大学数学第1章:_函数、极限、连续
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微积分:一函数与极限常量与变量函数函数的简单性态反函数初等函数数列的极限函数的极限无穷大量与无穷小量无穷小量的比较函数连续性连续函数的性质及初等函数函数连续性二导数与微分导数的概念函数的和、差求导法则函数的积、商求导法则复合函数求导法则反函数求导法则高阶导数隐函数及其求导法则函数的微分三导数的应用微分中值定理未定式问题函数单调性的判定法函数的极值及其求法函数的最大、最小值及其应用曲线的凹向与拐点四不定积分不定积分的概念及性质求不定积分的方法几种特殊函数的积分举例五定积分及其应用定积分的概念微积分的积分公式定积分的换元法与分部积分法广义积分六空间解析几何空间直角坐标系方向余弦与方向数平面与空间直线曲面与空间曲线七多元函数的微分学多元函数概念二元函数极限及其连续性偏导数全微分多元复合函数的求导法多元函数的极值八多元函数积分学二重积分的概念及性质二重积分的计算法三重积分的概念及其计算法九常微分方程微分方程的基本概念可分离变量的微分方程及齐次方程线性微分方程可降阶的高阶方程线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法十无穷级数级数的概念及其性质正项级数的收敛问题一般常数项级数的审敛准则函数项级数、幂级数函数幂级数的展开式线性代数:前言第1章矩阵的概念与消元法1.1 矩阵的概念1.2 矩阵的初等行变换1.3 消元法解线性方程组第1章自测题第2章矩阵的运算2.1 矩阵的基本运算2.2 分块矩阵及其运算2.3 可逆矩阵2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵第2章自测题第3章行列式3.1 二、三阶行列式3.2 n阶行列式的定义3.3 行列式的性质3.4 克拉默法则3.5 方阵的行列式3.6 矩阵的秩第3章自测题第4章向量组的线性相关性4.1 n维向量组及其运算4.2 向量组的线性相关性4.3 向量组的极大无关组和秩4.4 线性方程组解的结构4.5 向量空间与欧氏空间简介第4章自测题第5章相似矩阵与二次型5.1 特征值与特征向量5.2 特征值和特征向量的求法与矩阵的对角化5.3 实对称矩阵的对角化5.4 二次型及其标准形介绍第5章自测题。
大学_高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载

高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)课后答案下载高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)内容提要绪言第1章函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 数列的极限1.4 函数的极限1.5 无穷小与无穷大1.6 极限运算法则1.7 极限存在准则两个重要极限1.8 无穷小的比较1.9 函数的连续与间断1.10 连续函数的运算与性质总习题数学家简介第2章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数2.5 函数的微分总习题二数学家简介第3章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 泰勒公式3.4 函数的单调性、凹凸性与极值 3.5 数学建模——最优化3.6 函数图形的描绘3.7 曲率总习题三数学家简介第4章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分总习题四数学家简介第5章定积分5.1 定积分概念5.2 定积分的性质5.3 微积分基本公式5.4 定积分的换元积分法和分部积分法 5.5 广义积分总习题五数学家简介第6章定积分的应用6.1 定积分的微元法6.2 平面图形的面积6.3 体积6.4 平面曲线的弧长6.5 功、水压力和引力总习题六第7章微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 一阶线性微分方程7.4 可降阶的二阶微分方程7.5 二阶线性微分方程解的结构7.6 二阶常系数齐次线性微分方程7.7 二阶常系数非齐次线性微分方程7.8 欧拉方程7.9 常系数线性微分方程组7.10 数学建模——微分方程的应用举例总习题七附录Ⅰ预备知识附录Ⅱ常用曲线附录Ⅲ利用Excel软件做线性回归习题答案第1章答案第2章答案第3章答案第4章答案第5章答案第6章答案第7章答案高等数学理工类第三版上册(吴赣昌著)目录本书根据高等院校理工类本科专业高等数学课程的教学大纲编写而成,并在第二版的基础上进行了修订和完善。
高等数学 一 微积分》讲义

2
11/69
( 2 ) 因 为 ex2 − 1 ~ x2 ,
sin 3x
~
3x
,1−
cos 2x
~
1 2
(2
x
)2
=
2x2
,
ln(1 + x) ~ x
( ) 所以
e x2 − 1 sin 3 x lim x→0 (1 − cos 2 x)ln(1 +
x)
= lim x→0
x2 ⋅(3x) (2x2)⋅ x
3n+2
=
lim
1 5
−
1 52
( 4 )n−1 5
n→∞ 1 + 3( 3 )n+1
5
=
1− 5
1 52
lim( 4 )n−1 n→∞ 5
=
1
1 + 3lim( 3 )n+1 5
n→∞ 5
(2)
lim
x − cos x
=
lim
1−
cos x x
=1
x→+∞ x − sin x x→+∞ 1 − sin x
=
⎛
1⎜
2
lim
x→0
⎜ ⎜
sin x 2
x
⎞2 ⎟ ⎟ ⎟
=
1 2
2
⎝2⎠
π
(4)lim(nsin π ) =
n→∞
n
limπ
n→∞
sin
⋅
n
π
=π
π
lim(nsin )
n→∞
n
n
10/69
注意:等价无穷小
x → 0时, x ~ sin x, x ~ tan x, x ~ arcsin x , 1 − cos x ~ x2 2
