甘肃省天一中学高三数学一轮学案：模块1 函数与导数 第6讲 函数的表示法
甘肃省天一中学高三数学一轮学案：模块1 函数与导数 第5讲 映射与函数
第五讲 映射与函数一、知识梳理1.函数的概念：设A B 、是_____________，如果按某个确定的对应关系f ，使集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有_____________的数()f x 和它对应，那么就称f A B ：→为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中，x 叫做自变量，集合A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}C f x x A =∈叫做函数的值域，且C _______B .2.函数的三要素:____________、____________、_____________.3.函数的表示方法主要有：___________、____________、____________.4.映射的概念.（1）设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .（2）象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
二、同步练习1.设()f x =π，则(2)f =__________.2.已知函数()y f x =的定义域为[1,5]-,则函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数是_______.3.函数()f x 满足211()(3)1x x f x f x x + ≥⎧=⎨+ <⎩，则7()2f -=_________.4.设集合{|02},{|02}M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有 .x(x(x (x(5.已知下列四组函数，表示同一个函数的是（ ）A.0)(,1)(x x g x f == B.1)(,1)(2-=-=xx x g x x fC. 42)()(,)(x x g x x f ==D.393)(,)(x x g x x f ==6．设集合A =R ，集合B =正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是（ ） A.:f x y x →=B. :f x y →:3x f x y -→=D.()2:log 1f x y x →=+7. 函数253)(2+-=x x x f ，]2,0[∈x 的值域是（ ） A ．]4,2[ B ．),121[+∞-C ．]2,121[-D ．]4,121[- 8. 设函数22,(1)()2,(12)(2)2x x f x x x x x ⎧⎪+≤-⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩，则7()4f f ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ ．9.函数221)()12)22)x x f x x x x x + (≤-⎧⎪= (-<<⎨⎪ (≥⎩，若()3f x =，则x 的值为_________.10.已知函数f (x ), g (x )分别由下表给出则[(1)]f g 的值为________；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是_________. 11．设B A f →:是从集合A 到B 的映射，{}R y R x y x B A ∈∈==,),(，),(),(:b y kx y x f +→，若B 中元素（6，2）在映射f 下的原象是(3,1)，则b k ,的值分别为______.12.矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值．。
高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第6课__函数的表示方法 Word版含解析
____第6课__函数的表示方法____1. 了解构成函数的三要素，进一步理解函数的概念．2. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3. 掌握求解函数解析式的几种类型及常用方法．4. 了解简单的分段函数，并能简单地应用.1. 阅读：阅读必修1第33～34页．2. 解悟：①函数的表示方法有哪些？回顾例1并比较三种表示方法的优劣；②你能在书本中找到分段函数的定义吗？分段函数是一个函数还是多个函数？③如何求分段函数的值域或最值？④函数的解析式是函数的一种表示方法，那么求函数解析式，你知道哪些方法？3. 践习：在教材空白处，完成第35页练习第3题和习题第2、4题.基础诊断1. 已知函数f(x)＝11＋x，g(x)＝x 2＋2，则f(2)＝__13__；g(2)＝__6__；f(g(2))＝__17__；f(g(x))＝__1x 2＋3__． 解析：f(2)＝11＋2＝13； g(2)＝22＋2＝6； f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17； f(g(x))＝11＋x 2＋2＝1x 2＋3. 2. 已知函数 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x>0，2x ， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝__14__． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14. 3. 若f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，则f(x)＝x 2＋2x －2．解析：因为f(x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f(t)＝(t －1)2＋4(t －1)＋1＝t 2＋2t －2，故f(x)＝x 2＋2x －2.4. 若等腰三角形的周长是20，底边长y 是一腰长x 的函数，则y ＝__20－2x ，x ∈(5，10)__．解析：因为△ABC 是等腰三角形且周长为20，△ABC 的周长＝2×腰长＋底边长，所以20＝2x ＋y ，即y ＝20－2x.又y<2x<20，解得5<x<10，故y ＝20－20x ，x ∈(5，10)．5. 设二次函数f(x)的最大值是13，f(3)＝f(－1)＝5，则f(x)的解析式为__f(x)＝－2x 2＋4x ＋11__．解析：由题意可设f(x)＝a(x －1)2＋13，因为f(3)＝f(－1)＝5，所以a ×(－1－1)2＋13＝5，解得a ＝－2，所以f(x)＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11.范例导航考向❶ 求函数的解析式 例1 (1) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求函数f(x)的解析式．解析：(1) 设f(x)＝kx ＋b ，则由题意得3[k(x ＋1)＋b]－2[k(x －1)＋b]＝2x ＋17，即kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7， 所以f(x)＝2x ＋7.(2) 因为2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①用1x 代替x ，则2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝3x，② 由①×2－②得，4f(x)－f(x)＝6x －3x， 即3f(x)＝6x －3x ，所以f(x)＝2x －1x.(1) 已知f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，求函数f(x)的解析式；(2) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：(1) 由题意可设f(x)＝ax 2＋bx.因为f(x ＋1)－f(x)＝x ＋1，所以a(x ＋1)2＋b(x ＋1)－(ax 2＋bx)＝x ＋1，整理得2ax ＋a ＋b ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12，所以f(x)＝12x 2＋12x. (2) 由题意可知f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为f(x)＋g(x)＝x 2＋x ＋2，①所以f(－x)＋g(－x)＝x 2－x ＋2，即f(x)－g(x)＝x 2－x ＋2.