高一数学变化率与导数PPT教学课件
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数学：1.1.1《变化率与导数 变化率问题》课件
例1、分别就自变量x 趋向于 和 的情况，讨论下列函
数的变化趋势：
（1）
y
1x
2
解：当
x
时，y
1 无x 限趋近于0， 2
即
lim
1x
0;
x 2
当x
时，
y
1
x
趋近于
.
2
结论：当0 a 1时，都有 lim ax 0 x 第十页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
1 ( x 0时) （2） f ( x) 0 ( x 0时)
k (1 x )3 13 3 3x (x )2 3 3 0.1 0.12 3.31 (1 x ) x
第二十四页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
第二十五页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 f ( x)的极限是a ，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
第七页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
函数的极限
如果 lim x
f ( x) a且 lim x
h
o
t
第十八页，编辑于星期日：十一点 三十八分。
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
f (x) a
那就是说当x 趋向于
高中数学课件第二章第11节《变化率与导数、导数的计算》资料
答案：(1,0)
根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
1.求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2.求平均变化率 ＝
；
3.得导数f′(x0)＝
.
上述过程可简化为：一差、二比、三极限.
利用导数的定义求函数y＝ 的导数.
[思路点拨] 按照一差、二比、三极限.
[课堂笔记] ∵Δy＝
＝
∴
∴
即y′＝
.
， ，
，
若将“y＝ 解：Δy＝
”改为“y＝ ”呢？ ，
1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤：
(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果. 2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函
，即f′(x0)＝
(3)导函数 当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′＝
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲 线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的 斜率 ，过点P 的切线方程为：y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式 原函数
答案：B
4.设f(x)＝
＋ ，则f′(x)＝
.
解析：f′(x)＝(
＝
＝
＋ )′＝(
)′＋( )′＝ ( )′
答案：
5.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行
于直线3x－y＝0，则点P的坐标为
.
解析：由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率 等于3， 即f′(x0)＝ －1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1， 0).
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
y 0, x y ' ' f ( x) C l i m 0. x 0 x
2013-4-1
C C 0
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x) l i m l i m1 x 0 x x 0 1
5
2013-4-1
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .( 3 )' 3 x
x a
D .( 3 )' 3 ln 3
x x
2013-4-1
3.填空
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______;
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-1
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
' '
2013-4-1
y o
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
(2) 求函数f(x)=0的导数；
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数.
0
2013-4-1
公式1 C 0 (C为常数).
高中数学《变化率与导数-导数的概念及其几何意义》课件
Δx→0
1＋Δx2－ Δx
1＝lim
Δx→0
(2＋Δx)＝2.
则曲线在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，
即 y＝2x－1.
因为 y＝2x－1 与坐标轴的交点为(0，－1)，12，0， 所以所求三角形的面积为 S＝12×1×12＝14. 答案：A
5．求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．
当 x＝2 时，y＝23＋6＝14，
当 x＝－2 时，y＝(－2)3－6＝－14.
所以点 P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．
答案：C
7．已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x ＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义，易得 f′(1)＝12，由切线方程得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3.
解：∵点(－2，－1)在曲线 y＝2x上，∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处
的切线斜率就等于 y＝2x在 x＝－2 处的导数．
∴ k＝ f′(－ 2)＝ lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝
lim
Δx→0
－2＋2 Δx－－22 Δx
＝
lim
Δx→0
－2＋1 Δx＝－12，∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若 在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上， 可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或 切线斜率，从而得到切线方程．
(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴切线的斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)．
1＋Δx2－ Δx
1＝lim
Δx→0
(2＋Δx)＝2.
则曲线在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，
即 y＝2x－1.
因为 y＝2x－1 与坐标轴的交点为(0，－1)，12，0， 所以所求三角形的面积为 S＝12×1×12＝14. 答案：A
5．求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．
当 x＝2 时，y＝23＋6＝14，
当 x＝－2 时，y＝(－2)3－6＝－14.
所以点 P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．
答案：C
7．已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x ＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义，易得 f′(1)＝12，由切线方程得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3.
解：∵点(－2，－1)在曲线 y＝2x上，∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处
的切线斜率就等于 y＝2x在 x＝－2 处的导数．
∴ k＝ f′(－ 2)＝ lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝
lim
Δx→0
－2＋2 Δx－－22 Δx
＝
lim
Δx→0
－2＋1 Δx＝－12，∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若 在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上， 可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或 切线斜率，从而得到切线方程．
(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴切线的斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)．
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高中数学1.1.1~1.1.2变化率与导数的概念课件新人教A选修.pptx
(2)函数在某点处的导数是一个定值,是函数在 该点的函数值改变量与自变量的改变量比值 的极限,不是变量. (3)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Байду номын сангаасx无 关.
失误防范 (1)若求出的平均变化率为0,并不一定说明函 数没有发生变化.如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的 平均变化率为0,但f(x)的图象在[－2,2]上先减 后增. (2)在导数的定义中,当Δx趋近于0,可以是正值, 也可以是负值,但不为0,而Δy可能为0.
变式训练 3.本例条件不变,求: (1)物体在t＝10 s到t＝10.1 s,这段时间内的平 均速度; (2)物体在t＝10 s时的瞬时速度.(g＝10 m/s2)
备选例题 1.若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的 平均变化率不大于－1,求Δx的范围.
方法感悟
方法技巧 (1)函数的平均变化率可正可负,反映函数y＝ f(x)在[x1,x2]上变化的快慢,变化快慢是由平均 变化率的绝对值决定的,且绝对值越大,函数值 变化的越快.
