二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解
2020年重庆中考二次函数最值专题训练(含答案)
2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
二次函数与三角形周长最值问题
二次函数与三角形周长最值问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个既有趣又实用的话题，那就是二次函数和三角形周长的最值问题。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这些复杂的数学概念变得简单易懂，就像喝水一样容易。
你有没有发现，数学其实就像生活中的调味品，适量的话，能让一切变得更美味。
今天我们就来看看，如何用二次函数来找出三角形周长的最值。
2. 二次函数的基本概念2.1 二次函数是什么？首先，咱们得搞清楚二次函数是什么。
简单来说，二次函数就是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的函数，其中 ( a, b, c ) 是常数，而 ( a neq 0 )。
这个公式的图像通常是一条抛物线，像个笑脸，或者说是个哭脸，真是个多情的家伙。
它的形状和位置全靠那个 ( a ) 的值决定——如果 ( a ) 是正的，它就笑得特别灿烂；如果是负的，那就是个忧伤的小抛物线。
2.2 如何求最值？在二次函数中，最值也就是我们常说的“顶点”。
顶点的横坐标可以用公式 ( x = frac{b{2a ) 来计算。
得到横坐标后，把它带回原方程，就能算出对应的纵坐标。
这样一来，我们就能轻松找到函数的最大值或最小值，就像捡到了一个大便宜。
3. 三角形周长的计算3.1 三角形的周长公式接下来，我们来聊聊三角形的周长。
三角形的周长简单来说就是三条边的长度加起来。
无论你是直角三角形、等边三角形还是其他类型，周长都是那个公式：( P = a + b + c )，其中 ( a, b, c ) 就是三条边的长度。
很简单吧？不过，别忘了，边的长度可不是随便定的哦，得满足三角形不等式。
3.2 周长与二次函数的关系现在问题来了，怎么把周长和二次函数联系起来呢？我们可以设定一条边的长度为( x )，另外两条边用 ( y ) 和 ( z ) 表示。
然后通过一些简单的代数变换，把三角形的周长表达为 ( P(x) = x + f(x) )，其中 ( f(x) ) 是个二次函数，表示与 ( x ) 相关的边长。
二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解
成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点
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（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）点 D 和点 C关于抛物线的对称轴对称，点你 F 在直线 AD上方的抛物线上， FG⊥AD于 G， FH∥ x 轴交
直线 AD于 H，求△ FGH的周长的最大值；
（ 3）点 M是抛物线的顶点，直线 l 垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、 Q两点，点 R 在抛物线的对称轴上，
1．如图所示，抛物线
实用标准文案
y=ax 2+bx﹣ 3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）如图所示，直线 BC下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC
于点 F，求△ PEF周长的最大值；
大值．
（ 3）在满足第②问的条件下，在线段 BD上是否存在一点 P，使∠ DFP=∠ DBC．若存在，求出点 P 的坐标；
若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线 y=﹣ x2+（m﹣ 1） x+m（ m＞ 1）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于
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点 C（ 0， 3）．
5．已知：如图，直线 y=﹣ x+2 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点， A点坐标为（﹣ 1， 0）．
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（ 1）求过 A、 B、 C三点的抛物线的解析式．
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（ 2）在直线 BC上方的抛物线上有一点 D，过 D作 DE⊥ BC于 E，作 DF∥ y 轴交 BC于 F，求△ DEF周长的最
8．如图，抛物线 y=﹣ x 2﹣ x+3 与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴与点 D，已知点
专题16 三角形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题16 三角形周长求最值问题1．（2021·四川成都龙泉驿·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点(1,4)M -，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，与直线2y kx k =--相交于D ，E 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）当5BDE ADE S S =△△时，求k 的值；（3）如图2，作//DF y 轴交EM 的延长线于F ，当ACF 的周长最小时，求点F 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）32k =-或23-；（3）1(3-，6)-【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当点H 在线段AB 上时，过点A 、B 分别作直线//m DE 、//n DE ，由5BDE ADE S S ∆∆=时，则:1:5AH HB =，求出点1(3H -，0)，进而求解；当点H 在BA 的延长线时，同理可解；（3）求出点F 的坐标为(,6)m -，即点F 为直线6y =-上的一个动点，过点C 作直线6y =-的对称点(0,9)C '-，连接AC '交直线6y =-于点F ，则点F 为所求点，进而求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为2()y a x h k =-+， 则22(1)424y a x ax ax a =--=-+-， 即43a -=-，解得1a =，∴抛物线的表达式为223y x x =--；（2）设DE 交x 轴于点H ， 当点H 在线段AB 