中考复习之等腰三角形

等腰三角形
等边三角形

2.性质：
二、知识概要
性质 判定
① ② ③
等 腰 三 角 形
等 边 三 角
①
②
③
两底角相等，两腰相 等 “三线合一”定理 轴对称图形，有一条 或三条对称轴
三条边相等，三个角 相等 内心和外心重合
两条边相等 等角对等边 “三线合一”的 逆定理
①
① ② ③
②
三边都相等 三角等相等 有一个角为60º
达标练习二(B水平)
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两 70°,70°或40°，100 个内角为__________________° 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两 30°,30° 个内角为______
结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论
一、中考目标

等腰三角形
①
②
了解等腰三角形的有关概念 a 探索并掌握等腰三角形的性质 c
探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件 c 了解等边三角形的概念 a 探索等边三角形的性质 c
③
④
⑤
二、知识概要

1.概念：
①
②
③
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等 腰三角形 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等 边三角形 互逆命题： 在两个命题中，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 ，那么这两个命题为互逆命题，其中一个命 题称为另一命题的逆命题。
1 2
B
E A
1 4 5
5.
如图，等边△ ABC中，点D在 延长线上，CE平分∠ACD， B 且CE=BD。求证： △ ADE是等边三角形。
3 2
C
D
1、下列图形是否是轴对称图形，说出它的对称轴， 并验证你的判断。 （1）圆，（2）矩形，（3）直角梯形，（4）扇形 2、如图，⊿ABC中，AB=AC，求其它角的度数
D （2） D E B P C E P A H D F B F A （1） G E
2.如图示,在等腰⊿ ABC中,底边BC上有一点P,则 P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高)即 PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么PD,PE和CF 存在什么等式关系?写出你的猜想,并说明理由.
5.如图,BD=DC,ED⊥BC交∠BAC的平分线于 点E,作EM⊥AB,EN⊥AC垂足分别为M,N,试判 断BM,CN的大小关系,并说明理由
达标练习二(A 水平)
一、填空题：
17 1、等腰三角形若两边长为3和7，则其周长为________。 50° 2、如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和 80° ______。 50° 3、如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为________。
4、等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？ 二、判断题： 1、等腰三角形的底角都是锐角(√ ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形(× )
(A) 49º (B) 41º (C) 36º
C(D)
8º
3.
下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角； ③已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高 ；⑤已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等
例1 已知： 在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°． 求∠C和∠A的度数． 你能说出
它的理由 解 ：∵AB＝AC 吗？ ∴ ∠C＝∠B＝80°( 等边对等角 ) 又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝180°－80°－80°＝20°．
A
M B D C N
E
现象
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
(3 )∠BAD＝∠CAD， AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90° AD为底边上的高
(5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 现象(2)能用一句话归纳出来吗？ 等腰三角形的两个底角相等 现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边 上的中线互相重合（简称“三线合一”）
C
5、⊿ABC是等边三角形，AE是它的对称轴， AB=5，求∠BAE的度数和BE的长
A
6、要在河边修建一个水泵 站，分别向张村、李庄送水， 修在 B E 河边什么地方，可使所用的水管最短？
•B
•A
a P A′
C
思考题： 如图，在ΔABC中，AD⊥BC于D， AB+BD=DC。 求证：∠B=2∠C