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容(1.1、1.2)函数邻域(){}δδ<-=axxaU,(即(){},U a x a x aδδδ=-<<+)(){}0,0U a x x aδδ=<-<((){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠)函数两个要素:对应法则f以及函数的定义域D由此,两函数相等⇔两要素相同;(与自变量用何字母表示无关)解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数;特性局部有界性对集合DX⊂,若存在正数M,使对所有Xx∈,恒有()Mxf<,称函数()xf在X上有界,或()xf是X上的有界函数;反之无界,即任意正数M(无论M多大),总存在(能找到)Xx∈,使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂,对区间上任意两点21xx,当21xx<时,恒有:()()21xfxf<,称函数在区间I上是单调增加函数;反之,若()()21xfxf>,则称函数在区间I上是单调减小函数;奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称;若Dx∈∀,恒有()()xfxf=-,则称()xf是偶函数;若Dx∈∀,恒有()()xfxf-=-,则称()x f是奇函数;周期性若存在非零常数T,使得对Dx∈∀,有()DTx∈±,且()()x fTxf=+,则称()x f是周期函数;初等函数几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数;反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数课后习题全解习题1-1★1.求下列函数的定义域:知识点:自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合; 思路:常见的表达式有 ① alog□,( □0>) ② /N □, ( □0≠) ③ (0)≥④ arcsin([]1,1-∈)等解:(1)[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ; (2)31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ;(3)()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ;(4)()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x;(5)()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ; ★2.下列各题中,函数是否相同?为什么?(1)2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=;(2)12+=x y 与12+=y x知识点:函数相等的条件;思路:函数的两个要素是f (作用法则)及定义域D (作用范围),当两个函数作用法则f 相同(化简后代数表达式相同)且定义域相同时,两函数相同;解:(1)2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0,xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=,虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=,但显然两者定义域不同,故不是同一函数;(2)12+=x y ,以x 为自变量,显然定义域为实数R ;12+=y x ,以x 为自变量,显然定义域也为实数R ;两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关,故两者为同一函数;★3.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ,求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ,,,,并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点:分段函数; 思路:注意自变量的不同范围;解:216sin )6(==ππϕ,224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ,224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ;如图:★4.试证下列各函数在指定区间内的单调性 :(1)()1,1∞--=xxy (2)x x y ln 2+=,()+∞,0 知识点:单调性定义。
大学高数第一章函数和极限

x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见,上例求极限,可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解:lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R,值域为[-1,1],最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集,对于集合 X 中的任意一个数 x , 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应,则称 y 是 x 的函数,记为:
y f (x) ,其中 x 称为自变量, y 称为因变量,
其中,集合 X 称为定义域,集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ,在 ,内有界,且:| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数,变量 u 又是 变量 x 的函数,即: y f (u), u (x) , 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分, 则称 y 是 x 的复合函数,记作: y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
微积分第一章

高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。
2. 掌握极限四则运算法则。
3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里.华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数

例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数,试求函数f(ax+b) 的周期,其中a,b常数,且a>0。
解:
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性:实数点能铺满整个数轴,而不会留下任何空隙,即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集: N 表示全体正整数的集合;Z 表示全体整数的集合; Q 表示全体有理数的集合;R 表示全体实数的集合; C 表示全体复数的集合..