上时，过点A 、B 分别作直线//m DE 、//n DE ，5BDE ADE S S ∆∆=时，则:1:5AH HB =，即1124663AH AB ==⨯=，则点1(3H -，0)，将点H 的坐标代入2y kx k =--得：1023k k =---，解得32k =-；当点H 在BA 的延长线时， 同理可得：23k =-，综上，32k =-或23-；（3）设点D 、E 的坐标分别为2(,23)m m m --、2(,23)n n n --， 则点F 的横坐标为m ，联立直线2y kx k =--和抛物线表达式并整理得：2(2)(1)0x k x k -++-=， 则2m n k +=+，1mn k =-，由点E 、M 的坐标得，直线EM 的表达式为(1)3y n x n =---， 当x m =时，(1)3()31236y n x n mn m n k k =---=-+-=----=-， 即点F 的坐标为(,6)m -，即点F 为直线6y =-上的一个动点， 过点C 作直线6y =-的对称点(0,9)C '-，连接AC '交直线6y =-于点F ，则点F 为所求点，理由：ACF ∆的周长AC CF AF AC C F AF AC AC =++=+'+=+'为最小， 由点A 、C '的坐标得，直线AC '的表达式为99y x =--， 当699y x =-=--时，13x =-，故点F 的坐标为1(3-，6)-． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．（2021·湖北大冶·中考二模）如图，抛物线的顶点为()0,1A -，与x 轴交于点()22,0B -，点()0,1F 为y 轴上的一个定点．点()P m n ,是抛物线上一动点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点()0,3C -且垂直于y 轴的定直线，若点()P m n ,到直线l 的距离为d ，求证：PF d =；（3）已知坐标平面内一点()2,3D ，求PDF 周长的最小值，并求出此时P 点坐标．【答案】（1）21=18y x -；（2）证明见解析；（3）6+P （2，-12）【分析】（1）根据条件选择设顶点式解析式，然后代入已知点坐标即可求出解析式；（2）根据点的坐标，利用勾股定理表示出PF 的长度，结合抛物线解析式，从而得到PF 长度与n 的关系式，再利用n 表示出d 的值，进而可以找到PF 与d 的关系；（3）借助（2）中得到的结论转化得到，当PD 所在直线垂直l 时，PF +PD 的最小值，即△PDF 周长最小，再求出P 点坐标即可． 【详解】解：（1）由顶点（0，-1），可设抛物线方程为21y ax =-，∵过()-， ∴代入解得a =18，∴抛物线解析式为21=18y x -；（2）证明：已知P 、F 的坐标，∴PF = ∵P 在抛物线上， ∴21=18m n +，∴3PF n +（n ＞-1）， 又P 点到l 的距离d =n +3，∴PF=d ，（3）△PDF 的边长中DF 长度根据勾股定理求出为P 位置改变， ∴PD +PF 最小时，周长最小， 根据（2）可知PF =d ，∴当DP ⊥l 时，PD +PF 最小，且最小值为6， ∴P 点横坐标为2，∴△PDF 周长最小为6+P 点坐标为（2，-12）． 【点睛】本题考查了求抛物线的解析式，勾股定理，求最值等知识内容，对学生的做题灵活性要求较高，属于中考常考题．3．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则当t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）223y x x =--+；（2）见解析，P (-1，2)；（3）32t =-，758【分析】（1）先求点C 的坐标，再将点B 、点C 的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数b 、c 的值，问题即解决；（2）根据轴对称的性质，先画出点P 的位置，求出直线AC 的函数关系式，则直线AC 与抛物线的对称轴的交点即为P 的坐标；（3）四边形AQCB 的面积由△ABC 和△AQC 的面积组成，其中△ABC 的面积为定值，可知需要把△AQC 的面积用含t 的代数式表示出来，再求四边形AQCB 的最大值． 【详解】（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线1x =-， ∴12(1)b-=-⨯-．∴b =-2．∵点B （1，0）在二次函数2y x bx c =-++的图象上， ∴21(2)10c -+-⨯+=． ∴3c =．∴二次函数的解析式为223y x x =--+．（2）由（1）知二次函数的解析式为223y x x =--+．令0x =，得3y =． ∴点C 的坐标为（0，3）．由题意，可得点B （1，0）与点A （-3，0）关于直线1x =-对称．∴要在直线1x =-上找一点P 使△PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与P A 的和最小的问题． ∵在连接AC 的线中，线段AC 最短．∴直线AC 与直线1x =-的交点就是所要找的点P （如图1）设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，则有30,3.m n n -+=⎧⎨=⎩ ∴ 1,3.m n =⎧⎨=⎩∴3yx ．由3,1y x x =+⎧⎨=⎩得点Ｐ的坐标为（-1，2）． （3）如图2．过点Q 作QF x ⊥轴，垂足为F ， 直线AC 与直线QF 交于点E ．则ABC ACQ AQCB S S S ∆∆=+四边形． ∵ABC 1143622S AB OC ∆=⋅⋅=⨯⨯=， ACQ AQE CQE S S S ∆∆∆=+11132222QE AF QE OF QE OA QE =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅． 又∵点Q 的横坐标为t ．∴ 点Q 和点E 的纵坐标分别为223t t --+和3t +． ∴2223(3)3QE t t t t t =--+-+=--． ∴()2AQCB 3632S t t =+--四边形223933756()22228t t t =--+=-++．由题意知: 30t -<<．∴当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线来表示四边形的面积，是解决本题的关键．4．（2021·辽宁沈阳·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线=y 与抛物线2y ax bx =+交于点()2,A n 和点()2,B k -，与y 轴交于点E ，抛物线交y 轴于点C ，点P 是第一象限直线AB 上方抛物线上的一点，连接PA ，PE ．（1）求抛物线的表达式；（2）当APE 时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值； （3）将线段EC 绕点E 顺时针旋转得到线段EF ，旋转角为()0120αα︒<<︒，连接AF 交线段EC 于点G ，FEC ∠的平分线交AF 于点H ，当EFH △的周长最大时，直接写出点H 的坐标．