第9章 信号的处理与变换

2. 滤波器的分析方法
(1)滤波器的传输特性可以用传递函数来表征，其传递函 数为用拉氏算子 “s ”表示的增益表达式。有源滤波电路中 的集成运放工作在线性区，根据运放的“虚短”、“虚断” 特性，运用节点电流法或叠加定理，列出电路在频域内的方 程，求取电路的传递函数。 (2)将s = j 代入传递函数中，得到频率特性方程，进而 解出滤波电路的通带增益 (也称通带电压放大倍数)、通带截 止频率；画出滤波电路的幅频特性和相频特性。 (3)滤波器的阶数取决于电路中RC 环节的个数，即由传 递函数的分母中拉氏算子“s ”的最高幂数确定。一阶滤波器 过渡带的变化速率为 20dB/十倍频，二阶滤波器过渡带的 变化速率为 40dB/十倍频。若是n阶滤波器则过渡带的变化 速率为 20ndB/十倍频。
3
0
40 dB/ 十倍频程 40
0. 37 0.1 f p 1 10
f / f0
二阶LPF的幅频特性
该电路的 fp与 f0 相距较大，如果在 f = f0 处适当提升 电压放大倍数，即可拉近 fp与 f0，减小过渡带。
3. 二阶压控型低通滤波器 为使 fp f0，且在 f = f0 时幅频特性按 -40dB/十倍频 下降。将C1的接地端改接到运放的输出端，引入适当的正 反馈。
20lg Au / dB Aup -3
-3dB -20dB/十倍频程
-20
f
0.1 fH fH 10 fH
同相输入一阶低通滤波器的幅频特性
波特图是用折线化的幅频特性去代替实际的幅频特性。 波特图在 fH 处的误差最大，有-3dB。 一阶RC 滤波电路的过渡带较宽，特性曲线下降慢。采 用多阶滤波器，即增加RC滤波环节，可以使过渡带变窄。
同相输入一阶低通滤波器
电压放大倍数为 Aup Au f 1 j fH
式中
Au
Aup f 1 j fH
R1 Rf
1 Rf Aup R1
1 fH 2πRC
通带放大倍数
通带截止频率
uI
R C
A uO
f0
1 2πRC
也称特征频率
以电压增益与通带电压增益相对值的对数为Y坐标， 以频率为X坐标可以将电压放大倍数的幅度频率特性曲线 画出。
9.2 有源滤波器
非正弦信号通过傅立叶变换，可知其中包括多种频率 成分的信号。滤波就是根据频率对信号进行筛选。滤波器 的功能是使输入信号中特定范围内的频率成分通过，抑制 信号中的其他频率成分。
9.2.1 滤波器的分类与分析方法
1. 滤波器的分类 滤波器按频率特性可分为： 低通滤波器 ( LPF，Low Pass Filter )； 高通滤波器 ( HPF，High Pass Filter )； 带通滤波器 ( BPF，Band Pass Filter )； 带阻滤波器 ( BEF，Band Elimination Filter )； 全通滤波器 ( APF，All Pass Filter )。
A
A0 0.707A0 通带 0.1A0
过渡带 阻带 fH
A
A0 0.707A0
过渡带 阻带 通带 fL
O
低通滤波器
A
A0 0.707A0 阻 带 过渡带 通 带 fL fH 阻 带
f 0.1A0 O
f
高通滤波器
A
A0 0.707A0 通 带
过渡带 阻 带 fL fH 通 带
A
A0 通带
0.1A0
R1 Rf
正反馈
R
N
R
C2
A
uO
uI
C1
压控型二阶低通滤波电路
当 f→0，或很低时，C1 阻抗很大，正反馈基本不起作 用，放大倍数为通带放大倍数。 当 f → f0 时，C2 阻抗减小，正反馈作用降低，放大倍 数下降 。
列节点电流方程，求得： u ( s ) A
R1 Rf
Aup ( s ) 1 [3 Aup ( s )]sRC ( sRC ) 2
R
N
R
C2
A
uO
Au
Aup f 2 ] f 1 ( ) j [3 Aup f0 f0
uI
C1
Aup 1 f QAup 令Q ， f 0 时，Au 3 Aup 3 Aup
当 2 Aup 3 时，Uo
L
低通滤波电路
无源滤波电路幅度频率特性曲线中红色的曲线代表空 载的情况，当幅频特性曲线下降3dB时，对应的频率 fp (fH) 称为上限截止频率。图中蓝色的曲线代表有载的情况，当 幅频特性曲线下降 3dB时，对应的上限截止频率为 f'p。显 然，f'p > fp。 当频率超过fp( fH) 空载 以后，一阶 RC 有源 带负载 Au 20lg Aup 滤波电路的幅频特性 fp fp 将以 -20dB/十倍频的 O f 3dB 速率下降。 无源滤波电路的 20 dB/ 十倍频 截止频率受负载的影 响较大。
