06、因式分解
因式分解的公式大全,因式分解万能公式法的应用
因式分解的公式大全，因式分解万能公式法的应用因式分解的公式大全？因式分解公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。
例子：1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²因式分解万能公式法？1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)
西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
《公式法》因式分解
05
公式法的扩展与提升
多项式的因式分解方法
定义
多项式的因式分解是指将一个多项式转化为几个 整式乘积的形式。
分解原则
因式分解需遵循恒等原则，即无论对哪个多项式 进行因式分解，分解的结果都应该是相同的。
方法
因式分解的方法有多种，包括公式法、分组法、 十字相乘法等。
公式法的扩展应用
扩展一
利用公式法进行高次多项式的 因式分解。
因式分解的历史与发展
历史背景
因式分解是数学中一个古老而重要的分支，早在古希腊时 期就已经有相关的研究。
发展历程
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也不断得到完善 和改进，例如分组分解法、十字相乘法、公式法等。
现代应用
在现代数学中，因式分解仍然是一个重要的研究领域，不 仅在基础数学中有广泛的应用，还在其他学科如物理、化 学、工程等领域中发挥着重要作用。
容易出现的错误与难点解析
错误选择公式
在因式分解时，可能会因为选择 了错误的公式而导致分解失败或
者分解结果不正确。
对公式的理解不足
部分学生在使用公式法时，对公 式的理解和掌握不够深入，导致
在使用过程中出现错误。
不考虑其他方法
一些学生在面对复杂的因式分解 问题时，可能只考虑使用公式法 ，而忽略了其他可能更有效的方
• 例如
$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ 可以分解为 $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)$。
扩展二
利用公式法解决实际应用问题 。
• 例如
在解一元二次方程时，我们可 以通过因式分解将方程化为几 个整式乘积的形式，从而求解
。
专题06 因式分解五种考法(学生版)
专题06因式分解五种考法【考法一提公因式法因式分解】例题：（2022·湖北武汉·八年级期末）已知a +b ＝4，ab ＝3，则a 2b +ab 2＝_____．【变式训练】1．（2021·江苏·高邮市车逻镇初级中学一模）因式分解：3x 4﹣9x 2=_______．2．（2022·云南昭通·八年级期末）若m -n =4，mn =3，则22m n mn -=_____．3．（2022·四川泸州·八年级期末）分解因式()()3222x x ---=______．4．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）已知x 2－2x －3＝0，则2x 2－4x ＝_______5．（2022·广东中山·一模）已知251m n -=-，则24105m mn n -+的值是_____________．6．（2022·湖南岳阳·七年级期末）已知35y x -=，则代数式4122020x y -+的值是______________．【考法二公式法因式分解】例题：（2021·重庆巫山·八年级期末）因式分解：ab 2-4a ＝________；3x 2+12xy +12y 2＝_________．【变式训练】1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）分解因式：269ma ma m +-=______．2．（2021·福建龙岩·一模）分解因式：322242x x y xy -+-=______．3．（2022·山东·曲阜师范大学附属中学九年级阶段练习）分解因式：−a 3+12a 2b −36ab 2=_______．4．（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）如果x +y ＝﹣2，x ﹣y ＝1，那么代数式2x 2﹣2y 2的值是_____．5．（2022·云南昆明·一模）当23m n =-时，代数式2244m mn n -+=______．6．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）把下列各式分解因式：(1)25（a +b ）2﹣16（a ﹣b ）2(2)16x 4﹣8x 2y 2+y 4．7．（2021·贵州黔西·八年级期末）分解因式：(1)223612x y xy xy -+-；(2)481m -．8．（2020·四川遂宁·八年级期末）分解因式：(1)a 3b ﹣2a 2b +ab ；(2)x 2﹣4xy +4y 2﹣1．9．（2022·四川眉山·八年级期末）分解因式：(1)5416a ab -(2)()()()235x y x y y x y +---10．（2022·广东·佛山市南海区里水镇里水初级中学八年级阶段练习）已知a +b ＝12，ab ＝﹣38，先因式分解，再求值：a 3b +2a 2b 2+ab 3．【类型三十字相乘法法因式分解】例题：（2021·北京市第四十三中学八年级期中）阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x -+=--．把这个多项式的二次项系数1分解为11⨯，常数项10分解为(2)(5)-⨯-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++=；(2)2273x x -+=；(3)()222x m x m +--=．【变式训练】1．（2021·山东淄博·二模）因式分解a 2－a －6＝_____．2．（2021·山东淄博·一模）分解因式：289x x --=__．3．（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）分解因式268x x -+＝________．4．（2021·全国·八年级专题练习）分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；5．（2021·全国·八年级专题练习）将下列各式分解因式：（1）261915y y ++；（2）214327x x +-6．（2021·全国·八年级专题练习）将下列各式分解因式：（1）256x x --；（2）21016x x -+；（3）2103x x --7．（2021·浙江·七年级期中）我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：262730x x -+2x 5361215--⨯--xx x ∴原式(25)(36)x x =--部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：1025820ay y a +--2554258+-⨯+-a y y a∴原式(25)(54)=+-a y 用十字相乘法分解下列各式：（1）22512x x +-（2）6923xy x y -+-（3）2(61)(23)1xy x y -++8．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=⨯，常数项3(1)3-=-⨯，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)2710x x ++=__________；(2)223x x --=__________；(3)2712y y -+=__________；(4)2718x x +-=__________．【类型四分组分解法因式分解】例题：（2021·黑龙江·兴凯湖农场学校八年级期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【变式训练】1．