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高等代数与解析汇报几何第11章习题参考解答

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同济高等数学第十一章习题详解2

同济高等数学第十一章习题详解2

756(2)()()⎰⎰⎰⎰+++=+∑xyD y x y x y xS y xd d 441d 222222极坐标2 0 0d d πθρ⎰()()⎰++-+=2214116 2241d 41ρρρπ()()22325325216⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=224141ρρππ30149=. (3)()[]⎰⎰⎰⎰+++-=∑xyD y x y xy xS d d 441zd 2222233极坐标223d 2d πθ-ρρ⎰()[]()⎰+++-=202419163 2241d 41ρρρπ()().πρρπ1011141524161632252232=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+= 5.计算()⎰⎰∑+S y xd 22,其中∑是:(1) 锥面22y x z +=及平面1=z 所围成区域的整个边界曲面； 解 ∑由1∑和2∑组成，其中()11:221≤+=∑y x z ，222:y x z +=∑()01z ≤≤.则21,∑∑在xOy 面的投影区域均为(){}1,22≤+=y x y xD xy .在1Σ上，d d d d S x y x y ==，有()⎰⎰∑+1d 22S y x()⎰⎰+=xyD yx y xd d 22极坐标2 12 0d d 2ππθρ⋅ρρ=⎰⎰；757在2Σ上，d d d S x y x y =，有()⎰⎰∑+2d 22S y x()⎰⎰++++=xyD y x y x z z y xd d 12222()π22d d 222=+=⎰⎰xyD y x y x. 从而原式()⎰⎰∑+=1d 22S y x()π221d 222+=++⎰⎰∑S y x. (2) 锥面()2223y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分. 解 由题设，曲面∑的方程为()223y x z +=，将3=z 代入()223y x z +=得322=+y x ,故∑在xOy 面的投影区域为(){}3,22≤+=y x y x D xy .又y x z z S y x d d 1d 22+++=2d d x y =.所以()⎰⎰∑+S y xd 22()⎰⎰⋅+=xy D y x y x d 2d 22极坐标2202d d 9πθ⋅ρρ=π⎰.6.计算下列对面积的曲面积分:(1)S y x z d 342⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分;解 如图11-20，,3214:⎪⎭⎫⎝⎛--=∑y x z ∑在xOy 面上的投影区域758xy D 是由直线123x y+=、x 轴和y 轴围成的三角形闭 区域.又d d S x yd x y =y x d d 361=,因此S z y x S y x z d 4324d 342⎰⎰⎰⎰∑∑⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++614d d 3614d 4===⎰⎰⎰⎰∑xyDy x S .(2)()S z x xxy d ⎰⎰∑+--222,其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分;解 已知,:y x z 226--=∑∑在xOy 面上的投影区域xy D 是由直线133x y+=、x 轴和y 轴围成的三角形闭区域.又 d d S x y =y x d d 3=,因此()S z x xxy d ⎰⎰∑+--222()[]⎰⎰∑⋅--+--=y x y x x xxy d d 3226222()⎰⎰-+--=-x y y xy xx x323222363d d()()()()[]⎰+---=3231323632d --x x x x x x。

