福建省福州八中2015届高三上学期第一次质量检查数学(理)试题 Word版含答案

福州八中2015届高三上学期第一次质量检查数学（理）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2014.8.29

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：

样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差

其中x 为样本平均数 锥体体积公式 V =

3

1

Sh 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式V =Sh

其中S 为底面面积，h 为高

球的表面积、体积公式 24S R =π，3

43

V R =

π 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB 则复数12z z +所对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．

① 长、宽不相等的矩形； ② 正方形；③ 圆；④ 三角形. 其中正确的是

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

3.命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为 A.对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ B.对任意x R ?，均有2250x x ≤－＋

C.存在x R ∈，使得2250x x >－＋

D.存在x R ?，使得2250x x >－＋

4. 对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(i x ，i y )(i =1，2，…，8)，

第2题

其回归直线方程是：16

y x a =+，且12381238...3(...)6

x x x x y y y y ++++=++++=，则实

数a 的值是

A ．

1

16

B ．

1

8

C ．

1

4

D ．

1116

5. 已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。若α//l ，则“m l //”是“α//m ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

6. 已知在各项均不为零的等差数列{}n a 中，022112

73=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则86b b ?等于

A ．2 B. 4 C ． 8 D. 16 7. 已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的概率为

A ．

π

42 B.

π

33

2 C ．

π

3

D.

π

81 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是 A.(42，56] B.(56，72] C.(72，90] D.(42，90)

第8题

9. 已知向量 若8

5?=-，

a b 则tan α的值为

A.

34

B.

4

3

C.3

4

-

D.43

-

10. 已知集合{}

)(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：

① ?

?????

=

=x y y x M 1),( ② {}

2),(-==x

e y y x M

③ {}

x y y x M cos ),(==

④ {}

x y y x M ln ),(==

其中所有“Ω集合”的序号是 A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D.①③④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11. 已知抛物线2

20y x =的焦点是双曲线22

21(0)9x y a a

-=>的一个焦点，则此双曲线的实轴长为 .

12. 设变量x 、y 满足约束条件22

11x y x y x y -≤??

-≥-??+≥?

，则23z x y =+的最大值为 .

13. 若二项式6

1()ax x

-的展开式中的常数项为160-，则

20

(31)a

x dx -?

= .

14. 已知()41x f x =+，()4x g x -=.若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ,n 为常数），且最小值为1，则m n += ． 15.对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为12,,m a a a ???，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为12,,n b b b ???，并设其中最大的数为b . 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等；

③a 可能大于b ；

④b 可能大于a ．

以上四个结论中，正确结论的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

12

6126

126

x x x y y y z z

z ()()3sin ,cos 2,12sin ,1,,22ππαααα??==--∈ ???，

a b

步骤.

16. (本小题满分13分)

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分 组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.

（Ⅰ）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.

17．（本小题满分13分）

某同学用“五点法”画函数)2

,0()sin()(π

?ω?ω<>+=x A x f 在某一个周期内

的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

（Ⅰ）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式；

1C

1B

1A C

B

A D

（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移

2

3

个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小.

18.( 本小题满分13分)

如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,

AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且

AD ⊥平面1A BC .

（I ）求证：BC ⊥平面11ABB A ；

（Ⅱ）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，说明理由.

19.（本小题满分13分）

已知椭圆2222:1x y C a b

+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为1

2，过1

F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ?的周长为8． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．

20.(本小题满分14分)

已知函数2()ln f x x x =+.

（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3x x h x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；

(Ⅲ)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点

,(0)m n m n <<

，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平

行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 把曲线2221x y -=先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于x 轴的反射变换变为曲线C ，求曲线C 的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1x t

y kt

=??=+?（t 为参数），以O 为原点，Ox

轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：2sin 4cos ρθθ=

①写出直线l 和曲线C 的普通方程。

②若直线l 和曲线C 相切，求实数k 的值。

（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲 设函数f(x)=|x －4|+3-x , （Ⅰ）求f(x)的最小值m

（Ⅱ）当m c b a =++32 (a,b,c∈R)时,求222c b a ++的最小值.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第一次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（Ⅰ）321-

=x ，342=x ，3

103=x ……………………3分 ()3sin()23

f x x ππ

+所以 ……………………6分

（Ⅱ）将()f x 的图像沿x 轴向右平移2

3

个单位得到函数()2g x x π=…………7分

因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，

所以(1(3,P Q …………………………………………9分

所以2,4,OP PQ ==…………………………………………10分

222

cos 2OQ PQ OP OQ OQ QP θ+-==?12分

所以

6

π

θ=

…………………………………………13分

法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以

法3：利用数量积公式(2,23)(3,3)3

cos 41293

QP QO QP QO

θ?-?-=

=

=

+?+? ，=30o θ所以

19.解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．

高三数学（理）第一次质量检查试卷答案 第1页 共4页 高三数学（理）第一

因为12e = 所以222222

314

b a

c e a a -==-=， 所以2

3b =． 所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=． ------4分 （II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.

又A ，B 两点在椭圆C 上，

所以

2200143

x x +=，20127x =．

所以点O 到直线AB 的距离d ==

--------6分 当直线AB 的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+．

所以222

2

222

4128(1)03434m k m k m k k -+-+=++．-----------11分 整理得)1(1272

2+=k m ，满足0?>． 所以点O 到直线AB 的距离

7d ==为定值． --------13分 20.解：（Ⅰ）2

1()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x

'=-=+-=+-

由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1

(2)a x x

≤+.…… 2分

又10,2x x x >+≥2x =时等号成立.

故min 1

(2)x x

+=，所以a ≤……4分

设(0,1)m u n =

∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1

u u u u --=∈+ 设2(1)

ln ((0,1))1

u y u u u -=-

∈+， 22

222

12(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++

所以函数2(1)

ln 1

u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，

因此，1|0u y y =<=，即2(1)ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)

ln 1m m

n m n n

-<+，此式与⑤矛盾.

所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分

21.（1）解：先伸缩变换

M=1

0,2

01??

? ???

后反射变换N=1

001?? ?-??

,得 A=NM=1001?? ?-??102

01?? ?

???=1020

1?? ? ?

-??

……………4分 在A 变换下得到曲线C 为1242

2

=-y x 。 ……………………………7分