【答案】（1）2y =--（2）3m =；（3）23⎛- ⎝⎭【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，代入2y ax bx =+（2）如图1，过点P 作//PK y 轴交直线AB 于点K ，设2(P m ，则(,K m ，由APE EPK APK S S S ∆∆∆=-，即可求得答案； （3）如图2，根据题意可得出120EHF ∠=︒，连接CH ，先证明CEH FEH ∆≅∆，作CEH ∆的外接圆W ，点H 始终在W 的劣弧CHE 上移动，当点H 为CHE 的中点时，CEH ∆的周长最大，即EFH ∆的周长最大，此时AH EC ⊥，利用三角函数定义即可求出答案． 【详解】解：（1）在直线=+y当2x =时，2y =，当2x =-时，(2)y =-=A ∴，(B -，抛物线2y ax bx =+A，(B -，∴4242a b a b ⎧+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的表达式为2y x =--（2）如图1，过点P 作//PK y 轴交直线AB 于点K ，设2(P m，则(,K m ，22(PK ∴=， APE EPK APK S S S ∆∆∆∴=-11(2)22PK m PK m =⋅-⋅-2∴2解得：3m =或3m =-，P 是第一象限的点，0m ∴>，3m ∴=；（3）在2y =0x =，得y =(0,C ∴，在=y 中，令0x =，得y =E ∴，OE ∴=(EC =，(0AE =AE EC EF ∴===设直线=+y x 轴交于M ，则(3,0)M ， 3∴=OM ，tanOM MEO OE ∴∠== 60MEO ∴∠=︒，120BEO ∴∠=︒，CEF α∠=， 60AEF α∴∠=+︒，AE EF =， 18016022AEF AFE EAF α︒-∠∴∠=∠==︒-， EH 平分FEC ∠，1122FEH CEH FEC α∴∠=∠=∠=，11606022AHE FEH AFE αα∴∠=∠+∠=+︒-=︒，120EHF ∴∠=︒，如图2，连接CH ，在CEH ∆和FEH ∆中，EC EF CEH FEH EH EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CEH FEH SAS ∴∆≅∆， 120CHE FHE ∴∠=∠=︒，作CEH ∆的外接圆W ，点H 始终在W 的劣弧CHE 上移动，当点H 为CHE 的中点时，CEH ∆的周长最大，即EFH ∆的周长最大，此时AH EC ⊥，90EGH ∠=︒，60EHG ∠=︒，30HEG ∠=︒，EG GC =2tan tan303GH EG HEG ∴=⋅∠=︒=，423EH GH ==，OG OE EG ∴=- CEH ∴∆的周长最大值423=⨯H 的坐标为2(3-．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角函数定义等，属于中考压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握二次函数图象和性质、全等三角形判定和性质等相关知识，合理添加辅助线是解题关键．5．（2021·山东济南·中考二模）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3的图象与x 轴交于点A （1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使△AMC 的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ，使△FCG 是等腰三角形，直接写出P 的横坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）M （2，-1）；周长最小为（3）P 的坐标是：（5，0）或（4，0）或（30）或（0）【分析】1）将A （1，0）和B （3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得到二元一次方程组求解即可；（2）求出C 坐标及BC 解析式，BC 与对称轴交点即为M ，AC +BC 即是△AMC 的最小周长；（3）设P （m ，0），用m 表示出△FCG 的三边长，分类列方程求解．【详解】解（1）将A （1，0）和B （3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：030933a b a b =+-⎧⎨=+-⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）连接BC 交直线DE 于M ′，如答图1：抛物线的解析式y ＝﹣x 2+4x ﹣3中令x ＝0得y ＝﹣3，令y ＝0得x ＝1或3，∴C （0，﹣3），A （1，0），B （3，0），且顶点D （2，1），对称轴x ＝2，∴AC ，BC ＝△AMC 的周长最小，即是AM +CM 最小，而M 在对称轴上，∴AM ＝BM ，AM +CM 最小就是BM +CM 最小，此时M 与M ′重合，AM +CM 最小值即是BC 的长度即AM +CM 最小值为，∴△AMC 的周长最小为设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，将C （0，﹣3），B （3，0）代入得：303n k n -=⎧⎨=+⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，令x ＝2得y ＝-1，∴M （2，-1）；（3）设P （m ，0），∵过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ，∴F （m ，﹣m 2+4m ﹣3），G （m ，m ﹣3），而C （0，﹣3），∴CF 2＝m 2+（﹣m 2+4m ）2，CG 2＝m 2+m 2＝2m 2，FG 2＝（﹣m 2+3m ）2，△FCG 是等腰三角形，分三种情况：①CF ＝CG 时，m 2+（﹣m 2+4m ）2＝2m 2，解得m ＝0或m ＝3或m ＝5，m ＝0时F 、G 与C 重合，舍去；m ＝3时，F 、G 与B 重合，舍去，∴m ＝5，P （5，0），②CF ＝FG 时，m 2+（﹣m 2+4m ）2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m ＝0（舍去）或m ＝4， ∴P （4，0），③CG ＝FG 时，2m 2＝（﹣m 2+3m ）2，解得m ＝0（舍去）或m ＝3或m ＝，∴P （3，0）或P （0），总上所述，△FCG 是等腰三角形，P 的坐标是：（5，0）或（4，0）或（30）或（0）．【点睛】本题考查二次函数、等腰三角形及线段和的最小值等知识点，解题关键是设出坐标表示线段长度，分类列方程求解．6．