同济版高等代数与解析几何第十章习题答案

同济版高等代数与解析几何第十章习题答案

同济版高等代数与解析几何第十章习题答案习题10.11、写出二次型的矩阵如下：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332321211；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23013120012121212323；（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000120100202121； （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0321301221011210n n n n n n ．2、二次型可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n x x x a a a a a a x x x x a x a x a a x a x a x x x x q 212121************),,,(),,,(),,,(),,,(，),,,(21n x x x q 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 2122212121112121),,,(．当，a a a n 时021==== q 的秩为0；当，a a a n 时不全为0,,,21 q 的秩为1．3、二次型的秩未必是A ；应为(),ij b B =其中，2jiij ij a a b +=．4、（1）若A 为反对称矩阵，即A A -='，则AX X AX X X A X AX X '-=''-='-'=')()(，从而 0='A X X ；反之，若对任意X 都有0='A X X ，令)(ij a A =，取())(0,,1,,0i i X ='='ε，则0=='ii i i a A εε．取j i X εε'+'=' ，则0=+++='jj ji ij ii a a a a AX X ，得0=+ji ij a a ，即ji ij a a -=，故A 为反对称矩阵．（2）因对任意n 维向量X ，都有0='A X X ，由（1）知，A A -='． 又由A A ='，因而A A -=，得A=0．（3）因对任意n 维向量X ，都有BXX AX X '='，即0)(=-'X B A X ，又显然B A -是对称矩阵，故由（2）得O B A =-，即A=B ．5、由A 可逆，且A A ='，得A A A A ='-1，故A 与A /合同．6、因A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵21,P P ，使 D CP P B AP P ='='2211,．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21P O O P P ，则P 可逆，且有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'D O O B P C O O A P ．7、（1）当a >0，b>0时，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆实矩阵．且2I AP P ='，从而A 与I 在R 上合同． （2）当0≠ab 时，0,0≠≠b a ，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆复矩阵．且2I AP P ='． 习题10.21、（1）)44()2(),,(234222222121321x x x x x x x x x x x q +++++==232221)2()(x x x x +++．令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322211x y x x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,2,2333223211y x y y x y y y x 代入原二次型，得2221321),,(y y x x x q +=．所作非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,2333223211y x y y x y y y x （2）对二次型作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=.,,33212211y x y y x y y x 得3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x q ++-++-=.)(22322231322221y y y y y y y y --+=+-=再令⎪⎩⎪⎨⎧==+=,,,3322311y z y z y y z 即⎪⎩⎪⎨⎧==-=.,,3322311z y z y z z y 代入得232221321),,(z z z x x x q --=． 所作的非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=.,,3332123211z x z z z x z z z x（3）422241222114321)(),,,(x x x x x x x x x q +-+= =2424422212211)44()(x x x x x x x ++--+ =242424122211)2()(x x x x x +--+ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+=,,,2,443342222111x y x y x x y x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=,,,2,4433422422111y x y x y y x y y y x 代入，得242241214321),,,(y y y x x x x q +-=． （4）2212113)1(22312432221121)()()(),,,(nn n n n n ni n n i ni i n x x x x x x x x x x q +-=-=+++++++=∑∑ ．令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--==∑∑,,,,1113312222111n n n n n n n i i n i i x y x x y x x y x x y 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--==∑∑.,,,11131222111n n n nn n ni i i ni i i y x y y x x y x y y x 将变换代入，得22121)1(222432121),,,(n nn n n nn y y y y x x x q +--++++= ．（5）作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=-=+=---nn n n n n y y x y y x y y x y y x yy x y y x 212221212434433212211 q 化为222122423222121),,,(n n n y y y y y y x x x q -++-+-=- ．（6）∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ni nj n i i i j j i i n x a x a x a x x x q 112121))((),,,( ．设0≠i a ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=++--,,,,,,11112222111n n i i i i i i n n x y x y x y x y x y x a x a x a y即，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==------====+++---+-,,,,,,111121111221112n n i i n a a i a a i a a a a a i i i i y x y x y y y y y x y x y x y x i n i i i i i i二次型化为：2121),,,(y x x x q n = ．2、（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7230002000122110100100010001121221110 I A ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2211010023P ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='2700020001AP P ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=100010011112121212121P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='232122AP P ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3731131,1001021AP P P ． 3、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=212132221A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310421300010001100010001212132221 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310421P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213213),,(y y y x x x q +-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='311100310421212132221134012001AP P ．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011102120A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100111000400011000100010111021201111 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001121212121P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213214),,(y y y x x x q ++-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='100040001AP P ．4、设A 为秩等于r 的对称矩阵，则存在可逆矩阵P ，使得rr E E E AP P +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 2211011，．1112211111)()()(------'++'+'=p E P P E P P E P A rr令11)(--'=P E P A ii i ，则i i A A ='，且秩),,2,1(1)(r i E A ii i ===秩，同时有 r A A A A +++= 21．5、用A ，B 表示所给两个对角形矩阵，由于二次型2222121212121),,,(),,,(n i i i n n n x x x x x x A x x x x x x q nλλλ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 可经过非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ni ni i y x y x y x 2121化得2222211222212211),,,(n n i i i i n y y y y y y x x x q ni n i λλλλλλ+++=+++==()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y y B y y y 2121,,,，故A 与B 合同．6、因A 为复数域上的对称矩阵，故存在复数域上的可逆矩阵P 1，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AP P 002111，因为在复数域内，任何数可开平方，故有112121110000)(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=P d d d d d d P A n n令112100-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P d d d P n，则有P P A '=．习题10.31、（1）q 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=320222021A ，A 的特征多项式())1)(5(232222021+--=---=-x x x x x x A xA ．A 的特征值为2，5，-1．对的特征值2=λ 解齐次方程组0120202021321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 求得基础解系)2,1,2(1--=η，单位化得),,(3231321--=γ，同理求得属于特征值5，-1的单位特征向量分别为),,(3232312-=γ， ),,(3132323=γ．取正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12222121231U ．则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='152AU U ，q 通对正交的线性替换X=UY ，化为23222132152),,(y y y x x x q -+=． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=204060402A ，它的特征多项式为：)2()6(240604022+-=-----=-x x x x x A xI ，A 的特征值为6（二重），-2． 对于特征值6，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321404000404x x x ． 求得一个基础解系为)1,0,1(1-=η，)0,1,0(2=η它们已是正交向量组，将它们单位化，得),0,(21211=γ )0,1,0(2=γ对于特征值-2，同理可求得相应的特征向量)1,0,1(3-=η，单位化得),0,(21213-=γ 取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212100100U ，则U 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='200060006AU U ．对二次型作正交线性替换X=UY ，就化成232221266y y y -+． （3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A ．A 的特殊征多项式)7()2(2+-=-x x A xI ，A 的特征值为2，2，-7．对于特征值2，求得两个相应的线性无关的特征向量)0,1,2(1-=α，)1,0,2(2=α将它们正交化得)0,1,2(11-==αβ，)5,4,2(12=β单位化得)0,,(51521-=γ，),,(5355345322=γ对于特征值-7，求得相应的特征向量为)2,2,1(3-=α单位化得),,(3232313-=γ取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32535325345131532520U ，则U 是正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='700020002AU U ， q 可经过正交线性替换X=UY ，化为 232221321722),,(y y y x x x q -+=． （4））q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110,000100100000010010B B B A ．)1)(1(1112+-=-=--=-x x x xx B xI ，B 的特征值为1，-1．对特征值为1，求得B 的属于1特征向量为)1,1(1=α，单位化得),(21211=γ，对于-1，求得相应的特征向量为)1,1(2-=β，单位化得),(21212-=γ．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121Q ，则Q 为正交矩阵．且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001BQ Q ． 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q U 00，则U为正交矩阵．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='100001000010001AU U ．作正交线性替换X=UY ，二次型就化为24232221y y y y -+-． 2、因为A 是实对称矩阵，故它的特征值0λ是实数，从而存在不全为0的实数n x x x ,,,21 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 21021λ．