2021年高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例检测试题 新人教B版必修3
人教版数学高二-人教B版必修3优化训练 1.3 中国古代数学中的算法案例
1．有关辗转相除法下列说法正确的是( )A ．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法B ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式m ＝n q ＋r ，直至r ＜n 为止C ．基本步骤是用较大的数m 除以较小的数n 得到除式m ＝q n ＋r(0≤r ＜n )反复进行，直到r ＝0为止D ．以上说法皆错答案：C2．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)，由此可以看出12和16的最大公约数是( )A ．4B ．12C ．16D ．8答案：A3．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( )A ．15B ．17C ．51D ．85解析：选B.由更相减损之术可得．4．秦九韶的算法中有几个一次式，若令v 0＝a n ，我们可以得到⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋ (k ＝1,2，…，n )．答案：a n －k5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2＋0.35x ＋1.8x 2－3.66x 3＋6x 4－5.2x 5＋x 6在x ＝－1.3的值时，令v 0＝a 6；v 1＝v 0x ＋a 5；…；v 6＝v 5x ＋a 0时，v 3的值为________．答案：－22.445一、选择题1．在等值算法(“更相减损术”)的方法中，其理论依据是( )A ．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数B ．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数C ．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同D ．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同答案：B2．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为( )A ．运算速率快B ．能计算出π的精确值C ．“内外夹逼”D ．无限次地分割解析：选C .割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．3．使用秦九韶算法求p (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0在x ＝x 0时的值时，做加法与乘法的次数分别为( )A．n，n B．n，n(n＋1)2C．n,2n＋1 D．2n＋1，n(n＋1)2答案：A4．用辗转相除法计算60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵60＝48×1＋12,48＝12×4＋0，故只需要两步计算．5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为()A．－57 B．220C．－845 D．3392解析：选B.v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220.6．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是() x＝input(“x＝”)；y＝input(“y＝”)；m＝x；n＝y；w hile m/n＜＞int(m/n)c＝m－int(m/n)*n；m＝n；n＝c；enddisp(n)A．求x，y的最小公倍数B．求x，y的最大公约数C．求x被y整除的商D．求y除以x的余数答案：B二、填空题7．168,56,264的最大公约数为________．解析：法一：采用更相减损之术求解．先求168与56的最大公约数：168－56＝112,112－56＝56，因此168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数：264－56＝208，208－56＝152，152－56＝96, 96－56＝40，56－40＝16, 40－16＝24，24－16＝8, 16－8＝8，故8是56与264的最大公约数，也就是三个数的最大公约数．法二：采用辗转相除法.先求168与56的最大公约数，∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数，∵264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2，故56与264的最大公约数是8.因此168,56,264的最大公约数是8.答案：88．用秦九韶算法求f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为________．解析：f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.答案：((x－3)x＋2)x－119．已知n次多项式P n(x)＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n.如果在一种算法中，计算x k0(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，P k＋1(x)＝xP k(x)＋a k＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要________次运算．解析：计算3(x0)时为P3(x0)＝a0x30＋a1x20＋a2x0＋a3，其中x k0需k－1次乘法，∴a n－k·x k0共需k次乘法．上式中运算为3＋2＋1＝6次，另外还有3次加法，共9次．由此产生规律：当计算P10(x0)时有P10(x0)＝a0x100＋a1x90＋…＋a10.计算次数为10＋9＋8＋…＋1＋10＝10×(10＋1)2＋10＝65.第2个空中需注意P3(x0)＝x0·P2(x0)＋a3，P2(x0)＝x0·P1(x0)＋a2，P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.