黑龙江省哈尔滨三十二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

黑龙江省哈尔滨三十二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．不可能平行C．一定是相交D．不可能相交3．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3B．﹣2 C．2D．不存在4．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D．1015．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④7．已知x＞0，函数的最小值是（）A．5B．4C．8D．68．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．﹣89．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞010．圆（x﹣1）2+y2=1与直线的位置关系是（）A．直线过圆心B．相交C．相切D．相离11．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交12．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0二、填空题（每空4分，共16分）13．在△ABC中，已知a=1，b=，A=30°，则B等于．14．过点A（0，1），B（2，0）的直线的方程为．15．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1），则a5的值为．16．圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C 的方程为．三、解答题（共36分）17．求经过两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线l3：x﹣2y ﹣1=0直线l的方程．18．在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．19．如图：在三棱锥S﹣ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）若SA=SC，BA=BC，求证：平面SBD⊥平面ABC．20．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．黑龙江省哈尔滨三十二中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．解答：解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选D点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键2．已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．不可能平行C．一定是相交D．不可能相交考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线的位置关系进行判断即可．解答：解：∵a、b是两条异面直线，c∥a，∴c与b可能相交，可能是异面直线，不可能平行，若c∥b，∵a∥c，∴a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故选；B．点评：本题主要考查空间直线的位置关系的判断，比较基础．3．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3B．﹣2 C．2D．不存在考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果．解答：解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，故选B．点评：本题考查直线的斜率公式的应用．4．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D．101考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，由此能求出a51．解答：解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．点评：本题考查数列中第51项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．解答：解：S△ABC===．故选B．点评：本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．解答：解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A点评：本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．7．已知x＞0，函数的最小值是（）A．5B．4C．8D．6考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由于x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．解答：解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：B．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．8．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．﹣8考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．解答：解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．9．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选A．点评：此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．10．圆（x﹣1）2+y2=1与直线的位置关系是（）A．直线过圆心B．相交C．相切D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较，即判断直线与圆的位置关系．解答：解：因为圆（x﹣1）2+y2=1的圆心（1，0），半径为：1；直线，就是x﹣，所以，=＜1，所以直线与圆相交，故选B．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系的判断，一般有两种解答方法，一是本题的解答方法；二是解方程组法．11．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．解答：解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选D．点评：本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．12．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0考点：直线的一般式方程；两条平行直线间的距离．专题：计算题；待定系数法．分析：设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出c值，即得所求的直线的方程．解答：解：设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=﹣11，或c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是3x﹣4y﹣11=0，或3x﹣4y+9=0，故选B．点评：本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．二、填空题（每空4分，共16分）13．在△ABC中，已知a=1，b=，A=30°，则B等于60°或120°．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=，A=30°，∴由正弦定理=得到：=，即：=，解得sinB=．∵0＜B＜180°，∴B=60°或B=120°．故答案是：60°或120°．点评：本题主要考查解三角形，利用正弦定理是解决本题的关键，比较基础．14．过点A（0，1），B（2，0）的直线的方程为x+2y﹣2=0．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：可根据两点的坐标求出直线的斜率，然后写出直线方程即可．解答：解：该直线的斜率k==﹣，过（0，1），即可得到直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣0），化简得：x+2y﹣2=0，故答案为x+2y﹣2=0．点评：考查学生会根据两点坐标会求直线的斜率，会写出直线的方程．15．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1），则a5的值为20．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首相利用数列的前n项和公式，首先求出数列的前n﹣1项的和，进一步利用作差求出数列的通项公式，注意首项的验证．解答：解：数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1），则：当n≥2时，S n﹣1=2n（n﹣1）a n=S n﹣S n﹣1=2n（n+1）﹣2n（n﹣1）=4n当n=1时，a1=4满足a n=4n所以：数列{a n}的通项公式为：a n=4n则：a5=20故答案为：20点评：本题考查的知识要点：利用前n项和公式求数列的通项公式，利用通项公式求数列的项的值．16．圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C 的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．解答：解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣4），B（0，﹣2），∴由垂径定理得圆心在y=﹣3这条直线上．又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣7=0上，∴联立，解得x=2，∴圆心C为（2，﹣3），∴半径r=|AC|==．∴所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．故答案为（x﹣2）2+（y+3）2=5．点评：本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．三、解答题（共36分）17．求经过两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线l3：x﹣2y ﹣1=0直线l的方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：联立两个直线解析式先求出l1和l2的交点坐标，然后利用直线与直线l3垂直，根据斜率乘积为﹣1得到直线l的斜率，写出直线l方程即可．解答：解：解方程组，得交点（﹣2，2）．又由l⊥l3，且k3=，因为两直线垂直得斜率乘积为﹣1，得到k l=﹣2，∴直线l的方程为y﹣2=﹣2（x+2），即2x+y+2=0．点评：考查学生求两条直线交点坐标的方法，会利用两直线垂直时斜率乘积等于﹣1解题的能力，会根据一个点和斜率写出直线一般式方程．属于基础题．18．在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：法一：先在△ADC中用余弦定理求出∠ADC的余弦值，进而求出∠ADC，再根据互补求出∠ADB，然后在△ABD中用正弦定理就可求出AB的长；法二：先在△ADC中用余弦定理求出∠ACD的余弦值，在根据同角三角函数关系求出∠ACD的正弦，然后在△ABC中用正弦定理就可求出AB的长．解答：解：法一：在△ADC中，由余弦定理得：∵∠ADC∈（0，π），∴∠ADC=120°，∴∠ADB=180°﹣∠ADC=60°在△ABD中，由正弦定理得：法二：在△ADC中，由余弦定理得∵∠ACD∈（0，π），∴在△ABC中，由正弦定理得：故答案为：点评：法一和法二都考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，不同点在于第一步选择求的角不一样，导致了两种不同的解法．19．如图：在三棱锥S﹣ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）若SA=SC，BA=BC，求证：平面SBD⊥平面ABC．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）欲证EF∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC内一直线平行，而EF是△SAC的中位线，则EF∥AC．又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，满足定理所需条件；（Ⅱ）欲证平面SBD⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABC内一直线与平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面SBD，又AC⊂平面ABC，从而得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵EF是△SAC的中位线，∴EF∥AC．又∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（Ⅱ）∵SA=SC，AD=DC，∴SD⊥AC．∵BA=BC，AD=DC，∴BD⊥AC．又∵SD⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，SD∩DB=D，∴AC⊥平面SBD，又∵AC⊂平面ABC，∴平面SBD⊥平面ABC．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及面面的垂直的判定，同时考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．。