GCT数学真题(2003-2009年真题与答案解析)
2003年GCT逻辑真题及答案解析
2009年GCT英语真题及答案解析Part One Vocabulary and StructureDirections:There are ten incomplete sentences in this part. For each sentence there are fourchoices marked A, B, C and D. Choose the one that best completes the sentence. Markyour answer on the ANSWER SHEET with a single line through the center.1. He added that the state government has made _________ arrangements for the conference.A. accurateB. absoluteC. adequateD. active2. This video may be freely reproduced __________ commercial promotion or sale.A. as forB. except forC. thanks toD. up to3. You ___________ engage in serious debate or discussion unless you are willing to endure attacks.A. have better notB. had better notC. have better not toD. had better not to4. Coffee has been a favorite drink for centuries, _________ the time when we were drinking it strong and black, without sugar.A. duringB. forC. beforeD. since5. By 2050 the world will have about 2 billion people aged over 60, three times _________ today.A. as much asB. as that ofC. as many asD. as those of6. Saffron returned to London to __________ her acting career after four years of modeling.A. followB. chaseC. seekD. pursue7. He has fancy dreams about his life, and nothing ever quite ____________ his expectations.A. matchesB. makesC. reachesD. realizes8. ___________ my neighbor's kid with his coming exam, I spend an hour working with him every day.A. To helpB. HelpingC. HelpedD. Having helped9. When I worked as a bank clerk, I had the opportunity to meet a rich ___________ of people: students, soldiers and factory workers.A. diversityB. kindC. rangeD. variety推荐阅读2012年在职研究生辅导班招生2012年在职攻硕报考条件及考试科目汇总2012GCT报名的工作程序及要求2012在职攻硕招生类别及代码2012全国联考考试科目及时间安排10. Cuts in funding have meant that equipment has been kept in service long after it _____________ replaced.A. should have beenB. would have beenC. could have beenD. might have beenPart Two Reading ComprehensionDirections:In this part there are three passages and one chart, each followed by five questions or unfinished statements. For each of them, there are four choices marked A, B, C and D. Choose the best one and mark your answer on the ANSWER SHEET with a single line through the center.Questions 11-15 are based on the following passage:Happy hours are not necessarily happy, nor do they last for an hour, but they have become a part of the ritual of the office worker and businessman.On weekdays in pubs and bars throughout America, there is the late afternoon happy hour. The time may vary from place to place, but usually it is held from four to seven. After the workday is finished, office workers in large cities and small towns take a relaxing pause and do not go directly home. They head off instead for the nearest bar or pub to be with friends, co-workers and colleagues. Within minutes the pub is filled to capacity with businessmen and secretaries,office clerks and stock executives. They gather around the bar like birds around a fountain or forest animals around a watering hole and chat about the trifles of office life or matters more personal. This is their desert garden, the place to relieve the day's stress at the office.At these happy hours, social binding occurs between people who share the same workplace or similar professions. They may chat about each other or talk about a planned project that has yet to meet a deadline. In this sense, these places become extensions of the workplace and constitute a good portion of one's social life.11. For office workers and businessmen the happy hour is their ____________.A. professional requirementB. regular practiceC. refreshing breakD. unpaid work12. Happy hours are held because office workers need to ___________.A. have a good rest after workB. stay away from household workC. make new friendsD. celebrate their achievements13. The phrase "filled to capacity" in Paragraph 2 means the pub is _____________.A. too crowdedB. rather entertainingC. completely fullD. very noisy14. Happy hours contribute to office workers' __________.A. cooperation in societyB. promotion in their companyC. connection in societyD. loyalty to their company15. Which of the following statements is NOT true?A. The happy hour is a social gathering in America.B. People avoid talking about work at happy