显然P0(x0)为常数不需要计算．∴计算为每次一个乘法运算和一个加法运算，共需3×2＝6次．由此运用不完全归纳法知P10(x0)＝x0·P9(x0)＋a10，P9(x0)＝x0·P8(x0)＋a9，…，P1(x0)＝x0·P0(x0)＋a1.其中共有10×2＝20个运算过程．答案：6520三、解答题10．用秦九韶算法求多项式函数f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324，故x＝3时，多项式函数f(x)的值为21324.11．求两正整数m，n(m＞n)的最大公约数．写出算法、画出程序框图，并写出程序．解：算法如下：S1输入两个正整数m，n(m＞n)；S2如果m≠n，则执行S3，否则转到S6；S3将m－n的差赋予r；S4如果r≠n，则执行S5，否则转到S6；S5若n＞r，则把n赋予m，把r赋予n，否则把r赋予m，重新执行S2；S6输出最大公约数n.程序框图如图所示．程序如下：12．现有长度2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？解：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数；要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．用“等值算法”求得 2.4和 5.6的最大公约数：(2.4，5.6)→(2.4,3.2)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．。
人教版数学高一B版必修31.3中国古代数学中的算法案例
预习导航1．理解中国古代三个问题(求最大公约数、割圆术、求多项式函数值)的算法．2．注意体会“更相减损之术”与“辗转相除法”的差异，以及秦九韶算法在求多项式函数值上的优越性．1．求两个正整数的最大公约数的算法(1)“等值算法”在我国古代也称为更相减损之术，它是用来求两个正整数的最大公约数的方法，其基本过程是：对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则所得数就是所求的最大公约数．(2)辗转相除法(即欧几里得算法)：是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．(1)用“等值算法”求两数的最大公约数时，是当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数．(2)求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得．【做一做1】用辗转相除法求168与72的最大公约数，要做n次除法运算，那么n为()A．2 B．3 C．4 D．5答案：A2．割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法．他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出的圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位．3．秦九韶算法(1)秦九韶算法是我国宋代数学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法．(2)秦九韶算法适用一般的多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的求值问题．用秦九韶算法可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求v0＝a nv1＝a n x＋a n－1v2＝v1x＋a n－2v3＝v2x＋a n－3……v n ＝v n －1x ＋a 0(3)直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次；逐项求和法所用的乘法次数为2n －1，加法次数为n ；秦九韶算法所用的乘法次数为n ，加法次数为n . 知识拓展 ①秦九韶算法很多文献称之为霍纳算法．②用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得．【做一做2－1】 用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1当x ＝3时的值，先算的是( )A ．3×3＝9B ．0.5×35＝121.5C ．0.5×3＋4＝5.5D ．(0.5×3＋4)×3＝16.5解析：把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1，按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值，故选C.答案：C【做一做2－2】 根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．a n x ＋a n －1B ．(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．(a n x ＋a n －1)xD ．a n x ＋a n －1x 解析：根据秦九韶算法知，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 1＝a n x ＋a n －1，故应选B.答案：B。
人教新课标版数学高一B版必修3规范训练 1.3 中国古代数学中的算法案例