于是，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x x A x x x x x x q 212121),,,(),,,()(),,,(22221021021n n n x x x x x x x x x +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= λλ．3、因为AX X x x x q n '=),,,(21 是实二次型，故存在正交的线性替换X=UY （U 为正交矩阵），使 AX X x x x q n '=),,,(21 =2222211nn y y y λλλ+++ （1） 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值．由于n λλλ≤≤≤ 21，又由于22221ny y y +++ =Y Y y y y y y y n n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2121),,,(，故对n R 中的任意向量X ，由（1）得='≤'AX X Y Y 1λ2222211nn y y y λλλ+++ Y Y n '≤λ （2） 因为U 为正交矩阵，I U U ='故Y Y IY Y UY U Y UY UY X X '='=''='=')()(从而由（2）得XX AX X X X n '≤'≤'λλ1．4、因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵U 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，这里R n ∈λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于i λ>0，i=1，2，…，n ，故U U U U A n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=221210000λλλλλλU U U U n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλ00002121令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 为实对称矩阵，并且有2S A =． 习题10.41、（1）2221321),,(y y x x x q +=已经是C 上和R 上的典范形； （2）在C 上，对232221321),,(z z z x x x q --=，再作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧===332211iwz iw z w z ，可化为典范形232221321),,(w w w x x x q ++=； 而在R 上，232221321),,(z z z x x x q --=已经是典范形．（3）在C 上，对242241214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====344322112z y z y iz y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q ++=；在R 上，对 24221214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化实线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====244332112z y z y z y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q -+=． （4）q 在C 上和R 上的典范形都是：2212221n n z z z z ++++-（5）q 在C 上的典范形为：222122221nn n z z z z z +++++++ ；在R 上的典范形为：222122221n n n z z z z z ---++++ ．（6）2121),,,(y x x x q n = 已经是典范形．2、q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000222222c b ca ba A ．因为0≠ab 故0,0≠≠b a ，从而知A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--abc a a 000000合同． （1）ab>0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ；（2）ab<0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ．3、二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=)()2(2)1()2(24432)1(3222n n n n n n n n n n n A λλλλλλλλλ可证，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+---0001000200011210n n 合同．因后一矩阵与λ无关，从而得A 的秩和符号差与λ无关，即二次型的秩和符号差与λ无关．4、类数=2)2)(1()1(21++=+++n n n ．n=3时，各类典范形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,111,111,111；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011,011,011;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000;001,001.5、充分性．设实二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，且符号差为0，则它可以经非退化线性替换X=PY 化为典范形),,,(21n x x x q =))((21212221y y y y y y -+=-．由X P y '=，可知，11,y y 可由n x x x ,,,21 线性表示．代入上式得),,,(21n x x x q 是两实系数n 元一次齐次多项式的乘积．若q 的秩为1，则q 可经非退化线性替换X=PY 化为典范形2121),,,(y x x x q n = ，同理可得结论成立．必要性．设二次型可分解为),,,(21n x x x q =))((22112211n n n n x b x b x b x a x a x a ++++++ ，其中),,2,1(,n i Rb a i i =∈．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 成比例，即ii ka b =，且设1≠a ，可对q 作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=n n n n x y x y x a x a x a y 2222111 化为),,,(21n x x x q =21ky ．此时二次型),,,(21n x x x q 的秩为1．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 不成比例，不如设),(21a a 与),(21b b 不成比例，则01221≠-b a b a ，从而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=nn n n nn x y x y x b x b x b y x a x a x a y 332211222111是非退化线性变换．对),,,(21n x x x q 作此变换后再作如下线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z y z y z z y z z y 33212211 就得),,,(21n x x x q =222121z z y y -=． 因此，二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，并且符号差是零．6、只需证齐次线性方程0='AX A 与AX=0同解．设X 是AX=0的解，则有0='AX A ，即X 也是0='AX A 的解；反之，设X 是0='AX A 的解，则有0='=''O X AX A X ，即0)()(='AX AX ．因为A 为实矩阵，X 为实向量，故AX=0．即X 是AX=0的解，于是，A /A 与A 的秩相同．7、把q 写成),,,(21n x x x q =AX A X ''，),,,(21n x x x X ='，因为A A A A '='')(，得A A '是q 的矩阵，q 的秩等于AA '的秩，由上题得q 的秩等于A 的秩．习题10.51、（1）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=621221111A它的顺序主子式为11=D >0，121112==D >0，46212211113==D >0，故q 是正定的． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2010010310420321A 因为A 的2阶顺序主子式042212==D ，由此可知，q 不是正定的．（3）取不全为0的实数1,0,0321===x x x ，有0)1,0,0(=q ，故q 不是正定的．（4）),,,(21n x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111121212121212121 A它的k 阶顺序主子式)1()(1111212121212121212121+==k D k k>0，（k=1，2，…,n ）．故q 是正定的． （5）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000100000000010101212121212121A它的k 阶顺序主子式100010000000001011212121212121=k D =)1()(1+k k>0（k=1，2，…,n ）． 故q 是正定的． 2、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010112λλA ，),,(321x x x q 是正定的充要条件是：A 的顺序主子式221==D >0，22222λλλ-==D >0，23353010112λλλ-==D >0 由此解得：3535<<-λ．所以，当3535<<-λ时，),,(321x x x q 是正定的．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=451151122λλA ， 由于A 的二阶顺序主子式01111=，故不论λ取任何值，q 都不能是正定的．（3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000011011011λλλA ， 由λ>0，1112-=λλλ>0，)2()1(1111112-+=--λλλλλ>0，)2()1(2-+=λλA >0．解得λ>2．故当λ>2时，q 是正定的．3、因A 是正定的，故存在可逆实矩阵P ，使P P A '=，由此可得，)(111'=---P P A ，从而1-A 是正定的．4、因A 是正定矩阵，故存在可逆实矩阵Q ，使IAQ Q ='．又因为BQ Q '是实对称矩阵，故存在正交矩阵U ，使U BQ Q U )(''是对角矩阵．令P=QU ，则BP P '是对角矩阵，且I IU U AQU Q U AP P ='=''='也是对角矩阵．5、因A 是实对称矩阵，故对任意实数t ，tI+A 是实对称矩阵． 对A ，存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+'n n t t t tI U A tI U λλλλλλ0000)(2121，故tI+A 的全部特征值为n t t t λλλ+++,,,21 ．当t 充分大时，i t λ+>0，i=1，2，…,n ．于是，当t 充分大时，tI+A 是正定的．6、因A 是正定矩阵，故存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n AU U λλλ 00000021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于A 是正定的，所以时，i λ>0，i=1，2，…，n ．于是U U U U U U A n n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλλλλ000000212121． 令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 是正定的，且使2S A =．7、因A 是可逆实矩阵，故A A '是正定矩阵．由第6题知，存在正定矩阵S ，使A A '=2S ．于是，SS A S A A )()(121'='=--．令S A U )(1'=-，可证U 是正交矩阵，并且A=US ．8、当n=1时，结论显然成立．假设对于n-1阶正定矩阵，结论成立．现设A 是n 阶正定矩阵，把A 分块为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-nn n ij a B B A a A 1，其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-------1,12,11,11,222211,122111n n n n n n n a a aa a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n n a a a B ,121 ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---10111B A I P n n ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--B A B a I AP P n nn n 1100．因为1-n A 为正定矩阵，故01≥'-B A B n ，当且仅当B=0时，等号成立．由于1='=P P ，所以，()B A B a A P A P A n nn n 11--'-='=，从而nn n a A A 1-≤，当且仅当B=0时等号成立．由归纳假设，1,122111---≤n n n a a a A ，当且仅当1-n A 为对角形时等号成立．所以，nn n n a a a a A 1,12211--≤ ，当且仅当A 为对角形时等号成立．9、当0=A 时，结论成立．当0≠A 时，A 是可逆实矩阵，从而A A '是正定矩阵，并且A A '的主对角线上的元素为222212222221221221211,,,nn n n n n a a a a a a a a a +++++++++ ．利用第8题的结果，得()∏=+++≤'=nj njj j a a a A A A 1222212．10、充分性：若),,,(21n x x x q 的秩和正惯性指数都等于r ，则q 可经过非退化实线性替换X=PY ，变为),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ ，从而对任一组实数n x x x ,,,21 由X=PY 可得X P Y 1-=，即可求得相应的实数n r y y y y ,,,,,21 ，使),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ 0≥即q 是半正定的．必要性： 设),,,(21n x x x q 是半正定的，则q 的负惯性指数必为零．否则，q 可经非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++ ，p<r ．于是，当1=r y ，其余0=i y 时，由X=PY 可得相应的值n x x x ,,,21 代入上式得01),,,(21<-=n x x x q ，这与q 是半正定相矛盾． 11、考虑三元二次型C yz B xz A xy z y x z y x q cos 2cos 2cos 2),,(222---++=．它的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1C B C A B A A ，容易得它的所有顺序主子式111==D >0，A A AD 22cos 11cos cos -=---=>0，0=A ．所以),,(z y x q 是半正定二次型．故对任意实数x,y,z 有),,(z y x q ≥0，即不等式成立．12、),(y x q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b b a A它的一切顺序主子式为2,b ac A a a -==．（1）若ac b -2<0，即A >0，则显然q 是正定⇔a>0．（2）若ac b -2>0，即A <0，二次型不是正定的，且秩A=2，故A 的两个特征值21,λλ必异号．从而得到),(y x q 是不定的．（1）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的椭圆； （2）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的双曲线．13、因为A <0，故二次型),,,(21n x x x q =AX X '的秩为n ．且不是正定的，故它的负惯性指数至少是1，从而),,,(21n x x x q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q ==''='APY P Y AX X 221221n p p y y y y ---+++ ， （1）其中p ≤1<n ，当y n=1，其余y i=0时，由X=PY 确定的向量00≠X ，且100-='AX X <0． 