考点30 数学归纳法 【2019年高考数学真题分类】

考点30 数学归纳法   【2019年高考数学真题分类】

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考点30 数学归纳法

一、解答题

1.(2019·北京高考理科·T20)已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1

1

2

<…

m ,则称新数列a i

1

,a i

2

,…,a i

m

为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度

为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.

(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m

0,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n

.

若p

0

.

(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.

【命题意图】考查集合、数列,逻辑推理的综合应用,意在考查知识的综合应用以及新概念的理解,培养学生的知识整合能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养.

【解析】(1)1,3,5,6.(或1,3,5,9;或1,5,6,9;或3,5,6,9.)

(2)反证法:若a m

0≥a n

,则

存在一个长度为q的递增数列{b n},满足b1

.

则{c n}是一个长度为p的递增数列,且c p=a m

0

,与假设矛盾,

所以a m

0

.

(3)令s=1,则{a n}长度为1的递增子列末项最小值为1,长度为1末项为1的递增子列有20=1个,所以{a n}中有1;

令s=2,则{a n}长度为2的递增子列末项最小值为3,所以{a n}中有3,长度为2末项为3的递增子列有21=2个,所以{a n}中有2,且2在1前,{a n}为2,1,…;

令s=3,则{a n}长度为3的递增子列末项最小值为5,所以{a n}项中有5,长度为3末项为5的递增子列有22=4个,所以{a n}中有4,且4在3前在1后,{a n}为2,1,4,3,…;

……

归纳可得数列{a n}为:2,1,4,3,6,5,…,

用数学归纳法可证明成立.

所以{a n}通项公式为a n={n+1,n=2k-1,

n-1,n=2k,k∈N*.

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