hours.C. Happy hours are held on weekdays only.D. People exchange work experiences at happy hours.Questions 16-20 are based on the following passage:Lazy? Shy? Live in a cave? Those might not be positive attributes for the average human, but they sure are good for animals trying to survive in a changing environment. According to a new study, beasts that hibernate (冬眠) or crawl into holes are less likely to be listed as endangered than those that don't.Following up a previous study on extinct animals, which showed that species exhibiting "sleep or hide" (SLOH) behaviors did better than others, the researchers wanted to see if the same was true of modern creatures like moles and bears. To find out if our more timid animals have a leg up in the survival game, researchers made a master list of 443 sleep-or-hide mammals.With their list in hand, the team compared their 443 to the "red list" of endangered species published by the International Union for Conservation of Nature. As suspected, a sleepy or hiding animal was less likely to be on the red list than a regular animal, and a red-list animal was also less likely to be a SLOH-er.This makes a lot of sense, as animals that hide away in a cave or a tree hole are protected by their physical shelters from a variable environment outside, while hibernators enjoy a flexible metabolism (新陈代谢) that can help them adapt to a changing climate.16. On the list of extinct animals studied, there were _____________.A. fewer SLOH-ers than regular animalsB. more SLOH-ers than expectedC. as many SLOH-ers as regular animalsD. hardly any SLOH-ers17. The phrase "a leg up" in Paragraph 2 probably means __________.A. an instinctB. an advantageC. a fightD. a chance18. The study of modem creatures ___________.A. is unrelated to the study of extinct animalsB. finds evidence missing in the study of extinct animalsC. has findings similar to those of the study of extinct animalsD. reveals a different pattern from the study of extinct animals19. According to the passage, red-list animals are more likely to ____________.A. be lazyB. be timidC. live longD. sleep less20. In the last paragraph the author ____________.A. compares the behaviors of sleepers and hidersB. offers an explanation for the survival of sleepers and hidersC. analyzes how a changing environment affects SLOH-ersD. emphasizes what can be learned from SLOH-ersQuestions 21-25 are based on the following passage:In computing, passwords are commonly used to limit access to official users. Yet the widespread use of passwords has serious drawbacks. Office workers now have to remember an average of twelve system passwords. In theory they should use different passwords for each site, but in reality these would be impossible to remember, so many people use the same password for all.An additional problem is that the majority use simple words such as "hello", or names of family members, instead of more secure combinations of numbers and letters, such as 6ANV76Y. This permits computer hackers to download dictionaries and quickly find the word that allows them access.When system users forget their passwords there is extra expense in supplying new ones, while if people are forced to change passwords frequently they often write them down, making systems even less secure. Therefore, it is clear that the idea of passwords, which have been used as security devices for thousands of years, may need rethinking.One possible alternative has been developed by the American firm Real User, and is called "passfaces". In order to access the system a worker has to select a series of photographs of faces from a randomly (随机地) generated sequence. If the pictures are selected in the correct order, access is granted. This concept depends on the human ability to recognize and remember a huge number of different faces, and the advantage is that such a sequence cannot be told to anyone or written down, so is more secure. It is claimed that the picture sequence, which used photographs of university students, is easier to remember than passwords, and it has now been adopted for the United States Senate.21. What is the disadvantage of passwords as mentioned in Paragraph 1 ?A. They do not ensure security.B. They are difficult to remember.C. They have to be changed