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：把4x分成x和3x，原式就可以分成两组了原式＝x2＋x＋3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）请类比上边方法分解因式：x2＋5x＋6．2．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y-+-()()244x xy x y =-+-（分成两组）()()4x x y x y =-+-（直接提公因式）()()4x y x =-+乙：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-（分成两组）()22a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：(1)32236m m m +--(2)229461a b a --+3．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am +bm +an +bn＝（am +bm ）+（an +bn ）＝m （a +b ）+n （a +b ）＝（a +b ）（m +n ）．(1)利用分组分解法分解因式：①3m ﹣3y +am ﹣ay ；②a 2x +a 2y +b 2x +b 2y ．(2)因式分解：a 2+2ab +b 2﹣1＝（直接写出结果）．4．（2021·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am bm an bn+++＝()()am bm an bn +++＝()()m a b n a b +++＝（a +b ）（m +n ）（1）利用分组分解法分解因式：①33m y am ay -+-；②2222a x a y b x b y+++（2）因式分解：2221a ab b ++-=_______（直接写出结果）．5．（2021·广东清远·八年级期中）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：x 2＋2ax ﹣3a 2＝x 2＋2ax ＋a 2﹣a 2﹣3a 2＝（x ＋a ）2﹣4a 2（分成两组）＝（x ＋a ）2﹣（2a ）2＝（x ＋3a ）（x ﹣a ）（平方差公式）乙：a 2﹣b 2﹣c 2＋2bc＝a 2﹣（b 2＋c 2﹣2bc ）（分成两组）=a 2﹣（b ﹣c ）2（直接运用公式）＝（a ＋b ﹣c ）（a ﹣b ＋c ）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）x 2﹣4x ＋3；（2）x 2-2xy -9+y 2；（3）x 2+2xy +y 2-6x -6y +9．6．（2021·浙江·七年级期中）阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．7．（2021·全国·八年级专题练习）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝（ax＋ay）＋（bx＋by）＝a（x＋y）＋b（x＋y）＝（x＋y）（a＋b）如“3＋1”分法：2xy＋y2﹣1＋x2＝x2＋2xy＋y2﹣1＝（x＋y）2﹣1＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1．【类型五因式分解的应用】例题：（2022·湖北黄冈·八年级开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【变式训练】1．（2022·山东德州·八年级期末）多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2通过因式分解写成（a+b）2和（a-b）2的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及求最值等问题．我们把多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x-3原式=x2+2x+1-1-3=（x2+2x+1）-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)(1)用配方法将x2-6x-16分解因式；(2)用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；(3)试说明：x、y取任何实数时，多项式x2+y2+4x-2y+7的值总为正数．2．（2022·山东临沂·八年级期末）第一环节：自主阅读材料常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y -+-()()22424x y x y =-+-……分组()()()2222x y x y x y =-++-……组内分解因式()()222x y x y =-++……整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法．(1)第二环节：利用这种方法解决以下问题：因式分解：22428x y y x --+．(2)第三环节：拓展运用：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且2222b ab c ac +=+，试判断ABC 的形状并说明理由．3．（2021·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a-7b，求整式M的最小值．4．（2022·河南洛阳·八年级期末）阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式22x x a ++有一个因式是()2x +，求另一个因式以及a 的值．解：设另一个因式是()2x b +，根据题意，得()()2222x x a x x b ++=++，展开，得()222242x x a x b x b ++=+++，所以412b a b +=⎧⎨=⎩，解得63a b =-⎧⎨=-⎩，所以，另一个因式是()23x -，a 的值是-6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式2310x x m ++有一个因式是()4x +，求另一个因式以及m 的值．5．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x 2＋3x ﹣k 有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式及k 的值；(2)已知2x 2﹣13x ＋p 有一个因式x ﹣4，则p ＝．6．（2021·山东·东营市东营区实验中学八年级阶段练习）阅读并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式，但对于二次三项式2223x ax a +-就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：2223x ax a +-()222223x ax a a a =++--22()4x a a =+-(2)(2)x a a x a a =+++-(3)()x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：2815a a -+；(2)若6a b +=，4ab =，求：①22a b +；②44a b +的值；(3)已知x 是实数，试比较2611x x -+与2610x x -+-的大小，说明理由．7．