②由①＋②得，2f(x)＝2x 2＋4，即f(x)＝x 2＋2，由①－②得，2g(x)＝2x ，即g(x)＝x ，所以f(x)＝x 2＋2，g(x)＝x.考向❷ 分段函数的解析式例2 如图是函数f(x)的图象，OC 段是射线，曲线OBA 是抛物线的一部分，试写出f(x)的函数表达式．解析：当x ≤0时，由图象过点(－2，－2)，(0，0)可知，直线OC 的斜率为1，所以射线OC 的函数表达式为y ＝x(x ≤0)；当x>0时，f(x)是二次函数，所以设f(x)＝a(x －1)2＋b.由图可知，则⎩⎪⎨⎪⎧a ×（1－1）2＋b ＝－1，a ×（2－1）2＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， 所以f(x)＝(x －1)2－1＝x 2－2x.故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<0，x 2－2x ， x ≥0.设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|.(1) 将f(x)写成分段函数，并作出y ＝f(x)的图象；(2) 解不等式f(x)>5，并求出f(x)的最小值．解析：(1) 当x ＋1<0，即x<－1时，x －2<0，所以f(x)＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1；当x ＋1≥0且x －2≤0，即－1≤x ≤2时，f(x)＝x ＋1－x ＋2＝3；当x －2>0，即x>2时，f(x)＝x ＋1＋x －2＝2x －1，所以y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x<－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x>2.函数图象为(2) 由题意可知，当x<－1时，1－2x>5，解得x<－2；当x>2时，2x －1>5，解得x>3， 所以f(x)>5的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．由图可知，f(x)的最小值为3.考向❸ 由不等式恒成立求函数解析式例3 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－2，0)且不等式2x ≤f(x)≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立．(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，求实数t 的取值范围．解析：(1) 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－2，0)，所以4a －2b ＋c ＝0.①因为不等式2x ≤f (x )≤12x 2＋2对∀x ∈R 恒成立， 所以当x ＝2时也成立，即4≤4a ＋2b ＋c ≤4，即4a ＋2b ＋c ＝4.②由①②求得b ＝1，4a ＋c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a ，所以2x ≤ax 2＋x ＋2－4a ≤12x 2＋2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x ＋2－4a ≥0，⎝⎛⎭⎫a －12x 2＋x －4a ≤0恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a （2－4a ）≤0，a －12<0，Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫a －12·（－4a ）≤0， 解得a ＝14，故c ＝1， 即函数f (x )的解析式为f (x )＝14x 2＋x ＋1. (2) 因为对∀x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )<f ⎝⎛⎭⎫x 3恒成立，即14(x ＋t ＋2)2<136(x ＋6)2恒成立，亦可化得⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22－x ＋66⎝⎛⎭⎫x ＋t ＋22＋x ＋66<0，解得－4x ＋123<t <－2x 3. 又因为x ∈[－1，1]，所以－83<t <－23， 故实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－83，－23.自测反馈1. 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f(x)＝33． 解析：因为f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1①，用1x 代替x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f(x)·1x－1②， 将②代入①得f(x)＝2⎝⎛⎭⎫2f （x ）·1x －1·x －1，化简得f(x)＝4f(x)－2x －1，即f(x)＝23x ＋13. 2. 若正比例函数f(x)满足f(f(x))＝4x ，则f(x)＝__±2x__．解析：根据题意可设f(x)＝kx ，因为f(f(x))＝4x ，所以k(kx)＝4x ，即k 2x ＝4x ，所以k 2＝4，解得k ＝±2，所以f(x)＝±2x.3. 已知f(x 2－1)＝x 4＋x 2－2，则f(x)＝__x 2＋3x(x ≥－1)__．解析：令x 2－1＝t(t ≥－1)，则x 2＝t ＋1，所以f(t)＝(t ＋1)2＋t ＋1－2＝t 2＋3t ，所以f(x)＝x 2＋3x(x ≥－1)．4. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a 的值为__－34__． 解析：因为a ≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．当a>0时，1－a<1<1＋a ，则f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a ，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a ，所以2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去)； 当a<0时，1＋a<1<1－a ，则f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－a －1，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2，所以－a －1＝3a ＋2，解得a ＝－34. 综上所述，a 的值为－34. 5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x<0，－x ＋1，0<x ≤1，则f(x)－f(－x)>－1的解集为__⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]__．解析：当－1≤x<0时，0<－x ≤1，所以f(x)－f(－x)＝－x －1－(x ＋1)>－1，即－2x －2>－1，解得x<－12. 又因为－1≤x<0，所以－1≤x<－12； 当0<x ≤1时，－1≤－x<0，所以f(x)－f(－x)＝－x ＋1－(x －1)>－1，即－2x ＋2>－1，解得x<32. 又因为0<x ≤1，所以0<x ≤1.综上所述，原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0，1]．1. 要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域，定义域是使式子有意义的x 的取值范围，同时也要注意变量的实际意义．2. 准确理解分段函数的定义、特点及应用．分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
高考数学一轮复习 2.2 函数的表示教案
