D4-1 二项分布

N 则P 记 A 为“各次试验中出现废品”， ( A) = M
N 则 设 X 为 n 次抽样检查中抽到的废品数， X ~ B n, M 因此，所求概率为
N k N n−k P { X = k } = C ( ) (1 − ) . M M
k n
例2 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜 测至少能答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次伯努利试验， 记 A＝{答对一道题} , 则 P ( A) = 1/ 4. 则答5道题相当于做5重伯努利试验．
1 设 X ：该学生靠猜测能答对的题数, 则 X ~ B 5, , 4 P{ X ≥ 4} = P{ X = 4} + P{ X = 5}
1 3 1 = 1 . =C ⋅ + 4 4 4 64
4 5
4
5
例3 假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接 出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8 可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂。现该 厂新生产了n (n ≥ 2)台仪器（假设每台仪器的生产过 程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率 α ； （2）其中恰好有2台不能出厂的概率 β ; （3）其中至少有2台不能出厂的概率 θ ； 解: 记 A＝{仪器需进一步调试}， B＝{仪器能出厂}，
k =0 k =0
n
n
k n
p q
k
n−k
= ( p + q) = 1
n
特别地, 当 n = 1 时，X 的分布律为： X 0 1
pi
q
p
称 X 服从参数为 p 的(0－1)分布，或两点分布.
例1 若在 M 件产品中有 N 件废品，现进行有放回的 n 次抽样检查，问共取得 k 件废品的概率。 解: 由于是有放回的抽样，因此这是 n 重伯努利试验。
k Pn ( k ) = Cn p k q n−k ,
证毕.
二、二项分布
在 n 重伯努利试验中, 用 X 表示事件 A 发生的次数, 则 X 是一离散型随机变量, 可能取值为: 0,1, 2,⋯, n. 其分布律为：
P{ X = k} = Pn (k ) = C p q
k n k
n−k
, k = 0,1,2,⋯, n
k Pn (k ) = Cn p k q n−k ,
的概率 Pn ( k ) 为:
k = 0,1,2,⋯, n
证明: 由于试验是相互独立的, 则事件 A 在指定 k 次 试验中发生而在其余 n-k 次试验中不发生的概率为:
p k (1 − p ) n−k = p k q n−k
由组合公式，事件 A 在 n 次试验中恰好发生 k 次的 数目应为 Cnk 种, 而这 Cnk 个事件是互不相容的， 所以
β = P{ X = n − 2} = Cn2 × 0.94n−2 × 0.062
三、二项分布的数学期望与方差
设 X ~ B (n, p ), 其分布律为：
P{ X = k} = Pn (k ) = Cnk p k q n−k (k = 0,1,2,⋯, n)
因 X 可看成 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数， 用 X i (i = 1, 2,⋯, n) 表示事件 A 在第 i 次试验中发生的 次数， X 1 , X 2 ,⋯, X n 相互独立， 同时服从参数为 p 则 的(0－1)分布，且
第四章 几类重要的概率分布
两点分布 离 散 型 二项分布 泊松分布 连 续 型 正态分布 均匀分布 指数分布
第四章
第一节 二项分布
一、伯努利概型 二、二项分布 三、二项分布的数学期望 与方差
伯努利概型（ 一、伯努利概型（Bernoulli） ）
在确定条件下进行 n 次独立重复试验, 每次试验只有两个相互独立的结果 A 与
AB 则 A＝{仪器能直接出厂}， ＝{仪器经调试后能出厂}
由题意知 B = A + AB,
P( A) = 0.3, P( B | A) = 0.8, P ( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.3 × 0.8 = 0.24, P( B) = P( A) + P( AB) = 0.7 + 0.24 = 0 + ⋯ + X n
而
E( X i ) = p
Xi pi
0 q
1 p
(i = 1, 2,⋯, n)
D ( X i ) = E ( X i2 ) − E 2 ( X i ) = p − p 2 = pq
由数学期望与方差的性质有
E ( X ) = ∑ E ( X i ) = np D ( X ) = ∑ D( X i ) = npq
A ，且
P ( A) = p, P ( A) = 1 − p = q (0 < p < 1)
则称这 n 次独立重复试验为 n 重伯努利试验 （概型）。 伯努利概型是应用十分广泛的一种概率模型， 如在相同条件下重复投掷一枚硬币 n 次, 在有一定 数量次品的产品中进行 n 次有放回抽取， ⋯
定理:
在 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k 次
i =1 i =1 n
n
n pn
或写为： X
0 P{ X = k} q n
1 ⋯ k ⋯ 1 Cn pq n−1 ⋯ Cnk p k q n−k ⋯
则称 X 服从参数为n，p的二项分布, 记为 X ~ B(n, p).
显然满足： （1）非负性:
P{ X = k} ≥ 0, k = 0,1,2,⋯, n
（2）规范性:
∑ P{ X = k} = ∑ C
设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数, 则 X ~ B(n,0.94), 所以
α = P{ X = n} = 0.94n
A＝{仪器需进一步调试}， B＝{仪器能出厂}， θ = P{ X ≤ n − 2} = 1 − P{ X = n − 1} − P{ X = n} AB A＝{仪器能直接出厂}， ＝{仪器经调试后能出厂} n −1 = 1 − n × 0.94 × 0.06 − 0.94n