第9章导体和电介质中的静电场

第第九九章章 导导体体和和电电介介质质中中的的静静电电场场引言：一、导体、电介质、半导体导体：导电性能很好的材料；例如：各种金属、电解质溶液。

电介质（绝缘体）：导电性能很差的材料；例如：云母、胶木等。

半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间的材料； 二、本章内容简介三、本章重点和难点1. 重点（1）导体的静电平衡性质； （2）空腔导体及静电屏蔽； （3）电容、电容器； 2. 难点导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算；第一节 静电场中的导体一、静电感应 静电平衡1. 静电感应（1）金属导体的电结构从微观角度来看，金属导体是由带正电的晶格点阵和自由电子构成，晶格不动，相当于骨架，而自由电子可自由运动，充满整个导体，是公有化的。

例如：金属铜中的自由电子密度为：()328108-⨯=m n Cu 。

当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀分布，宏观上呈电中性。

（2）静电感应当导体处于外电场E 0中时，电子受力后作定向运动，引起导体中电荷的重新分布。

结果在导体一侧因电子的堆积而出现负电荷，在另一侧因相对缺少负电荷而出现正电荷。

这就是静电感应现象，出现的电荷叫感应电荷。

2. 静电平衡不管导体原来是否带电和有无外电场的作用，导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。

（a ）自由电子定向运动 （b ）静电平衡状态3. 静电平衡条件（静电平衡态下导体的电性质）（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直。

（2）在静电平衡时，导体内上的电势处处相等，导体是一个等势体。

证明： 假设导体表面电场强度有切向分量，即0≠τE ，则自由电子将沿导体表面有宏观定向运动，导体未达到静电平衡状态，和命题条件矛盾。

因为00==τE E，内，所以0,0==τd dU dl dU ，即导体为等势体，导体表面为等势面。

二、静电平衡时导体上电荷的分布1. 实心导体（1）处于静电平衡态的实心导体，其内部各处净电荷为零，电荷只能分布于导体外表面。

证明：在导体内包围P 点作闭合曲面S ，由静电平衡条件=内E，所以由高斯定理：==⋅⎰∑Sq S d E ε内内，得0=∑内q。

（2）处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷面密度与表面邻近处场强大小成正比。

证明：在导体表面任取无限小面积元ΔS ，认为它是电荷分布均匀的带电平面，电荷面密度为σ，作高斯面（如图：扁平圆柱面），轴线与表面垂直，Δl 很小，由高斯定理：2cos0εσπS S E S E S S E Sd E S d E S d E S d E S∆=∆=∆+∆⋅+∆=⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰表侧表表侧表下底内上底由此得表E0εσ=，即nE 0εσ=表(9-1)注意和结论： ★ 表E ∝σ；★ n为导体表面的外法线方向单位矢量；★ 表E 由导体上及导体外全部电荷所产生的合场强，而非仅由导体表面该点处的电荷面密度所产生。

例如：孤立的半径为R 的均匀带电球面，球面外邻近处P 点的场强大小为0204εσπε==R q E P 由整个球面上电荷共同产生。

带电球附近有点电荷q 1时，同一P 点处的场强由球面上原有电荷q 和点电荷q 1，以及其在球面上的感应电荷所共同产生即感应电荷E E E E q q P++='1,仍然满足n E Pεσ'='。

（3）静电平衡下的孤立导体，其表面某处面电荷密度σ与该表面曲率有关，曲率越大的地方，电荷密度σ也越大，R σ1∝。

（4）尖端放电对于有尖端的带电导体，尖端处电荷面密度大，则导体表面邻近处场强也特别大。

当场强超过空气的击穿场强时，就会产生空气被电离的放电现象，称为尖端放电。

例9-1（书P89）。

第二节 空腔导体内外的静电场一、空腔导体内外的静电场 1、空腔导体内部无带电体无论空腔导体是否带电、是否处于外电场中，空腔导体都具有下列性质： （1）空腔内部及导体内部电场强度处处为零，它们形成等电势区。

（2）空腔内表面不带任何电荷。

上述性质可用高斯定律证明。

下面说明性质②。

在导体内做一高斯面，根据静电平衡，导体内部场强处处为零，所以导体内表面电荷的代数和为零。

如内表面某处面电荷密度σ>0 ,则必有另一处σ<0，两者之间就必有电力线相连，就有电势差存在，这与导体内场强为零相矛盾。

所以导体内表面处处e =0。

这些结论不受腔外电场的影响，腔外电场与腔外表面电荷在腔内场强总贡献为零。

2、腔内有带电体（1）导体中场强为零。

（2）空腔内部的电场决定于腔内带电体，空腔外的电场决定于空腔外表面的电荷分布。

（3）空腔的内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号。

（4）导体接地，则空腔内带电体的电荷变化将不再影响导体外的电场。

证明：（弄清感应电荷的数量。

）二、静电屏蔽electrostatic shielding如图，在空腔导体外，还有一带负电的带电体B ，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及带电体 B 上 的电荷将重新分布。

静电平衡时：（1）B 使外表面上电荷重新分布；（2）内表面、腔内带电体的电荷分布不变； （3）导体空腔部分的电场等于零；（4）导体接地，腔内电场不影响腔外，腔内各点相对地的电势不再变化。