(1)有限区间
(2)无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (:
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
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大学高等数学教材目录第一章前言1.1 数学教材的重要性1.2 数学教材的组成要素第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的图像与性质2.2 极限的概念与性质2.2.1 极限的定义2.2.2 无穷小量与无穷大量2.3 一元函数的极限2.3.1 极限的运算法则2.3.2 连续函数与间断点2.4 多元函数的极限2.4.1 多元函数的定义与性质2.4.2 多元函数的极限计算2.5 极限存在准则与极限运算法则 2.5.1 极限存在准则2.5.2 极限运算法则的应用第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与解释3.1.2 导数的几何意义与物理意义 3.2 导数运算法则3.2.1 导数的四则运算3.2.2 链式法则与复合函数的导数 3.3 高阶导数与隐函数求导3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 隐函数求导的方法3.4 微分与微分近似3.4.1 微分的定义与计算3.4.2 微分近似与局部线性化第四章积分与定积分4.1 不定积分与反导函数4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本积分公式与换元积分法4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义与几何意义4.2.2 定积分的计算方法4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用:曲线长度与曲面面积 4.3.2 物理应用:质量、质心与弧长 4.4 微积分基本定理及其应用4.4.1 第一型与第二型微积分基本定理 4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式的推广第五章一元函数的级数5.1 数项级数5.1.1 数项级数的概念与性质5.1.2 数项级数的敛散性判定5.2 幂级数与函数展开5.2.1 幂级数的收敛半径5.2.2 幂级数的基本性质与展开5.3 函数项级数5.3.1 函数项级数的概念与性质5.3.2 函数项级数的一致收敛性5.4 泰勒级数与傅里叶级数5.4.1 泰勒级数的定义与应用5.4.2 傅里叶级数的定义与计算第六章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义6.1.2 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分与多元函数的微分近似 6.3 多元复合函数与隐函数求导6.3.1 多元复合函数的偏导数6.3.2 多元隐函数的求导方法6.4 梯度与方向导数6.4.1 多元函数的梯度6.4.2 方向导数与梯度的应用第七章多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与几何意义 7.1.2 二重积分的计算方法7.2 二重积分的应用7.2.1 几何应用:面积与质心7.2.2 物理应用:质量与矩7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与几何意义 7.3.2 三重积分的计算方法7.4 三重积分的应用7.4.1 几何应用:体积与质心7.4.2 物理应用:质量与转动惯量7.5 曲线与曲面积分7.5.1 第一型曲线积分7.5.2 第二型曲线积分与曲面积分第八章常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.1.1 微分方程的定义与分类8.1.2 初值问题与解的存在唯一性 8.2 一阶常微分方程8.2.1 可分离变量方程8.2.2 一阶线性方程8.3 二阶线性常系数齐次微分方程 8.3.1 特征方程与通解形式8.3.2 边值问题与特解法8.4 高阶线性常系数齐次微分方程 8.4.1 特征方程与通解形式8.4.2 边值问题与特解法8.5 常微分方程的应用8.5.1 骨架曲线与特解的选择8.5.2 物理领域中的应用第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念与运算9.1.1 向量的定义与性质9.1.2 向量的线性运算与数量积9.2 空间直线与平面9.2.1 空间直线的参数方程9.2.2 空间平面的法向量与标准方程 9.3 空间曲线与曲面9.3.1 曲线的参数方程与切向量9.3.2 曲面的方程与切平面9.4 空间解析几何的应用9.4.1 空间中的曲线运动问题9.4.2 几何体的性质与计算第十章空间向量与向量函数微积分10.1 空间向量的运算10.1.1 空间向量的定义与基本性质10.1.2 空间向量的线性运算与向量积 10.2 空间向量的微积分10.2.1 向量函数的极限与连续性10.2.2 向量函数的导数与曲率10.3 曲线与曲面的向量微积分10.3.1 参数曲线的弧长与切向量10.3.2 向量场与曲面积分第十一章多元函数与多元积分11.1 多元复合函数与链式法则11.1.1 高阶导数的定义与计算11.1.2 链式法则与复合函数的高阶导数 11.2 多元函数的积分11.2.1 多元函数的定积分11.2.2 重积分的计算方法11.3 极坐标与球面坐标系下的积分11.3.1 极坐标系下的二重积分11.3.2 球面坐标系下的三重积分11.4 多元积分的应用11.4.1 几何应用:质心与转动惯量 11.4.2 物理应用:质量、通量与功率第十二章向量场与曲线积分12.1 向量场的基本概念和性质12.1.1 向量场的定义与性质12.1.2 向量场的流线与发散度12.2 