福建省福州八中2015届高三上学期第一次质量检查数学(理)试题 Word版含答案

福州八中2015届高三上学期第一次质量检查数学(理)试题

考试时间:120分钟 试卷满分:150分

2014.8.29

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),第II 卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷满分150分.考试时间120分钟. 参考公式:

样本数据x 1,x 2, …,x n 的标准差

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其中x 为样本平均数 锥体体积公式 V =

3

1

Sh 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式V =Sh

其中S 为底面面积,h 为高

球的表面积、体积公式 24S R =π,3

43

V R =

π 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上.) 1.如图,在复平面内,若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB 则复数12z z +所对应的点位于

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

2. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为....

① 长、宽不相等的矩形; ② 正方形;③ 圆;④ 三角形. 其中正确的是

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

3.命题“对任意x R ∈,均有2250x x ≤-+”的否定为 A.对任意x R ∈,均有2250x x ≥-+ B.对任意x R ?,均有2250x x ≤-+

C.存在x R ∈,使得2250x x >-+

D.存在x R ?,使得2250x x >-+

4. 对具有线性相关关系的变量x ,y ,有一组观测数据(i x ,i y )(i =1,2,…,8),

第2题

其回归直线方程是:16

y x a =+,且12381238...3(...)6

x x x x y y y y ++++=++++=,则实

数a 的值是

A .

1

16

B .

1

8

C .

1

4

D .

1116

5. 已知,l m 为两条不同的直线,α为一个平面。若α//l ,则“m l //”是“α//m ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

6. 已知在各项均不为零的等差数列{}n a 中,022112

73=+-a a a ,数列{}n b 是等比数列,且77a b =,则86b b ?等于

A .2 B. 4 C . 8 D. 16 7. 已知正方体的棱长为2,在正方体的外接球内任取一点,则该点落在正方体内的概率为

A .

π

42 B.

π

33

2 C .

π

3

D.

π

81 8. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9,则判断框内m 的取值范围是 A.(42,56] B.(56,72] C.(72,90] D.(42,90)

第8题

9. 已知向量 若8

5?=-,

a b 则tan α的值为

A.

34

B.

4

3

C.3

4

-

D.43

-

10. 已知集合{}

)(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合:

① ?

?????

=

=x y y x M 1),( ② {}

2),(-==x

e y y x M

③ {}

x y y x M cos ),(==

④ {}

x y y x M ln ),(==

其中所有“Ω集合”的序号是 A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D.①③④

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.

11. 已知抛物线2

20y x =的焦点是双曲线22

21(0)9x y a a

-=>的一个焦点,则此双曲线的实轴长为 .

12. 设变量x 、y 满足约束条件22

11x y x y x y -≤??

-≥-??+≥?

,则23z x y =+的最大值为 .

13. 若二项式6

1()ax x

-的展开式中的常数项为160-,则

20

(31)a

x dx -?

= .

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14. 已知()41x f x =+,()4x g x -=.若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+(其中m ,n 为常数),且最小值为1,则m n += . 15.对于30个互异的实数,可以排成m 行n 列的矩形数阵,右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为12,,m a a a ???,并设其中最小的数为a ;把每列中最小的数选出,记为12,,n b b b ???,并设其中最大的数为b . 两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下: ①a 和b 必相等; ②a 和b 可能相等;

③a 可能大于b ;

④b 可能大于a .

以上四个结论中,正确结论的序号是_______(请写出所有正确结论的序号). 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算

12

6126

126

x x x y y y z z

z ()()3sin ,cos 2,12sin ,1,,22ππαααα??==--∈ ???,

a b

步骤.

16. (本小题满分13分)

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分 组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.

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(Ⅰ)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分13分)

某同学用“五点法”画函数)2

,0()sin()(π

?ω?ω<>+=x A x f 在某一个周期内

的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

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(Ⅰ)请写出上表的1x 、2x 、3x ,并直接写出函数的解析式;

1C

1B

1A C

B

A D

(Ⅱ)将()f x 的图象沿x 轴向右平移

2

3

个单位得到函数()g x 的图象,P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点(如图),求OQP ∠的大小.