1.3中国古代数学中的算法案例双基达标(限时20分钟)1．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是()．A．准确值B．近似值C．循环小数D．有理数答案 B2．利用秦九韶算法求P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时P(x0)的值，需做加法和乘法的次数分别为()．A．n，n B．n，n（n＋1）2C．n，2n＋1 D．2n＋1，n（n＋1）2解析由秦九韶算法知P(x0)＝(…((a n x0＋a n－1)x0＋a n－2)x0＋…＋a1)x0＋a0)，上式共进行了n次乘法运算和n次加法运算．答案 A3．294和84的最大公约数是________．解析294÷2＝147，84÷2＝42147－42＝105，105－42＝6363－42＝21，42－21＝21∴294与84的最大公约数为21×2＝42.答案424．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为__________．解析∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.答案先除以2，得到18与675．设a，b为两正整数，下面程序的功能是________．a＝input(“a＝”)；b＝input(“b＝”)；s＝a*b；while a＜＞bif a＞ba＝a－belseb＝b－aendendn＝s/a；print(%io(2)，n)；答案求a，b的最小公倍数6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7v1＝7×3＋6＝27v2＝27×3＋5＝86v3＝86×3＋4＝262v4＝262×3＋3＝789v5＝789×3＋2＝2 369v6＝2 369×3＋1＝7 108v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.综合提高（限时25分钟）7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是()．A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6＝34.答案 D8．五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－12，用秦九韶算法求f(－2)等于()．A．－1972 B.1972C.1832D．－1832解析∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－1 2，∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－1 2＝－1972.答案 A9．用更相减损术求459和357的最大公约数，需减法的次数为________．解析使用更相减损术有：459－357＝102；357－102＝255；255－102＝153；153－102＝51；102－51＝51，共作了5次减法．答案 510．自然数1 426和1 581的最小公倍数为________．解析先利用更相减损术得两数的最大公约数为31，再计算1 426×1 58131即得最小公倍数．答案72 726π11．写出“用圆外切正多边形的周长逼近圆的周长的方法，求出圆周率π的近似值”的程序．解用正n边形的周长求π的近似值的程序为：k＝input(“k＝”)；//输入迭代次数n＝6；x＝1；L＝6；for i＝1：1：kh＝sqrt(1－(x/2)^2)；L＝2*sqrt(1/4＋((1－h)/x)^2)*L；n＝2*n；x＝sqrt((x/2)^2＋(1－h)^2)；endprint(%io(2)，n，L/2)；12．(创新拓展)现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？解为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6，2.4)→(3.2，2.4)→(0.8，2.4)→(0.8，1.6)→(0.8，0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．。
【步步高】高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例基础过关训练 新人教B必修3
§1.3 中国古代数学中的算法案例一、基础过关1．自然数8 251和6 105的最大公约数为 ( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于 ( )A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与 1 855,1 120的最大公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为______________．6．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是割圆术、更相减损之术、秦九韶算法等，其功能与欧几里得算法相同的是______________．7．求210与98的最大公约数．8．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64当x ＝2时的值．二、能力提升9．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为 ( ) A．10 B．9C．12 D．810．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( ) A．27 B．11C．109 D．3611．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为________．12．求三个数168,54,264的最大公约数．三、探究与拓展13．用秦九韶算法求f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8中x＝5时f(x)的值．§1.3中国古代数学中的算法案例1．A 2.A 3.D 4.C5．134－36＝986．更相减损之术7．解∵(210,98)→(112,98)→(14,98)→(84,14)→(70,14)→(56,14)→(42,14)→(28,14)→(14,14)，∴210与98的最大公约数为14.8．解将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.9．C [∵f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.]10．D [将函数式化成如下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.]11．220解析v4＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋a3)x＋a2，把a6＝3，a5＝5，a4＝6，a3＝79，a2＝－8，x ＝－4代入可得v4＝220.12．解∵(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→( 6,18)→(6,12)→(6,6)，∴168和54的最大公约数为6.