14、因为有实n 维向量1X ，使11AX X q '=>0，说q 不是半负定的；又由于有实n 维向量2X ，使22AX X q '=<0，说明q 不是半正定的，从而q 是不定的．故q 的正、负惯性指数都>1，于是q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++其中p≤1<r ．取y 1=1，y r =1，而其余y i =0，代入X=PY 解得向量0≠X ，且有q=='00AX X 221221rp p y y y y ---+++ =010012222=---++ ． 习题10.61、对R k C x g x f b a ∈∈,)(),(],[，有)),(())(()()())()(())()((x g s x f s dxx g dx x f dx x g x f x g x f s b a b a b a +=⎰+⎰=+⎰=+))(()())(())((x f ks dx x f k dx x kf x kf s ba b a =⎰=⎰=．2、由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+1)()()(1)()(1)()(3212121αααααααf f f f f f f ，解得：0)(1=αf ，1)(2=αf ，0)(3=αf ，从而2332211332211)()()()(x f x f x f x x x x f =++=++αααααα．3、对Vx x x n n ∈+++=αααξ 2211，定义n n x a x a x a f +++= 2211)(ξ．容易验证，f 是V 上的一个线性函数，且n i a f i i ,,2,1,)( ==α．又设g 是V 上的另一个线性函数，且满足n i a g i i ,,2,1,)( ==α，则)()()()(221111ξααξf a x a x a x g x x g g n n n i ni i i i i =+++===∑∑== ．所以，fg =.4、假设)(ξf 、)(ξg 都不是零函数，则必存在V∈00,ηξ，使0)(0≠ξf ，0)(0≠ηg ．若0)(0≠ξg 或0)(0≠ηf ，则)(0ξh =)(0ξf 0)(0≠ξg ，或)(0ηh =)(0ηf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数；若0)(0=ξg 且0)(0=ηf ，取000ηξζ+=，则)(0ζh =)(00ηξ+f )(00ηξ+g =)(0ξf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数．5、（1）是双线性函数；（2）不是双线性函数；（3）当c=0时，是双线性函数；当0≠c ，不是双线性函数．6、(1)利用矩阵迹的性质：)()();()()(S atr aS tr T tr S tr T S tr =+=+直接可验证．（2）当n=3时，设33)(⨯=ij a A ，则)()(),(kl ji kl ijkl ij AE E tr AE E tr E E f ='= ⎩⎨⎧=≠===∑∑==.,,,0)()(3131l j a l j E a tr E E E a tr ikjl ik kl st ji s t st因为),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是一个23阶矩阵，用分块形式表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211A A A A A A A A A A ， 其中333231332221231211100),(),(),(),(),(),(),(),(),(I a a a a E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f A ij ij ijijj i j i j i j i j i j i j i j i j i ij =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=． 于是，),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333332331323322321313312311I a I a I a I a I a I a I a I a I a A ． 7、（1）),(ηξf 在基4321,,,αααα下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3124218481024066842),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(44342414433323134232221241312111ααααααααααααααααααααααααααααααααf f f f f f f f f f f f f f f f A ． ),(ηξf 在基4321,,,ββββ下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------='=75717152315237925115125171AT T B ． （3）设非零向量),,,(4321x x x x =ξ，使0),(=ξξf ，即022432121=--x x x x x ．取0,02431≠====a x x x x ，则0),,,(4321≠=x x x x ξ，并使得0),(=ξξf ．8、（1）因为对一切V ∈η，有0),0(=ηf ，所以Wo ∈，即W 非空．对任意F k k W ∈∈2121,,,ξξ，由0),(1=ηξf 0),(2=ηξf ，对一切V ∈η，得,0),(),(),(22112211=+=+ηξηξηξξf k f k k k f 对一切V ∈η， 即W k k ∈+2211ξξ，故W 是Ｖ的一个子空间．（2）若),(ηξf 是非退化的，则对任意W∈ξ，有0),(=ηξf ，对一切V ∈η，故得o =ξ．于是，W={0}．反之，设W={0}．令0),(=ηξf ，对一切V ∈η，则W∈ξ，但W={0}，故o =ξ．从而),(ηξf 是非退化的．9、（1）对∑=∈=ni i i Vx 1αξ，则)()(2211n n i i x x x f f αααξ+++= )()()(2211n i n i i f x f x f x ααα+++= ．因为，⎩⎨⎧≠==.,0;,1)(j i j i f j i α 代入上式，得i i x f =)(ξ．从而，∑==ni i i f 1)(αξξ．（2）∑=∈=ni i i Vx 1αξ，由（1），有∑==ni i i f 1)(αξξ，故∑∑====ni i i n i i i f f f f f 11)()())(()(αξαξξ∑∑====ni i i ni i i f f f f 11))()(()()(ξαξα，从而，∑==ni ii f f f 1)(α．（3）先证n f f f ,,,21 线性无关．设),,,(,0212211F a a a f a f a f a n n n ∈=+++ ，分别用n ααα,,,21 代入，得到021====n a a a ．因此，n f f f ,,,21 线性无关．又由（2）知，L （V ，F ）中的每向量f 都可以由n f f f ,,,21 线性表示，因而n f f f ,,,21 是L （V ，F ）的基，于是L （V ，F ）的维数也是n ．习题10.71、对任意)(,F M Y X n ∈，由)()(,T tr T tr A A '=='，得),()()())(()(),(X Y f AX Y tr X A Y tr AY X tr AY X tr Y X f ='=''=''='=，所以，),(Y X f 是双线性函数．2、2),(),(2),(),(),(ξηηξξηηξηξf f f f f -++=，令2),(),(1),(ξηηξηξf f f +=，2),(),(2),(ξηηξηξf f f -=，则有=),(1ηξf ),(1ξηf ，),(),(2),(),(2ηξξηηξξηf f f f -==- ，且=),(ηξf ),(1ηξf +),(2ηξf ．唯一性：设),(ηξf 还可分解为=),(ηξf ),(1ηξg +),(2ηξg ，其中),(1ηξg =),(1ξηg ，),(2ηξg =),(2ξηg -．于是，),(),(11ηξηξg f -=),(),(22ηξηξf g - ， （1）),(),(11ηξηξg f -=),(),(11ξηξηg f -=),(),(22ξηξηf g -=),(2ηξg -+),(2ηξf （2）由（1）、（2）得2（),(1ηξf ),(1ηξg -）=0， 从而),(1ηξf =),(1ηξg ，并且),(2ηξg =),(2ηξf ．3、若),(ηξf 是反对称的，则),(ηξf =),(ξηf -，取ηξ=，有 ),(ξξf =),(ξξf -，故),(ξξf =0．反之，若对任意V ∈ξ，有),(ξξf =0，对任意V ∈ηξ,，0=),(ηξηξ++f =),(ξξf +),(ηξf +),(ξηf +),(ηηf=),(ηξf +),(ηξf ．从而),(ηξf =),(ξηf -，即),(ηξf 是反对称的．4、（1）因为2≥n ,所以V 中存在两个线性无关的向量βα,，若0),(=ααf ，则取αξ=，即可．现设0),(≠ααf ，则0),(),(2),(),(2=++=++βββαααβαβαf x f x f x x f 在C 中有解，设一个解为x 0，令βαξ+=0x ，由于βα,线性无关，得0≠ξ，并使得0),(=ξξf ．（2）由（1）知，存在非零的ξ，使0),(=ξξf ．因为f 非退化，所以，必存在γ，使0),(≠γξf ．否则，若对一切0),(,=∈γξγf V ，由f 非退化，得0=ξ，矛盾．取,),(1γγξδf =则有1),(=δξf ．令ξδδδη2),(f -=，则ηξ,线性无关，且0),(),(,1),(===ηηξξηξf f f ．5、取V 的一个基n ααα,,,21 ．对任意Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令n n n n y b y b y b f x a x a x a f +++=+++= 2211222111)(,)(ηξ， 其中)(),(21i i i i f b f a αα==．则))(()()(),(2211221121n n n n y b y b y b x a x a x a f f f ++++++== ηξηξ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y b b b a a a x x x 21212121,,,),,,(．由此可得，),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a A 2122212121112121,,,．因为),(ηξf 是对称的，故A 是对称矩阵，因而得i j j i b a b a =，即j j i i b a b a ::=，),,2,1,(n j i =．于是，有),,,(),,,(2121n n b b b a a a λ=．设02≠f ，则0≠λ，且)()(21ξλξf f =，取)()(2ξξf g =，则有)()()()()()(),(2221ηξληξληξηξg g f f f f f ===．6、因为),(ηξf 是反对称的，故存在V 的一个基321,,ααα，使),(ηξf 在这个基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000001010A ，这样，对任意332211αααξx x x ++=，V y y y ∈++=332211αααη有),(ηξf =1221321321),,(y x y x y y y A x x x -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令)(1ξf =),(2αξf ，)(2ξf =),(1ξαf ，则21,f f 是V 上的线性函数，且满足),(ηξf =)(1ξf )(2ηf )(1ηf -)(2ξf ．7、设A 是一个n 阶反对称矩阵，取定数域F 上n 维线性空间的一个基n ααα,,,21 ，对Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令),(ηξf =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121),,,(，则),(ηξf 是V 上的一个对称双线性函数，且),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵恰是A ．由定理10.7.3知，存在V 的一个基n βββ,,,21 ，使),(ηξf 在这个基下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001100110 B ．从而，A 与B 合同． 习题10.81、（1）设A 、B 是酉矩阵，则I B B B B I A A A A ='='='=',．于是，I B B IB B B A A B AB A B AB AB ='='=''=''=')())(()()(，从而，AB 是酉矩阵．又因为酉矩阵A 的逆矩阵A A '=-1，所以,)(1A A ='-于是，I AA A A =='---111)(，同理，I A A ='--)(11，故1-A 也是酉矩阵．（2）设A 为酉矩阵，则,I A A ='两边取行列式，得,1||='A 即,1||||=A 故||A 的模的平方等于1，即|A|的模等于1．（3）设λ是酉矩阵A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ．于是，一方面，由,I A A ='得ξξξξξξξξ'=''='=')()()()()(A A A A A A ．另一方面，)()()()()(ξξλλλξλξξξ'='='A A ．所以，ξξξξλλ'=')(．而0||||||222212211>+++=+++='n n n x x x x x x x x x ξξ， 得，1=λλ，故λ的模等于1．2、参考第九章关于欧氏空间标准正交基的讨论．3、若0||||==ηξ，则0==ηξ，V 的任一个酉变换σ都满足ηξσ=)(．若0||||≠=ηξ，取ηηξξηξ||11||11,==，则11,ηξ是两个单位向量．分别将它们扩充为V 的两个规范正交基n n ηηηξξξ,,,;,,,2121 ．则必存在V 的一个线性变换σ，使得i i ηξσ=)(，n i ,,2,1 =．由于σ把V 的规范正交基变为规范正交基，所以σ是酉变换，且ηηηξσξξσ===i ||)(||)(1．4、把Ａ的列n ααα,,,21 看作是n 维酉空间n C 的一个基，对其正次化、单位化变为规范正交基n γγγ,,,21 ，相当于在A 的右边乘一些上三角矩阵，对角线上元素都大于零：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n t t t t t t 000),,,(),,,(222112112121αααγγγ，n i t ii ,,2,1,0 =>． 取12221121121000),,,,(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n t t t t t t T U γγγ，A=UT ，且U ，T 满足要求．唯一性，设另有 11T U A =，实数的上三角形矩阵为对角线上元素全为正为酉矩阵11，T U ，可得 1111--=TT U U ，由11-TT 是对角线元素全是正实数的上三角形矩阵，得11U U -是对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵，从而I U U =-11，于是U U =1，进而T T =1．5、对于酉矩阵A ，利用归纳法和第八章特征向量的讨论可知，存在可逆复矩阵P ，使得11A AP P =-是上三角形矩阵．由第4题知，P=UT ，其中U 是酉矩阵，T 是上三角形矩阵，代入可得，111A AUT U T =--．于是有B T TA AU U ==--111是上三角形矩阵．由于AU U B 1-=是酉矩阵，得1)(-'=B ．由此根据B 是上三角形矩阵，可得1)(-'B ，即B 为下三角形矩阵，故B 为对角形矩阵．6、设A 是埃尔米特矩阵，λ是A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ． 于是，由A A ='，得ξξξξξξξλξξξλA A A ''='===)(),(),(),(),()()()(ξξλξξλλξξξξξξ='='='='=A A ．又因为0),(≠ξξ，从而λλ=，即λ是实数．现设μλ,是A 的不同的特征值，ηξ,是A 的分别属于特征值μλ,的特征向量，则μλ,都是实数，并且 0,0,,≠≠==ηξμηηλξξA A ．于是，ηξηξηξηλξηξλA A A ''='===)(),(),(),( ),(),()()(ηξμμηξμηξηξηξ=='='='=A A ． 由于μλ≠，得0),(=ηξ，即ηξ与彼此正交．7、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵．于是，B AU U U A U U A U AU U B ==='''='='----1111)()(．由B '为下三角形矩阵，B 为上三角形矩阵知，B 为对角形矩阵．8、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵，由此 可证B 也是规范矩阵．现令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n b b b b b b B 00022211211，对比B B B B '='对应位置上的元素，可得 )(,0j i bij <=．所以B 是对角形矩阵．。

