2014届高考数学一轮复习检测《平面向量、复数》

【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测：《平面向量、复数》

(时间:120分钟满分:150分)

【选题明细表】

1.(2013年高考天津卷)i是虚数单位,复数等于( B )

(A)2+i (B)2-i

(C)-2+i (D)-2-i

解析:===2-i.故选B.

2.已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论不正确的是( D )

(A)e1在e2方向上的投影为cos θ

(B)=

(C)(e1+e2)⊥(e1-e2)

(D)e1·e2=1

解析:由题可知e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ,则D项错误.故选D.

3.设a,b是两个非零向量,则下列选项正确的是( C )

(A)若|a-b|=|a|-|b|,则a⊥b

(B)若a⊥b,则|a-b|=|a|+|b|

(C)若|a-b|=|a|-|b|,则a,b共线

(D)若a,b平行,则|a+b|=|a|+|b|

解析:若|a-b|=|a|-|b|,则a,b共线,所以选项A是错误的;若a⊥b,则以a,b为邻边构成长方形的对角线的长不可能等于两个邻边长的和,所以选项B是错误的;若a,b平行,则a,b的方向可能相同,也可能相反,如果a,b的方向相反,则|a-b|=|a|+|b|,所以选项D是错误的.故选C.

4.(2013皖北协作区联考)复数=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位),则x+y等于( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:因为===2i=x+yi,

所以x=0,y=2,x+y=2.

故选C.

5.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则等于( C )

(A)(2,4) (B)(3,5)

(C)(-3,-5) (D)(-2,-4)

解析:因为==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),

所以=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),故选C.

6.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为( D )

(A)12 (B)2(C)3(D)6

解析:由题可得4(x-1)+2y=0,

即2x+y=2,

9x+3y=32x+3y≥2=2=6.故选D.

7.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足

=,则点P一定为三角形ABC的( B )

(A)AB边中线的中点

(B)AB边中线的三等分点(非重心)

(C)重心

(D)AB边的中点

解析:取AB边的中点M,则+=2,

由=可得

3=3+2,

∴=,

即点P为三角形ABC中AB边上的中线的非重心的一个三等分点.故选B.

8.(2013安徽淮南质检)已知向量、满足||=||=1,·=0,=λ+μ

(λ、μ∈R),若M为AB的中点,并且||=1,则点(λ,μ)在( D )

(A)以为圆心,半径为1的圆上

(B)以为圆心,半径为1的圆上

(C)以为圆心,半径为1的圆上

(D)以为圆心,半径为1的圆上

解析:由于M是AB的中点,

∴△AOM中,=(+),

∴||=|-|==1,

∴=1,

∴+=1,故选D.

9.设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为( D )

(A)-2 (B)-2 (C)-1 (D)1-

解析:依题意,设a=(1,0),b=(0,1),c=(sin θ,cos θ),

则a-c=(1-sin θ,-cos θ),

b-c=(-sin θ,1-cos θ),

所以(a-c)·(b-c)

=-sin θ(1-sin θ)-cos θ(1-cos θ)

=1-(sin θ+cos θ)

=1-sin,

则其最小值是1-,故选D.

10.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么·的最小值为( D )

(A)-4+(B)-3+

(C)-4+2(D)-3+2

解析:如图所示,设PA=PB=k,

∠APO=α,∠APB=β,

则sin α=,

cos α=,

cos β=cos 2α=,

∴·=k2cos β=k2·.

设t=k2+1,则t>1,

∴·==

=t+-3≥2-3,

当且仅当t=时取等号.

故选D.

11.设A、B、C是同一直线上的三个点,且=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若⊥,则实数m,n的值分别为( C )

(A)或(B)或

(C)或(D)或

解析:由题意知=-=(n+2,1-m),=(5-n,-2),

∵A、B、C三点共线,

∴-2(n+2)=(1-m)(5-n).①

又⊥,

∴-2n+m=0,②

由①②得或

故选C.

12.(2013年高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β,定义

α。β=.若两个非零的平面向量a、b满足a与b的夹角θ∈,且a。b和b。a都

在集合｛n∈Z｝中,则a。b等于( D )

(A)(B)(C)1 (D)

解析:a。b==cos θ=cos θ,b。a=cos θ,

因为|a|>0,|b|>0,0

且a。b、b。a∈｛n∈Z｝,

所以cos θ=(n∈Z),cos θ=(m∈Z),

其中m、n∈N*,两式相乘,得=cos2θ,

因为0

得到0

即a。b=,故选D.