（2021·河南平顶山·八年级期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：22424x y x y-+-22(4)(24)x y x y =-+-(2)(2)2(2)x y x y x y =+-+-(2)(22)x y x y =-++这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：226939x xy y x y-+-+（2）ABC ∆的三边,,a b c 满足220a b ac bc --+=，判断ABC ∆的形状．8．（2021·山东枣庄·八年级期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：22424x y x y --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：()()()()()()()22224244242222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y --+=---=+---=-+-．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；（2）△ABC 的三边a ，b ，c 满足220a b ac bc --+=，判断△ABC 的形状．9．（2021·山东枣庄·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．例如，()a b c d ab ac ad ++=++是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到()ab ac ad a b c d ++=++，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．又如222()2a b a ab b ±=±+、22()()a b a b a b +-=-是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到222)2(a ab b a b ±+=±、22()()a b a b a b -=+-，这是运用公式法把多项式因式分解．有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．甲：244x xy x y-+-2()(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（分别提公因式）()(4)x y x =-+乙：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（运用公式）()()a b c a b c =+--+请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解问题一：因式分解：（1）32248m m m --+；（2）2229x xy y -+-．问题二：探究对x 、y 定义一种新运算F ，规定：(,)()(3)F x y mx ny x y =+-（其中m ，n 均为非零常数）．当22x y ≠时，(,)(,)F x y F y x =对任意有理数x 、y 都成立，试探究m ，n 的数量关系．。
中考数学复习：专题1-6 例谈因式分解的方法与技巧
专题06 例谈因式分解的方法与技巧【专题综述】 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解 32422+++-b a b a【举一反三】因式分解：611623+++x x x二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444y x +【举一反三】因式分解 4323+-x x三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
例3：因式分解24)6)(43(22+---+x x x x【举一反三】因式分解2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。
例4：因式分解)()(2222n m xy y x mn +++【举一反三】因式分解 22)()(my nx ny mx -++五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。
例5：因式分解xy x y x x x 2232234-++-【举一反三】因式分解abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++【强化训练】1．因式分解：(5)(2)()()12x x x x +-+-+-..2．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式： 223x x +-.解：原式=22113x x ++--=()2214x x ++- = ()214x +-=()()1212x x +++-= ()()31x x +-上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： 243y y -+.3．因式分解：（1）（a +b ）2+6（a +b ）+9； （2）（x ﹣y ）2﹣9（x +y ）2；（3）a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）． （4）(x 2－5)2＋8(5－x 2)＋16.4．下面是某同学对多项式（x 2-4x +2）（x 2-4x +6）+4进行因式分解的过程.解：设x 2-4x =y ，原式=（y +2）（y +6）+4=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2-4x +4）2.（1）该同学因式分解的结果是否彻底?_______________. （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________.（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x +2）+1进行因式分解.5．先阅读，再因式分解：x 4＋4＝(x 4＋4x 2＋4)－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2－2x ＋2)(x 2＋2x ＋2)，按照这种方法把多项式x 4＋324因式分解．6．问题背景：对于形如2120+3600x x -这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成()260x -，对于二次三项式21203456x x -+，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将2120x x -加上一项260，使它与2120x x -的和成为一个完全平方式，再减去260，整个式子的值不变，于是有： 2120+3456x -=22226060603456x x -⨯+-+=()260144x --=()226012x --=()()60+126012x x ---=()()4872x x --问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式： 2140+4756x x -；（2）已知一个长方形的面积为228+12a ab b +，长为+2a b ，求这个长方形的宽．7．因式分解：(x –3) (x +4) +3x =__________.8．x 3+3x 2—4 （拆开分解法）9．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x +y ）2+2（x +y ）+1．解：将“x +y ”看成整体，令x +y =A ，则原式=A 2+2A +1=（A +1）2再将“A ”还原，得：原式=（x +y +1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x ﹣y ）+（x ﹣y ）2=__________．（2）因式分解：（a +b ）（a +b ﹣4）+4（3）证明：若n 为正整数，则式子（n +1）（n +2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个整数的平方．10．已知22610340m n m n +-++=，则m n +=______．。
