2017届高三数学(理)一轮总复习(人教通用)板块命题点专练：7平面向量与复数.doc
2017届高三数学一轮总复习(新课标)课件：第四章三角函数、平面向量与复数 第26讲
【基础检测】
1.在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，且A→C·B→D＝0，
则四边形 ABCD 是( B )
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
【解析】由A→B＝D→C知四边形 ABCD 为平行四边 形，
又因为A→C·B→D＝0，即▱ABCD 的两条对角线垂 直，
∴cos B＝12，B＝π3 ，∴0＜A＜2π3 .
∴π6 ＜A2＋π6 ＜π2 ，12＜sinA2＋π6 ＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sinx2＋π6 ＋12， ∴f(A)＝sinA2＋π6 ＋12.
故函数 f(A)的取值范围是1，32.
第二十二页，编辑于星期六：一点 十分。
1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意 义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算
函数 f(A)的取值范围. 【解析】(1)∵m·n＝1，即 3sinx4cosx4＋cos2x4＝1，
即 23sinx2＋12cosx2＋12＝1， ∴sinx2＋π6 ＝12. ∴cos2π3 －x＝cosx－2π3 ＝－cosx＋π3 ＝－1－2sin2x2＋π6 ＝2·122－1＝－12.
第二十一页，编辑于星期六：一点 十分。
b 在 a 方向上的投影|b|cos θ的乘积.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向
量 a，b 的夹角.
第九页，编辑于星期六：一点 十分。
结论 模
数量积
几何表示
坐标表示
|a|＝ a·a
|a|＝ x12＋y12
a·b＝|a|·|b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 (2)
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
高三理科数学一轮总复习第四章_平面向量
第四章平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其本章重点：1.向量的各种运算；2.向量的坐标运算及数形结合的思想；3.向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用.本章难点：1.向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2.向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查.在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值.他一些实际问题.知识网络4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：a•；①|a|＝a②(a •b ) •c ＝a • (b •c )； ③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2MN ； ⑤a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 与b 不共线，则(a ＋b )⊥(a －b ). 其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a |＝a a •正确；(a •b ) •c ≠a • (b •c )； OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，MN =MD +DC +CN 且MN =MA +AB +BN ，两式相加可得2MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线， 即得(a ＋b )⊥(a －b ). 所以命题①③④⑤正确.题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 31,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN .【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝12(a －b )，AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝12(a ＋b ).又DM ＝13DO ， ON ＝13OC ，所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋13DO＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56b ，AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋13OC＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝23(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝12时，则PA •(PB ＋PC )的值为 .【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝12(AB ＋AC )，所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ，所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，所以PA • (PB ＋PC )＝PA •0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线. (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a 与b 是不共线的两个非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0，所以k ＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（） A.32 B.23C.2D.13【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整理可得OA ＋OC ＋2(OB ＋OC )＝0.令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的13处，即OE ＝2OF .设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12•OE • (h 2＋h 2)＝12OE ·h ，S △OAB ＝12AB •12h ＝14AB ·h ，由于AB ＝2EF ，OE ＝23EF ，所以AB ＝3OE ，所以S △OACS △OAB ＝h h AB OE ••4121＝23.故选B.总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |； 当向量a 与b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||； 当向量a 与b 不共线时，|a ＋b |＜|a|＋|b |.4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD 中,M ,N 分别是DC ，BC 中点.已知AM =a ,AN =b ,试用a ，b 表示AB ，AD 与AC 【解析】易知AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ，AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋12AD ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.21,21b a AD AB AB AD 所以AB ＝23(2b －a )， AD ＝23(2a －b ).所以AC ＝AB ＋AD ＝23(a ＋b ).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA ＋BP ＋CP ＝0，则||AD PD 等于( ) A.13B.12C.1D.2【解析】由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB ＋PC ＝2PD ，因此结合PA ＋BP ＋CP ＝0即得PA ＝2PD ，因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是P A 的中点，所以||||AD PD ＝1，即选C.题型二 向量的坐标运算【例2】 已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x . 【解析】因为a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1). (1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)，所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⇔⎩⎨⎧=-=+λλ3),2(12x x⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】已知向量a n ＝(cos n π7，sin n π7)(n ∈N *)，|b|＝1.则函数y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2的最大值为 .