二、填空题(每小题4分,共16分)

13.(2013北京西城二模)已知复数z满足(1-i)·z=1,则z= .

解析:由题意得z===+i.

答案:+i

14.(2013苏锡常镇四市二调)若复数z满足-2=i(1+i)(i为虚数单位),则z= . 解析:因为=1+i,

所以z=1-i.

答案:1-i

15.(2013年高考浙江卷)在△ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则·= . 解析:如图所示,=+=-,

=+=+,

∴·=·=-

=32-×102=-16.

答案:-16

16.已知两个单位向量和,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧

上变动.若=x+y,其中x、y∈R,则x+y的最大值为.

解析:由题意知,||=||=||=1,向量、的夹角为120°,

∴=(x+y)2=x2+y2+2xy·cos 120°

=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy

≥(x+y)2-3·

=(x+y)2(当且仅当x=y时等号成立),

即1≥(x+y)2,∴(x+y)2≤4,

∴x+y的最大值为2.

答案:2

三、解答题(共74分)

17.(本小题满分12分)

已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2. 解:由(z1-2)(1+i)=1-i得z1-2=,

即z1=+2=+2=2-i.

设z2=a+2i(a∈R),

则z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.

又z1·z2是实数,

∴4-a=0,∴a=4.

∴z2=4+2i.

18.(本小题满分12分)

如图所示,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使得MQ=λCM时,=,试确定λ的值.

解:∵=-

=(+)

=,

又=-=+λ,

∵=,

∴+λ=,

即λ=(-)=.

∴λ=.

19.(本小题满分12分)

(2013南充市第一次适应性考试)已知m、x∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x).

(1)当m>0时,若|a|<|b|,求x的取值范围;

(2)若a·b>1-m对任意实数x恒成立,求m的取值范围.

解:(1)|a|2=x2+m2,|b|2=(m+1)2x2+x2,

因为|a|<|b|,

所以|a|2<|b|2.

从而x2+m2<(m+1)2x2+x2.

因为m>0,

所以

解得x<-或x>.

(2)a·b=(m+1)x2-mx.

由题意,得(m+1)x2-mx>1-m对任意的实数x恒成立,

即(m+1)x2-mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.

当m+1=0,

即m=-1时,显然不成立.

从而

解得

所以m>.

20.(本小题满分12分)

(2013自贡模拟)设平面直角坐标系中,O为原点,N为动点,||=6,=,过点M作MM1

⊥y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1,=+,记点T的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.

解:设T(x,y),

点N(x1,y1),

则N1(x1,0).

又=,

即==（x1,y1）∴M1 （0, y1）,（x1,0）,=(0,y1).

于是=+=（x1, y1),

即(x,y)= （x1, y1),

即

由||=6,

得+=36,

∴5x2+y2=36.

故所求曲线C的轨迹方程为5x2+y2=36.

21.(本小题满分12分)

已知复数z1=sin 2x+ti,z2=m+(m-cos 2x)i(i为虚数单位,t、m、x∈R),且z1=z2.

(1)若t=0且0

(2)设t=f(x),已知当x=α时,t=,

试求cos的值.

解:(1)因为z1=z2,

所以

所以t=sin 2x-cos 2x,

若t=0,则sin 2x-cos 2x=0,

得tan 2x=.

因为0

所以0<2x<2π,

所以2x=或2x=,

所以x=或x=.

(2)因为t=f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,

因为当x=α时,t=,

所以2sin=,sin=-.

所以cos=cos 2=2cos2-1=

2sin2-1=2-1=-.

22.(本小题满分14分)

已知O为坐标原点,向量=(sin α,1),=(cos α,0),=(-sin α,2),点P满足

=.

(1)记函数f(α)=·,α∈,讨论函数f(α)的单调性,并求其值域;

(2)若O、P、C三点共线,求|+|的值.

解:(1)=(cos α-sin α,-1),设=(x,y),

则=(x-cos α,y).

由=得x=2cos α-sin α,y=-1,

故=(2cos α-sin α,-1).

=(sin α-cosα,1),=(2sin α,-1),

f(α)=·=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)=

2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=

-sin,

又α∈,

故0<2α+<,

当0<2α+≤,即-<α≤时,f(α)单调递减;

当<2α+<,即<α<时,f(α)单调递增,

故函数f(α)的单调递增区间为,

单调递减区间为,

因为sin∈,

故函数f(α)的值域为[-,1).

(2)由(1)知=(2cos α-sin α,-1),=(-sin α,2),

由O、P、C三点共线可得

(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),

得tan α=.

sin 2α===.

∴|+|==

=.