（2021·山西洪洞·中考二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4y x =+；（2）0t =或4t =（3）存在，3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的解析式可以求出点A 和点C 坐标，把点A 和点C 的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；（2）由题意可得点P 的坐标，从而可得点D 的坐标，故可求得ED 的长，再由A 、C 的坐标可知：OA =OC ，即△AOC 是等腰直角三角形，因DP ⊥x 轴，故△AEP 也是等腰直角三角形，可分别得到AC 、AE 的长，故可得EC 的长，由题意EC =ED ，即可得关于t 的方程，解方程即可；（3）由EP =AP ，得EBP C EP BP BE AP BP BE AB BE =++=++=+△，AB 是定值，周长最小，就转化为BE 最小，根据垂线段最短就可确定点P 的特殊位置，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B ，交y 轴于点C ，∴当0x =时，4y =，即()0,4C ，当0y =时，2340x x --+=，14x =-，21x =，即()4,0A -，()10B ,， 设直线AC 的解析式为：y kx b =+则044k b b =-+⎧⎨=⎩， ∴14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式：4y x =+．（2）∵点P 沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴OP t =，(),0P t -，∵DP x ⊥轴，∴(),4E t t --+，()2,34D t t t --++，∴24DE t t =-+∵()4,0A -，()0,4C ，∴4OA =，4OC =，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴45CAO ∠=︒，由勾股定理得：AC =∵DP x ⊥轴，在Rt APE 中，45CAP ∠=︒，∴△AEP 也是等腰直角三角形，∴4AP PE t ==-，)4AE t -，∴EC AC AE =-=，∴当24t t -+=时，即0t =或4t =EC ED =．（3）在Rt AEP △中，45OAC ∠=︒，∴AP EP =，∴EBP △的周长：EP BP BE AP BP BE AB BE ++=++=+．∴当BE 最小时EPB △的周长最小．当BE AC ⊥时，BE 最小，∵()10B ,， ∴5AB =，在Rt AEB 中，90AEB =︒∠，45BAC ∠=︒，5AB =，BE AC ⊥， ∴1522PB AB ==， ∴32OP PB OB =-=， ∴3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．7．（2021·黑龙江讷河·九年级期末）综合与探究如图，已知点B（3，0），C（0，－3），经过B．C两点的抛物线y＝x2－bx＋c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）已知点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF//y轴交线段BC于点F，连结EC，若点E（2，－3），请直接写出△FEC的面积；（4）在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）点D的坐标为（1，－2）；（3）△FEC的面积为2；（4）存在，P1（0，3），P2（－2，－3），P3（6，－3）．【分析】（1）将点B（3，0），C（0，－3）代入抛物线y＝x2－bx＋c，求得b,c即可求解；C＝AC＋AD＋CD＝AC＋（2）求出D点的横坐标为1，当点B、D、C在同一直线上时，ACDBD ＋CD ＝AC ＋BC 最小，再求出直线BC 的解析式，即可求D 点坐标；(3)根据点和平行线的性质，先得出线段CE 和EF 的长以及∠CEF =90°即可求得△FEC 的面积； （4）【详解】解：(1) 将点B （3，0），C （0，－3）代入抛物线y ＝x 2－bx ＋c ，得，930-3b c c ⎧⎨⎩－＋＝＝ ，解得2-3b c ⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)如图：由y ＝x 2－2x －3得对称轴为x ＝-2b a =-2-21⨯ =1 ∵点A ，.B 关于x ＝1对称，∴连结BC 与对称轴为x ＝1的交点就是符合条件的点D ，设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，将B (3，0)，C (0，－3)代入解析式得303m n n ⎧⎨⎩＋＝＝－ ，解得13m n ⎧⎨⎩＝＝－， ∴y ＝x －3当x ＝1时，y ＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)；(3)如图：∵E(2，-3)，C(0，-3)∴CE∥x轴，且CE=2∵EF//y轴交线段BC于点F且BCl:y＝x－3当x=2时，y=-1，∴F(2，-1)∴EF=2，又∵∠CEF=90°∴12CEFS CE EF=⋅= 12×2×2=2；(4) 存在，如图：①当AB为边长，BE为边长，如图四边形ABE P1为平行四边形∵对称轴为x＝1，B（3，0）∴1×2-3=-1∴A(-1，0)AB=3-（-1）=4∴P1E=AB=4∵E(2，-3)∴C P1= P1E-CE=4-2=2∴P1 (－2，－3)②当AB 为边长，AE 为边长，∵E P 2=AB =4∴C P 2= P 2E +CE =4+2=6∴P 2 (6，－3)③当AB 为对角线，四边形ABE P 1为平行四边形∵四边形ABE P 1为平行四边形易得P 3恰好交y 轴∴P 3(0，3)综上所述，P 1 (－2，－3)，P 2 (6，－3)，P 3(0，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质以及平行四边形的性质，注意分类讨论思想．8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG ⊥AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y 12=-x 212-x +3；（2）)9108，P (32-，218)；（3）存在，Q 1(，3)，Q 2(﹣1，2)【分析】（1）将已知点B （2，0）代入，抛物线对称轴为直线x 12=-，即b 12a 2-=-，联立方程组，求出a ，b ，即可确定二次函数的解析式；（2）首先根据△PQG是等腰直角三角形，设P（m，12-m212-m+3）得到F（m，m+3），进而得到PQ12=-m212-m+3﹣m﹣312=-m212-m，从而得到△PQG周长12=-m212-m（12-m212-m1）（12-m212-m），配方后即可确定其最大值；（3）利用两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，根据等腰三角形的性质分3类讨论，联立方程组即可求得Q．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x12 =-，∴4230b12a2a b++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴y12=-x212-x+3．