【解析】设b ＝(cos θ，sin θ)，所以y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos π7，sin π7)(cos θ，sin θ)＋…＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 141π7，sin 141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y 的最大值为284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得a 2＝b 2，即a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为m ⊥p ，所以m ·p ＝0，即 a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab .由余弦定理，得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以(ab )2－3ab －4＝0. 所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去). 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.【点拨】设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【变式训练3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A.10－5 3B.10＋5 3C.10－2 3D.10＋2 3【解析】由m ⊥n 得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由10＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤25，所以c 2≥75，即c ≥53，所以a ＋b ＋c ≥10＋53，当且仅当a ＝b ＝5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.4.3 平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例1】 已知a ，b 夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )； (3)a 与(a ＋b )的夹角θ.【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以|a ＋b |＝2 3.(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2 ＝16－3×4×2×12＋2×4＝12.(3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2×12＝12.所以cos θ＝||||)(b a a b a a ++•＝124×23＝32，所以θ＝π6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1】已知向量a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小是 . 【解析】由c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2＋a ·b ＝0， 所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 【解析】①当∠A ＝90°时，有AB ·AC ＝0， 所以2×1＋3·k ＝0，所以k ＝－23；②当∠B ＝90°时，有AB ·BC ＝0，又BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0⇒k ＝113；③当∠C ＝90°时，有AC ·BC ＝0， 所以－1＋k ·(k －3)＝0， 所以k 2－3k －1＝0⇒k ＝3±132.所以k 的取值为－23，113或3±132.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6， 求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .【解析】因为2AB ·BC ＋2BC ·CA ＋2CA ·AB＝(AB ·BC ＋CA ·AB )＋(CA ·AB ＋BC ·CA )＋(BC ·CA ＋BC ·AB ) ＝AB ·(BC ＋CA )＋CA ·(AB ＋BC )＋BC ·(CA ＋AB ) ＝AB ·BA ＋CA ·AC ＋BC ·CB ＝－42－62－52＝－77.所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－772.题型三 平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox ，Oy 交于点O ，且∠xOy ＝π3，构成一个平面斜坐标系，e 1，e 2分别是与Ox ，Oy 同向的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e 1＋y e 2，则点P 的坐标为(x ，y )，已知Q (－1，2).(1)求|OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；(2)过点Q 的直线l ⊥OQ ，求l 的直线方程(在斜坐标系中). 【解析】(1)依题意知，e 1·e 2＝12，且OQ ＝－e 1＋2e 2，所以OQ 2＝(－e 1＋2e 2)2＝1＋4－4e 1·e 2＝3. 所以|OQ |＝ 3.又OQ ·e 1＝(－e 1＋2e 2) ·e 1＝－e 21＋2e 1•e 2＝0. 所以OQ ⊥e 1，即OQ 与Ox 成90°角. (2)设l 上动点P (x ，y )，即OP ＝x e 1＋y e 2， 又OQ ⊥l ，故OQ ⊥QP ，即[(x ＋1)e 1＋(y －2)e 2] ·(－e 1＋2e 2)＝0.所以－(x ＋1)＋(x ＋1)－(y －2) ·12＋2(y －2)＝0，所以y ＝2，即为所求直线l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点A (5，0).对于某个正实数k ，存在函数f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ• (||OA OA ＋||OQ OQ)(λ为常数)，其中点P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则k 的取值范围为( )A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设||OA OA ＝OM ，||OQ OQ＝ON ，OM ＋ON ＝OG ，则OP ＝λOG .因为P (1，a )，Q (k ，ak 2)，OM ＝(1，0)，ON ＝(k k 2＋a 2k 4，ak 2k 2＋a 2k 4)，OG ＝(k k 2＋a 2k 4＋1，ak 2k 2＋a 2k 4)，则直线OG 的方程为y ＝ak 2k ＋k 2＋a 2k 4x ，又OP ＝λOG ，所以P (1，a )在直线OG 上，所以a ＝ak 2k ＋k 2＋a 2k 4，所以a 2＝1－2k.因为|OP|＝1＋a2＞1，所以1－2k＞0，所以k＞2. 故选A.总结提高1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；数量积不满足消去律，即a·b ＝a·c推不出b＝c.2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
2017届高考数学一轮总复习 板块命题点专练(七) 平面向量与复数 理 新人教版
板块命题点专练(七) 平面向量与复数1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：选B 由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B ，事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12 ADC ．BCD.12BC解析：选 A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：124．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝__________；y ＝__________.解析：∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －161．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ． 3D ． 2解析：选 A 由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝5.2．(2015·福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.32解析：选A c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.3．(2015·陕西高考)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：选B 根据a ·b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ·b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |＞||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．4．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC解析：选D 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，故选D.5．(2015·重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 6．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6解析：选C 如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋34 AD · ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB －14 AD＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. 