简记作:ΔΔyx.
瞬时 变化
率
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化 率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平 均变化率在Δx→0 时的极限,即
lim
Δx→0
ΔΔxy＝
lim f（x0＋Δx）－f（x0） __Δ_x_→_0_________Δ__x______________
实例
①平均速 度; ②曲 线割线的 斜率.
知能演练•轻松闯关
本部分内容讲解结束
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2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变__化__率___称为函
高中数学变化率与导数 ppt.ppt
49
课外思考
思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田 亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数， 负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不 能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态 呢？
小结
让学生再次巩固变化率的概念，并发 现生活中和变化率有关的例子
教学反思
这节课主要是让学生体会平均变 化率，让学生感受数学。高中正是学 生人生观形成的重要时期，我觉得不 仅要引导学生对数学的学习兴趣，让 他们主动的学习数学，学会学习数学， 如果还能在吸收知识的过程中教会他 们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一 石二鸟的教学模式
教法分析
适宜采用启发式讲解，互动 式讨论，归纳发现等授课方式， 充分发挥学生的主体地位，营造 生动活泼的课堂教学气氛
教学过程
一 引入
谁是导数概念的 第一发明人？
介绍导数背景
豁达的心态 学习交流
二 传授新课
学习活动：每人配备一个气球，以学习 小组的形式，吹气球，观察， 并思考：
吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气 Nhomakorabea结语
谢谢大家！
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释
教学目标
知识目标：了解导数的实际背景，理解平均 变化率的概念
能力目标：体会平均变化率的思想及内涵
情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互 相合作的风格，勇于探究， 积极思考的学习精神
学生现状分析
由于新教材是以模块的形式进行展开教学 的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学 一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理 性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题， 他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他 们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学 习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过 程中，让学生体会到自己在学“有价值的数 学”，激发学生的学习数学的兴趣，树立学 好数学的自信心。
课外思考
思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田 亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数， 负数，0的时候，其运动状态是怎样的？能不 能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态 呢？
小结
让学生再次巩固变化率的概念，并发 现生活中和变化率有关的例子
教学反思
这节课主要是让学生体会平均变 化率，让学生感受数学。高中正是学 生人生观形成的重要时期，我觉得不 仅要引导学生对数学的学习兴趣，让 他们主动的学习数学，学会学习数学， 如果还能在吸收知识的过程中教会他 们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一 石二鸟的教学模式
教法分析
适宜采用启发式讲解，互动 式讨论，归纳发现等授课方式， 充分发挥学生的主体地位，营造 生动活泼的课堂教学气氛
教学过程
一 引入
谁是导数概念的 第一发明人？
介绍导数背景
豁达的心态 学习交流
二 传授新课
学习活动：每人配备一个气球，以学习 小组的形式，吹气球，观察， 并思考：
吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气 Nhomakorabea结语
谢谢大家！
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释
教学目标
知识目标：了解导数的实际背景，理解平均 变化率的概念
能力目标：体会平均变化率的思想及内涵
情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互 相合作的风格，勇于探究， 积极思考的学习精神
学生现状分析
由于新教材是以模块的形式进行展开教学 的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学 一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理 性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题， 他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他 们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学 习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过 程中，让学生体会到自己在学“有价值的数 学”，激发学生的学习数学的兴趣，树立学 好数学的自信心。
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h
时间内的平均速度粗略地
描述其运动状态,那么
o
t
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
vh(0.5)h(0)4.05(m /s) 0.50
• 当t从1增加到2时,平均速度为
vh(2)h(1)8.2(m /s) 21来自hot
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h(t2 ) h(t1) t2 t1
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子
f(x2) f (x1)表示 x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
x1
x2
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例 位 移 s ( t ) ( 单 位 : m ) 与 时 间 t ( 单 位 :s ) 的 关 系 为 :s (t) 3 t 1 ,求 t从 2 到 4 的 平 均 速 度 v .
解vss(4)s(2) t 42
(341 )(321 )3 2
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解y xf( x0xx )f( x0)
(x 0+ △ △ x x )2 x 0 2=2 x 0 △ x
练习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δx=2时, 求
1.1.1 变化率问题
1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化
而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,
可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球 的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述
这种现象呢?
问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是
则平均变化率为
y =f(x2)-f(x1) x x2 -x1
=f(x1+x)-f(x1) x
3.平均变化率的几何意义
思考?
化率
观察函数f(x)的图象，平均变
yf(x2)f(x1)
x
x2x1
表示什么?
y
f(x2)
Y=f(x) B
割线AB 的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△xx
6
思考? r(V ) 3 3V
4
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r(V2) r(V1) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如果用运动员在某段
解 vhh (2t) h (2 )
t
t
t [ － 4 . 9 ( ２ + t ) 2 + 6 . 5 ( 2 + ) 1 0 ] － [ － 4 . 9 2 2 + 6 . 5 2 + 1 0 ]
=
t
=－4.9△t－13.1
V(r)= 4πr3 3
如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
r(V) = 3 3V 4π
分析一下:
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r ( 1 ) r (0 ) 0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm /L)
10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2 ) r ( 1 ) 0 .1 6 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2 2 ) 1 r(1)0.16(dm /L 0)显.62然>0.1
(1) 点Q的坐标; (2) Δy的值; (3) 割线PQ的斜率.
解 (1) Q(3, 27)，(2) y26 (3)kPQ13
练习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒) 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.