frequently.D. They limit computer accessibility.22. One can make a password safer by _____________.A. inserting pictures between numbersB. avoiding the use of letters altogetherC. setting up a firewall against computer hackersD. using complicated combinations of numbers and letters23. "Passfaces" is a method to get access to a system through ___________.A. remembering a large number of facesB. selecting photographs of faces one likesC. recognizing a sequence of face picturesD. showing one's face in front of the computer24. One advantage of "Passfaces" over a password is that ____________.A. it is easier to rememberB. it is more complicatedC. it takes less time to log inD. it allows one to write less25. What does the author think of the password?A. R is an old system that needs improvement.B. It provides as much security as before.C. R should be abandoned by computer users.D. It has developed to an advanced stage. Questions 26-30 are based on the following chart: FedExServiceRestrictions U.S. EXPRESS FREIGHTINTERNATIONALEXPRESSFREIGHTINTERNATIONAL AIR CARGO1 or2 DayFreight3 DayFreightInternationalPriority Freight or Economy Freight International Premium orExpress Freight International Airport toAirportMinimum weightper piece or shipment 68kg68kg68kgNo minimum restrictionsNo minimum restrictions Maximum weightper piece 997kg 997kg 997kg 997kg 997kgMaximum length Plus girth per piece 762cm762cm762cm762cm762cmMaximum lengthper piece 302cm302cm302cm302cm302cmMaximum heightper piece 178cm 178cm 178cm 178cm 178cm26. Which of the following might be a proper title for the chart?A. FedEx Freight Measurements and MethodsB. FedEx Shipment Regulations in US and Other CountriesC. FedEx International Freight Customer Service GuideD. FedEx Express Freight and Air Cargo Service Restrictions27. What's the minimum weight a shipment must reach in order to be transported by air?A. No restrictions.B. 68kg.C. 122kg.D. 997kg.28. If you need to ship something 300cm long within US, which service can you choose?A. Shipment in less than 1 day.B. Shipment in 1 or 2 days.C. Shipment in 3 days.D. Shipment in more than 3 days.29. What does "girth" possibly mean?A. Measurement around an object.B. Measurement of object weight.C. Formula to calculate object width.D. Formula to calculate object length.30. FedEx services have different restrictions on the goods' ____________.A. maximum weight per pieceB. maximum length plus girth per pieceC. maximum length per pieceD. maximum height per piecePart Three ClozeDirections:There are ten blanks in the following passage. For each numbered blank, there are four choices marked A, B, C and D. Choose the best one and mark your answer on the ANSWER SHEET with a single line through the center.Fueled by weather, wind, and dry undergrowth, uncontrolled wildfires can burn acres of land—and consume everything in their way—in mere minutes.31 , more than 100,000 wildfires clear 4 million to 5 million acres of land in the U.S. every year. A wildfire moves at speeds of up to 23 kilometers an hour, consuming everything —trees, bushes, homes, even humans—in its 32.There are three conditions that need to be 33 in order for a wildfire to burn: fuel, oxygen, and a heat source. Fuel is any material 34 a fire that will burn quickly and easily, including trees, grasses, bushes, even homes. Air supplies the oxygen a fire 35 to burn. Heat sources help spark the wildfire and bring fuel to 36 hot enough to start burning. Lightning, burning campfires or cigarettes, hot winds, and even the sun can all provide 37 heat to spark a wildfire.38 often harmful and destructive to humans, naturally occurring wildfires play a positive role in nature. They 39 nutrients to the soil by burning dead or decaying matter. They remove diseased plants and harmful insects from a forest ecosystem (生态系统). And by burning 40 thick trees and bushes, wildfires allow sunlight to reach the forest floor, enabling a new generation of young plants to grow.31. A. After all B. Above all C. In sum D. On average32. A. route B. track C. path D. trace33. A. stable B. present C. fixed D. favorable34. A. surrounding B. keeping C. causing D. making35. A. acquires B. needs C. captures D. meets36. A. materials B. places C. temperatures D. conditions37. A. additional B. excessive