7．(2015·福建高考)已知AB ⊥AC ，|AB |＝1t，|AC |＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ＝AB|AB |＋4AC |AC |，则PB ·PC 的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21解析：选A ∵AB ⊥AC ，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋4t ，t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB ·PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.8．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由已知可以得到c ＝(m ＋4,2m ＋2)， 且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉，所以c·a |c|·|a|＝c·b|c|·|b|，又|b |＝2|a |，所以2c ·a ＝c ·b ， 即2[]m ＋＋m ＋＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2. 答案：29．(2014·湖北高考)若向量OA ＝(1，－3)，|OA | ＝|OB |，OA ·OB ＝0，则|AB | ＝________.解析：法一：设OB ＝(x ，y )，由|OA |＝|OB |知，x 2＋y 2＝10，又OA ·OB ＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB | ＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB | ＝2 5.则|AB | ＝2 5.法二：由几何意义知，|AB |就是以OA ，OB 为邻边的正方形的对角线长，所以|AB |＝2 5.答案：2 510．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2014·浙江高考)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.2．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.3．(2014·天津高考)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：选A7＋i3＋4i＝＋－＋－＝25－25i 25＝1－i.选A.4．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.5．(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：216．(2014·上海高考)若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案：6。
2017理科全品一轮复习第4单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入-数学(理科)-新课标-全国卷
运算律 a－b＝ a＋(－b) ________
数乘
(1) 对 向 量 加 法 (1)|λa|＝________ |λ||a| 的分配律： (2)当 λ>0 时，λa 与 λ (a ＋ b) ＝ a 的方向________ ； 相同 λa＋λb ； __________ 当 λ<0 时，λa 与 a (2) 对 实 数 加 法 相反 的方向 ________ ； 的分配律： 当 λ ＝ 0 时， λa ＝ (λ1 ＋ λ2)a ＝ 0 ________ __________ λ1a＋λ2a
新课标（RJA) · 全国卷地区专用
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第四单元 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
大小 ， 向量 a 的________ 也就是表示向量 a 的
→ 的________( 有向线段AB 长度 或称模)
→| |AB | a| 或______ ____ 0 表示 用______ 用 e 表示，|e|＝ 1 ________
0 的向量 长度为______
1 个单位的向量 单位向量 长度等于______
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[答案]
A
→ ＝AC → ＋CD → ＝AC → ＋1BC → ＝AC → ＋1(AC → －AB → )＝ [解析] 由题意知AD 3 3 1→ 4→ －3AB ＋3AC.
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第24讲
课 前 双 基 巩 固
平面向量的概念及其线性运算
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量.doc
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、填空、选择题1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0i j OP OA OA ++u u u r u u u r u u u u r r＝，则点P 落在第一象限的概率是 .3、（2015年上海高考）在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE DF •u u u r u u u r= ．4、（2014年上海高考）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=u u u r u u u rK 的不同值的个数为 （ ）P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA(A) 1. (B) 2. (C) 4.(D) 8.5、（浦东新区2016届高三三模）已知2a =r ，3b =r ，且a r ，b r 的夹角为3π，则32a b -=r r6、（杨浦区2016届高三三模）如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r，则CP CQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是7、（虹口区2016届高三三模）在锐角ABC ∆中,60,B =︒2,AB AC -=u u u r u u u r则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为 ( )（A ）（0， 12） （B ）1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（C ）(]0,4 （D ） (]0,2 8、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r(,)R λμ∈，则23λμ+的最大值是 ．9、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB =u u u r ， 3AC =u u u r，0AB AC ⋅<u u u r u u u r ，且△ABC的面积为32， 则BAC ∠=_______．10、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB =u u u r ，3A π=，则向量AC u u u r 在AB u u u r 上的投影为11、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=u u u r u u u r u u u r，AB AO =u u u r u u u r ，则CA CB ⋅=u u u r u u u r.12、（闵行区2016届高三二模）平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r，则2a b +=r r.13、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的值为14、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a r ，b r是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则||c r 的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知平面向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r，且1OA OC ==u u u r u u u r ，3OB =u u u r ，则CA CB ⋅u u u r u u u r的最大值是16、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =u u u u r u u u r，则 k = ▲ ．17、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r,则=μ+λ____________.18、（闸北区2016届高三上学期期末）在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r的值是19、（宝山区2016届高三上学期期末）P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ， 则P 点一定在……（ ）（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上20、（金山区2016届高三上学期期末）已知,是单位向量，0=⋅，且向量满足||--=1，则||的取值范围是( )．