∵(54,264)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(54,48)→(48,6)→(42,6)→…→(6,6)，∴54和264的最大公约数为6.故168,54,264的最大公约数为6.13．解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x＋(－2.6))x＋1.7)x－0.8，按从内向外的顺序依次计算一次多项式x＝5时的值．v0＝5，v1＝5×5＋2＝27，v2＝27×5＋3.5＝138.5，v3＝138.5×5－2.6＝689.9，v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2，v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2. 所以当x＝5时，f(x)的值为17 255.2.。
高中数学 1.3《算法案例》同步测试 新人教版必修3
1. （1）将101111011（2）转化为十进制的数；（2）将53（8）转化为二进制的数.2. 用冒泡排序法将下列各数排成一列：8，6，3，18，21，67，54.并写出各趟的最后结果及各趟完成交换的次数.3. 用秦九韶算法写出求f（x）=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5在x=－0.2时的值的过程.4. 我国《算经十书》之一《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？答曰：二十三.”你能用程序解决这个问题吗？5. 我国古代数学家张邱建编《张邱建算经》中记有有趣的数学问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”你能用程序解决这个问题吗？6. 写出用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，1.5］上的一个解的算法（误差不超过0.001），并画出相应的程序框图及程序.参考答案 1. 解：（1）101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379.（2）53（8）=5×81+3=43. 余数4321105212222220110101∴53（8）=101011（2）.2. 每一趟都从头开始，两个两个地比较，若前者小，则两数位置不变；否则，调整这两个数的位置.解：第一趟的结果是：6 3 8 18 21 54 67完成3次交换.第二趟的结果是：3 6 8 18 21 54 67完成1次交换.第三趟交换次数为0，说明已排好次序，即3 6 8 18 21 54 67.3. 先把函数整理成f （x ）=（（（（0.00833x +0.04167）x +0.16667）x +0.5）x +1）x +1，按照从内向外的顺序依次进行.x =－0.2a 5=0.00833 V 0=a 5=0.008333a 4=0.04167 V 1=V 0x +a 4=0.04a 3=0.016667 V 2=V 1x +a 3=0.15867a 2=0.5 V 3=V 2x +a 2=0.46827a 1=1 V 4=V 3x +a 1=0.90635a 0=1 V 5=V 4x +a 0=0.81873∴f （－0.2）=0.81873.4. 设物共m 个，被3，5，7除所得的商分别为x 、y 、z ，则这个问题相当于求不定方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=27,35,23z m y m x m 的正整数解.m 应同时满足下列三个条件：（1）m MOD 3=2；（2）m MOD 5=3；（3）m MOD 7=2.因此，可以让m 从2开始检验，若3个条件中有任何一个不成立，则m 递增1，一直到m 同时满足三个条件为止.程序：m =2f =0 WH ILE f =0 I F m MOD 3=2 AND m MOD 5=3AND m MOD 7=2 THENPRINT “物体的个数为：”；mf =1ELSEm =m +1END IFWENDEND5.设鸡翁、母、雏各x 、y 、z 只，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②，①，100100335z y x z y x由②，得z =100－x －y ， ③ ③代入①，得5x +3y +3100y x --=100， 7x +4y =100. ④求方程④的解，可由程序解之.程序：x =1y =1WHILE x ＜=14WHILE y ＜=25IF 7*x+4*y=100 THENz=100－x－yPRINT “鸡翁、母、雏的个数别为：”；x，y，zEND IFy=y+1WENDx=x+1y=1WENDEND（法二）实际上，该题可以不对方程组进行化简，通过设置多重循环的方式得以实现.由①、②可得x最大值为20，y最大值为33，z最大值为100，且z为3的倍数.程序如下：x=1y=1z=3WHILE x＜=20WHILE y＜=33WHILE z＜=100IF 5*x+3*y+z/3=100 ANDx+y+z=100 THENPRINT “鸡翁、母、雏的个数分别为：”；x、y、zEND IFz=z+3WENDy=y+1z=3WENDx=x+1y=1WE NDEND6. 用二分法求方程的近似值一般取区间［a，b］具有以下特征：f（a）＜0，f（b）＞0. 由于f（1）=13－1－1=－1＜0，f（1.5）=1.53－1.5－1=0.875＞0，所以取［1，1.5］中点25.11=1.25研究，以下同求x2－2=0的根的方法. 相应的程序框图是：开始a =1b =1.5c =0.001是是是否否否f a a a ()= --1f x x x ()= --1f x ()=0?f a f x ()()＜033x =a b +2a x =b x=a b -＜c ?输出x程序：a =1b =1.5c =0.001 DO x =（a +b ）/2f （a ）=a ∧3－a －1 f （x ）=x ∧3－x －1IF f （x ）=0 THENPRINT “x =”；xELSEIF f （a ）*f （x ）＜0 THEN b =xELSEa=xEND IFEND IFLOOP UNTIL ABS（a－b）＜=c PRINT “方程的一个近似解x=”；x END。
2021年高中数学 1.3 算法案例课后习题新人教版必修3
