11(11)e 10v a --=--+-=，解得a e =-，此时()0g x '≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞-+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1n i i i x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112n k k i i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i i a k i a k i-=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112n k k i i i i i i i n x y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112n n m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112n m m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。
北京市人大附中2023届高三三模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知命题：，，则为（ ）A．，B ．，C．，D ．，2. 在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知如表所示数据的回归直线方程为，则实数m 的值为（ ）x 2456y 14m 3237A ．25B ．26C ．27D ．285.已知向量，，若，则实数k 的值为（ ）A ．2B．C ．3D．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2B．C．D．7. 若复数，则（ ）A ．3B ．4C．D．8.若，则（ ）A．B．C．D．9. 已知P 是椭圆：上的动点，过直线与椭圆交于两点，则（ ）A．的焦距为B．当为中点时，直线的斜率为C．的离心率为D ．若，则的面积为110. 对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对北京市人大附中2023届高三三模数学试题北京市人大附中2023届高三三模数学试题三、填空题四、解答题于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II 点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；④如果从第I组点中去掉点，第II 组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④11. 若复数满足，则（ ）A．B．是纯虚数C．D ．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则12.在正方体中，点P满足，则（ ）A ．若，则AP 与BD所成角为B ．若，则C．平面D．13. 在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是___________；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为___________.14. 已知圆心角为60°的扇形的半径为1，C 是AB 弧上一点，作矩形CDEF ，如图所示，这个矩形的面积最大值为_______15. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C 的离心率为______.16.过椭圆的右焦点作斜率的直线交椭圆于两点，且与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上任意一点，且，证明：为定值．17. 已知函数，．(1)若与都存在极值，且极值相等，求实数的值；(2)令，若有2个不同的极值点，求证：．18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知等差数列的前项和为，，___________，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数的部分图像如图所示，直线，是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数的解析式；(2) 若，，求的值．20. 已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．21. 已知函数，，其中．（1）讨论函数的极值；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．。
2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +2．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．384．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种6．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 27．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（ ） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 8． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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北京市人大附中高三数学基础练习题三
一．选择题：
1．若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合的一种分拆，并规定当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2， A 1）为集合的同一种分拆，则集合A ={1，2，3}的不同分拆种数为（ ） A ．27 B ．26 C ．9 D ．8 2．已知函数 y =f (x +1)+1 的图象经过点P （m ,n ），则函数y =f (x －1)－1的反函数图象必过点 （ ） A ．（n +2,m － 2） B ．(n －2,m +2) C ．(n ,m ) D ．(n ,m +2) 3．若,x R n N ∈∈，定义()()()121n
x M x x x x n =+++- ，例如：()()()3
443224M -=---=-，则
函数()11
5sin x f x M x -=的奇偶性是（ ）
A ．是偶函数不是奇函数
B ．是奇函数不是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
4．若1sin 26y x π⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭的图象按象量a 平移得到1sin 2y x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象,则向量a 等于( )
A ．,03π⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．函数()f x 的定义域为R ,且1x ≠,已知()1f x +为奇函数,当1x <时,()2
21f x x x =-+,那么当
1x >时, ()f x 的递减区间是( )
A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．71,4
⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在AB 上,且AM =
1
3
,点P 是平面ABCD 上的动点,且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线
7．下列各式中,对任意实数x 都成立的一个是 ( )
A ．2lg(1)lg(2)x x +≥
B ．212x x +>
C ．
2111x ≤+ D ．1
31
x x +≥- 8．已知点A ,B 是抛物线2
2y px =()0p >上原点以外的两动点,若0OA OB =
,则直线AB 交抛物线的对称轴于定点N 的坐标为 ( )
A ．(),0p
B ．,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,0p
D ．()4,0p 9．已知()()2cos f x x b ωϕ=++对于任意的实数x 有()4f x f x π⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭成立,且8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
1=-,则实
数b 的值为( )
A ．1±
B ．3±
C ．1-或3
D ．3-或1
10．设,l m 两条不同的直线，,αβ是不同的平面.命题P :若l β⊥,αβ⊥,则//l α；命题
q :l m ⊥,m α⊥,l α⊄,则//l α.对于下列复命题的真假性判断:
①p 且q 为假 ②p 或q 为真 ③p 或非q 为真 ④非p 且q 为真 ⑤非p 或非q 为真，其中所有正确的序号为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①②③④⑤
D ．①②④⑤ 二．填空题：
11．已知x 为正实数,设1u x x =+
，则1
u u
+的最小值为__________. 12．如图所示:某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足正弦曲()sin y A x ωϕ=+b +的表达式，则y =___________. 13．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则
()2f =________.
14．给定()()1log 2n n a n +=+()n N +∈,定义乘积12k a a a 为整数的()k k N +∈叫做希望数，则区间
[]1,2005内的所有希望数之和为________.
15．()f x 是R 上的增函数,A ()0,1-,B (3,1)是其图象上的两个点，那么()|1|1f x +≥的解集为 。
16．将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图)，在2处转第一个
弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…则转第100个弯处的数为__________.
x
1
2
34567910
11
12
13
14
1516
1718
19
2021
222324252627。