高等代数与解析几何习题答案

高等代数与解析几何习题答案

习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。

证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。

（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。

又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。

证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。

证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。

现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。

高等代数与解析几何第11章习题参考解答

高等代数与解析几何第11章习题参考解答

§11.1二次曲线的几何性质 1、解〔1〕∵025),(22=++=ΦYXY X Y X 时 )52(:51:i Y X ±-=,同时 0411152>==I∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)52(:51i ±-〔2〕∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X同时0132212<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3-〔3〕∵02),(22=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时011112=--=I∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解〔1〕∵0492252522≠-==I , ∴曲线是中心曲线. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解得⎩⎨⎧=-=21y x ∴中心为)2,1(-〔2〕∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a aa a , ∴曲线为线心曲线。

〔3〕∵042212=--=I ，且231322121211a a a a a a ≠=, ∴曲线为无心曲线。

3、解〔1〕由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+-=023223),(02123),(21y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(22=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1325+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x 〔2〕由⎩⎨⎧=++==++=01),(012),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和211+=--y i x 即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i4、解〔1〕∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29)1,2(1=F5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(29=-+-y x 即 028109=-+y x〔2〕∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上；设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为03)(2)(21)(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①把)1,2(--代入切线方程得 00=x ②又因),(00y x 在曲线上，把它代入曲线方程得03400200020=+++++y x y y x x ③由②③解得切点为)1,0(),3,0(--，代入①得 切线方程为03=++y x 和01=+y5、解〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5228A ，13581=+=I , 3652282==I , 特征方程为036132=+-λλ 解得9,421==λλ, 求得21,λλ对应的特征向量 {}2,11-=ξ ,{}1,22=ξ, 所以主方向是 )2(:1:11-=Y X ， 1:2:22=Y X , 主直径是0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0)852)(2()428(=-+-+++y x y x 与 0)852()428(2=-++++y x y x , 就是052=+-y x 与02=+y x〔2〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5445A ，10551=+=I ，954452==I 特征方程为09102=+-λλ，解得9,121==λλ，求得21,λλ对应的特征向量 {}111，-=ξ, {}112-=，ξ, 所以主方向是1:1:11-=Y X )1(:1:22-=Y X 主直径为 0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0=-y x 与 02=-+y x〔3〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1612129A , 251691=+=I ,016121292=--=I , 特征方程为0252=-λλ，解得251=λ，02=λ, 求得21,λλ对应的特征向量是 {}4,31-=ξ, {}3,42=ξ 所以非渐近主方向是)4(:3:11-=Y X , 渐近主方向是 3:4:22=Y X , 主直径只有一条，就是 0),(4),(321=-y x F y x F , 即0743=+-y x 6、证明：〔1〕中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为),(00y x ，则因为),(00y x 是方程⎩⎨⎧==0),(0),(21y x F y x F 的唯一解，可设过),(00y x 的直线方程为0),(),(21=+y x F y x F μλ ① 对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向， 故①又表示与非渐近方向μλ:共轭的直径的方程。