C. plentiful D. sufficient38. A. Although B. As C. If D. Whereas39. A. drive B. reduce C. return D. assign40. A. over B. through C. below D. beyondPart Four Dialogue CompletionDirections:In this part, there are ten short incomplete dialogues between two speakers, each followed by four choices marked A, B, C and D. Choose the one that most appropriately suits the conversational context and best completes the dialogue. Mark your answer on the ANSWER SHEET with a single line through the center.41. Speaker A: Hi. My name is Mark. I'm from Houston, Texas.Speaker B: I'm Bill. Glad to meet you. What year are you?Speaker A: ___________.A. I was born in 1990B. I've been here for yearsC. I'm 19 years oldD. I'm a first-year student42. Speaker A: I'm getting pretty bored. We should do something despite the rain.Speaker B: ____________. What do you have in mind?A. I back you up.B. Who cares?C. I'm with you.D. I like the rain.43. Man: We had a trip to South Africa this summer.Woman: ___________.Man: Yes, we did. In fact, we even encountered a lion.A. Didn't you?B. How did it go?C. I bet you had a great time.D. I guess you did.44. Man: Do you know Jason's phone number?Woman: ____________.Man: OK. I might as well look it up in the phone book.A. Just a second.B. Not that I know of.C. I can't think of it now.D. Why ask?45. Interviewer: Let me see if I understood you. You mean that you can work extra hours if needed, right?Interviewee: ______________.A. Yes. No matter what you say.B. Yes. Thank you for your clarification.C. Yes. You sure understand me.D. Yes. Absolutely.46. Speaker A: Thanks to John, we've lost our most important client.Speaker B: I've told you he's not proper for the position.Speaker A: __________.A. I don't really agree with youB. I should have listened to youC. It doesn't matter. I trust himD. Thank you for being so helpful47. Greg: Hey Merlin. I'd like to ask you a question.Merlin: ____________.Greg: Well, I'm thinking about going to Sweden. What's the best time to go?A. Yes, go ahead.B. Sorry, I'm kind of busy.C. OK, what's up?D. Yeah, what's on your mind?48. Woman: I need to buy a wedding gift for Jane and Desler.Man: Should we stop at the shopping center?Woman: _____________. The wedding's not until next week, but I won't have time later to get them anything.A. Won't be necessaryB. I suppose soC. It's your callD. If you insist49. Donald: Let's eat out, shall we?Mason: I'm broke. I've gone through my paycheck for the week already. Donald: Don't worry. ___________.A. We can find a wayB. Let's split the billC. Just fast foodD. It's my treat50. Teacher: Richard, class begins at 9, and you are late.Student: I know, but I missed my bus. I'm sorry.Teacher: ___________. You have to be here on time.A. Don't mention itB. That's no excuseC. You needn't beD. No problem英语:1-5 CBBDC 6-10 DCADA11-15 BACCB 16-20 ABCDB21-25 BDCAA 26-30 DABAB31-35 DABCB 36-40 CDACA41-45 DACCD 46-50 BCBDB。
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谢谢！历年全国GCT数学考题考点分析一、算术部分1．数字的运算技巧及数列求和●数字加法的合并化简、简单等差数列求和，（03题1）；●数字加法的合并化简、简单数列求和，（04题1）；●数字乘法的约分化简、简单等差数列求和，（05题1）；●带分数连加化简、等差数列求和、等比数列求和（06题1）●拆项分组的数字计数方法、等差数列求和、等比数列求和（07题2）●定义新运算（07题14）●分数的乘除运算（08题1）●正运算与逆运算的基本关系（08题2）●平均数的概念与相关计算（08题12）●简乘公式（09题1）●运算律简化运算（10题1）●比的性质运用（11题1）2．素数的概念及算术平均值计算（03题2）3．分数比大小（03题4、04题6）4．栽树问题（03题3）、挖坑问题（04题2）5．列方程解应用题●房间住宿安排问题（04题3）●相遇问题（04题5；09题8；11题7）●进度问题、效率问题（05题4）●追击问题、分数的四则运算（07题5）●周期运动的行程问题（08题11）6．配料问题、浓度问题，增长率、比值问题●产值增减百分比及比较（03题5）●配料问题、价格增减百分比及比较（04题4）●人口产值份额百分比、人均产值比较（05题6）●溶液浓度问题（06题9、08题7）●平均数、比例问题（10题3）●等比数列解应用题（10题5）●股票背景下的极值问题（10题12）●股票背景中的比例问题（11题13）7．找规律（09题3；09题10：杨辉三角）8．余数的概念及特点（11题2）二、初等代数部分1．计算●绝对值的计算（04题7,11题8）●绝对值、根式的概念、简单代数方程求解（07题4）●数的有理化计算（11题6）●算术均数、几何平均数的概念及相关计算（08题14）●二次多项式的因式分解（05题5）●代数式的恒等变形及待定系数法求参数值（07题11）2. 集合●集合的运算（06年题2）●集合的概念、子集计数（07年题1）3. 函数及其图像●求函数的定义域（05题16）●反比例函数的图象（05题13）●函数与其反函数图象的关系（05题21）●二次函数的图象及性质（03题6：二次函数（抛物线）配方、图象性质、单调区间）（08题5：图象所在象限）（09题2：根据图像求表达式）（10题6）●利用二次函数图像的对称性求待定系数（06题15）●两函数图象的对称性（03题7）●直线的对称线（04题14）●求两函数的复合函数的表达式（06题21）●分段函数的图象（08题4：行程问题的函数图象）●周期函数的概念及相关计算（09题6；10题8：奇偶性；11题9：奇偶性、二倍角公式）●一次函数与分段函数图象的运用（09题12）●由图形的变化判断函数的图象（10题11）4．一元二次方程（04题8：两个一元二次方程的消元化简）（05题2：一元二次方程根与系数的关系及因式分解）（05题8：解一元二次方程）（06题4：带绝对值的一元二次方程的根）（07题9：根与系数的关系、基本乘法公式、代数式求值）（09题5：根与系数的关系、等差中项与等比中项的基本概念）5．