2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题

2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}2=60M x x px -+=，{}2=60N x x x q +-=，且{2}M N =，则p q +=A. 21B. 8C. 6D. 72．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A. 21(),()11x f x g x x x -==+- B. 22(),()()f x x g x x == C. 2()||,()f x x g x x ==D. 2()11,()1f x x x g x x =+⋅-=-3．下列函数中，值域为[) 0+∞，的偶函数是 A.21y x =+ B. lg y x = C. 3y x = D. y x = 4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是 A.x y =B. 13y x = C. ||lg x y =D. xy 3=5．设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. b c a << 6．函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()1,2 7．设函数2211log (2),1(),(2)(log 12)2,1则x x x f x f f x -+-<⎧=-+=⎨≥⎩A. 3B. 6C. 9D. 128．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是A B C D9．直线()0kx y k k --=∈R 与圆222x y +=交点的个数为 A. 2个 B. 1个C. 0个D. 不确定10．圆1:C ()()22111x y -+-=与圆2:C ()()222536x y ++-=的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切11. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是A. 若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B. 若,//l ααβ⊥，则l β⊥C. 若//,//l ααβ，则l β⊂D. 若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 12．某几何体的三视图如图所示， 它的体积为A.72πB. 48πC. π30D. π24第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算93164log log= . 14．经过(1,3)P ，()3,5Q 两点的直线的倾斜角是 . 15．若函数()()11x f x aa -=>在区间]3,2[上的最大值比最小值大2a,则a = . 16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个顶点()()()2,4,3,1,1,3A B C ---． （1）求BC 边上高所在直线的方程； （2）求ABC ∆的面积S ． 18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .ED BACC 1B 1A 1第18题图第12题图求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.19. （本小题满分12分）已知函数()()111x x a f x a a -=>+.（1）根据定义证明：函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数； （2）根据定义证明：函数()f x 是奇函数.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，=2,23,1SA SB AC BC AB SC =====. （1）画出二面角S AB C --的平面角，并求它的度数； （2）求三棱锥S ABC -的体积.21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过()()()322,0,322,0,0,1P Q R +-三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值．22. （本小题满分12分）已知函数()()210f x ax mx m a =++-≠.（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围；（3）已知12,x x R ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()1212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦ 在区间()12,x x 上有实数根.第20题图2017～2018学年第一学期期末联考 高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13. 1； 14. 045； 15.32； 16. 12π． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．） 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的三个顶点()()()2,4,3,1,1,3A B C ---． ⑴求BC 边上高所在直线的方程；⑵求ABC ∆的面积S ． 解 (1)设BC 边上高所在直线为l ， 由于直线BC 的斜率3+1=1,1+3BC k =…………………….…2分所以直线l 的斜率11BCk k -=-=.…………………….…3分 又直线l 经过点()2,4A-，所以直线l的方程为()412y x -=-⨯+，…………….…4分 即20.x y +-=…………………………………………..…4分 ⑵BC 边所在直线方程为：()+13y x ⨯+＝1,即20,x y -+=…………………….…5分点()2,4A -到直线BC 的距离d ==…………………………………7分又BC ………………………9分118.22ABC S BC d ∆=⋅=⨯=…………….…10分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：⑴C C AA DE 11//平面； ⑵11AB BC ⊥.证明：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，且1BC CC =∴矩形11BB C C 是正方形，………....................……….….................…1分E ∴为1B C 的中点，……………….….................................................…2分又D 为1AB 的中点，//DE AC ∴，………………….………………3分 又DE ⊄平面11AA CC ，AC ⊂平面11AA CC ，……………..……4分//DE ∴平面11AA CC .……………………………………………….…5分⑵在直三棱柱111C B A ABC -中，1CC ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,1AC CC ⊥∴.………………6分又AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C =，….....7分AC ⊥∴平面11BCC B ，………………………………………....................................…8分1BC ⊂平面11BCC B ，1AC B C ⊥∴ .…………………....…..................................…9分矩形11BCC B 是正方形，11BC B C ⊥∴，……………………...............................…10分1,AC B C ⊂平面1B AC ，1C C C A B =，1BC ⊥∴平面1B AC .…….............…11分又1AB ⊂平面1B AC ，11BC AB ⊥∴.…………………….….................................…12分 19.（本小题满分12分）已知函数()()111x x a f x a a -=>+.