高等数学 课后习题答案第十一章

高等数学 课后习题答案第十一章

习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续． 证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d bLaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL a P x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧； (4)()()22d d Lx y x x y yx y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧； (6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y z Γ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d L x xy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩ L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()032210314127334292d 87d 1874874t t t t t tt tt ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415x x x x x x x xxx x x x--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x y y y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x y x y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ 5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyz x z x y x y z-+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2sin 22sin 2x t y t z t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2222sin cos d 42sin 2d 1621cos 4d 1622π16xyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x t y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y zy z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x yx y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x y a a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yx y x y --+⎰，L 是圆周22y x x =-上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d e sin e cos xx Lx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Q x ∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2e xPx x x x y y ∂=+-∂， 2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得． ()()222d d cos 2sin e sin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x x LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记OA ，AB ，BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2 262cos Pxy y x y ∂=-∂，262cos Q xy y x x ∂=-∂ 由格林公式有：d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LOA AB OA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO D Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x ，即，0∂∂-=∂∂Q P x y于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264L LBA OB P x Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x Py m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m aP x Q y P x Q y m a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy y x y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x ∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y ∂=-∂，2123Q xy yx ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxyy x y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q =P Q y x ∂∂=∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,8101,0801529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ． 2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x yx y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y x ∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Q y x x yx ∂=-∂， 有P Q y x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G因此22d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦ 知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3kF xi yj r =-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．33d d L k k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r =-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x ∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)22d d x y z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面22z x y =+与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：222z R x y =---，下侧，Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．()()()()()()()()()()22222222π42222002π222222222002π35422222222200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yR x y r r rR r R r R R r r R R R r R R r R r R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=----=---=-⋅-⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=----+---⎣⎦=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21x y =-(y ,z )∈D yz，故23202d d 1d d d 1d 31d yzD x y z y y zz y yy y∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：21y x =-(x ,z )∈D xz， 故23202d d 1d d d 1d 31d xzD y z x x z xz x xx x∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：120120d d d d d d 231d 61d π643π2z x y x y z y z xx x x x∑++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为1cos 3α=，1cos 3β-=，1cos 3γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()123441100d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()22200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yyxz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z xP Q x y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧； (3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yxy z xy y z ∑++-+⎰⎰，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤的表面外侧；(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()22204d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaax y z y z x z x yvx y z vx y z x v x x y za ∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ405d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5ax y z y z x z x yP Q R v x y z v x y z r ra ∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得 ()()()2232222π2π222024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxz y z z x x yxy z xy y z P Q R v x y z v z x y r r rr ra ∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得： 2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x zΓ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y zyz x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d23292x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++===-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,dLP x Q yx y x yP x Qs++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=，cos β=故()()d d ,,d 2,,LP x Q yx y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LLP x Q yx y x y s Q x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰ 19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z s αβγ======因而d d d P x Q x R x s ΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分 ()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=cos β=cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

高等数学课后习题及参考答案(第十一章)

高等数学课后习题及参考答案(第十一章)