（2）令y＝0，即12-x212-x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则033k bb=-+⎧⎨=⎩，∴13kb=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，设P（m，12-m212-m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ12=-m212-m+3﹣m﹣312=-m212-m2139(m)228=-++，∴当m 32=-时，PQ max 98=，此时P （32-，218）， ∵△PQG 是等腰直角三角，∴△PQG 周长12=-m 212-m 12-m 212-m ），1）（12-m 212-m ），1）PQ ，∴△PFG 周长的最大值为：981）． （3）∵B （2，0），C （0，3），Q （m ，m +3），由两点间距离公式可求得：CQ 2＝2m 2，CB 2＝13，BQ 2＝2m 2+2m +13，①当CQ ＝CB 时，∴2m 2＝13，∴m 1=，m 2=∴Q 1（，3）； ②当BQ ＝CB 时，∴2m 2+2m +13＝13，∴m 1＝0（舍去），m 2＝﹣1，∴Q 2（﹣1，2）；③当CQ ＝BQ 时，∴2m 2+2m +13＝2m 2，∴2m +13＝0，∴m 132=-， ∴Q 3（132-，72-）（不合题意舍去），综上所述，当Q 1（3），Q 2（﹣1，2）时，以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．9．（2020·吉林长春·中考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+3x ﹣a 2+a +2（a ＞1）的图象交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为E ．（1）如图1，求线段AB 的长度（用含a 的式子表示）及抛物线的对称轴；（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P ，使得以A 、B 、E 、P 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P 点坐标；如果不能，请说明理由； （3）如图3，当a ＝3时，若M 点为x 轴上一动点，连结MC ，将线段MC 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MN ，连结AC 、CN 、AN ，则△ACN 周长的最小值为多少？【答案】（1）AB ＝2a ﹣1，抛物线的对称轴为x ＝﹣32；（2）存在，P 点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）或（﹣32，﹣94）；（3） 【分析】（1）当y ＝0时，x 2+3x ﹣a 2+a +2＝0，则[x ﹣（a ﹣2）][x +（a +1）]＝0，解得x ＝a ﹣2，或x ＝﹣a ﹣1，进而求出AB 的长度和抛物线的对称轴；（2）由抛物线的图象经过原点，a ＞1，得出a ＝2，此时A （﹣3，0），B （0，0）， E （-32，﹣94），①若AB 为平行四边形的边，则P 点坐标为（32，﹣94）或（92 ，﹣94）；②若AB 为平行四边形的对角线，则P 点坐标为（﹣32，﹣94）； （3）当a ＝3时，y ＝x 2+3x ﹣4，设M （t ，0），证△MNE ≌△CMF （AAS ），得出MF ＝CF ＝OM ＝﹣t ，EN ＝MF ＝OC ＝4，证出点N 在直线l ：y ＝﹣x +4上运动，设直线l 交x 轴于点G ，则G （4，0），若使△ACN 的周长最小，即使AN +CN 最小，作点A 关于l 的对称点A '，连接A 'C，则AN ＝A 'N ，得出AN +CN 最小＝A 'C ，求出AG ＝8，AA '＝AC ＝定理得出A 'C ＝【详解】解：（1）当y ＝0时，x 2+3x ﹣a 2+a +2＝0，∴[x ﹣（a ﹣2）][x +（a +1）]＝0，∴x ＝a ﹣2，或x ＝﹣a ﹣1，∵点A 在点B 左侧，∴A （﹣a ﹣1，0），B （a ﹣2，0），∴AB ＝a ﹣2﹣（﹣a ﹣1）＝2a ﹣1，抛物线的对称轴为x＝122a a--+-＝﹣32，即抛物线的对称轴为x＝﹣32；（2）存在，理由如下：∵抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象经过原点，a＞1，∴﹣a2+a+2＝0，解得：a＝2，或a＝﹣1（舍去），∴a＝2，∴A（﹣3，0），B（0，0），y＝x2+3x＝（x+32）2﹣94，∴E（﹣32，﹣94），分情况讨论，如图2所示：①若AB为平行四边形的边，则P点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）；②若AB为平行四边形的对角线，则P点坐标为（﹣32，﹣94）；综上所述，在平面内存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形成为平行四边形，P点坐标为（32，﹣94）或（﹣92，﹣94）或（﹣32，﹣94）；（3）当a＝3时，y＝x2+3x﹣4，此时A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），∴OA＝4，OC＝4，设M（t，0），∵将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，∴OM＝﹣t，过点M作EF⊥x轴，过点N作NE⊥EF于点E，过点C作CF⊥EF于点F，如图3所示：则∠MEN＝∠CFM＝90°，由旋转的性质得：MN＝MC，∠CMN＝90°，∴∠EMN+∠CMF＝∠CMF+∠FCM＝90°，∴∠EMN＝∠FCM，在△MNE和△CMF中==MEN CFMMN CM MN CM⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠E∠F，∴△MNE≌△CMF（AAS），∴MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，∴点N的横坐标为N x＝4+t，点N的纵坐标为N y＝﹣t，∴y＝﹣x+4，∴点N在直线l：y＝﹣x+4上运动，设直线l交x轴于点G，则G（4，0），若使△ACN的周长最小，即使AN+CN最小，∴作点A关于l的对称点A'，连接A'C，A'N，则AN＝A'N，当A'、N、C三点共线时，AN+CN最小＝A'C，由题意得：∠A'AO＝45°，∠CAO＝45°，∴∠CAA'＝90°，∵G（4，0），∴AG＝OA+OG＝8，AA'＝∵AC∴A'C∴A'C+AC＝∵△ACN的周长＝AN+CN+AC，∴△ACN周长的最小值为A'C+AC＝【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．10．