曲线积分的概念与性质12.2.1 曲线积分的定义12.2.2 曲线积分的计算方法12.3 格林公式与环量12.3.1 格林公式的表述与应用12.3.2 环量与全微分12.4 曲面积分的概念与性质12.4.1 曲面积分的定义与计算12.4.2 流量与高斯公式12.5 散度与环量12.5.1 散度的定义与计算12.5.2 散度与高斯公式的应用第十三章曲线曲面积分与斯托克斯公式 13.1 曲线积分的类型与计算13.1.1 第一型与第二型曲线积分13.1.2 曲线积分计算方法13.2 曲面积分的类型与计算13.2.1 第一型与第二型曲面积分13.2.2 曲面积分计算方法13.3 散度定理与高斯公式13.3.1 散度定理的表述与应用13.3.2 高斯公式与流量计算13.4 斯托克斯定理与环量13.4.1 斯托克斯定理的表述与应用 13.4.2 环量计算与应用第十四章常微分方程数值解14.1 常微分方程初值问题的数值解法14.1.1 欧拉方法与改进的欧拉方法14.1.2 龙格-库塔方法14.2 常微分方程边值问题的数值解法14.2.1 二点边值问题与分段线性插值14.2.2 有限差分方法与微分方程的离散化14.3 常微分方程数值解的误差估计14.3.1 局部截断误差与全局截断误差14.3.2 稳定性与收敛性的分析结语15.1 数学学科的重要性与发展15.2 高等数学教材的应用与拓展15.3 数学学科对于人类社会的贡献本教材将大学高等数学知识进行系统整理和归纳,以便帮助读者更好地学习和理解数学的基本概念、原理和应用。
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函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。 判断函数有意义的方法有下列几种:
①分式的分母不等于零; ②偶次方根式中,被开方式大于等于零; ③含有对数的式子,真数式大于零; ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1; ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集; ⑥若已知y = f ( x )的定义域是[a,b],求 y= f [φ(x)] 的定义域,
显然,如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个 坐标系中,则它们的图形是关于直线 y=x 为对称的。
例 求 y=log3(2x-3) 的反函数。
解: 从方程 y=log3(2x-3) 中解出x为
x 1 (3y 3) 2
则所求反函数为
y 1 (3x 3) 2
实际上,并不是任何函数都有反函数的。 那么,什么样的函数存在反函数呢?
复合函数的复合过程 u=φ(x)
y=f (u)
y=f [φ(x)]
中间 变量
关于复合函数,需要说明一点=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是[8,+∞),不在 函数y=arcsinu的定义域内。
无限接近常数0(参看右图),
这时就称
以0为极限。
y 1 x
定义1-10 设函数y=f(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义,如果当|x|无限增大(即x→∞ )时,函数 f (x)无限接近某个常数A ,那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限,记为
y (1)x a
(0,1)
y ax (a1)
(4)对数函数 y lo a x( g a 0 ,a 1 )(y ln x)
yloagx
(1,0)
(a1)
y log1 x
a
对数函数与指数函数互为反函数.
(5)三角函数
正弦函数 ysin x
ysinx
余弦函数 ycoxs
和反三角函数6类是最常见、最基本的函数,这些函 数称为基本初等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。
(1)常值函数 yc
y c
O
x
(2)幂函数 yx (是常)数
y
y x2
1
yx y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
(3)指数函数 yax (a0 ,a1 ) ( y e x)
(2) y lgx 是由 y u 和 u lg x 复合而成的
(3) p ex2
是由 p e s 和 s x 2 复合而成的
(4) ysin3(10t)
6
是由 y u 3、usina 和 a 10t 复合而成的 6
1.1.5 初等函数
常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数
(6)反三角函数
反正弦 ya函 rcx数 sin
yarcsxin
反余弦y函 ar数 ccxos
yarcxcos
反正切y函 ar数 ctxan
yarctxan
反余切y 函 arc数 coxt
arcsinx,arctanx是单调递增的,crccosx,crccotx是单调递 减的。它们都是有界函数。
ycoxs
正切函数 ytaxn
ytaxn
余切函数 ycoxt
ycoxt
正割函数 ysexc 1
cos x
ysexc
余割函数 ycsxc 1
sin x
ycsxc
它们均为周期函数,sinx和cosx有界。其余三角函数无界。 sinx,tanx,cscx为奇函数。cosx,cotx,secx为偶函数。
(上)
第1章
本
1
章
2
主
3
要 4
内
容
5
6
函数、极限、连续
函
数
极
限
极限的运算 无穷小与无穷大 函数的连续性 数学建模初步(一)
1.1 函 数
本节内容 函数的概念及其性质 反函数和复合函数 初等函数
1.1.1 函数的概念
区间与邻域 区间