20lg Au / dB Aup -3
-20dB/十倍频程
-20
f
0.1 fH fH 10 fH
同相输入一阶低通滤波器的幅频特性 Au 1； 当 f ≪ f H 时， A
up
Au 2； 当 f = f H 时， A
up
Au f H ， 当 f ≫ f H 时， 曲线按-20dB/十倍频下降。 f Aup
20lg Au /dB
Aup
20 10 0
Q=5 Q=2
Q=1 Q=0.5
- 20
40dB /十倍频程
- 40
0.1 1 10
f / f0
二阶压控型高通滤波器的幅频特性
有源高通滤波器和有源低通滤波器的特点和规律是一 致的，只不过通带向阻带变化的方向相反。
9.2.4 有源带通滤波器
1. 电路组成 带通滤波器 (BPF) 允许一定频段的信号通过，抑制低 于和高于该频段的信号。将低通滤波器 (LPF) 和高通滤波 器 (HPF )串联，构成带通滤波器，通频带为(fH-fL) 。
令C1= C2 =C，联立求解以上四式，可得滤波器的传递函数
Au s U O s AuP U I s 1 3sCR sCR2
(3) 通带截止频率
通带增益
Aup U O ( s) AS ( s ) U I ( s ) 1 3sCR ( sCR) 2
应该仔细选择通带增益，避免虚部为0，引起电路自激。
20lg Au /dB Aup
20 Q=5 10 Q=1 Q=0.5 Q=2
0
20 40 dB/十倍频程 40
0.1
1
10
f / f0
二阶压控型低通滤波电路的幅频特性
一般选择 Q = 1，其通带内的增益比较平坦，又可拉 近 fp ，压缩过渡带。
A
A0 0.707A0
通带
0.1A0
过渡带
阻带
O
fH
低通滤波器的幅频特性
在截止频率与阻带之间的 频段定义为过渡带。这一频段 内的信号虽然被抑制，但是仍 然能通过滤波器；因而在设计 滤波器时，要求通带之外的增 f 益下降速度越快越好，即滤波 器的过渡带越窄，电路的滤波 特性越理想。
(2) 无源滤波器 无源滤波器仅由电阻及电抗性元件电容、电感组成，根 据所用元件，可以承受较大功率。无源滤波器存在阻抗匹配 问题。 RL 1 f 1 带载：Aup 空载：Aup p R RL 2πRC 1 1 Au fp f 2π ( R∥RL )C 1 j fp Aup R Au f 1 j fp R
无源滤波电路带负载的情况
(3) 有源滤波器 有源滤波器一般由集成运放和无源元件 R、C 组成。滤 波作用由 R、C 完成，集成运放提供一定的电压增益，并在 一定程度上改善滤波电路的性能。 电压跟随器 (隔离无源滤波电路和负载)
R Ui
Up C
A RL Uo
一阶有源滤波电路
R Ui
Up C
A RL Uo
2. 二阶低通滤波器 (1) 通带增益
R1 Rf
R
N
R
C2
A
uo
uI
C1
同相输入二阶低通滤波电路
为增加幅度频率特性在过渡带的衰减，可采用二阶滤 波电路。当 f = 0 时，电容器可视为开路，通带增益为
Rf Aup 1 R1
(2) 传递函数
U O ( s ) AupU ( ) ( s )
①有源滤波器不使用电感、体积小、重量轻； ②无源滤波器的滤波参数随负载变化；有源滤波器使 用了集成运放，输入阻抗高，输出阻抗低，对信号具有缓 冲作用，滤波参数不随负载变化； ③有源滤波器在滤波的同时对信号具有放大作用，避 免了信号的过度衰减； ④有源滤波器只适用于信号处理，不适于高电压、大 电流的负载；直流电源和大功率电子设备中均采用无源滤 波器。
O
f
0.1A0
O
f
O
f
带通滤波器
带阻滤波器
全通滤波器
滤波器的幅度频率特性
(1) 滤波器的幅度频率特性 以低通滤波器的幅度频率特性为例。滤波器的通带是一 个频率范围，这个范围内的信号能够以最小幅度的衰减通过 滤波器；同理，阻带范围内的信号被衰减到零。图中A0是通 带增益，随着频率的增加，增益下降，当增益下降到0.707A0 时，对应的频率fH称为滤波器的上限截止频率。
R1 Rf
Au s
( sCR )2 1 (3 Aup ) sCR sCR
2
Aup
C
N
C
A
U i (s)
U o ( s)
R R
Rf Aup 1 通带放大倍数 R1 1 f0 截止频率 2πRC