用线松弛方法求解条形域流场问题的网络并行方案_郭庆平

第19卷第2期 中南民族学院学报(自然科学版) Vol.19No.2 2000年6月 J ou rnal of South-Central Univ ersity for Nationalities(Nt.Sci.) J un.2000用线松弛方法求解条形域流场问题的网络并行方案郭庆平　高　洁　章社生(武汉交通科技大学)摘　要　提出了一个用线松弛法解决长矩形区域流场问题的网络并行方案,详细讨论了使用虚拟节点处理第2类边值条件的多重网格技术和斑马线松弛多重网格技术的并行化方法,给出了从计算方法到它的并行化的完整过程.此方案与传统的求解方案相比,有较好的收敛速度,并减少了通讯,在网络并行环境中取得了较高的加速比.关键词　各向异性;多重网格;虚拟节点;线松弛;并行化中图分类号　T P316　文献标识码　A　文章编号　1005-3018(2000)02-0006-06工程计算中,有大量的问题需要在长矩形区域上求解,各向同性问题在长矩形区域上求解时,会因在较长的方向上整体信息传递得慢而收敛得很慢.而如果将长矩形区域上的各向同性问题变换为各向异性问题,采用对各向异性问题收敛很快的线松弛方法,再结合多重网格这一高效算法,将会大大加快收敛速度.对于长矩形区域上的各向同性问题:2u x2+2uy2=0,0≤x≤10,0≤y≤1,在左边界u=1,在右边界有ux=1,上下边界满足uy=0.可以采用坐标变换,将其转换为如下的正方形区域上的各向异性问题:1002ux2+2uy2=0,0≤x≤1,0≤y≤1,在边界上条件不变.对于问题中的第2类边界条件,在应用多重网格技术的过程中,使用虚拟节点加以解决.网络并行是利用通用网络将一组高性能工作站或高档PC机,按某种结构连接起来,在并行程序设计以及可视化人机交互集成开发环境支持下,统一调度,协调处理,来实现并行处理.在网络并行计算中,由于网络上的通信开销比较大,特别是常用的以太网速率较低,并行计算时应尽量减少并行任务间的通讯.因此,在并行化过程中选择了斑马线松驰并行化方案,这一方案⒇收稿日期　2000-02-28作者简介　郭庆平,男,54岁,教授,武汉交通科技大学计算机系,武汉430063基金项目　国家自然科学基金资助项目(67993021)和英国皇家学会中英合作研究资助项目(Q724)能减少通讯,在网络并行环境中能取得较好的加速比.1　虚拟节点法多重网格法是一种高效的偏微分方程数值解法,它不仅能大大地减少计算量,其敛速也与步长无关.这一算法在细网上对方程进行松弛迭代,对方程的解有着强力光滑作用;然后将求解校正量的残差方程定义在粗网格层上,在粗网格上求解得校正量后经过插值再来校正细网格上的近似解.这样做,既可以使解的误差的高频部分在细网上得到较好的消除,又可使解的误差的低频部分在粗网上得到相应的处理,从而加快计算的整体收敛速[1～3].考虑具有第1类边界条件的边值问题:Lu=f,(x,y)∈K.u|K=T(x,y). 对于这类边界条件的边值问题,多重网格法在边界的处理是简洁明了的,在最细网格层,因边界值已知而直接使用松弛法改变内点的值,因边界点并未参与迭代,可以认为其校正量为零,限制到粗层作为残差方程的边界条件也为零,可以用以下两重网格离散算子形式描述这类问题:L h u h=f h,u h∈K h u h=T h,u h∈K h ;L HνH=d H,νh∈K H νH=0,νH∈K H. h<H,ν为校正量,d为残差,L h,L H为细、粗网格离散算子.对于大量的具有第2类边界条件的问题:Lu=f,(x,y)∈K,un|K=U(x,y).因其细网格边界点的值由迭代获得,它不仅有残差,还应有校正量,限制到粗网格层上时边界条件怎么给,如何处理其粗细网格上的边界点,文献上少有提及.利用虚拟边界预测法的启示,本文通过公式推导得出一种具有统一格式的方法.以两重网格为例,设网格区域的右边界上有:un|K=U(x,y),则在边界点u n,j外侧再增加一排虚拟节点u n+1,j,见图1(a),边界点u n,j满足偏微分方程的5点差分格式为:u n-1,j+u n+1,j-2u n,jh21+u n-1,j+u n+1,j-2u n,jh22=f n,j,(1)h1,h2分别为x,y方向的步长.在边界上用一阶中心差分离散得:u n=u n+1,j-u n-1,j2h1=U n,j,(2)将(2)式代入(1)式有:2u n-1,j+2h1U n,j-2u n,jh21+u n,j-1+u n,j+1-2u n,jh22=f n,j,(3)7第2期 郭庆平等:用线松弛方法求解条形域流场问题的网络并行方案 (a) (b)图1　粗、细网络层上的虚拟节点(3)式即补全了边界点g n,j处的差分方程.