第二章 数列

D．a3＋a9 与 b4＋b10 的大小不确定
003＋a1 004＋a1 005＋a1 006＝18，则该数列的前
2 008 项的和为
B．3 012
C．9 036
D．12 048
4．△ABC 中，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列， ∠B＝30° ，△ABC 的面积为 A．
－
B．16(1－2 n) C．
32 － (1－4 n) 3
D．
32 － (1－2 n) 3
二、填空题 11．设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列，则 q 的值 为 .
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12．设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若{Sn}是等差数列，则 q＝_____. 13．在数列 an 中， a1 1 ，且对于任意自然数 n，都有 an1 an n ，则 a100 ＝ 14．已知等比数列{an}的前 10 项和为 32，前 20 项和为 56，则它的前 30 项和为 15．在等比数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则 a13＋a14＋a15＝ 数列的前 15 项的和 S15＝ . ． ，该
)．
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9． 在等比数列{an}中， a1＝2， 前 n 项和为 Sn， 若数列{an＋1}也是等比数列， 则 Sn 等于( A．2n 1－2
＋
)．
B．3n
C．2n
D．3n－1 )．
10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ A．16(1－4 n)
－
1 ，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( 4
1 1 ，两式相除可求得 q＝ ，a1＝4，又因为数列{an} 4 2
是等比数列，所以{an·an＋1}是以 a1a2 为首项，q2 为公比的等比数列，根据等比数列前 n 项和
2n 32 － 公式可得 a1a2(1－q ) ＝ (1－4 n)． 2 3 1－q
二、填空题 11．－2． 解析：当 q＝1 时，Sn+1＋Sn+2＝(2n＋3)a1≠2na1＝2Sn，∴ q≠1． 由题意 2Sn＝Sn+1＋Sn+2 Sn+2－Sn＝Sn－Sn+1， 即－an+1＝an+2＋an+1，an+2＝－2an+1，故 q＝－2． 12．1． 解析：方法一 ∵ Sn－Sn－1＝an，又 Sn 为等差数列，∴ an 为定值． ∴ {an}为常数列，q＝ a n ＝1． an 1 方法二：an 为等比数列，设 an＝a1qn 1，且 Sn 为等差数列，
2 a1 ＝9(2a1＋d )，
① ②
4a1＋6d＝4(2a1＋d )．
由②得 d＝2a1，代入①有 a12 ＝36a1，解得 a1＝0 或 a1＝36． 将 a1＝0 舍去． 因此 a1＝36，d＝72， 故数列{an}的通项公式 an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
2 18．解析：(1)证明：因 a1，a2，a4 成等比数列，故 a2 ＝a1a4，
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1 (a1＋a2 008)×2 008＝9 036，故选 C． 2
解析：∵ a，b，c 成等差数列，∴ 2b＝a＋c， 又 S△ABC＝
1 3 acsin 30° ＝ ，∴ ac＝6， 2 2
∴ 4b2＝a2＋c2＋12，a2＋c2＝4b2－12， 又 b2＝a2＋c2－2accos 30° ＝4b2－12－6 3 ， ∴ 3b2＝12＋6 3 ，b2＝4＋2 3 ＝(1＋ 3 )2． ∴ b＝ 3 ＋1． 5．A 解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5 为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为 8， 最大弦长为 10， ∴ ak－a1＝2，即(k－1)d＝2，k＝ ∴ k≠4． 6．A 解析：∵ a7＋a9＝a4＋a12＝16，a4＝1，∴ a12＝15． 7．A 解析：∵ a2＋a6＝2a4，a5＋a10＋a15＝3a10， ∴ 6a4＋6a10＝24，即 a4＋a10＝4， ∴ S13＝ 8．B
－
20 (a1＋a20 ) ＝180． 2
2 则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1) an ＋1 ＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2
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an＋an＋2＝2an＋1 an(1＋q2－2q)＝0 (q－1)2＝0 q＝1．
由 a1＝2 得 an＝2，所以 Sn＝2n． 10．C 解析：依题意 a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝
又 akn ＝a1＋(kn－1)d＝kna1， ∴ kn＝3n+1 为数列{kn}的通项公式． 20．解析：(1)由 a1＝1，及 Sn＋1＝4an＋2， 有 a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴ b1＝a2－2a1＝3． 由 Sn＋1＝4an＋2 ①，则当 n≥2 时，有 Sn＝4an－1＋2． ②
第二章 数列