(A) ]12,12[+- (B) ]2,12[-(C) ]12,2[+ (D) ]22,22[+-二、解答题1、（虹口区2016届高三二模）在锐角ABC ∆中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值；(2) 若12,AB AC ⋅=u u u r u u u r求ABC ∆的面积.2、（宝山区2016届高三上学期期末）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2cos ),cos(1B A B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos,85B A ,且89=⋅. （1）求B A tan tan ⋅的值； （2）求222sin c b a Cab -+的最大值.3.（嘉定区2016届高三上学期期末）已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m +=ρ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=ρ，记函数n m x f ρρ⋅=)(．（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC的面积S 的最大值．4、（浦东新区2016届高三上学期期末）已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r（1）若a b ⊥r r，求实数x 的值；（2）求函数1(),,24f x a b x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦r r 的值域。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第五章平面向量与复数5.5
【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需 判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．
第十五页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数(i 为虚数 单位)，且复数(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，求 实数 a 的取值范围．
(1)对于复数 m＋ni，如果 m，n∈C(或没有明确界 定 m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R.
第十九页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点 除外)．
(3)对于 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意 了 a＝0 而漏掉了 b≠0.
第五章
平面向量与复数
§5.5 复数的概念
第一页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
1．虚数单位为 i，规定：i2＝________，且实数与它进行四 则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a 叫做复数的______， b 叫做复数的__________． ①当________时，复数 a＋bi 为实数； ②当________时，复数 a＋bi 为虚数； ③当________且________时，复数 a＋bi 为纯虚数．
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
自查自纠
1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 3．a＝c 且 b＝d a＝b＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数
6.|z| a2＋b2
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板块命题点专练(七) 平面向量与复数1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：选B 由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B ，事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12ADC ．BCD.12BC解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：124．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝__________；y ＝__________.解析：∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －161．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝5. 2．(2015·福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32解析：选A c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 3．(2015·陕西高考)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：选B 根据a ·b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ·b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |＞||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．4．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC解析：选D 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，故选D.5．(2015·重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )， 得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 6．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6解析：选C 如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ，NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD · ⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9.7．(2015·福建高考)已知AB ⊥AC ，|AB |＝1t，|AC |＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ＝AB |AB |＋4AC|AC |，则PB ·PC 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21解析：选A ∵AB ⊥AC ，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭⎫0，1t ，C (t,0)， 则AP ＝⎝⎛⎭⎫0，1t 1t＋t ，t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB ·PC ＝⎝⎛⎭⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17 ＝－⎝⎛⎭⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.8．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由已知可以得到c ＝(m ＋4,2m ＋2)， 且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉，所以c·a |c|·|a|＝c·b|c|·|b|，又|b |＝2|a |，所以2c ·a ＝c ·b ， 即2[]m ＋＋m ＋＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2. 答案：29．(2014·湖北高考)若向量OA ＝(1，－3)，|OA | ＝|OB |，OA ·OB ＝0，则 |AB | ＝________.解析：法一：设OB ＝(x ，y )，由|OA |＝|OB |知，x 2＋y 2＝10，又OA ·OB ＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB | ＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB | ＝2 5.则|AB | ＝2 5.法二：由几何意义知，|AB |就是以OA ，OB 为邻边的正方形的对角线长，所以|AB |＝2 5.答案：2 510．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．(2014·浙江高考)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.2．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：选A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.3．(2014·天津高考)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：选A7＋i3＋4i＝＋－＋－＝25－25i25＝1－i.选A. 4．(2015·全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B. 5．(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：216．(2014·上海高考)若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案：6。