高考数学一轮复习 2.2 函数的表示教案●知识梳理1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.复习目标（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域； （2）掌握求函数值域的几种常用方法；（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式； （4）会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性. ●点击双基1.（2004年春季安徽）若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于A.2－sin2xB.2+sin2xC.2－cos2xD.2+cos2x解析：∵f （sin x ）=2－（1－2sin 2x ）=1+2sin 2x ，∴f （cos x ）=f （sin 2π－x ）=1+2sin 2（2π－x ）=1+2cos 2x =2+cos2x . 答案：D2.（2004年湖北，3）已知f （x x+-11）=2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为A.21x x + B.－212x x+ C.212x x + D.－21x x + 解析：令x x +-11=t ，则x =t t +-11，∴f （t ）=122+t t .∴f （x ）=122+x x.答案：C评述：本题考查函数的定义及换元思想.3.（2005年春季北京，文2）函数f （x ）=|x －1|的图象是解析：转化为分段函数y =⎩⎨⎧<-≥-.1,1,1,1x x x x答案：B4.函数y=22++-x x 的定义域为______________，值域为___________________. 答案：［－1，2］ ［0，23］ ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 A.a ＞31 B.－12＜a ≤0C.－12＜a ＜0D.a ≤31 剖析：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0. 答案：B【例2】 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ. 根据余弦定理得 12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2， ① 12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2. ②由①＋②整理得y ＝2732+-x x .其中⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 解得21＜x ＜25.∴函数的定义域为（21，25）. 评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】 若函数f （x ）=cx ax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c .解：由y =f （x ）=cx ax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0.当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0.∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 评述：求f （x ）=11212222c x b x a c x b x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.●闯关训练 夯实基础1.函数y =2211xx +-的值域是 A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211x x +-=212x +－1.∵1+x 2≥1，∴0＜212x +≤2.∴－1＜y ≤1. 解法二：由y =2211xx +-，得x 2=y y +-11. ∵x 2≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1. 解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π， ∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B2.如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=___________________.解析：设f （x ）=kx +b ，则f ［f （x ）］=kf （x ）+b =k （kx +b ）+b =k 2x +kb +b . 由于该函数与y =2x －1是同一个函数，∴k 2=2且kb +b =－1.∴k =±2. 当k =2时，b =1－2；当k =－2时，b =1+2. 答案：f （x ）=2x +1－2或f （x ）=－2x +1+23.已知f （x 2－4）=lg 822-x x ，则f （x ）的定义域为__________.解析：设x 2－4=t ，则t ≥－4，x 2=4+t . ∴f （t ）=lg44-+t t .∴f （x ）=lg 44-+t x （x ≥－4）. 由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>-+,4,044x x x 得x ＞4.答案：（4，+∞）4.用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域.解：∵AB =2x ，则=πx ，AD =2π2xx l --. ∴y =2x ·2π2x x l --+22πx =－（2π+2）x 2+lx .由⎪⎩⎪⎨⎧-->2π2,02x x l x ＞0，解得0＜x ＜2π+l .5.（2005年北京市西城区模拟题）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________________；不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________.解析：f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5. 当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3. 总之x ∈（－5，5）.答案：－2 {x |－5＜x ＜5} 培养能力6.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010.7.设f （x ）=1214+-x x －2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）.解：∵f （m ）=2，∴1214+-m m －2m +1=2.①∴1214+-m m －2m =2－1.而f （－m ）=1214+---m m+2m +1=m m 212141⋅-+2m +1=12441+-⋅-m m m +2m +1=1241+-m m +2m +1=－1214+-m m + 2m +1=－（1214+-m m －2m ）+1=－（2－1）+1=2－2.8.（理）（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x .令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06. ∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.（文）（2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f （x ）=sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,01,00,01x x x 则不等式x +2＞（x －2）sgn x的解集是______________.解析：分类讨论.答案：（－5，+∞）探究创新9.图①是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.（1）试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义.（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：（1）点A 表示无人乘车时收入差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利.（2）图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.深化拓展（1）图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？ （2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？ 答案：（1）图①②中的票价是2元. 图（3）中的票价是4元. （2）斜率表示票价.●思悟小结1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数f ［g （x ）］的表达式来求f （x ），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.●教师下载中心 教学点睛1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学. 拓展题例 【例题】 已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域.解：设扇形的弧长为l ，则l =10－2r ，∴S =21lr =（5－r ）r =－r 2+5r . 由⎪⎩⎪⎨⎧<>>,π2,0,0r l l r 得1+π5＜r ＜5. ∴S =－r 2+5r 的定义域为（1+π5，5）.又S =－r 2+5r =－（r －25）2+425且 r =25∈（1+π5，π）， ∴当r =25时，S 最大=425. 又S ＞－52+5×5=0，∴S =－r 2+5r ，r ∈（1+π5，5）的值域为（0，425］.。
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用学案理
第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数是一种特殊的映射．( )(4)若A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝|x |，则对应f 可看作从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.4．下列图形中可以表示为以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ，B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ，D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 故a ＝±1. 答案：±16．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，即f (t )＝1t 2＋5t，∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函数的定义域基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.1．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．(2018·济南模拟)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________________．解析：要使函数f (x )有意义，则(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)[题型技法] 已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．考法(二) 抽象函数的定义域3．已知函数f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]4．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2][题型技法] 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[怎样快解·准解]1．如何避免失误(1)函数f (g (x ))的定义域指的还是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．(如第4题)(2)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．(如第2题)2．重要的知识结论要熟记常见基本初等函数定义域的基本要求： (1)分式函数中分母不等于零；(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0； (3)一次函数、二次函数的定义域均为R ； (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}；(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ； (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .考点二 求函数的解析式 重点保分型考点——师生共研函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求函数f (x )的解析式．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg2t －1， 又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ∈(1，＋∞)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [解题师说]1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．[冲关演练]1．(尝试用换元法解题)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1)，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．(尝试用待定系数法解题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：选A 设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .3．(尝试用配凑法解题)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1解析：选C f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1. 4．(尝试用解方程组法解题)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)． 答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数 题点多变型考点——追根溯源分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,1求值问题；,2求参数或自变量的值或范围.角度(一) 求值问题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －1＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.[题型技法] 求分段函数的函数值的方法求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．角度(二) 求参数或自变量的值(或范围)2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[题型技法]求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．[题“根”探求]看个性角度(一)是求分段函数的函数值；角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围找共性(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件； (2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题[冲关演练]1．已知f (x )＝{ log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A.()－∞，－3B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 若a <0，则f (a )<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.故选C.3．