2021年高中数学 1.3 算法案例课后习题新人教版必修3 1.用辗转相除法求840与1785的最大公约数：2.用更相减损术求612与468的最大公约数：3.求多项式()765432765432f x x x x x x x x=++++++当的值.4.以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )A.312B.10110C.82D.74575.用秦九韶算法和直接算法求当时()654323126016024019264f x x x x x x x=-+-+-+的值,做的乘法次数分别为( )A.6,20B.7,20C.7,21D.6,216.下列各数中最小的数是( )A. B. C. D.7.将389化成四进位制数的末位是( )A. 1B. 2C. 3D. 08.三个数72,120,168的最大公约数是____________________.:9.将二进制数化为十进制结果为___________；再将该数化为八进制数,结果为________________.10.若六进数化为十进数为12710,则,把12710化为八进数为____________.11.完成下列进位制之间的转化.=_____________=_____________=_________=_____________=_________ =_________12.试设计求两个正整数m,n的最大公约数的程序.13.已知=,求r.32378 7E7A 繺9@36928 9040 遀30592 7780 瞀Rr 28806 7086 炆k%25681 6451 摑v=。
高中数学人教B版必修3练习1.3 中国古代数学中的算法案例 课下检测 Word版含解析
一、选择题．用更相减损之术可求得与的最大公约数是( )．．．．解析：－＝－＝－＝－＝－＝－＝－＝，∴为与的最大公约数．答案：．(·大庆高一检测)使用秦九韶算法求()＝＋－－＋…＋＋当＝的值时可减少运算次数，做加法和乘法的次数最多分别是( )．，．，．＋．＋，解析：根据秦九韶算法，次多项式最多需次乘法和次加法．答案：．用秦九韶算法计算多项式()＝＋－＋＋＋＋在＝－时的值时，的值为( )．－．．－．解析：＝，＝×(－)＋＝－，＝(－)×(－)＋＝，＝×(－)＋＝－.答案：．用秦九韶算法计算多项式()＝＋＋＋＋＋＋在＝时的值时，需做加法和乘法的次数和是( )．．．．解析：根据秦九韶算法以及函数解析式特点可知，需做乘法次数是，加法次数是，故乘法与加法的次数和是.答案：二、填空题．三个数的最大公约数为．解析：与的最大公约数是能整除，所以的最大公约数是.答案：．用更相减损之术求与的最大公约数时，要进行次减法运算．解析：－＝－＝－＝，共进行了次减法运算．答案：．若()是不超过的最大整数(如()＝，()＝)，则下列程序的目的是．”＝”(；＝(”＝”(；, ＝；, ＝；＜＞((, ＝－((*；, ＝；, ＝；))答案：求、的最大公约数．已知一个次多项式()＝＋－＋－，用秦九韶算法求当＝时多项式的值，可把多项式写成如下的形式．解析：本题中，项不存在，可把该项看作·.答案：((((＋)＋)－)＋)－三、解答题．求的最大公约数．解：先利用更相减损术求与的最大公约数：－＝；－＝；－＝.()→()→()→()所以与的最大公约数为.然后求与的最大公约数：易得与的最大公约数为.所以、、的最大公约数为.．求()＝＋＋＋＋当＝时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()＝＋＋·＋＋·＋·＋＋＝((((((＋)＋)＋)＋)＋)＋)＋.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当＝时的值：＝；＝×＋＝；＝×＋＝；＝×＋＝；＝×＋＝；＝×＋＝；＝×＋＝；＝×＋＝.∴当＝时，多项式的值为.。
(教师用书)高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例配套课件 新人教B版必修3
●教学建议 充分发挥学生的主体作用和教师主导作用， 采用启发式， 并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从现象到本 质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学 生抽象思维能力和逻辑推理能力． 通过各种教学媒体(计算机) 调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.了解割圆术中无限逼近的数学思 想． 2.理解更相减损之术的含义，了解 其执行过程．(重点) 3.掌握秦九韶算法的计算过程，并 了解它提高计算效率的实质．(难 点、易错点)
求两个正整数最大公约数的算法
【问题导思】 1．如何求 18 与 54 的最大公约数？
【提示】 短除法． 2． 要求 6 750 与 3 492 的最大公约数， 上述法还好用吗？ 【提示】 数值太大，短除法不方便用．
1.3
中国古代数学中的算法案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解割圆术中无限逼近的数学思想． (2)理解更相减损之术的含义，了解其执行过程． (3)掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率 的实质．
2．过程与方法 (1)对比用辗转相除法与更相减损之术求两数的最大公约 数的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体 会数学的严谨． (2)模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙．了 解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法 与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用． (3)领会数学算法并与计算机处理相结合式，初步掌握把 数学算法转化成计算机语言的一般步骤．
(1)更相减损之术(等值算法) 用两个数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小的数 构成新的一对数，对这一对数再用大数 减小数 ，以同样的操作 一直做下去， 直到产生一对相等的数 ， 这个数就是最大公约数． (2)辗转相除法(欧几里得算法) 用较大的数除以较小的数所得的 余数和 较小的数构成新 的一对数，继续做上面的除法，直到 大数被小数除尽 ，这 个较小的数就是最大公约数.
