2012年MATLAB第三章-2

li ( x j )
ij
l0(x1)=0 l1(x1)=1 l2(x1)=0
l0(x2)=0 l1(x2)=0 l2(x2)=1
0, i j 1, i j
下面求 l0 (x) , l1 (x) , l2 (x)
先看l0(x) 因为l0(x)是以 x1, x2为零点的二次多项式 则l0 (x)一定可写成 其中 A为待定参数 l0(x)=A(x-x1)(x-x2)
l0 ( x ) x x1 x 0 x1 12 - x , l1 ( x )
x x0 x1 x 0
x 11
因此：ln11.75
p1(11.75)=2.4632
二、三点式的抛物线插值（二次插值）
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数 多项式插值之一。
当n=2时，设已知函数f(x)的三个互异插值 基点x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
根据实际需要，可以用各种不同的函数来近 似原来的函数。
最常用的插值函数是 多项式： …?
代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运 算，且积分和微分都很方便； 所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样 的插值方法叫做代数插值法，简称插值法。
插值：具体讲就是这样一个问题：已知f(x)在[a,b]
(3-5)
它们具有性质： l0(x0) =1 l1(x0) =0 l0(x1) =0 l1(x1)=1
l0 ( x )
x x1 x 0 x1
, l1 ( x )
x x0 x1 x 0
也即在对应的插值点上取1，而在另外插值点取0（图） 可统一表示成：
li ( x j )
上有n+1个互异点x0 , x1 , … , xn处的函数值y0 ,
y1 , … , yn,即给出f(x)的一个表： x y x0 x1 x 2 y0 y1 y2
…
…
xn yn
要求f(x)在[a,b]上的近似表达式φ(x)。
如果要求φ(x)严格地通过给定的n+1个点
(xi,yi),i=0,1,…,n,即φ(xi)= yi（ i=0,1,…,n ），就称 这样的问题为函数插值问题，这样的方法就称为 插值法， φ(x)就称为插值函数。xi为插值节点。
若证明线性方程组的解唯一，则系数ai存在唯一。
根据克莱姆法则，只要证明系数矩阵的行列式不等于零，则 方程的根唯一。而上述方程组中关于ai的系数行列式为一 个n+1阶的范德蒙行列式：
1 1 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
2 2

x0 x1
n
2
n


0 j i n
( xi x j ) 0
它由n+1个系数 a0,a1,… , an所确定，而条件(3-1)
恰好提供了n+1个条件。 用这些插值条件可以确 定系数 ai，那么代数插值问题的解是否存在， 如果存在是否唯一？下面的定理回答这个问题。
定理1 ：满足 Pn( xi ) = f ( xi ) = y i (i=0,1,...n)(插值条
Rn (x) = f (x) - Pn(x) 为插值余项（ Pn(x)近似代替f (x)的截断误差）
Pn( xi ) = f ( xi ) = y i
(i=0,1,...n) ,
（3-1）
即：一个n次多项式Pn (x)可以表示为：
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ..... + a n x n
第三章 插值法
§0
引言
描述事物之间的数量关系：函数。 (2) 在 x 为特殊值 有两种情况： 时, 是好计算的, 则 (2)可转化为(1) 一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另 (1) 一种是函数虽然有明显的表达式，但很复杂，不便于研究和 (2) 使用。 从实际需要出发：对于计算结果允许有一定的误差，可 以把函数关系用一个简单的便于计算和处理的近似表达式来 代替，从而使问题得到简化。