令u n,j为边界点的近似解,νn,j为其校正量,则u-n,j=u n,j+νn,j为偏微分方程的数值解,应满足:(u n-1,j+νn-1,j)+(u n+1,j+νn+1,j)-2(u n,j+νn,j)h21+　(u n,j-1+νn,j-1)+(u n,j+1+νn,j+1)-2(u n,j+νn,j)h22=f n,j,(4) (3)代入(4)式得:νn-1,j+νn+1,j-2νn,jh21+νn,j-1+νn,j+1-2νn,jh22= f n,j-u n-1,j+u n+1,j-2u n,jh21-u n,j-1+u n,j+1-2u n,jh22=d n,j,(5)由边界条件可得:(u n+1,j+νn+1,j)-(u n-1,j+νn-1,j)2h1=U n,j.(6)(2)代入(6)式得:νn+1,j-νn-1,j2h1=0.(7)由(7)式可知虚拟节点的校正量与其对应的内点校正量相同,从而可得残差方程的边界条件,即νn|K=0.给出残差方程的算子形式描述为:Lν=d,(x,y)∈K,νn|K=0.其两重网格离散算子形式描述为:L h u h=f h,u h∈K h L f h u h=U h,u h∈f h ;L HνH=d H,νH∈K H L f HνH=0,νH∈f h.在粗网格层,我们仍可采用增加一排虚拟节点的办法来处理,见图1(b),只是这时虚拟节点与边界点的间距为一个粗网格步长,我们也可以用类似的推导得到边界点校正量νN,j的迭代公8 中南民族学院学报(自然科学版)第19卷式,将粗网格层上相应的(7)式代入(5)式则有:2νN -1,j -2νN ,j H 21+νN ,j -1-νN ,j +1-2νN ,j H 22=d N ,j .(8)对于多重网格,其更粗层在增加虚拟节点后,仍可使用上述的算子描述和离散形式描述.2　各向异性的处理对于偏微分方程X 2u x 2+ 2u y 2=f,若X 1或X 1,则称方程具有各向异性.这类问题离散化后,某个方向上的点耦合得很紧,另一方向上则不是.若采用一般点松驰法,有效信息很快会在迭代中散失,必须使用线松驰法.设X 1,此时x 方向上的点耦合得紧密,因而应使用x 方向上的线松弛,即同时求解一条平行于x 轴的网格线上的所有点,求解时宜采用追赶法等直接法来解线松弛法构成的三对角方程组.在使用多重网格法时,应使用一种半粗化网格,即如果使用某一方向的线松弛,则只应对该方向的步长不断放大,反之亦然.相应的插值、限制算子也有所改变,如对于本例的半粗化网格K 2h ,其限制算子为I 2h h =14[1　2　1]2h h ,其插值算子为I h 2h =12[1　2　1]h 2h ,在每层粗网格上应使用与细网格相同的线松弛方式.3　分布式并行方案对于这类问题,当其区域面积或复杂性加大时,网格的划分必须更加细密,计算量也不断增加,这时,并行计算就是解决问题的必需途径.在并行化时,必须尽可能减少额外的通信开销.在线松弛中,斑马线松弛将迭代点集分成2个独立的子集,奇数线和偶数线先后处理,在并行处理的过程中可以减少大量的通讯,因而有良好的可并行性.下面给出斑马线松弛多重网格并行方法的概要:(1)将每层网格沿与线松驰方向垂直的方向划分成大小大致相同的几个子区域,并保证每个相邻子区域之间重叠一个步长(这个要求是为了减少任务间通讯量而设的).将每个子区域的计算分配给一个子任务.见图2.(2)在使用斑马线迭代时,各子任务只需计算本子区域内点的值,奇数线迭代完毕和偶数线迭代完毕各有一次任务间通讯,相邻的任务之间交换刚改变的外侧内点的值,即可及时获得各子区域的新边界值.(3)因使用这种子区域的划分方法,每个子任务的粗网格子区域内点均在其细网格子区域内,因而限制和插值都不需要通讯.(4)虽然网格层数越多,多重网格发挥的作用就越大,收敛得越快,但是,可以想象,到了较粗层后,计算量已大大减少,而通讯开销却没有减少,因而网格层数过大,也会降低程序的并行效率,增加程序执行时间,因而应引入一个控制量,来控制多重网格的网格层数,使得收敛速度与并行效率都较好,而在最短的时间内获得良好的数值解.9第2期 郭庆平等:用线松弛方法求解条形域流场问题的网络并行方案 图2　多重网格斑马线松驰并行方案(打○者为粗网格点)4　实测分析所采用的并行环境是基于LIN UX 系统的PV M软件,硬件组成为由10M 以太网电缆连的Pentium200微机.考虑在单位正方形区域内的偏微分方程100 2u x 2+ 2u y 2=0,在右边界满足 u x =1,上下边界满足 u y=0,左边界值为u = 1.首先分别采用GS 点松弛法、线松弛法、线松弛两重网格法和线松驰多重网格法求解方程,松弛中对边界条件的处理,采用前述的虚拟节点法.网格划分为33×33个点,中心点精确值为 6.0,当误差<0.0001时,中止迭代,表1反映了各种方法收敛速度的比较.表1　4种松弛方法的收敛速度比较GS线松弛线松弛两重网格线松弛多重网格(5层)收敛所需时间/s 3.770.370.060.04图3　多重网格斑马线松驰并行化方法的加速比然后,着重对上述多重网格斑马线松驰并行化方法中网格层数对加速比的影响进行了测试和分析.图3反映了此斑马线松弛多重网格并行化方案的加速特性.从图3中可以看出,在网格点数不变的情况下,加多网格的层数,虽然收敛速度在提高,但加速比和并行效率并不一定更高.这是因为此时在新增的粗网格层上计算量较小,而通讯开销却是不变的.