(2018·铜陵模拟)设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由已知得f (1)＝3，当x ≥0时，由f (x )>f (1)得x 2－4x ＋6>3， 解得0≤x <1或x >3.当x <0时，由f (x )>f (1)得x ＋6>3， 解得－3<x <0.综上所述，不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．(2018·濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．已知f (x )＝{ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴{ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得{ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．已知函数f (x )＝{ 2x，x ≤1，log 3x －1，x ＞1，且f (x 0)＝1，则x 0＝( )A ．0B ．4C ．0或4D ．1或3解析：选C 当x 0≤1时，由f (x 0)＝2x 0＝1，得x 0＝0(满足x 0≤1)；当x 0＞1时，由f (x 0)＝log 3(x 0－1)＝1，得x 0－1＝3，则x 0＝4 (满足x 0＞1)，故选C.7．函数f (x )＝ln(x ＋1)＋(x －2)0的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足{ x ＋1＞0，x －2≠0，解得x ＞－1且x ≠2，所以该函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．答案：(－1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：∵f (2)＝12，∴f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， ∴f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)9．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝{ 2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2＞0，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－310．已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由x 2＋1＝1，得x ＝0，由x 2＋1＝3，得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．3．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或{ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]5．(2018·锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________．解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lg t ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)，故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)6．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h. C 级——重难题目自主选做1．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.2．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x，x )≤4⇔2x－x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2， 解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.5．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.6.(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，log 12x ，x ＞1，则f (f (4))＝________.解析：依题意得f (4)＝log 124＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147.函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为________．解析：要使原函数有意义，则{ 2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜2，且x ≠1. 所以函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2)8.已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)9.如图，已知点A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为点B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4.又因为点A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x上，所以n ＝－2.又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，则{ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得{ k ＝2，b ＝2，即y ＝2x ＋2，所以反比例函数的解析式为y ＝4x，一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.10．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)解析：选Bf (f (x ))＝f (lg(1－x ))＝lg[1－lg(1－x )]，则{ 1－x ＞0，1－lg 1－x ＞0⇒－9＜x ＜1.2．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．设函数f (x )＝{ 3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a≥1， 所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞4．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}．答案：8 {1,2}5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x (吨)，3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x ＞4，45<x ≤43时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，x >43时，y ＝2×4×1.8＋3(5x －4)＋3(3x －4)＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎨⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45＜x ≤43，24x －9.6，x ＞43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．6.已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f (x )，若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f (m )＝f ([m ])，则称函数f (x )是Ω函数．(1)判断函数f (x )＝x 2－13x ，g (x )＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)；(2)已知f (x )＝x ＋a x，请写出a 的一个值，使得f (x )为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f (x )＝x 2－13x 是Ω函数，g (x )＝sin πx 不是Ω函数．