高等数学课后习题与参考答案〔第十一章〕习题11-11.写出下列级数的前五项:<1>∑∞=++1211n nn;解 51514141313121211111112222212⋅⋅⋅+++++++++++++++=++∑∞=n n n . 解 3762651045311112⋅⋅⋅+++++=++∑∞=n n n .<2>∑∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅12 42)12( 31n n n ; 解 10864297531864275316425314231212 42)12( 311⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n . 解 3840945384105481583212 42)12( 311⋅⋅⋅+++++=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n .<3>∑∞=--115)1(n n n ; 解 51515151515)1(543211⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . 解 3125162511251251515)1(11⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . <4>∑∞=1!n n nn.解 5!54!43!32!21!1!543211⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n. 解3125120256242764211!1⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n . 2.写出下列级数的一般项:<1> 7151311⋅⋅⋅++++; 解 一般项为121-=n u n . <2> 5645342312⋅⋅⋅-+-+-; 解 一般项为nn u n n 1)1(1+-=-. <3> 86426424222⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+x x x x x ; 解 一般项为!22n x u n n =.<4> 97535432⋅⋅⋅+-+-a a a a . 解 一般项为12)1(11+-=+-n a u n n n . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=-+1)1(n n n ;解 因为)1( )34()23()12(n n s n -++⋅⋅⋅+-+-+-=)()11(∞→∞→-+=n n ,所以级数发散.<2> )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ; 解 因为)12)(12(1 751531311+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n)121121(21 )7151(21)5131(21)3111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )121121 715151313111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )(21)1211(21∞→→+-=n n , 所以级数收敛.<3> 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn . 解 6sin 63sin 62sin 6sin ππππn s n ⋅⋅⋅+++= )6sin 12sin 2 62sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin 21πππππππn +⋅⋅⋅++= )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin 21πππππππ+--+⋅⋅⋅+-+-=n n )1212cos 12(cos 12sin 21πππ+-=n . 因为π1212cos lim +∞→n n 不存在,所以n n s ∞→lim 不存在,因而该级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: <1> 98)1( 9898983322⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n n ; 解 这是一个等比级数,公比为98-=q ,于是198||<=q ,所以此级数收敛. <2> 31 916131⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n; 解 此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数) 31 916131(311⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n 也收敛,矛盾.<3> 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 解 因为级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u n n n ,所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散.<4> 232323233322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解 这是一个等比级数,公比123>=q ,所以此级数发散. <5> )3121( )3121()3121()3121(3322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++nn . 解 因为∑∞=121n n 和∑∞=131n n 都是收敛的等比级数,所以级数 )3121( )3121()3121()3121()3121(33221⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++=+∑∞=n n n n n 是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性:<1> )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 解因为211121lim =-∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,故所给级数发散. <2> 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ; 解因为n n n n n n u n 111122=++>++=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<3> )4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n ; 解因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n nn n n n ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<4> 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ;解因为πππππ==∞→∞→nn n n n n 22sin lim 212sin lim ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<5>∑∞=>+1)0(11n n a a . 解因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<==+=+∞→∞→11 1 2110 0 1lim 111lim a a a l a a a a n n n n n n ,而当a >1时级数∑∞=11n n a 收敛,当0<a ≤1时级数∑∞=11n n a 发散, 所以级数∑∞=+111n n a 当a >1时收敛,当0<a ≤1时发散. 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n ; 解级数的一般项为n n n n u 23⋅=.因为 123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n , 所以级数发散.<2>∑∞=123n n n ; 解因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=⋅1!2n n n n n ;解因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=+112tann n n π. 解因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ, 所以级数收敛.3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=+1)12(n n n n ; 解因为12112lim lim<=+=∞→∞→n n u n n n n ,所以级数收敛. <2>∑∞=+1)]1[ln(1n n n ; 解因为10)1ln(1lim lim<=+=∞→∞→n u n n n n ,所以级数收敛. <3>∑∞=--112)13(n n n n ; 解因为n n n n n n n n n n n u 1212)13(1lim)13(lim lim -∞→-∞→∞→-=-= 131)311(31lim 321212<⋅=-⋅=--∞→en n n n , 所以级数收敛.<4>∑∞=1)(n n na b ,其中a n →a <n →∞>,a n ,b ,a 均为正数.解因为a b a b u nn nn n ==∞→∞→lim lim , 所以当b <a 时级数收敛,当b >a 时级数发散.4.判定下列级数的收敛性:<1> )43( )43(3)43(24332⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里n n n u )43(=,因为 143431lim )43()43)(1(lim lim 11<=⋅+=+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n n n n , 所以级数收敛.<2>!!33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里!4n n u n =,因为 10)1(1lim !)!1()1(lim lim 3441<=+⋅=⋅++=∞→∞→+∞→n n nn n n n u u n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=++1)2(1n n n n ; 解因为121lim 1)2(1lim =++=++∞→∞→n n nn n n n n ,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<4>∑∞=13sin2n nn π; 解因为1323232lim 3sin 23sin 2lim 1111<=⋅⋅=++∞→++∞→n n n n n n n n n n ππππ, 所以级数收敛.<5> 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn ; 解因为011lim lim ≠=+=∞→∞→n n u n n n , 所以级数发散.<6>)0 ,0( 1 211>>⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++b a bna b a b a . 解因为n a b na u n 111⋅>+=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是 条件收敛？<1> 4131211⋅⋅⋅+-+-; 解这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u ,其中n u n 1=. 因为显然u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n nu 是p <1的p 级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.<2>∑∞=---1113)1(n n n n ; 解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n . 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n ,所以级数∑∞=-113n n n 是收敛的, 从而原级数收敛,并且绝对收敛.<3> 2131213121312131432⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅;解这是交错级数∑∞=-⋅-112131)1(n n n ,并且∑∑∞=∞=-⋅=⋅-1112131|2131)1(|n n n n n . 因为级数∑∞=⋅12131n n 是收敛的,所以原级数也收敛,并且绝对收敛. <4> 5ln 14ln 13ln 12ln 1⋅⋅⋅+-+-; 解这是交错级数∑∑∞=-∞=-+-=-1111)1ln()1()1(n n n n n n u ,其中)1ln(1+=n u n . 因为u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为11)1ln(1+≥+n n ,而级数∑∞=+111n n 发散, 故级数∑∑∞=∞=-+=-111)1ln(1|)1(|n n n n n u 发散,从而原级数是条件收敛的. <5>∑∞=+-11!2)1(2n n n n . 解级数的一般项为!2)1(21n u n n n +-=. 因为∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅===∞→∞→∞→∞→122232 22122lim !)2(lim !2lim ||lim 2n n n n n n n n n n n n n n n n n n u , 所以级数发散.习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:<1>x +2x 2+3x 3+⋅⋅⋅+nx n +⋅⋅⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为<-1,1>.<2> )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1,1].<3> )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为<-∞,+∞>. <4> 33332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3. 因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3,3>. <5> 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ;解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. <6>∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].<7>∑∞=--122212n n n x n ; 解 这里级数的一般项为22212--=n nn x n u . 因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R . 因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.<8>∑∞=-1)5(n nn x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n nn , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6>. 2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:<1>∑∞=-11n n nx ;解 设和函数为S <x >, 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n xn x n n x dx nx dx nxdx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n . <2>∑∞=++11414n n n x ; 解 设和函数为S <x >, 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则dx x dx n x dx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( arctan 2111ln 41<<--+-+=x x x x x .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(. <3>⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解 设和函数为S <x >, 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.习题11-41. 求函数f <x >=cos x 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数.解 )2cos()()(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, )2cos()(00)(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, 从而得f <x >在x 0处的泰勒公式)(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ )( )(!)2cos(00x R x x n n x n n +-++π. 因为)!1(|||)()!1(]21)(cos[||)(|101000+-≤-+++-+=++n x x x x n n x x x x R n n n πθ<0≤θ≤1>, 而级数∑∞∞→++-n n n x x )!1(||10总是收敛的, 故0)!1(||lim 10=+-+∞→n x x n n , 从而0|)(|lim =∞→x R n n . 因此 )(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ⋅⋅⋅+-++ )(!)2cos(00n x x n n x π,x ∈<-∞,+∞>.2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>2sh x x e e x --=; 解 因为∑∞==0!n n xn x e ,x ∈<-∞,+∞>,所以 ∑∞=--=0!)1(n n nx n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 故 ∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-=--=--=012000)!12(!])1(1[21]!)1(![21sh n n n n n n n n n n n x n x n x n x x ,x ∈<-∞,+∞>. <2>ln<a +x ><a >0>;解 因为)1ln(ln )1(ln )ln(a x a a x a x a ++=+=+,∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∑∞=++∞=++-+=+-+=+01101)1()1(ln )(11)1(ln )ln(n n n n n n n a n x a a x n a x a <-a <x ≤a >. <3>a x ;解 因为∑∞==0!n n x n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (n n n n n x a x x x n a n a x e ea ,x ∈<-∞,+∞>, <4>sin 2x ; 解 因为x x 2cos 2121sin 2-=,∑∞=-=02)!2()1(cos n n nn x x ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ∈<-∞,+∞>. <5><1+x >ln<1+x >;解 因为∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∞=++-+=++011)1()1()1ln()1(n n nn x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=02011)1(1)1(n n n n n nn x n x ∑∑∞=++∞=+-++-+=11111)1(1)1(n n n n n n n x n x x 111])1(1)1([+∞=+∑-++-+=n n n n x n n x 111)1()1(+∞=-∑+-+=n n n x n n x <-1<x ≤1>. <6>21x x +. 解 因为∑∞=--+=+122/12!)!2(!)!12()1(1)1(1n n n x n n x <-1≤x ≤1>, 所以 ∑∑∞=+∞=+⋅-+=--+=+11221122)2()!()!2(2)1(!)!2(!)!12()1(1n n n n n n x n n x x n n x xx <-1≤x ≤1>. 3. 将下列函数展开成<x -1>的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>3x ;解 因为)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m . 所以 233)]1(1[-+=x x )1(!)123( )123(23 )1(!2)123(23)1(2312⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+--+-+=n x n n x x)111(<-<-x ,即 )1(!2)25( )3()1(13 )1(!2213)1(231223⋅⋅⋅+-⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+-+=n n x n n x x x )20(<<x .上术级数当x =0和x =2时都是收敛的, 所以展开式成立的区间是[0,2].<2>lg x .解 ∑∞=-≤-<---=-+==11)111( )1()1(10ln 1)]1(1ln[10ln 110ln ln lg n n n x nx x x x , 即 ∑∞=-≤<--=11)20( )1()1(10ln 1lg n n n x nx x . 