总之，空腔导体（无论接地与否）将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响，称之为静电屏蔽现象。

例子：屏蔽服、屏蔽线、金属网。

(课本P93-P94)。

例题9-2：课本P94。

例题2：一半径为()1221,r r r r 〉互相绝缘的两个同心导体球壳，现将 +q 电量给予内球壳，求：（1）外球壳上所带的电荷和外球的电势。

（2）把外球壳接地后再重新绝缘，求外球上所带的电荷及外球的电势。

（3）然后把内球接地，问内球上所带电荷及外球电势改变多少？解：（1）+q 分布在内球壳外表面，静电感应后，外球壳内表面带电-q ，外表面带电+q ，整个外球壳总电荷为零，0=外球壳Q 。

由高斯定理得：)(4)(4)0(022021201r r rq E r r r r q E r r E <=<<=<<=πεπε由静电平衡条件得：球壳导体内部场强为零， 即：=内部E。

所以有：⎰⎰∞∞==⋅=22202044r r r q dr r q l d E U πεπε 外球或由电势叠加原理得：202020204444r q r q r q r qU πεπεπεπε=+-=外求（2）外球壳接地后再绝缘，则：，外球0=U 同时0=外球外表Q ，q Q -=外球内表，即q Q -=外球壳。

（3）内球壳接地后，得=内球U 。

此时设内球带正电荷为 e ，外球内表面带电荷为-q ，则0442010=-+=r q r eU πεπε内球，所以得()021〉=q r re 不为零。

因而有：)0(444202020≠-=-+='r qe r q r e U πεπεπε外球 则有：2020404r qe r q e U U U πεπε-=--=-'=∆外球外球外球。

第三节 电容器的电容静电平衡时导体上的电荷只能分布在表面，且与其本身的形状、结构及周围的介质有关。

下面我们讨论的是导体容电本领问题。

一、孤立导体的电容1. 定义设在真空中有一半径为R ，带电荷为Q 的孤立球形导体，则它的电势（相对于无限远处的零电势而言）为：R QV 041πε=而RV Q 04πε=该比值仅与导体的几何形状和大小有关，与导体所带的电量无关。

由此我们定义孤立导体的电容为孤立导体所带的电荷Q 与其电势V 的比值。

即：V Q C =电容 C 是反映导体容电能力的物理量。

用单位电势差所能容纳的电量来表征。

2. 单位 法拉（F ），微法（mF ）,皮法（pF ）pFF F 12610101==μ二、电容器1. 例子和概念两个同心球壳，内球 A 和外球B 分别带 +q 和 -q 电量，中间充以空气或电介质。

当外壳接地后，这样的导体组——非常靠近的中间充满电介质的两个导体组合，称为电容器。

两个导体称为电容器的极板。

2. 电容器的电容定义：电容器的电容B A V V QC -=， Q 为一个极板所带电量的绝对值，V A -V B 为两极板间的电势差。

（1）电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及电介质的电容率。

与电容器是否带电无关。

（2）电容器符号：，固定电容器；，可变电容器。

3. 电容的计算（1）假设电容器的两个极板A 、B 分别带 +q 和-q 电荷。

（2）求两极板间的电场分布，并由⎰⋅=B AAB ld E U计算两极板间电势差。

（3）由定义式AB U qC =计算电容C 。

4. 例子：几种常见的电容器电容的计算 （1）平板电容器设有两靠得很近，相距为 d ，面积为 S 的平行金属板组成的平行板电容器，板间为真空。

每块极板上的电荷面密度为S Q=σ，两极板间的电场为均匀电场，忽略边缘效应，两极板间的场强为：S Q E 00εεσ==两极板间的电势差为S Qd d Ed d U AB 00εεσ===⋅=⎰l E根据电容的定义得平板电容器的电容为d S U Q C 0ε==（2）圆柱形电容器设内、外圆柱面各带有+Q 和-Q 的电荷，则电荷线密度为l Q=λ。

在两个圆柱面之间距圆柱的轴线为r 处的电场强度E 大小为r l Q r E 12200πεπελ==E的方向垂直于圆柱轴线。

于是，两圆柱面间的电势差为A B RRl R R l Qr dr l Q d U BAln2200πεπε==⋅=⎰⎰r E由电容的定义式可得圆柱形电容器的电容为ABR R l UQ C ln 20πε==d«R A 时，有A A A AB R d R d R R R ≈+=ln ln 于是圆柱形电容器的电容可写成：)2(200l R S dSd lR C A A πεπε==≈圆柱体的侧面积这正是平板电容器的电容。

可见，当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径时，圆柱形电容器可当作平板电容器。

（3）球形电容器：课本P100两半径分别为R 1和R 2 的同心金属球壳组成球形电容器，两球壳间为真空，求电容。

解：设内外球面分别带 +q 和-q 电量，由高斯定理得两极板间场强方向沿径向，大小为：()21204R r R r qE 〈〈=πε。

两极板间电势差为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⋅=⎰⎰210202112114421R R q dr rq l d E U R R πεπε由定义得：122101204R R R R U qC -==πε（1)当112R d R R <<=-时，d Sd R C 021004επε=≈，和平板电容器一样。