求证：PD+PE=CF; 若P在BC的延长线上， F 那么PD，PE和CF存 D 在什么关系？写出你 的猜想并加以说明。 B
E P C
四、范例精析
A
4.
如图，在△ ABC中，AC=BC,E D ∠ACB=90º ，D是AC上一点， 1 AE⊥BD，交BD的延长线于E，C F 2 且AE= BD. 求证： BD是∠ABC的角平分线。
o o
试一试！
1、已知等腰三角形的顶角是70 ，则它的其 o 它两角的度数是 55o、55。 2、已知等腰三角形的底角是70 ，则它的其 它两角的度数是 70o、40o。 3、已知等腰三角形的一个内角是70 ，则它 的其它两角的度数是 55o、55o或70o、40o
o
。
4.等腰直角三角形的每一个锐角都等于 45°
35º 或20º
三、基本练习 选择题
C
1.
下列命题中，正确的是（ ）。
(A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等 (C) 有一高对应相等的等边三角形全等 A (D) 有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等
2.
等腰三角形的一个内角为98 º ，那么一腰上的 高线与底边的夹角为（ ）。
解： 在△ABC中， ∵AB=AC（已知），
B D C
∴∠B=∠C（等边对等角）.
∴∠B=∠C=(1800-∠A)=400(三角形内角和定理). 又∵AD⊥BC(已知), ∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形的顶角的平分线 与底 边上的高互相重合).
∴∠BAD=∠CAD=500.
四、范例精析
1.
已知等腰三角形的周长是21，其中一条边长 为5，求这个三角形的其他两条边长。
2、三线合一（推论1）
（等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）
观察下图，你发现等腰三角形的高线之 间有什么特殊的性质？
A 已知：ΔABC是等腰三角形AM、 BE、CD分别是三边上的高 求证：CD = BE
D
E
B
M
C
通过这一节课的对等腰三角形的学习，你 发现等腰三角形内部还有那些重要的性质？ A
2.
如图，BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且 A MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的 周长。 O
M
1
3
N
B
2
C
四、范例精析
3.
如图，在△ ABC中，AB=AC，P为BC上的 一动点，过P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足 A 分别为D，E。CF为AB边上的高线。
① ②
达标练习一
下面哪些是等腰三角形？
1
2
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
如右图，在△DEF中，DE=DF,请问：
哪些边是腰？ 底边是哪条边？ 顶角是哪个角？ 底角是哪些角？
D
F
三、基本练习 填空题
1.
等腰三角形一腰上的中线把该三角形的 周长分为15，8两部分，则它的底边长 为________.
相等的角是同角的余角
3
2.
“同角的余角相等”的逆命题是 ___________________.
两个腰上的角平分线相等； 两个腰上的高线相等； 两个腰上的中线相等。
B C
关于撑伞的数学问题
已知：如图，AB=AC，DB=DC
问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
A
证明:
∵AB=AC,BD=CD,AD=CD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠BAD=∠CAD ∴AD垂直平分BC
B D
四：发散思维 (1)已知： 在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝80°． 求∠B和∠C的度数． (2)已知：△ABC是等腰三角形，其中一个角为80°求 另外两个角的度数．如果已知的角为１００ °呢？ ９０ ° 呢？ 感悟:当等腰三角形中角的位置不明确时要分类讨论 1.当给出的角为锐角时它可能是底角也可能是顶角 2.当给出的角是直角或钝角时它只能是顶角
A A 90° 60° C B C 30 ° A
B
B
C
二、判断： 1.等腰三角形一角的平分线，一边上的 中线，一边上的高都是它的对称轴（ ） 2 等腰三角形的两角相等（ ） . ４、如图1： ∵AB=AC ∴∠1=∠2（ ） B
３.三角形的高线.角平分线.中线三线合一（ ）
A
1 2
D 图1 E
C
填空：
3.⊿ABC是等腰三角形,分别以它的两腰为边向 外作等边三角形⊿ADB和⊿ACE,已知 ∠DAE=∠DBC,求⊿ABC三个内角的度数.
(3) A (4) D E B D C B C A E
4.如图,⊿ABC中,AB=AC, ∠BAD=30°,且AD =AE求∠EDC的度数.
1.如图示,在等腰Rt⊿ABC中,∠C=90°,D 是斜边 AB上任意一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线 于F,CH⊥AB于H,交AE于G,试判断BD与CG的大小 关系,并说明理由. C
发散思维(1)已知： 在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝80°． 求∠B和∠C的度数． 发散思维(2)已知：△ABC是等腰三角形，其中一个角为 80°求另外两个角的度数．