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修3
一、选择题
1．在秦九韶算法中用到的一种方法是( )
A．消元B．递推
C．回代D．迭代
[答案] B
[解析] 秦九韶算法中用到的是递推法．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( ) A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11
[答案] D
[解析] f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x －11＝((x －3)x ＋2)x －11，故选D. 4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( ) A ．15 B ．17 C ．51 D ．85
[答案] B
[解析] 204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17，
∴204和85的最大公约数是17，故选B. 5．根据递推公式⎩⎨
⎧
v 0＝a n
v k ＝v k －1x ＋a n －k
，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，
v 2的值为( )
A ．v 2＝a n x ＋a n －1
B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2
C ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x
D ．v 2＝a n x ＋a n －1x
[答案] B
[解析] 根据秦九韶算法知，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 1＝a n x ＋a n －1，故选B.
6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5
＋4x 4
－3x 2
＋x －1，当x ＝3时的值时，先算的是( )
A ．3×3
B ．0.5×35
C ．0.5×3＋4
D ．(0.5×3＋4)×3
[答案] C
[解析] 把多项式表示成如下形式：
f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1，按递推方法，由内往外，先算
0.5x＋4的值，故选C.
二、填空题
7．117与182的最大公约数等于________．
[答案] 13
[解析] (117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.
8．245与75两数的最小公倍数为________．
[答案] 3 675
[解析]先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．
故245与75的最大公约数为5，
∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675.
三、解答题
9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数．
[解析] 319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.
即
(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.
一、选择题
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为( )
A．－57 B．220
C．－845 D．3 392
[答案] B
[解析] 由秦九韶算法，得
v
＝3，
v
＝3×(－4)＋5＝－7，
1
v
＝－7×(－4)＋6＝34，
2
v
＝34×(－4)＋79＝－57，
3
v
＝－57×(－4)－8＝220.
4
2．三个数390、455、546的最大公约数是( )
A ．65
B ．91
C ．26
D ．13
[答案] D
[解析] 对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.
3．已知f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －1
2
，用秦九韶算法求f (－2)等于( )
A ．－197
2
B ．
197
2 C ．1832
D ．－1832
[答案] A
[解析] ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －1
2
，
∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972
. 4．用“更相减损之术”求120与75的最大公约数时，需要做减法运算的次数为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
[答案] C
[解析] ∵(120,75)→(45,75)→(45,30)→(15,30)→(15,15)，
∴120与75的最大公约数是15，共进行4次减法运算．
二、填空题
5．4 830与3 289的最大公约数为________．
[答案] 23
[解析] (4 830,3 289)→(1 541,3 289)→(1 541，1 748)→(1 541,207)→(1 334,207)→(1
127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92, 115)→(92,23)→(69,23)→(46,23)→(23,23)．
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值的算法：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步：f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法、5次加法．
④需要计算9次乘法、5次加法．
以上说法中正确的是________(填序号)．
[答案] ②③
[解析] ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确．
三、解答题
7．求1 356和2 400的最小公倍数．
[解析](1 356,2 400)→(1 356,1 044)→(312， 1 044)→(312,732)→(321,420)→(312，108)→(204,108)→(96,108)→(96,12)→…→(12,12)．
∴1 356和2 400的最大公约数为12.
∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x ＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v t＝v5x＋a0，求v3的值．[解析] f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，v0＝1，v1＝
v
0x－5＝－6，v
2
＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝－15.
9．有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147 g,343 g,133 g，现要将它们
分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每个小瓶最多装多少溶液？
[解析] 每个小瓶内溶液的质量应是147,343,133三种溶液质量的公约数，最大质量即是其最大公约数.
先求147和343的最大公约数．
343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，
所以147和343的最大公约数是49.
再求49和133的最大公约数．
133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14，
35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以49和133的最大公约数是7.
所以147,343,133的最大公约数是7，
即每个小瓶最多装7 g溶液．,40148 9CD4 鳔R31580 7B5C 筜32920 8098 肘24074 5E0A 帊39171 9903 餃!31134 799E 禞P= ~>35599 8B0F 謏。