称为总体参数的区间估计

• 一、抽样误差
由于总体的个体之间存在着差异，使得样本指标与总 体指标之间有差异，这种误差称为抽样误差。
• 抽样误差的来源总体内个体之间的差异。
例如，在上例中师大男生的平均身高如果是 μ=168cm，则估计误差为2cm，这是由抽样误差造成的， 抽样误差来自于各学生的身高差异。估计误差的大小与抽 样误差大小有关。
二、标准误
(standard error，SE）
（一）标准误的概念
若总体 x ~ N (u, 2 )是反映样本均数抽样误 或总体分布不明但样本含量很大 时，样本平均数服从或近似服从正态分布， 差大小的指标。 2 即 ： x ~ N (u, ) n x 的离散程度反映了抽样误差的大小， 定义：样本均数的标准差称为均数的标准差，又称标准误。
• 在例1利用点估计的方法，得到平均身高的估计值 为显然存在误差，但误差究竟有多大？还是不知 道。 • 因此，若能估计出平均身高所在范围，并给出相 应的可靠性程度则更现实，实用价值更大，这就 是区间估计。
一、基本概念
（一）区间估计：具体如前述。 • 简单地说就是用一个区间去估计未知参数， 把未知参数估计在某两个界限之间。 （二）置信区间： • 按照预先给定的概率（1- α ）确定的包含 未知总体参数的可能范围。它是以上下置 信限（L1 , L2）为界。
可见，确定区间估计很关键的是要寻找 一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未 知参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
参数估计的基本方式
• 点估计（point estimation）
• 区间估计（interval est计
设总体为
X ~ N (u, 2 ), ( x1x2 xn )为样本观测值。
点估计的方法：利用样本特征数去估计总体特征数 。
ˆx 例如： u
ˆ S
X P{| | u 2 } 1 n
为什么 这样取？
对给定的置信水平1 , 查正态分布表得 u 2 , 使
X P{| | u 2 } 1 n
P{ X
从中解得

n u 2 X

n
u 2 } 1
P{ X 1
x 记作 ：
x

n
（二）标准的计算
• 总体标准差σ一般是未知的，应用中以样本 标准差 S 近似代替，从而可得标准误的计 算公式 。 S
Sx n
例如，例1中标准误为： S S 5 0.707 x n 50
第三节 总体均数的区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
第六章
参数估计
（parameter estimation）
安徽师范大学体育学院
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概 述
• 用样本统计量的来估计相应总体参数，称 为参数估计。 • 判断估计量优劣的标准
无偏性 有效性 一致性 充分性
•
以样本统计量的抽样分布（概率分布） 用某一样本统计量的值来估计相应总体参 为理论依据，按一定概率要求，由样本 用样本对总体的未知参数进行估计的方法 数的值叫总体参数的点估计。 统计量的值估计总体参数值的所在范围， 常见的有两种 : 称为总体参数的区间估计。
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ
P{1 2 } 1
ˆ ,ˆ ] 就是 的100(1 )％的置信区间. 则[ 1 2
一、基本概念 （三）置信概率： • 又称置信水平或置信度，指在区间估计中， 预先选定（规定）的概率。用 1-α表示。常 取95%或99%。 （四）显著性水平： • 在使用置信区间作估计时，被估计的参数 不在该区间内的概率。用α表示。一般α取 值要求较小。
要点
置信区间表达了区间估计的精确性。 置信概率（1-α）表达了区间估计的可 靠性。它是区间估计的可靠概率。 显著性水平α表达了区间估计的不可靠 的概率。
例1： 为了考察安师大男生的身高状况，随机抽测50人得到 x 170cm, S 5cm
试估计师大男生的平均身高和标准差。
解：
在上例中安师大男生平均身高的估计值是170cm，但其 真正的平均身高是否就是170cm? 未必就是，这里面存在误差。 那么这种误差是如何产生的呢？
第二节 抽样误差和标准误
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
置信水平是多少？ 一个良好估计.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平1 , 查正态分布表得 u 2 , 使

n
u 2 X

n
u 2 }
于是所求 的 置信区间为
[X

n
u 2 , X

n
u 2 ]
也可简记为
X

n
u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 称S(T, )为枢轴量.
2 （一） μ 未知， 已知, 时 二、置信区间的计算
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解： 明确问题 选 的点估计为 X 寻找未知参数的 ,是求什么参数的置信区间 ?
X 取 U ~N(0, 1) n