实测的结果表明,随着网格点数的增加,计算量在逐渐增大,通过选择最佳网格层数,使通讯开销的增加与计算量的增加保持亚线性关系,可以获得收敛速度和加速度两方面都较好的结果.参　考　文　献[1]　H ackbusch W .M ultig rid M ethods a nd Applications .Springe r Se ries in Com putational M a th ema tics 4.New Yor k :Spring er V e rlag ,1985.39～44[2]　Hag eman L A ,Yo ung D M.Applied Itera tiv e M ethods.N ew Yo rk :Spring er V er lag ,1982.150～19710 中南民族学院学报(自然科学版)第19卷[3]　X u Z Q .Do main Decompositio n M ethod o f M ultigrid Distributed Co mputing .J o urnal o f N umerical Co m-putation,1996,(1):1～5N etwork Parallel Computing Approach of HydromechanicalProblem on Rectangle Domain Using Line-Relaxation Method Guo Qingping Gao Jie Zhang SheshengAbstract This paper pro po ses a netw ork parallel co mputing a pproach fo r hydro mechanica l problem on recta ng le do main using line-relaxa tion method.A m ultig rid method with v ir tua l nodes fo r the second kind bo undary condition and a pa rallel scheme o f zebra-line-relaxation m ultig rid technique a re discussed .This approach has a better conv erge ra te and less com mu-nicatio n,com mparing with traditional approaches;it ca n achieve a hig h speed-up on netwo rk parallel environment.Keywords no n -unifo rm ;multig rid ;virtual no de m ethod ;line -iteration ;pa rallelGuo Qingping Pro f.,Dept.o f Co mputer Science a nd Eng ineering,W uhan T ra nspor tation U niv e rsity ,W uha n 430063连续运行大系统联机测试至关重要第5届IEEE 国际联机测试会议于1999年7月5～7日在希腊的罗德岛召开,与会代表80余人.会上分12组报告了44篇论文,内容涉及:①FPGA 联机测试(3篇),②系统级联机测试(7篇),③联机测试和容错方法(3篇),④用于毫微米技术的联机测试(3篇),⑤内置自测试与低功耗(4篇),⑥内置自测试与边界扫描(3篇),⑦射线问题(4篇),⑧延时故障的联机测试和内置测试(3篇),⑨基于电流测试的模拟电路联机测试(3篇),10自校验和码分离电路(3篇),1可信性评估(4篇),12容错技术(4篇).此外,还安排了一次专题讨论会,题目是“连续运行大系统中的联机测试”和一个讲座,题目是“IC 中的射线影响”.当今社会,电子系统广泛影响着日常生活的各方面.系统复杂性正急剧增长,很多情况是实时或连续运行.这样,运行现场失效的联机测试,对于日常生活的福利和安全就至关重要.集成电路工艺的深亚微米和毫微米技术将引起更复杂的电路噪声.电路噪声和宇宙射线会引起瞬态故障,是毫微米技术的主要失效模式.在自顶向下的设计中,从寄存器传输级到电路设计级都应考虑瞬态故障容错.Ramesh Kar ri 等在文章“On-line Testing for Nanometer Techno logy -Based Telecomm unicatio n Systems ”中,较系统地论述了这个问题.对于实时或连续运行系统,则应从系统软硬件设计的各个层次考虑测试问题.联机测试目前多采用传统或进行一些改进的测试技术.对于此,Mo to ro la 的Lev endel 的文章“A Multi-Lev el Layered System Approach to On-line Testing ”值得一读.(严　肃)11第2期 郭庆平等:用线松弛方法求解条形域流场问题的网络并行方案 。