数列：●等差数列及等比数列求和（03题1、05题1、06题1）●数列的等差中项与等比中项（05题8）●等比数列n项乘积（06题14）●等比数列、古典概率的计算（10题14）●特殊数列的拆分、求和（11题4）6. 复数计算（03题8的根）（04题9：求复数的幅角、模，复数的几何表示）（05题7，09题9，11题10：求复数的模）（06题6：求共轭复数）（07题7，10题9：i的运算规律、复数的模）（08题8：次幂的模等于模的次幂）7．组合计数与简单的概率计算●有放回抽样情况下求次品率（03题9）●放球模型中求满足某种要求的放法的概率（04题10）●满足特定要求的数字的概率（05题9）●球队比赛场次计数（03题10）●求组合数（06题11，枚举去除重复）●从不同种类物品中选取若干，求满足种类数量要求的取法概率（06题13，古典概型=有利样本数/样本总数，组合计数）●独立事件概率运算（07题10）●组合计数（07题12）●满足特定要求的组合的古典概率（08题10）●事件概率和积事件的概率（09题14）●古典概型求概率、三角形三边关系（11题12）三、三角与几何部分1．平面几何问题●三角形边角关系（03题11，03题12；04题11，04题12，04题15，06题5，06题10，07题13）●直角三角形判定与性质（03题11：勾股定理；05题11：勾股定理、直角三角形斜边上的高）●圆的切线与弦（03题11；04题13：弦的计数）●圆周角性质（05题11：直径上的圆周角）●圆的垂径定理（05题14）●三角函数及等边三角形性质（08题13）●三角形中位线定理和余弦定理（10题10）●正三角形内心性质、相似三角形面积计算（11题3）●平面图形中的线段问题、勾股定理（11题11）2．平面几何图形的面积计算●利用三角形面积或性质求平面图形面积（03题12，04题12，05题3）●求扇形面积（03题14；09题4：图形割补，求圆环的面积），●求三角形面积（05题13）●求两半圆夹出的图形面积（06题3）●求三角形面积（06题5，三角函数、勾股定理）●椭圆的面积（06题10）●平移变换、长方形面积、比例计算（07题3）●求圆的面积（08题3：圆的基本知识、勾股定理）●比例相似与勾股定理求小正方形组合图形的面积（09题11）●图形割补求面积（10题4）3．立体几何●空间曲线的平行线计数（03题13）●扇形与圆锥体的关系、圆锥体的表面积（03题14）●圆锥体与球体的体积（05题10）●圆柱体与球体的体积（06题7）●正圆锥体的体积（06题18）●圆柱体的体积、勾股定理（07题6）●长方体的体对角线、全表面积及棱长之间的关系（08题6）●四面体的基本知识和体积计算（09题13；10题13：正四面体）●圆柱体中的体积转换（11题15）4．三角函数计算（04题9，10题7：三角函数定义(正弦、余弦)，两角和公式）（05题12：三角函数(余弦)的值域、正负象限、两角和公式）（07题8：三角函数定义（正弦、余弦、正切及相互关系））（08题9,11题5：三角函数定义（正切、诱导公式），两角和公式）（09题7：余弦定理）5. 解析几何●求直线方程（03题11：圆的弦的方程；04题14；04题16）●圆与直线的位置关系（03题15）●直线的对称线方程、直线的方向向量、直线的垂直（04题14）●向量加法的几何表示、利用向量运算求点的坐标（04题15）●椭圆的方程与图象（05题15）●平面坐标系中点的坐标的最大、最小值（06题8）●投影问题（06题10，半圆在地面上的投影，椭圆的面积）●椭圆与双曲线的定义（06题12）●直线的斜率、直线与圆的位置关系（07题15）●抛物线的焦点、弦、准线等基本概念与计算（08题15）●双曲线与圆的有关概念、圆与圆的位置关系（09题15）●直线方程、点的坐标与象限（10题2）●双曲线的离心率、曲线的切线方程（10题15）●参数方程向一般方程的转化、圆的一般方程（11题14）四、微积分学部分1．函数的极限●连续函数的极限性质（05题18）●利用洛必达法则求极限（04题17）●极限的概念（07题16）●圆、函数及用不等式判断极值（07题21）●函数概念和函数记号（08题16）●简单函数的性质和图形（09题16）●等价无穷小量替换求极限（10题16）●无穷小量的定义及判断（11题16）2．导数与微分●导数的定义（05题18；11题17）●导数的物理意义（03题18）●微分概念及高阶无穷小概念（03题17）●求复合函数的导数（04题16，07题17,10题17）●微分中值定理（03题18：拉格朗日；05题19：拉格朗日；08题18：拉格朗日）●利用导数的定义求数列极限（06题16）●利用导数和增长率的概念判断函数曲线变化快慢（06题20）●极限计算和导数定义（08题17）●0/0型未定式极限的计算（09题17：洛必达法则）●高阶导数和导数计算法则（09题20）●导数的定义、计算和几何意义（10题18）3．导数的应用●求函数的单调性区间及极值（03题16）●利用单调性求方程的根的个数（根的存在定理）（03题19，06题19）●导数的几何意义，直线斜率、方程，求曲线的切线方程（04题16，04题17）●利用单调性比较函数大小（证明不等式）（04题18）●求曲线的渐近线（05题17）●判断函数的极值点和拐点个数（06题17）●利用函数的导数求正圆锥体积的最大值点（06题18）●利用函数的导数求函数最大值或最小值（08题20，10题19）●函数极限的计算、无穷小量的比较（09题18）●利用单调性判断方程的根的相关问题（11题18）4．不定积分和定积分●原函数概念、不定积分的分部积分法（05题20）●定积分计算（03题20：变量替换法、利用被积函数奇偶性）；（04题19凑微分法、移项法）（07题18：变量替换法）（08题21：原函数概念、复合函数计算）●利用定积分的几何意义求曲线下图形的面积(04题17，04题20；05题21)●变上限积分函数的极值（03题16）●变上限积分函数的导数（04题17：函数的切线斜率、切线方程、曲线下面积，洛必达法则，变上限函数的导数；08题19：反函数概念，定积分的性质）●变上限积分函数构成的方程的根的个数（06题19，利用变上限函数的导数判别）●分段函数求定积分（06题21）●定积分的概念及性质（07题19：变限积分函数的几何意义；09题19：函数单调性的判断）●函数的连续性、变上限定积分函数的性质及极限的基本求法（07题20）●变上限积分的换元和求导法则（09题21）●变限积分的导数计算、函数的周期性（10题20）●导数和定积分的几何意义及计算（10题21）●导数与积分的关系、二阶导数的计算（11题19）●原函数的概念、定积分计算（11题20）●函数凹凸性的应用、反函数的概念、定积分的几何意义（11题21）五、线性代数部分1．行列式计算●03题21：四阶行列式，按列展开法●04题21：三阶行列式（04题24也涉及三阶行列式计算）●05题25：三阶行列式计算，与高次方程的根的概念结合●06题23向量线性相关性涉及三阶行列式计算●06题25求矩阵特征多项式涉及三阶行列式计算●07题22，09题22：行列式的性质及计算2．矩阵和向量的运算●矩阵乘法与转置 (03题22：转置、乘法；08题24)●求逆矩阵（03题25：矩阵的特征值与特征向量的概念，特征向量构成的矩阵，涉及矩阵的乘法及求对角矩阵的逆矩阵；04题22：矩阵相乘的逆矩阵，对角矩阵的逆矩阵）●n维向量的转置和乘法（05题24）●解矩阵方程（06题22）●逆矩阵及伴随矩阵的性质、矩阵的运算（07题23）●矩阵的运算（11题22）●逆矩阵、单位矩阵的定义及性质（11题23）3．矩阵的秩、向量组线性相关和线性无关●04题23：利用向量组线性相关和线性无关的概念确定未知参数●05题22：求一组向量的极大无关组●方程组0Ax=有非零解与系数矩阵列向量线性相关之间的关系（03题24）●方程组0Ax=有非零解、系数矩阵的秩、基础解系含无关解向量个数之间的关系（04题24，06题23）●矩阵的秩与其伴随矩阵的秩的关系（03题23）●线性无关的向量作线性组合后，所得的新向量组的线性无关性判定（06题24）●●线性方程组解的存在性、矩阵的秩之间的关系（07题24，08题22）●向量组秩的概念及其计算（08题23）●●矩阵运算和解线性方程组（09题23）●●向量组线性表示的概念、非齐次线性方程组有解的条件（09题24）●●矩阵运算、矩阵秩的求法、行列式的计算（10题22）●●向量组的等价关系（10题23）●线性方程组解的存在性、矩阵秩的概念、初等变换求矩阵的秩（10题24）●非齐次线性方程组解的存在性（11题24）4．矩阵的特征值、特征向量●已知特征值和特征向量，求矩阵（03题25）●求矩阵的特征值（05题23；08题25：伴随矩阵和逆矩阵的关系）●求特征多项式（06题5，利用两矩阵特征多项式相等求待定参数）●●特征值的求法、相似矩阵的概念和性质（09题25）●相似矩阵的概念和性质（11题25）5．矩阵的对角化●●矩阵可否对角化的判别（04题25）●矩阵可对角化的充要条件、特征值的概念（07题25）●特征值的概念、矩阵对角化的充要条件（10题25）附表：GCT数学历年（03-11）考题各部分分数分布表。
GCT数学真题(真题与答案解析)
GCT 数学2003-2009年真题与答案解析2003年GCT 入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1．12345678910111234567891011++++++++++=-+-+-+-+-+（ ）。
A ．10 B ．11 C ．12 D ．132．记不超过10的素数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．1 000 m 的大道两侧从起点开始每隔10 m 各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。
A ．树200棵，花200盆B ．树202棵，花200盆C ．树202棵，花202盆D ．树200棵，花202盆4．已知20012002a =，20022003b =，20032004c =，则（ ）。