(2)法一：取k ＝1，a＝32∈(1,2)，则令[m ]＝1，m ＝a 1＝32，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝f (1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2，k 2＋k )，令[m ]＝k ，m ＝a k ，则一定有m －[m ]＝a k －k ＝a －k 2k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．法二：取k ＝1，a ＝12∈(0,1)，则令[m ]＝－1，m ＝－12，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝f (－1)，所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2－k ，k 2)，令[m ]＝－k ，m ＝－ak ，则一定有m －[m ]＝－a k－(－k )＝k 2－a k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)增函数、减函数增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值 M 为函数y ＝f (x )的最小值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7] 6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性区间重点保分型考点——师生共研确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f x 的单调性相同．3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x－x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域最值基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]函数的值域最值是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域最值问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y 1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：1 52[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x>0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[]0，π，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12. 令t ＝1－2f x ， 则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________．解析：y ＝3x ＋1x －2＝3x －2＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－742x ＋1.∵－3≤x ≤－1，∴720≤－742x ＋1≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x>0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用题点多变型考点——追根溯源函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有： 1比较函数值的大小； 2解函数不等式；3利用单调性求参数的取值范围或值.。
《函数的表示方法》教案
《函数的表示方法》教案教学目标1、知识目标：(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化;(3)根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用.2、能力目标：(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重难点：重点：对函数图象的分析．难点：通过函数的解析式分析函数的图象．教学过程：一．复习引入1、函数的概念；2、函数的定义域和对应法则；问题1：初中时我们是如何作函数y = 2x + 1的图象的？师生互动:教师提出问题，学生思考后回答问题．设计意图：通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．二．概念形成投影出P38人口普查实例．问题2：所列表格能否表示一个函数？为什么？1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．问题3：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？2、图象法：如果图形F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．问题4：我们在作作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法． 师生互动：教师逐一提出问题，学生思考后回答，依次引入函数的三种常见的表示方法． 设计意图：通过生活中的实际问题，使学生进一步认识到，数学源于生活；通过对学生熟悉的问题1引入函数的三种常见的表示方法，使学生感受到本课所学的知识仅仅是以前所学知识的概括与深化．三．概念深化问题5：三种表示函数的方法各有优缺点．请你认真思考、对比，或与周围的同学研究、探讨一下，然后谈谈你的看法，供其他同学参考和借鉴．4、三种表示函数的方法各有优缺点：(1) 用解析法表示函数关系优点：简间明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算．(2) 用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．(3) 用图象法表示函数关系优点：形象直观．可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．师生互动：教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．设计意图：通过对函数三种表示方法的优缺点比较，使学生进一步理解概念，并在今后的学习中学会根据情况选择恰当的表示方法.四．应用举例例1作函数y 的图象．例2 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法
第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
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11.设 的解析式.
12.设 ，求 的解析式.
13.已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式；
14.已知 ，求 的解析式.
15.二次函数 满足 ，且 。
（1）求 的解析式；
（2）在区间 上， 的图象恒在 的上方，试确定 的范围。
第六讲函数的表示法---求解析式
一、知识梳理
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用 =。
7.若 是一次函数， 且，则 = _________________。
8．若一次函数y=f (x)在区间 上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____
9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)=___。
二、同步练习
1.若 的表达式为（）
A．2x+1 B．2x—1 C．2x—3 D．2x+7
2．已知 ，则函数 的解析式为（）
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
4.若函数 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( )
A．a=2,b=2 B．a= ,b=2 C．a=2,b=1 D．a= ,b=