因式分解的基本原理
因式分解的基本原理因式分解是一种将多项式拆分成更简单的乘积形式的方法，它在代数学中有着广泛的应用。
本文将介绍因式分解的基本原理，帮助读者更加深入地理解和掌握这一概念。
一、因式分解概述因式分解是将一个多项式拆解成不可再分解的乘积形式。
它是代数学中非常重要的一个概念，可以帮助我们简化复杂的多项式运算，找到多项式的根和解方程的方法。
因式分解可以应用于各个数学领域，如代数、函数学、微积分等。
二、因式分解的基本步骤因式分解的基本步骤如下：1. 化简多项式，将其写成最简形式，合并同类项。
2. 找出多项式中的公因式，将其提取出来。
公因式是指多项式中各项的最高公因子。
3. 对于二次多项式，可以使用配方法、差平方公式等法则进行进一步的因式分解。
4. 对于高次多项式，可以使用综合除法、试除法等方法找到根，再进行因式分解。
三、常见的因式分解方法1. 提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，从而得到因式分解。
例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)2. 配方法：对于二次多项式，可以使用配方法进行因式分解。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)3. 差平方公式：对于二次多项式的特殊形式，可以利用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)4. 综合除法：对于高次多项式，可以使用综合除法找到其中一个根，然后再进行因式分解。
例如：x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 3)(x^2 + 2x - 4)四、因式分解的应用举例因式分解不仅仅是一种纯理论的概念，它在数学中有着广泛的应用。
以下是一些因式分解的具体应用举例：1. 求多项式的根：因式分解可以帮助我们找到多项式的根，从而解方程。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以因式分解得到(x + 2)(x - 2) = 0，进而得到x = -2, 2。
2. 简化复杂的多项式运算：因式分解可以将复杂的多项式简化为更简单的形式，从而方便进行运算。
初中七年级数学上册专项总结训练(三维立体学习法)-七秋06-因式分解(二)(学生版) (2).doc
当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；若一次项是“+”的，则两个
一次二项式中间都是“+”号；若一次项是“-”的，则两个一次二项式中间都是“-”号.
当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间异号；若一次项是“+”的，则交叉相乘积正的绝对值大；若一次项是“-”的，则交叉相乘积负的绝对值大.
（5）五项式一般采用三项、两项分组.
（6）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组.
（7）原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解.
例1：分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例2：分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例3：分解因式
（1） （2）
（3） （4）
（1） （2）
（3） （4）
知识点2分组分解法
1.分组分解法的意义
有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.
项系数 ，那么它就可以运用公式 分解因式.
例如 中常数项是 ，可以分解为 ，而且2+1=3，恰好是一次项的系数，
所以 .
在对多项式 分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解， 分解为 ，常数项分解为 ，把它们用交叉线来表示：
按十字交叉相乘，它们积的和是 .
所以 .
一般地，
可以用十字交叉线表示为：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
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六、因式分解
一、填空题：
1、分解因式：142-a =__________;
2、分解因式：92-x =______________
3、分解因式：362-x ＝_________。
4、因式分解：y x x 234-=__________。
5、分解因式：=+-4524x x ___________。
6、分解因式：5762-+x x =_________.
7、分解因式：22-x =__________; 8、分解因式：1162-a = _____________
9、因式分解：3x x - =_______________; 10、因式分解：x x x ++232 =_______________
11、分解因式：3223882xy y x y x ++=________________________
12、分解因式：y x y x +--22=___________。
13、若()a A a 3427643+=+，则A=__________；
14、在实数范围内分解因式：=--1422x x ____________________
二、判断题：
（1）()()()().2222y x y x x y y y x x +-=-+- （ ）
（2）4
12+-x x 是完全平方式。
（ ） （3）()().51251122-+=+-a a a a （ ）
（4）()().35315395+-=--+y x y x xy （ ）
三、选择题：
1、把多项式()()()111---+x x x 提公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）
（A ）()1+x （B ）()1+-x （C ）x （D ）()2+-x
2、分解因式42
-x 的结果是( )
（A ）()()14+-x x （B ）()()22--x x （C ）()()14-+x x （D ）()()22-+x x
3、12
-a 分解因式的结果是（ ）
（A ）()()11-+a a （B ）()21+a （C ）()21-a （D ）()()a a +-11 4、下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
（A ） ()()1112-=-+x x x （B ）()12122+-=+-x x x x
（C ）()()b a b a b a -+=-22 （D ）()()y x n y x m ny nx my mx +++=+++
四、把下列各式分解因式：
1、分解因式：232
+-x x 2、 分解因式：ax ay x y -+-22
3、分解因式：b a b a 2222++-
4、分解因式：bc c b a 2222+--
5、分解因式：9222-+-y xy x
6、分解因式：2296y x x -+-
7、分解因式：()y x a y x +-- 8、分解因式：()()a b b b a a -+-22
9、分解因式：()4101062-+--n m n m 10、分解因式：.201022
3--+x x x
11、在实数范围内分解因式5422--x x。