一、选择题 1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 3 10 1 B． 3
S S3 1 ＝ ，则 6 ＝( 3 S12 S6
1 C． 8
)． 1 D． 9 )．
A．
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a6＝b7，则有( A．a3＋a9＜b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10 3．在等差数列{an}中，若 a1 ( )．A．18 072 B．a3＋a9≥b4＋b10
18．设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列，它的前 10 项和 S10＝110 且 a1，a2，a4 成等比 数列．(1)证明 a1＝d；(2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式. 19．在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列．已知数列 a1，a3， ak1 ， ak2 ，…，
－
∴ 2S2＝S1＋S3，2a1q＋2a1＝2a1＋a1＋a1q＋a1q2，q2－q＝0，q＝0(舍)q＝1. 所以答案为 1． 13．256，377． 解析：a9＝28＝256， S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74． 解析：由{an}是等比数列，S10＝a1＋a2＋…＋a10，S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝q10S10，S30 －S20＝a21＋a22＋…＋a30＝q20S10，即 S10，S20－S10，S30－S20 也成等比数列，得(S20－S10)2＝ S10(S30－S20)，得(56－32)2＝32(S30－56)， ∴ S30＝
(56－32)2 ＋56＝74． 32
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15．
1 11 ， ． 2 2
① ②
解析：将 a1＋a2＋a3＝8， a4＋a5＋a6＝－4． 两式相除得 q3＝－
1 ， 2
1 5 81－－ 4 1 ＝ 1 ，S ＝ 2 ＝ 11 ． ∴ a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3) q12＝8· 15 － 2 2 1 2 1＋ 2
)．
6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 的值是( A．15 B．30 C．31
7．在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前 13 项之和为( A．26 B．13 C．52 D．156
)．
8．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前 20 项和等于( A．160 B．180 C．200 D．220
②－①得 an＋1＝4an－4an－1，∴ an＋1－2an＝2(an－2an－1)． 又∵ bn＝an＋1－2an，∴ bn＝2bn－1．∴ {bn}是首项 b1＝3，公比为 2 的等比数列． ∴ bn＝3×2 n 1．
2 19．解析；由题意得 a2 ＝a1a4，
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即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d(d－a1)＝0， 又 d≠0，∴ a1＝d． 又 a1，a3， ak1 ， ak2 ，…， akn ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为 q＝
a3 3d ＝ ＝3， ∴ akn ＝a1·3n+1． a1 d
2 ∵ a3·a9＝a 6 ，b4＋b10＝2b7，
∴ a3＋a9－(b4＋b10)＝a3＋a9－2b7．又 a3＋a9－2 a3 a9 ＝( a3 － a9 )2≥0， ∴ a3＋a9≥2 a3 ·a9 ． ∵ a3＋a9－2b7≥2 a3 a9 －2b7＝2a6－2a6＝0， ∴ a3＋a9≥b4＋b10． 3．C 解析：∵ a1＋a2 008＝a1 003＋a1 006＝a1 004＋a1 005， 而 a1 003＋a1 004＋a1 005＋a1 006＝18，a1＋a2 008＝9， ∴ S2 008＝ 4．B
akn ，…也成等比数列，求数列{kn}的通项 kn．
20．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1． (1)设 bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列； (2)设 cn＝
an ，求证数列{cn}是等差数列； 2n
(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和的公式.
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而{an}是等差数列，有 a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即 a12 ＋2a1d＋d2＝ a12 ＋3a1d． d≠0，化简得 a1＝d． (2)由条件 S10＝110 和 S10＝10a1＋
10 9 d ，得到 10a1＋45d＝110， 2
由(1)，a1＝d，代入上式得 55d＝110，故 d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n． 因此，数列{an}的通项公式为 an＝2n(n＝1，2，3，…)．