A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。
A ．4月份与2月份产值相等B ．4月份比2月份产值增加199C ．4月份比2月份产值减少199D ．4月份比2月份产值减少11006．函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在[0，+∞）上单调增的充分必要条件是（ ）。
A ．a <0且b ≥0 B ．a <0且b ≤0 C ．a >0且b ≥0 D ．a >0且b ≤0 7．函数1y f a x =+（）（a ≠0）与2y f a x =-（）的图像关于（ ）。
A ．直线x -a =0对称 B ．直线x +a =0对称 C ．x 轴对称D ．y 轴对称8．已知实数x 和y 满足条件99x y +（）= -1和100-x y （）=1，则x 101+y 101的值是（ ）。
A ．-1B ．0C ．1D ．29．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。
2007-2009GCT数学真题
2007 数学基础能力测试（25题，每小题4分，满分100分） 1. 集合{0，1，2，3}的子集的个数为（C ）A. 14B. 15C. 16D. 18解：01234444444216c c c c c ++++==，选（C ）。
222222222201234567123456789102.22222222-+-+-+-+-+++++++的值是（ B ）11A.5111B. -5122C.5122D. -51解：原式=83711151955112125551------==--，选（B ） 3.图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于 （B ）A. 22B. 20C. 18D. 11.25解：9122015x x=⇒=，选（B ）。
4.x+2y 0=的解为( D )0A. y=2x =⎧⎨⎩ x=3B. y=1⎧⎨⎩2C. 3x y =⎧⎨=⎩ 4D. 2x y =⎧⎨=-⎩解：24202x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，选（D ）。
5. 甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A 区到B 区，甲需要30分钟，乙需要40分钟。
如果乙比甲早出发5分钟去B 区，则甲出发后经（ B ）分钟可以追上乙。
A. 10B. 15C. 20D. 25解：30403040(5) 155V V tV t V t t t==+⇒=⇒=+乙乙甲甲，，，选（B ）。
6. 一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12厘米的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口边缘2厘米，最多能露出4厘米，则这个量杯的容积为（A ）立方厘米。
A . 72π B. 96π C. 288π D . 384π 解：2212210, 1248,6,3,3872D R S R H πππ-===⇒====⋅⋅=，选（A ）。
2345677.i i i i i i i =++++++=复数z ，则z+i （ C ）A . 2 D. 1解：111 1 1z i i i i z i i =---+--=-⇒+=-+=选（C ）。
2003-数二真题、标准答案及解析
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！2003年考研数学（二）真题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。
把答案填在题中横线上）(1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= 。
（2） 设函数y=f （x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f （x)在点（1，1)处的切线方程是 . （3） x y 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________。
（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα,则ααT = .（6） 设三阶方阵A ，B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________。
二、选择题（本题共6小题,每小题4分，满分24分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ,则必有（A) n n b a <对任意n 成立。
（B ） n n c b <对任意n 成立.（C ） 极限n n n c a ∞→lim 不存在。
（D ） 极限n n n c b ∞→lim 不存在. ［ ］（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 （A) 1)1(23++e 。
(B) 1)1(231-+-e 。
(C) 1)1(231++-e 。
（D) 1)1(23-+e . [ ］(3）已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(yxϕ的表达式为 （A ） .22xy - （B ） .22x y梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！(C) .22yx - (D ） .22y x [ ]（4）设函数f （x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f （x ）有 (A) 38312 95A8 閨39651 9AE3 髣30806 7856 硖25001 61A9 憩p^;L(B)(C) 一个极小值点和两个极大值点. (D) 两个极小值点和一个极大值点。
(GCT)数学真题2009年 含答案解析.
2009年GCT入学资格考试数学基础能力测试试题1.如图,直角坐标系xOy中的曲线是二次函数y=f(x的图像,则f(x=(A.-x2-6x-5B.-x2+6x-5C.x2+4x-5D.x2-4x-52.=(A.41B.1681C.49D.24013.如图,长方形ABCD,AB=a,BC=b(b>a.若将长方形 ABCD绕A点顺时针旋转90°,则线段CD扫过的面积(阴影部分等于( 。
4.若将正偶数2,4,6,8,10,12,14,16,…依次排成一行:246810121416…则从左右数的第101个数码是(A.4B.3C.2D.15.函数y=f(x是定义在(-∞,+∞上的周期为3的周期函数,右图表示的是该函数在区间[-2,1]上的图像,则的值等于( 。
A.-2B.0C.2D.46.若两个正数的等差中项为15,等比中项为12,则这两数之差的绝对值等于( 。
A.18B.10C.9D.77.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50km/h,乙车的速度是40km/h,当甲车驶到A,B两地路程的,再前行50km时与乙车相遇,A,B两地的路程是非曲直( km。
A.210B.215C.220D.2258.等腰△AB中,AB=AC=,底边BC>3,则顶角∠A的取值范围是( 。
9.下图是我国古代的“杨辉三角形”,按其数字构成规律,图中第八行所有○中误码填数字和等于( 。
A.96B.128C.256D.31210.若复数,z2=-2i2+5i3,则|z1+z2|=( 。
11.在直角坐标系中,若直线y=kx与函数的图像恰有3个不同的交点,则众的取值范围是( 。
A.(-∞,0 D.(2,+∞12.在边长为10的正方形ABCD中,若按下图所画嵌入6个边长一样的小正方形,使得P,Q,M,四个顶点落在大正方形的边上,则这六具小正方形的面积之和是( 。
13.甲盒中有200个螺杆,其中A型的有160个;乙盒中有240个螺母,其中A型的有180个,从甲乙两盒中任取一个零件,能配成A型螺栓的概率为( 。
语文、数学、逻辑、英语全部真题及答案解析GCT真题全集
GCT 真题全集（2003 年至 2011 年 9 年语文、数学、逻辑、英语全部真题及答案解析）第 1 页共 312 页GCT 2003 年考试试卷第一节语言表达能力测试题50题,每题 2 分,满分 100 分,考试时间 45 分钟一、选择题1．下列加点字的注音全都正确的一组是：A．海市蜃（shan）楼良莠（yòu）不齐怙（g ú）恶不悛．．．B．为（wai）渊驱鱼心广体胖（pán）瞠（ch ēng）目结舌．．．C．刚愎（bì）自用胜券（juàn）在握面面相觑（qù）．．．D．冠（guān）冕堂皇买椟（dú）还珠茅塞（s ài）顿开．．．2．下列没有错别字的一句是：．．A．按照上级布署，他们认真组织了一系列观摩课，师生们反应热烈。
B．别看他俩在一起有说有笑的，其实是貌和神离。
C．我们都迫不急待地想知道，究竟是谁能赢得最后的胜利。
D．这哥儿俩，一个标新立异，一个循规蹈矩，差别太大了！3．下列加点字的释义全都正确的一组是：A．匹（个人）敌礼尚（注重）往来赦过宥（宽恕）罪．．．B．矜（怜悯）持横征暴敛（搜刮）欲盖弥（更加）彰．．．C．虔（恭敬）诚连篇累（连续）牍披（劈开）荆斩棘．．．D．自诩（夸耀）不刊（登载）之论化险为夷（平安）．．．4．下列各句中，加点成语使用正确的一句是：A．病菌虽然可以说是微不足道的，但它对人体的危害却极其严重。
．．．．B．有的领导干部身居要职，却胸无城府，思想僵化，能不被时代潮流所淘汰吗？．．．．C．长篇小说《三国志通俗演义》问世之后，流传甚广，几乎是家喻户晓。