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18.( 本小题满分13分)

如图直三棱柱111ABC A B C -中,12,

AC CC AB BC ===,D 是1BA 上一点,且

AD ⊥平面1A BC .

(I )求证:BC ⊥平面11ABB A ;

(Ⅱ)在棱1BB 是否存在一点E ,使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60,若存在,试确定E 点的位置,若不存在,说明理由.

19.(本小题满分13分)

已知椭圆2222:1x y C a b

+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为1

2,过1

F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,且2MNF ?的周长为8. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ,B 两点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值,并求出这个定值.

20.(本小题满分14分)

已知函数2()ln f x x x =+.

(I )若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)在(1)的条件下,若1a >,3()3x x h x e ae =-,[0,ln 2]x ∈,求()h x 的极小值;

(Ⅲ)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈,若函数()F x 存在两个零点

,(0)m n m n <<

,且满足02x m n =+,问:函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平

行于x 轴?若能,求出该切线方程,若不能,请说明理由.

21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2小题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.

(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 把曲线2221x y -=先进行横坐标缩为原来的一半,纵坐标保持不变的伸缩变换,再做关于x 轴的反射变换变为曲线C ,求曲线C 的方程.

(2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:1x t

y kt

=??=+?(t 为参数),以O 为原点,Ox

轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为:2sin 4cos ρθθ=

①写出直线l 和曲线C 的普通方程。

②若直线l 和曲线C 相切,求实数k 的值。

(3)(本小题满分7分)选修4一5:不等式选讲 设函数f(x)=|x -4|+3-x , (Ⅰ)求f(x)的最小值m

(Ⅱ)当m c b a =++32 (a,b,c∈R)时,求222c b a ++的最小值.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第一次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.

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三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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17.解:(Ⅰ)321-

=x ,342=x ,3

103=x ……………………3分 ()3sin()23

f x x ππ

+所以 ……………………6分

(Ⅱ)将()f x 的图像沿x 轴向右平移2

3

个单位得到函数()2g x x π=…………7分

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因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,

所以(1(3,P Q …………………………………………9分

所以2,4,OP PQ ==…………………………………………10分

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222

cos 2OQ PQ OP OQ OQ QP θ+-==?12分

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所以

6

π

θ=

…………………………………………13分

法2:60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以

法3:利用数量积公式(2,23)(3,3)3

cos 41293

QP QO QP QO

θ?-?-=

=

=

+?+? ,=30o θ所以

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19.解:(I )由题意知,48a =,所以2a =.

高三数学(理)第一次质量检查试卷答案 第1页 共4页 高三数学(理)第一

因为12e = 所以222222

314

b a

c e a a -==-=, 所以2

3b =. 所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ------4分 (II )由题意,当直线AB 的斜率不存在,此时可设00(,)A x x ,00(,)B x x -.

又A ,B 两点在椭圆C 上,

所以

2200143

x x +=,20127x =.

所以点O 到直线AB 的距离d ==

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--------6分 当直线AB 的斜率存在时,设直线的方程为y kx m =+.

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所以222

2

222

4128(1)03434m k m k m k k -+-+=++.-----------11分 整理得)1(1272

2+=k m ,满足0?>. 所以点O 到直线AB 的距离

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7d ==为定值. --------13分 20.解:(Ⅰ)2

1()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x

'=-=+-=+-

由题意,知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立,即min 1

(2)a x x

≤+.…… 2分

又10,2x x x >+≥2x =时等号成立.

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故min 1

(2)x x

+=,所以a ≤……4分

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设(0,1)m u n =

∈,⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1

u u u u --=∈+ 设2(1)

ln ((0,1))1

u y u u u -=-

∈+, 22

222

12(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++

所以函数2(1)

ln 1

u y u u -=-+在(0,1)上单调递增,

因此,1|0u y y =<=,即2(1)ln 0.1u u u --<+也就是,2(1)

ln 1m m

n m n n

-<+,此式与⑤矛盾.

所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分

21.(1)解:先伸缩变换

M=1

0,2

01??

? ???

后反射变换N=1

001?? ?-??

,得 A=NM=1001?? ?-??102

01?? ?

???=1020

1?? ? ?

-??

……………4分 在A 变换下得到曲线C 为1242

2

=-y x 。 ……………………………7分

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