（2021·山东惠民·九年级期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点(2,6)C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB 的函数解析式为______，点M 的坐标为______，sin ACO ∠=______． （3）在y 轴上找一点Q ，使得AMQ △的周长最小．请求出点Q 的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点N ，使以点A 、O 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =+；（2）4y x =+；（-2，-2）（3）点40,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）存在，点(2,6)N -． 【分析】（1）利用待定系数法，将点A 、C 的坐标代入抛物线，解方程组求解即可；（2）由OA OB =，求出点B 的坐标，利用待定系数法求直线AB 的解析式；利用对称轴公式2b x a=-求出抛物线的对称轴，再将对称轴代入到抛物线解析式求出顶点的纵坐标即求出顶点M 的坐标；设抛物线的对称轴交AB 于点E ，证得OE ⊥AB ，利用正弦定义求得sin ACO ∠； （3）作点M 关于y 轴的对称点'A ，连接'MA ，交y 于点Q ，则点Q 即为所求作的点，用待定系数法求出直线'AA 的解析式，再把x =0代入即可求出点Q 的坐标；（4）先根据题意画出图形，再求出点N 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得20b c =⎧⎨=⎩故抛物线的表达式为：2122y x x =+； （2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为：(),0y kx b k =+≠，044k b b =-+⎧∴⎨=⎩ ，解得，14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的表达式为：4y x =+； 对于2122y x x =+，函数的对称轴为221222b x a =-=-=-⨯， 把x =2代入2122y x x =+，()()2122222y =⨯-+⨯-=- ∴顶点(2,2)M --；如图，设抛物线的对称轴交AB 于点E ，连接OE ，把x =-2代入4y x =+，得y =2，(2,2)E ∴-，E ∴为线段AB 的中点，OE =在Rt AOB 中，OA =OB ，OE AB ∴⊥，(2,6)C ，OC ∴=在RtOCE中，sin 5OE ACO OC ∠===故答案为：4y x =+；（-2，-2）（3）如图，作点A 点关于y 轴的对称点'A ，连接MA'，交y 轴于Q 点，则点Q 即为所求作的点 ，连接AM ，MQ ，此时AMQ △的周长最小，设直线A M '的表达式为：11y k x b =+，则11114022k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得111343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故直线A M '的表达式为：1433y x =- 令0x =，则43y =-，故点40,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （4）存在.依题意画出AOCN ，设点N 的坐标为（-2，n ），当,AO NC AN OC == 时，四边形AOCN 是平行四边形，6n ∴=，所以N 的坐标为()2,6-故点(2,6)N -．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查出待定系数法求函数的解析式，轴对称，二次函数的性质，三角函数，用勾股定理求两点的距离，平行四边形的判定等知识，根据题意求二次函数和一次函数的解析式及利用轴对称求三角形周长最小是解本题的关键．11．（2020·广东·佛山市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在线段BC 上是否存在点E ，使△BOE 与△ABC 相似？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，简要说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式：223y x x =-++；直线AC 的解析式：33y x +＝；（2）点M 的坐标为(0，3)；（3）存在，符合条件的点P 的坐标为720,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）存在点E ，坐标为39,44⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1，2)【分析】（1）设交点式()()13y a x x =+-，展开得到22a -=，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB +MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB ′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为13y x b =-+，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为133y x =-+，再解方程组213323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩得此时P 点坐标；当过点A 作AC的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标；（4）分∠BOE =∠BAC 和∠BOE =∠BCA 两种情况讨论，分别求得点E 的坐标即可．【详解】（1）设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，即223y ax ax a =--，∴22a -=，解得1a =-，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++；当0x =时，2233y x x =-++=，则C （0，3），设直线AC 的解析式为3y px =+，把A （-1，0）代入得：03p =-+，解得3p =，∴直线AC 的解析式为33y x =+；（2）∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），∵MB =MB ′，∴MB +MD =MB ′+MD =DB ′，此时MB +MD 的值最小，而BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小，同理可求得直线DB ′的解析式为3y x ，当0x =时，33y x ， ∴点M 的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，∵直线AC 的解析式为33y x =+，∴直线PC 的解析式可设为13y x b =-+， 把C （0，3）代入得b =3，∴直线PC 的解析式为133y x =-+， 解方程组213323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，得：03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则此时P 点坐标为(73，209)； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线AP 的解析式可设为13y x d =-+， 把A （-1，0）代入得：()113y d =-⨯-+， 解得：13d =-，∴直线AP 的解析式为1133y x =--， 解方程组2113323y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=-++⎩， 得：10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则此时P 点坐标为(103，139-)，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，139-)； （4）存在．∵A (-1，0)，B (3，0)，C （0，3），则AB =4，BC 同理求得直线BC 的解析式为：3y x =-+， 设点E 的坐标为(x ，3x -+)，当∠BOE =∠BAC 时，△BOE ~△BAC ， 过点E 作OB 的垂线交OB 于F ，如图，∵∠BOE =∠BAC ，∠OFE =∠AOC =90︒， ∴Rt △EOF ~Rt △CAO ， ∴EF OF OC AO =，即331x x -+=， 解得：34x =， ∴此时点E 的坐标为(34，94)； 当∠BOE =∠BCA 时，△BOE ~△BCA ， 过点E 作OB 的垂线交OB 于F ，如图，∵△BOE ~△BCA ， ∴BE OBAB BC =，即4BE =，∴BE =在Rt △EBF 中，BE EF =3x -+，3BF x =-，∴()()(22233x x -++-=解得：1215x x ==，(舍去)，∴此时点E 的坐标为(1，2)；综上所述，符合条件的点E 的坐标为(34，94)或(1，2)； 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；相似三角形的判定和性质；用分类讨论的思想解决数学问题．。
2023年九年级中考数学专题练习 二次函数的最值问题(含解析)
2023年中考数学专题练习--二次函数的最值问题1．如图，抛物线 212y x bx c =-++ 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ，且 2OA = ， 3OC = .（1）求抛物线的解析式；（2）已知抛物线上点 D 的横坐标为 2 ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得 BDP ∆ 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？3．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．4．在环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边BC的长为x（m），养鸡场的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）养鸡场的面积能达到300m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？5．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x =50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大．最大获利是多少元．6．抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝2x+m相交于A（1，4）、B（﹣1，n）两点．（1）求y1和y2的解析式；（2）直接写出y1﹣y2的最小值．7．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x天销售量为p件，销售单价为q元．经跟踪调查发现，这40 p-与x成正比，前20天（包含第20天），q与x的关系满足关系式天中50=+；从第21天到第40天中，q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持q ax30不变，浮动价与x成反比，且得到了表中的数据：的值为；直接写出这天中p与x的关系式为；（2）从第21天到第40天中，求q与x满足的关系式；（3）求这40天里该网店第几天获得的利润最大？最大为多少？8．如图，一次函数y=kx+2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，且tan∠ABO=1，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．2（1）求k的值及抛物线的解析式．（2）直线x=t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积，判断面积是否都相等．9．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S．（1）求S与x的函数关系式；（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？10．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH∠AD，垂足为H，连接AF.（1）求证：FH＝ED；（2）当AE为何值时，∠AEF的面积最大？11．2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年.为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元的价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量y （件）与每件售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？12．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式．（2）当每箱苹果的销售价x为多少元时，可以使获得的销售利润w最大？最大利润是多少？13．某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大最大值是多少?（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元?14．我市某工艺厂设计了一款成本为10元 / 件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（2）若用 W( 元 ) 表示工艺厂试销该工艺品每天获得的利润，试求 W( 元 ) 与 x( 元 / 件 ) 之间的函数关系式．