．．．．D．他忠于党的教育事业，工作起来处心积虑，任劳任怨。
．．．．5．下列各句中，没有语病的一句是：．．A．我们要学会正确的立场、方法和观点，去解决问题、分析问题和提出问题。
B．文件对经济领域中的若干重要问题，从理论上和政策上做了详细的规定和深刻的说明。
2003-数二真题、标准答案及解析
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xaxx x ax x x ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(ln n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中n x 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】 因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(y x ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是 1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4tan 401ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 42ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→=113lim 1113lim 22022--=----→→x ax xax x x=.6213lim 220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x ax ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a . 当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x五 、（本题满分9分） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant. 【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰--=tdt e t e t e tttsin sin cos ⎰-+-， 故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt +-=⎰ 因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xe x x ++-【评注】本题也可用分布积分法：dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de x x arctan 21⎰+=dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=x x de x x xe arctan 22arctan 111⎰+-+=dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x. 六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有)(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k-=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ，故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(3) 求曲线 y=f(x)的方程；(4) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 )(1x X yy Y -'-=-， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=， 故Q 点的坐标为).,0(y xy '+由题设知 0)(21='++y xy y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数).由2122==x y知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为 .cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=2022022sin 121cos 21sin ππ， 令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=202022cos 121)(cos 121ππ=.4222l l=【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(3) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (4) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而.4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u yϕϕπ上式两边对y 求导，得)()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'= 解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2, 故所求曲线方程为.26yex π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解. 十 、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(2) 在(a,b)内f(x)>0;(3) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【分析】 (1) 由ax a x f ax --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f ax --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x xa baaadt t f x dtt f dt t f a b a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ，即有 ⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：⎰-=-'b adx x f a a b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dx x f a b ba-'=-⎰ξηξ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ） ))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ， 可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(6028222---=------=-λλλλλλa A E=)2()6(2+-λλ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
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GCT 数学2003-2009年真题与答案解析2003年GCT 入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1．12345678910111234567891011++++++++++=-+-+-+-+-+（ ）。
A ．10 B ．11 C ．12 D ．132．记不超过10的素数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．1 000 m 的大道两侧从起点开始每隔10 m 各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。
A ．树200棵，花200盆B ．树202棵，花200盆C ．树202棵，花202盆D ．树200棵，花202盆4．已知20012002a =，20022003b =，20032004c =，则（ ）。
A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。
A ．4月份与2月份产值相等B ．4月份比2月份产值增加199C ．4月份比2月份产值减少199D ．4月份比2月份产值减少11006．函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在[0，+∞）上单调增的充分必要条件是（ ）。
A ．a <0且b ≥0 B ．a <0且b ≤0 C ．a >0且b ≥0 D ．a >0且b ≤0 7．函数1y f a x =+（）（a ≠0）与2y f a x =-（）的图像关于（ ）。
A ．直线x -a =0对称B ．直线x +a =0对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称8．已知实数x 和y 满足条件99x y +（）= -1和100-x y （）=1，则x 101+y 101的值是（ ）。
A ．-1B ．0C ．1D ．29．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。