⑴根据定义证明：函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数； ⑵根据定义证明：函数()f x 是奇函数.EDBACC 1B 1A 1证明：⑴设任意的()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x <，…………1分则()()1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++…………………………2分 ()()()()()()122112111111x x x x x x a a a a aa -+--+=++………………………3分()()()1212211x x x x a a a a -=++……………………………………………4分12,1x x a <>，12x x a a ∴<，即120x x a a -<，……….…5分又()()12110xxa a ++>，………………………………….…6分()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，………………7分 ()f x ∴在(),-∞+∞上是增函数.……………………………8分⑵()()1111x x x x a a f x f x a a -----+=+++，……………………9分111=111x x x x a a a a--+++,……………………………………………10分 11011x x x x a a a a --=+=++…………………………………………11分 ()()=0f x f x ∴-+，即()()=f x f x --所以函数()f x 是奇函数. ……………………………………12分 20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，=2,1SA SB AC BC AB SC =====. ⑴画出二面角S AB C --的平面角，并求它的度数； ⑵求三棱锥S ABC -的体积.解：⑴取BC 中点D ，连接SD 、CD ，……....................................……....1分=2SA SB =，2AC BC ==， ,SD AB CD AB ⊥⊥∴，…...….........2分且SD ⊂平面SAB ，CD ⊂平面CAB ，….............................................…...3分SDC ∠∴是二面角S AB C --的平面角. ….....................................……....4分在直角三角形SDA 中，1SD ===…...5分在直角三角形CDA中，1CD===…...6分1SD CD SC===∴SDC∆∴是等边三角形，………………….7分60.SDC∠=∴…...………………………...8分⑵解法1：,,SD AB CD AB SD CD D⊥⊥=，AB⊥∴SDC......................9分又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC平面SDC CD=.............10分在平面SDC内作SO DC⊥于O，则SO⊥平面ABC，..................11分即SO是三棱锥S ABC-的高.在等边SDC∆中，SO=，∴三棱锥S ABC-的体积111113322S ABC ABCV S SO-∆=⋅=⋅⋅=.....................................12分解法2：,,SD AB CD AB SD CD D⊥⊥=AB⊥∴平面SDC.........9分在等边SDC∆中，SDC∆的面积2SDCS∆==，.......................10分∴三棱锥S ABC-的体积1113342S ABC A SDC B SDC SDCV V V S AB---∆=+=⋅⋅=⋅⋅=...................12分21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过()()()3,3,0,1P Q R+-三点．⑴求圆C的方程；⑵若圆C与直线0x y a-+=交于,A B两点，且,OA OB⊥求a的值．解：⑴因为圆C的圆心在线段PQ的直平分线上，所以可设圆C的圆心为()3,t，………………………….….……1分则有,)22()1(32222tt+=-+解得 1.t=…………………2分则圆C的半径为.3)1(322=-+t……………………………3分ODSCBA所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x ……………………4分⑵设()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x ............5分 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x….....................................…....6分由根与系数的关系可得，21212214,2.a a x x a x x -++=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅① …………......8分由OA OB ⊥于可得,12120.x x y y +=…………………….....................................….....10分 又,,2211a x y a x y +=+=所以212122().0x x a x x a +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②………........11分由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a ……......................................……………12分22. （本小题满分12分）已知函数()()210f x ax mx m a =++-≠.⑴若()10f -=，判断函数()f x 零点个数；⑵若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围； ⑶已知12,x x R ∈且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()1212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦ 在区间()12,x x 上有实数根. 解:⑴()10,10,1f a m m a -=∴-+-=∴=()21f x x mx m ∴=++-……………………………………………………1分 ()()22412m m m ∆=--=-,………………………………………………2分当2m =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；……………………………3分 当2m ≠时，0∆> ，函数()f x 有两个零点.………………………….…4分⑵已知0a ≠，则()2410m a m ∆=-->对于m R ∈恒成立,…………………….…...…6分 即2440m am a -+>恒成立；…………………………………………...…6分 所以216160a a '∆=-<,……………………………………………………7分从而解得01a <<.……………………………………………………...……8分⑶设()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦， 则()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x =-+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦……….…9分 ()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x =-+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ……….…10分 ()()12f x f x ≠()()()()21212104g x g x f x f x ∴⋅=--<⎡⎤⎣⎦,……………………………11分 ()0g x ∴=在区间()12,x x 上有实数根，……………………………….…12分即方程()()()1212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根. ……..…12分。