（3）若该工艺品的每天的总成本不能超过2500元，那么销售单价定为多少元时，工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大，最大是多少元？15．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值．16．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售.已知这种玩具销售量 y （个）与每个降价 x （元）（ 020x << ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y 与x 之间的函数解析式.（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？17．如图，抛物线y=23 x 2+bx+c 经过点B （3，0），C （0，﹣2），直线l ：y=﹣ 23x ﹣23交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM∠x 轴交l 于点M ，PN∠y 轴交l 于点N ，求PM+PN 的最大值．（3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．18．如图，抛物线 2y ax bx c =++ 的图象过点 (10)(30)(03)A B C ﹣，、，、， .（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及∠PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 PAM PAC S S ∆∆＝ ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y ＝12 x 2+bx+c 与直线y ＝ 12x+3分别相交于A,B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC,BC.已知A(0,3),C(－3,0).（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ∠PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若还在存在，请说明理由.20．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S∠AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ∠x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．答案解析部分1．【答案】（1）解：2OA = ，∴ 点 A 的坐标为 (2,0)- .3OC = ，∴ 点 C 的坐标为 ()0,3 .把 ()2,0- ， ()0,3 代入 212y x bx c =-++ ，得0223b cc =--+⎧⎨=⎩， 解得 123b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ . ∴ 抛物线的解析式为 211322y x x =-++ .（2）解：存在. 把 0y = 代入 211322y x x =-++ ， 解得 12x =- ， 23x = ，∴ 点 B 的坐标为 ()3,0 .点 D 的横线坐标为 2211223222∴-⨯+⨯+= .故点 D 的坐标为 ()2,2 .如图，设 P 是抛物线对称轴上的一点，连接 PA 、 PB 、 PD 、 BD ，PA PB = ，BDP ∴∆ 的周长等于 BD PA PD ++ ，又BD 的长是定值，∴ 点 A 、 P 、 D 在同一直线上时， BDP ∆ 的周长最小，由 ()2,0A - 、 ()2,0A - 可得直线 AD 的解析式为 112y x =+ ， 抛物线的对称轴是 12x =， ∴ 点 P 的坐标为 15,24⎛⎫⎪⎝⎭，∴ 在抛物线的对称轴上存在点 15,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，使得 BDP ∆ 的周长最小.【解析】【分析】（1）由题意先求出A 、C 的坐标，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）根据题意转化 PA PB = ，BD 的长是定值，要使 BDP ∆ 的周长最小则有点A 、 P 、 D 在同一直线上，据此进行分析求解.2．【答案】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b （k≠0），由所给函数图象可知，{130k +b =50150k +b =30, ，解得 {k =−1b =180,．故y 与x 的函数关系式为y=﹣x+180 （2） 解：∵y=﹣x+180，∴W=（x ﹣100）y=（x ﹣100）（﹣x+180） =﹣x 2+280x ﹣18000 =﹣（x ﹣140）2+1600， ∵a=﹣1＜0，∴当x=140时，W 最大=1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元【解析】【分析】（1）由图像可知 销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足 一次函数关系，设出该函数的一般式，再将（130,50）与（150,30）代入即可得出关于k,b 的二元一次方程组，求解得出k,b 的值，从而得出函数解析式；（2）每件商品的利润为（x-100）元，根据总利润等于单件的利润乘以销售的数量即可得出 W=（x ﹣100）y ，再将（1）整体代入，然后配成顶点式即可得出答案。
二次函数与最值问题练习题(含答案)
二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比 例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2 个 【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝ 的图象在第二、第四象限，
故选 B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．
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1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN 的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x 轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN 的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x 轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．可得F′（m，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；。