A ．0.271B ．0.243C ．0.1D ．0.08110．A 、B 、C 、D 、E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知A 队已赛过4场，B 队已赛过3场，C 队已赛过2场，D 队已赛过1场，则此时E 队已赛过（ ）。
A ．1场B ．2场C ．3场D ．4场11．过点P （0，2）作圆x 2+y 2=1的切线P A 、PB ，A 、B 是两个切点，则AB 所在直线的方程为（ ）。
A ．12x =-B ．12y =-C ．12x =D ．12y =12．如图，正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。
AEB F CDA ．12 B ．34 C ．23 D ．35 13．已知两平行平面α，β之间的距离为d （d >0），l 是平面α内的一条直线，则在平面β内与直线l 平行且距离为2d 的直线的有（ ）。
A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条14．正圆锥的全面积是侧面积的54倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ ）。
A ．πB ．π2C ．π3D ．π615．设点（x 0，y 0）在圆C ：221x y +=的内部，则直线x 0 x + y 0 y =1和圆C （ ）。
A ．不相交B ．有一个交点C ．有两个交点，且两交点间的距离小于2D ．有两个交点，且两交点间的距离等于216．设201d xf x t t t =-⎰（）（），则f x （）的极值点的个数是（ ）。
A ．0B ．1C ．2D ．317．如果函数f x （）在x 0处可导，∆0f x （）=0f x +（∆x ）-0f x （），则极限000d lim∆→∆-∆x f x f x x（）（）（ ）。
A ．等于f '（x 0）B ．等于1C ．等于0D ．不存在 18．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。
A ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C ．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样D ．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样19．方程2sin cos x x x x =+的实数根的个数是（ ）。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20．设0sin cos d I x x π=⎰（），则（ ）。
A ．I =0B ．I <0C ．0<I <1D ．I =021．行列式21211102001x x x x x x----展开式中x 4的系数是（ ）。
A ．2B ．-2C ．1D ．-122．设112031-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭A =，110231⎛⎫ ⎪⎝⎭B =，则必有（ ）。
A ．AB =BAB ．AB =B T A TC ．BA = -8D ．AB =023．设A 为4阶非零方阵，其伴随矩阵A *的秩r （A *）=0，则秩r （A ）等于（ ）。
A ．1或2B ．1或3C ．2或3D ．3或424．设A 为m ⨯n 的非零矩阵，方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是（ ）。
A ．A 的列向量线性无关 B ．A 的列向量线性相关 C ．A 的行向量线性无关 D ．A 的行向量线性相关 25．已知三阶矩阵M 的特征值为λ1= -1，λ2=0，λ3=1，它们所对应的特征向量为α1=（1，0，0）T ，α2=（0，2，T 0），α3=（0，0，T1），则矩阵M 是（ ）。
A ．010000001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．110001001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．001000100-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．100000001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1．【答案】B【解析】等差数列求和公式12nn a a nS+=（）分子=11111662+⨯=（）分母=-5+11=6原式=6611 6=2．【答案】C【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=23574.254+++=，故与M最接近的整数为4。
3．【答案】B【解析】10×010×110×210×100…，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。
4．【答案】D【解析】20011120022002a==-，20021120032003b==-，20031120042004c==-由111 200220032004>>得111 111200220032004 -<-<-故a<b<c5．【答案】D【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月份产量减少1 100。
6．【答案】C【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在[0，+∞）上是单调增函数的充分必要条件必须满足2aabba>⎧>⎧⎪⇒⎨⎨-⎩⎪⎩≥≤，故选C。
7．【答案】D【解析】令f （x ）=x ，有+=++=+f x a x a f x a x a --（）和（）。
得图像如下：所以图像关于y 轴对称。
故选D 。
8．【答案】A【解析】由已知可得：101110x y x x x y y y +=-==-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-=±=-=⎩⎩⎩或 所以x 101+y 101=-19．【答案】A 【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。
10．【答案】B【解析】由于A 队赛4场，故A 必须与其他四队都赛； D 队已赛1场，D 队只与A 队赛；B 队已赛3场，B 队与A 、C 、E 分别赛； C 队已赛2场，C 队与A 、B 分别赛。
所以E 队已赛2场 11．【答案】D【解析】如右图所示，OA =1，OP =2，∠AOP =60°，OF =12OA =12。
所以AB 所在直线的方程为y =1212．【答案】C【解析】因E 、F 分别为AB 、BC 的中点，所以DE 和DF 交AC 于M ，N 等分AC ，故S △AMD =S △DMN =S △DNC （等底等高），S △AMD +S △DNC =13S △BEF +S 梯形MNEF=1111122223⨯⨯+⨯=⎝⎭ S 阴影=112333+=13．【答案】C【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。
14．【答案】B【解析】设正圆锥的底面半径以R ，母线长为L ，则圆锥侧面积=πRL圆锥全面积=πR 2+πRLxxαld2d2d30°30°β因此2π445ππ=⇒=+RL L R RL R故所求圆心角=2π2ππ42R R l R ==，选B 。
15．【答案】A【解析】令001=02x y （，）（，）在圆内，00+=1x x y y ，可代为x =2，故选A 。
16．【答案】B【解析】由f （x ）=243430011111d 4343xx t t t t t x x -=-=-⎰（）f '(x )=x 3- x 2= x 2(x -1)，令f '(x )=0得x =0，x =1。
显然x =1是f (x )的极值点；在x =0的邻域内f '(x )<0，不变号，则x =0不是f (x )的极值点，故选B 。
17．【答案】C 【解析】d f （x 0）=f （x 0+∆x ）-f （x 0）00000000d []limlim 0x x f x f x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→∆-+∆--+∆-==∆∆（）（）（）（）（）（）18．【答案】C【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A 、B 均错。
甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D 错。
故选C 。
19．【答案】B【解析】令y 1=x 2y 2=x sin x +cos x1arc tan x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由数形（如图）结合可知交点个数为2个。
20．【答案】D 【解析】=,cos =cos(+)=sin 2t x x t t ππ2令-则。
22d =d I=sin(sin )d =sin sin )d x tt t t tππ2ππ--2--⎰⎰（因为被积函数f (t )=-sin(sin t )在,ππ⎡⎤-⎢⎥22⎣⎦上是奇函数。
所以I=0，故选D 。
21．【答案】A【解析】要使行列式21211102001----x x x x x x展开式中含x 4，则在行列式中，各不同的行、列都有x ，即（2x 、x 、x 、x ）=2x 4（即对角线上都为x ），故选A 。