xn
n
因为xi互不相同，行列式值不为0，所以ai唯一，也即pn(x) 是存在唯一的。
几何意义：
p(x) f(x)
y f (x)
y = p(x)
x0 x1 x2 x x3 x4
多项式插值的几何意义是：通过给定的n+1个点，作一条 n次代数曲线y = p(x)，用以近似代替曲线y = f(x)，如上 图所示。 必须指出，定理1虽然提供了一种求插值多项式的方法， 但当n较大时，计算复杂，并不是一种实际可行的方法。 下面几节介绍一些其他比较简单的构造插值多项式的 方法。
与插值问题一样，也有φ可分为线性拟合、
多项式拟合和非线性拟合等。
第一节 代数插值
多项式具有很多良好的性质，如它具有各阶导数， 计算简单，容易积分和求导等，因此，在进行函 数逼近时，自然会想到用多项式来逼近未知函数。 插值问题中，如果选择插值函数φ(x) 为一代数多项 式，就称这样的插值问题代数插值问题。具体描 述如下：
从几何意义上看，求φ(x)的问题就是求一条通过已
知n+1个点(xi,yi),i=0,1,…,n的曲线来近似的代替未
知曲线y = f(x) 。
显然如果不加任何限制，这样的φ(x)有无穷多个。 一般地，我们把φ(x)限制在某个函数类中，常用 的函数类有多项式、有理函数类、三角函数类、 样条函数类等，相应的插值问题分别称为代数插
l0 ( x ) l1 ( x ) l2 ( x )
1 2
( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )
ln11.75 P2(11.75)=2.4638
(其精确值为：2.46385) p1(11.75)=2.4632 由此可以看出二次插值比线性插值准确程度高。
上面我们讨论了给定2个结点，3个结点，怎样 构造一次二次插值多项式p1(x)及p2(x)，现在我 们将它推广。 ---------推导pn(x) 给定n+1个结点的函数表
第二节 Lagrange插值多项式
一、两点式的线性插值
1、公式：当n=1时，给定了函数f(x)在两个互异点x0 , x1的值为 y0 = f ( x0 ) , y1 = f ( x1 ) ,要构造一个线性函数p1(x) = ax + b 满足： p1 ( x0 ) = y0 ， p1 ( x0 )= y1 称这样的线性函数为 f(x) 的线性插值函数。
2
二次插值的几何意义是用经过三点 A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替f(x)
下面我们仍仿照线形插值，利用插值基函数构造二次插值 p2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x)+ y2 l2(x)
这里的 li(x) 应是二次多项式且满足条件
l0(x0)=1 l1(x0)=0 l2(x0)=1 也即
表3-1
x y
曲线y = f ( x )。
x0 y0
x1 y1
线性插值的几何意义：用通过点(x0， y0) , (x1, y1)的直线近似的代替
2、线形插值的几何意义
p1 ( x )的表达式： 点斜式：
x x1 x 0 x1 x x0 x1 x 0
x x0 x1 x 0
(3-3)
件3-1)的n 次插值多项式 Pn(x) 是存在且是唯一的。
证明： 分析： 设Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ..... + an xn 只要证系数ai唯一，多项式唯一， 因为它通过n+1个已知点(xi , yi) (i=0,1……n)，等价于线性 方程组的解。Pn(x)满足：
ij
0, i j 1, i j
公式(3-5)说明线性插值函数p1 ( x )可以通过一次插值奇函数 线性表示 -----称为Lagrange型线性插值多项式 因用P1(x)近似代替 f (x) , 所以插值余项为： R1(x) = f(x) – P1(x)
P1 ( x ) l 0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y 1
两点式：
P1 ( x )
y0
y1
(3-4)
若记两个一次多项式为：
l0 ( x ) x x1 x 0 x1 , l1 ( x )
则p1 ( x )可写为： P1 ( x ) l 0 ( x ) y 0 l1 ( x ) y 1 l0(x), l1(x)叫做对应点xi的一次插值基函数。
定义1 ：已知函数 y = f(x)在区间 [a, b]上有定义，且已知n+1个 点 （xi ，y i) ( i=0,1….n ) a≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤b 若存在一个次数不超过n次的代数多项式：
Pn (x)=a0 + a1 x + a2 x2.....+ a n x n
满足条件 Pn( xi ) = f ( xi ) = y i f (x) 为被插值函数 [ a , b ]为插值区间 (i=0,1,...n) , （3-1） 则称： Pn (x)为 f (x)的插值函数（插值多项式） xi (i=0,1,....n) 为插值节点 （3-1）称为插值条件
值（多项式插值）、有理插值、三角插值和样条
插值。
拟合：观测数据(xi,yi)总有一定的误差,严格地要求 φ(x) 通过它们，有时效果并不好，尤其当观测数 据有很多时，更是如此。