2014河北公务员行测：巧用隔板法解排列组合问题
隔板法在排列组合中的应用
隔板法在排列组合中的应用作者：王录远来源：《中学教学参考·理科版》2014年第09期排列组合在历年来的高考中占的比分很高，在20分左右.它联系实际、题型多变、解法灵活、能力要求高、每年高考得分率极低.而排列组合中的分配问题，是排列组合问题中的重点与难点，对于排列组合中涉及相同物品的分配或名额分配的问题，若采用隔板法，则可起到简化解题的功效.下面笔者通过三种类型题来介绍一下隔板法的应用.类型一：10个相同的排球分给三个班级，每个班级至少得一个排球的分法.解析：将10个相同的排球排成一列，则10个排球之间出现9个空当，用2块隔板插入空当，将其分成3份，每份至少一个排球，每个班级依次分到对应位置的排球，因此在9个空当插入2块隔板，共有C3-110-1=C29=36种分法.点评：对于相同元素的分组分配问题，常规解法繁琐且易错，若掌握隔板法，则操作方便且易懂.一般模式：将n件相同物品（或名额）分给m（m【例1】学校在高二年级的8个班中，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？解析：因为该题满足类型一的三个条件，所以可用隔板法，故共有C8-112-1=C711种分法.类型二（添加球数隔板法）：10个相同的排球分给三个班级，允许有些班级没有分到排球的分法.解析：因为允许有班级没有分到排球，没有满足隔板法具备的条件（2）.为了满足“每人至少分到一个排球”的条件，可先从每班收回一个排球，这样原来打算不分的，也要还一个排球回去，问题就转化成“13个排球分配给3个班，每个班至少得到一个排球，有多少种分法”，用隔板法求解，则共有C3-113-1=C212=66种分配方法.点评：本例通过添加球数，将问题转化为类型一中的隔板法问题.一般模式：将n件相同物品（或名额）分给m（m【例2】求（a+b+c）9的展开式中共有多少项？解析：由于展开式的每一项都形如maxbycz且x+y+z=9，其中x、y、z都是非负整数，因此问题等阶于求方程x+y+z=9有多少组不同的非负整数解，因为x+y+z=9，所以问题转化为“把9个相同的球分配给三个班，允许有些班没有分到球，共有几种分配方案”，用添加球数隔板法求解，则共有C3-19+3-1=C211=55种分配方案.类型三（减少球数隔板法）：10个相同的排球分给三个班级，每个班级至少得两个排球的分法.解析：因为每个班级至少有两个排球，没有满足类型一具备的条件（2）.为了满足这一条件，可给每个班级先分一个排球，这样就转化成“7个排球分配给3个班级，每个班级至少有一个排球，有多少种分法”的问题，用隔板法求解，则共有C3-17-1=C26=15种分配方法.点评：本例通过减少球数，将问题转化为类型一中的隔板法问题.一般模式：将n件相同物品（或名额）分给m（m【例3】12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数至少为2个，问有多少种放法？解析：题干中要求每个盒子中的小球数至少为2个，这满足类型三的减少球数隔板法，我们可以直接利用公式解决，故共有C4-112-4-1=C37=35种放法.【例4】20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，问有多少种放法？解法一：先取出3个球，其中1个球放入2号盒内，再将其余2个球放入3号盒内.则此题转化为“17个球放入3个不同的盒内，每盒至少一球，有多少种放法”，即转化为类型一的隔板法，故有C3-117-1=C216=120种放法.解法二：先取出6个球，其中1个球放入1号盒内，2个球放入2号盒内，其余3个球放入3号盒内.则此题转化为“14个球放入3个不同盒内，允许有些盒没有分到球，有多少种放法”，即转化为类型二的添加球数隔板法，故有C3-114+3-1=C216=120种放法.【例5】某人准备用7步走完一个10级的台阶，且每步至多可跨3级台阶，则此人共多少种不同的走法？解析：令此人每一步所跨的台阶数依次为x1，x2，…x7，则x1+x2+…+x7=10，由隔板法可知C69=84，又因为有“每步至多跨3级”的要求，则排除7种一步跨4级的可能性，所以此人共有84-7=77种走法.总之，对于排列组合中涉及相同物品的分配或名额分配的问题，即处理相同元素有序分组的问题时，我们都可采用隔板法.采用隔板法会取得事半功倍的效果.（责任编辑钟伟芳）。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
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[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
“隔板法”解决排列组合问题
隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解, 下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11 个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“ 1”看成隔板，则如图00 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4 四个盒子相应放入2个，4个，4个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C131 =165 种。
1（2）法1 （分类）①装入一个盒子有C4 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小21球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C111 66种; ③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C：Gi=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有C131 165种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C135 455 种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有C41C4210 种。
法2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
公务员考试行测排列组合之巧用隔板模型
至少分9，我们知道，只要每个部门先分8个，还余下6个，则就变成了每个部门至少分“1”，符合第三个条件了，所以我们的题干就变成了6个相同元素，分给3个不同的部门，每个部
门至少分“1”，直接套用公式所以选择C选项。
【中公解析】D。
根据题目可知，题干需要分相同的元素，并且符合①20个相同元素②分给四个不同的部门，但是第三个条件不符合，我们要求每至少分“1”，题干要求二班至少分2个，三班至少分3个，四班至少分4个，不符合第三个条件，我们只要二班先分1个，三班先分2个，四班先分3个，还余下14个，则就变成了每个班至少分“1”，符合第三个条件了，所以我们的题干就变成了14个相同元素，分给4个不同的部门，每个部门至
少分“1”，直接套用公式，所以选择D选项。
排列组合的题目中如果涉及到分配相同元素的问题，我们就可以考虑一下是否可以使用隔板模型，如果题干符合以下三个要求：①n个相同元素②分配给m个不同对象③每至少分
“1”，那么就属于隔板模型，我们可以直接使用隔板模型的公式进行运算。
但是第三个条件，每至少分“1”，是比较灵活的，我们要会适时地转化，如果要求分的数量大于1.就可以先给一部分，总数对应减去几个，就变成只需要分一个，如例题2;如果要求可以不分，就可以暂时借一个，总数对应增加几个就可以变成每至少分1，直接使用公式了，如例题3。
隔板模型是比较好掌握分的一种排列组合的问题，希望考生多加练习，加深理解。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
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2014河北公务员行测：巧用隔板法解排列组合问题
在公务员考试行测数量关系题目中经常能见到排列组合问题的身影，很多考生朋友可能会对排列组合望而却步，其实弄懂排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，对于很多题目也就迎刃而解了。
这里给大家简单介绍一种方法——隔板法，这对于解决排列组合问题中的同素分堆问题具有出奇制胜的效果。
中公教育专家带大家先来看一道例题，了解一下什么是同素分堆。
例1：一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
A.4
B.6
C.8
D.10
例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
B.9
C.10
D.12
还有一些题目对于分法没有要求，即不要求每个对象至少一个。
类似的，我们就要想办法转化为至少一个。
例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?
A.12
B.24
C.36
D.48。