数学中,某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然,数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是:自然数集N (包括0和所有正整数)、 整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中,涉及最多的是实数集R。
若函数y=f (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少,则它在该区间上必定存在反函数。
1.1.4 复合函数
对于函数y=sinx,如果令x=ωt ,并将它代入 y=sinx ,就可以得到函数y=sinωt 。 可以看成由y=sinx和x=ωt复合而成。
复合函数
定义1-7 设函数y=f (u)的定义域是D1,函数u=φ(x)的 定义域是D2,当x在的定义域D2或其中一部分取值时, u=φ(x)的函数值均在y=f (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值,通过u有确定的值y与之对应,从而可以 得到一个以x为自变量, y为因变量的函数,这个函数 称为由函数y=f(u)及u=φ(x)复合而成的复合函数,记作 y=f [φ(x)] 而u称为中间变量。
1.2 极 限
本节内容
1.2.1 数列的极限 1.2.2 函数的极限 1.2.3 极限的性质
研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积 分学中最基本的概念,后面将要介绍的函数的连续性、导数、 定积分等概念都要以极限为基础。
两千多年前,我国古人就有了初步的极限概念。公元263年, 我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边 形、正12边形、正24边形、正48边形、……的面积,他算出 的圆周率是3.14(3072边形 ),这已经是很好的近似值了,非常 了不起。
有界函数的图像在区间I内被限制在y=-M和y=M 两条直线之间。
定义1-3 设函数y=f (x)的定义域 D关于原点对称
(即若 ,则必定
)。
如果对任意的 ,均有
2、奇偶性
f (-x)=f (x)
则称函数y=f (x)是偶函数;
xD
xD
如果对任意的 ,均有
xD
f (-x)=-f (x)
1.2.1 数列的极限
数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2,…, xn,…(常简记为{xn})可以看作自 变量为正整数n的函数,即xn=f (n) (整标函数)。 因此,数列的极限是一类特殊函数的极限。
定义1-9 对数列{xn} ,如果当n无限增大时, xn无限接 近一个常数a ,那么a 就称为数列{xn}的极限,或称数 列{xn}收敛于a ,记为
例 根据极限的定义,判断下列各数列是否有极限, 对于收敛的数列指出其极限:
(1)1,2,3,…,n,…
(2)
(3)1,-1,1,…,(-1)n+1,… (5)
(4)
1, 1, 1,, 1, 23 n
1,2,3,, n , 2 3 4 n1
2,1,4,,n(1)n1,
23
n
解:将上述数列逐项在数轴上表示出来,如下列图所示
设 与δ是两个实数,且δ>0,数集
称
邻域
x0
为点 x 0 的δ邻域,记作 U (x0 , );点
这个邻域的中心和半径。
x xx0
x 0和数δ分别称为
数集 x0xx0 称为点 x 0 的空心δ邻域,记作
o
U
( x 0 , 。)
邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。
函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示的函数,称为初等函数。 例如, y= sin3x 、 u= sin(ωx+φ) (ω、φ是常数) 都是初等函数。
凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下,分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。
为函数的值域,也可以记作 Rf 或 f (D)。
如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的 函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则 叫多值函数. 函数的表示方法有解析法(也称公式法)、图像法、 表格法等等。
还需要指出,函数可以含有一个或多个自变量。 含有一个自变量的函数称为一元函数。 含有多个自变量的函数称为多元函数。
定义1-1 设x和y是两个变量,D是R的非空子集,如 果对于每一个数x∈D,变量y按照某种对应法则有 惟一确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作 y=f (x) 并称变量x为该函数的自变量,变量y为因变量, f 是函数中表示对应法则的记号,D是函数的定义域, 也可以记作D(f ),数集
W={y|y=f (x), x∈D}
x0
x[1,4)(4,)
(2) y arcsin x 2 3
x 2 1 x[1,5] 3
(3) y lo g 5 ( x 2 1) x2 1 0 x ( ,1) (1, )
函数的性质
1、有界性
定义1-2 设函数y=f (x)在区间I内有定义。如果存在 正数M,使得对任意的x,均有 | f (x) |≤ M 则称函数y=f(x)在区间I内是有界的。M为y=f (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数,则称 函数y=f (x)在区间I内是无界的。
因此,求复合函数的定义域时,要考虑构成复合函数的所有 基本初等函数都有意义。
例 指出下列各函数的复合过程
(1)T= ln(tanα)
(2)
(3)
(4)
y lg x
p ex2
ysin3(10t )
6
解: (1) Tln(tana)是由T ln y 和 y tana复合而成的
定义1-4 设函数y=f (x)的定义域为D。如果存在常数