4. 将函数f <x >=cos x 展开成)3(π+x 的幂级数. 解 3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x )3sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ )( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ. 5.将函数xx f 1)(=展开成<x -3>的幂级数. 解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311, 即 ∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311. 6.将函数231)(2++=x x x f 展开成<x +4>的幂级数. 解 2111231)(2+-+=++=x x x x x f ,而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x , 即 )17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ; ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x , 即 )26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n . 因此 ∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n n n n x x x x x f )26( )4)(3121(011-<<-+-=∑∞=++x x n n n n . 习题11-51. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:<1>ln3<误差不超过0.0001>; 解)11( ) 121 5131(211ln 1253<<-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-+-x x n x x x x x n , ) 21121 2151213121(2211211ln 3ln 1253⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-+=-n n . 又 ] 2)32(12)12(1[2||3212⋅⋅⋅+⋅++⋅-=+-n n n n n r ] 2)52(2)12(2)32(2)12(1[2)12(25212321212⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++=+++++n n n n n n n n n n 2242122)12(31) 21211(2)12(2-+-=⋅⋅⋅++++<n n n n , 故 00012.021131||85≈⋅⋅<r ,00003.021331||105≈⋅⋅<r . 因而取n =6, 此时1.0986 )21111219121712151213121(23ln 119753≈⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=. <2>e <误差不超过0.001>;解 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , 21!1 21!212112⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅++=nn e . 由于 21)!2(121)!1(121⋅⋅⋅+⋅++⋅+=++n n n n n r 21)1()2(121111[2!12⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=n n n n n 22!3141112!1-⋅⋅=-⋅⋅<n n n n , 故 0003.02!53134≈⋅⋅=r . 因此取n =4得648.121!4121!3121!21211432≈⋅+⋅+⋅++≈e . <3>9522<误差不超过0.00001>; 解)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m , 9/199)2101(2522+= ] )210(!33178)210(!298210911[23922929⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+=. 由于002170.0210919≈⋅,000019.0)210(!298292≈⋅⋅, 故00430.2)000019.0002170.01(25229≈-+=.<4>cos 2︒<误差不超过0.0001>.解 )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )90(!61 )90(!41)90(!21190cos 2cos 642⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-==︒ππππ.由于42106)90(!21-⨯≈⋅π,8410)90(!41-≈⋅π, 故 9994.00006.01 )90(!2112cos 2=-≈⋅⋅-≈︒π.2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:<1>⎰+5.00411dx x <误差不超过0.0001>; 解⎰⎰⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+5.00412845.004] )1( 1[11dx x x x x dx x n n 5.001395|) 1319151(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2113121912151211395⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-. 因为00625.021515≈⋅,00028.021919≈⋅,000009.02113113≈⋅, 所以4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x . <2>⎰5.00arctan dx xx <误差不超过0.0001>. 解)11( 121)1( 5131arctan 1253<<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+x x n x x x x n n, dx x n x x dx x x n n ] 121)1( 51311[arctan 5.002425.00⎰⎰⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-= 5.00753|) 49125191(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2149121251219121753⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=. 因为0139.021913≈⋅,0013.0212515≈⋅,0002.0214917≈⋅, 所以487.021*********arctan 535.00≈⋅+⋅-=⎰dx x x . 3.将函数e x cos x 展开成x 的幂级数. 解)(21cos ix ix e e x -+=, ][21)(21cos )1()1(i x i x ix ix x x e e e e e x e -+-+=+⋅=∑∑∑∞=∞=∞=-++=-++=000!)1()1(21!)1(!)1([21n n n n n n n n n n x n i i x n i x n i . 因为421πi e i =+,421πi e i -=-, 所以4cos 2)4cos 2(2][2)1()1(122442ππππn n e e i i n n n i n i n n n +-==+=-++. 因此)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n n x π.习题11-7 1.下列周期函数f <x >的周期为2π,试将f <x >展开成傅里叶级数,如果f <x >在[-π,π>上的表达式为:<1>f <x >=3x 2+1<-π≤x <π>;解 因为)1(2)13(1)(1220+=+==⎰⎰--πππππππdx x dx x f a , ⎰-=ππππdx n x f a n cos )(1 2212)1(cos )13(1n dx n x n -=+=⎰-ππππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1 0sin )13(12=+=⎰-ππππdx n x <n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为)( cos )1(121)(122+∞<<-∞-++=∑∞=x nx n x f n n π.<2>f <x >=e 2x <-π≤x <π>;解 因为πππππππππ21)(12220----===⎰⎰e e dx e dx x f a x ,⎰-=ππππdx n x f a ncos )(1πππππππ)4()()1(2cos 12222+--==--⎰n e e dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1πππππππ)4()()1(sin 12222+---==--⎰n e e n dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=--+-+-=1222)sin cos 2(4)1(41[)(n n nx n nx n e e x f πππ<x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx ax x bx x f 0 0)(<a ,b 为常数,且a >b >0>.解 因为)(211000b a axdx bxdx a -=+=⎰⎰-πππππ, ]cos 1cos 100⎰⎰+=-ππππnxdx ax nxdx bx a nn n a b )1(1[2---=π<n =1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin 1nxdx ax nxdx bx b nnb a n +-=+1)1(<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=-+-+---+-=112}sin )()1(cos )]()1(1[{)(4)(n n n nx n b a nx n a b b a x f ππ <x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2.将下列函数f <x >展开成傅里叶级数:<1>3sin2)(x x f =<-π≤x ≤π>; 解 将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-, 故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下: 因为3sin2x <-π<x <π>是奇函数, 所以a n=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+--==ππππ00])31cos()31[cos(2sin 3sin 22dx x n x n nxdx x b n19318)1(21-⋅-=+n nn π<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以∑∞=+--=12119sin )1(318)(n n n nx n x f π<-π<x <π>.<2>⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x e x f x 0 10)(.解 将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-,故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下:ππππππ---+=+=⎰⎰e dx dx e a x 1][1000, )1()1(1]cos cos [1200n e nxdx nxdx e a n xn +--=+=--⎰⎰πππππ<n =1,2,⋅⋅⋅>,]sin sin [100⎰⎰+=-πππnxdx nxdx e b xn})1(11])1(1[{12n n e n n n --++---=-ππ<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以πππ21)(--+=e x f∑∞=----++-+-++--+122}]sin )1(11)1([cos 1)1(1{1n n n n nx n n ne n nx n e πππ <-π<x <π>.3.设周期函数f <x >的周期为2π,证明f <x >的傅里叶系数为⎰=ππ20cos )(1nxdx x f a n <n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.证明 我们知道, 若f <x >是以l 为周期的连续函数, 则⎰+la adx x f )(的值与a 无关, 且⎰⎰=+lla adx x f dx x f 0)()(,因为f <x >,cos nx ,sin nx 均为以2π为周期的函数, 所以f <x >cos nx ,f <x >sin nx 均为以2π为周期的函数, 从而⎰⎰+---==πππππππ2cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f a n⎰=ππ20cos )(1nxdx x f <n =1, 2,⋅⋅⋅>.同理 ⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.4.将函数2cos )(xx f =<-π≤x ≤π>展开成傅里叶级数: 解 因为2cos )(x x f =为偶函数, 故b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>, 而⎰⎰==-πππππ0cos 2cos 2cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰+--=ππ0])21cos()21[cos(1dx x n x n 1414)1(21-⋅-=+n n π<n =1, 2,⋅⋅⋅>. 由于2cos )(x x f =在[-π,π]上连续, 所以 ∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ<-π≤x ≤π>. 5.设f <x >的周期为2π的周期函数, 它在[-π,π>上的表达式这⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2 222 2 2)(,将f <x >展开成傅里叶级数.解 因为f <x >为奇函数, 故a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而]sin 2sin [2sin )(22200⎰⎰⎰+==πππππππnxdx nxdx x nxdx x f b n2sin 2)1(2ππn n n n +--=<n =1,2,⋅⋅⋅>,又f <x >的间断点为x =<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅, 所以nx n n n x f n n sin ]2sin 2)1([)(121∑∞=++-=ππ< x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.6. 将函数2)(x x f -=π<0≤x ≤π>展开成正弦级数.解 作奇延拓得F <x >:⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0)(0 00 )()(x x f x x x f x F ππ,再周期延拓F <x >到<-∞,+∞>, 则当x ∈<0,π]时F <x >=f <x >,)0(20)0(f F =≠=π.因为a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而nnxdx x b n 1sin 220=-=⎰πππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, 故 nx nx f n sin 1)(1∑∞==<0<x ≤π>,级数在x =0处收敛于0.7.将函数f <x >=2x 2<0≤x ≤π>分另别展开成正弦级数和余弦级数. 解对f <x >作奇延拓,则a n =0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,而]2)2()1[(4sin 2232302n n n nxdx x b n n ---==⎰ππππ<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故正弦级数为nx n n n x f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ<0≤x <π>, 级数在x =0处收敛于0.对f <x >作偶延拓,则b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,而20203422πππ==⎰dx x a , 2028)1(cos 22nnxdx x a n n -==⎰ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅>, 故余弦级数为nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π<0≤x ≤π>.8.设周期函数f <x >的周期为2π, 证明<1>如果f <x -π>=-f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 0=0,a 2k =0,b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>; 解 因为020200)(1)(1)(1a dt t f dx t f dx x f a xt -=-=-=⎰⎰⎰+=-πππππππππ令,所以a 0=0. 因为dx t k t f kxdx x f a xt k )(2cos )(12cos )(1202ππππππππ--=⎰⎰+=-令k a ktdt t f 2202cos )(1-=-=⎰ππ,所以a 2k =0.同理b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>.<2>如果f <x -π>=f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 2k +1=0,b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 解因为)12cos()(112⎰-++=πππxdx k x f a kdx t k t f xt ))(12cos()(1 20πππππ-+-⎰+=令1220)12cos()(1+-=+-=⎰k a tdt k t f ππ,所以a 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 同理b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>.习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数<下面给出函数在一个周期内的表达式>: <1>)2121(1)(2<≤--=x x x f ;解 因为f <x >=1-x 2为偶函数, 所以b n =0<n =1,2,⋅⋅⋅>, 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰<n =1,2,⋅⋅⋅>,由于f <x >在<-∞,+∞>内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ,x ∈<-∞,+∞>.<2>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= <n =1,2,⋅⋅⋅>,dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= <n =1,2,⋅⋅⋅>.而在<-∞,+∞>上f <x >的间断点为x =2k ,212+k ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n nπππππππ-++--+-=∑∞= <x ≠2k ,212+≠k x ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, 而在<-∞,+∞>上,f <x >的间断点为 x =3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,<x ≠3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:<1>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解 正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰<n =1,2,⋅⋅⋅ >故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ,x ∈[0,l ].余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l=-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ ])1(12cos 2[222n n n l ---=ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅ > b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅ >,故lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=,x ∈[0,l ].<2>f <x >=x 2<0≤x ≤2>.解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,]1)1[()(168)1(2sin 2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin }]1)1[(2)1({81231x n n n n n n πππ∑∞=+--+-=,x ∈[0,2>. 余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a2202)(16)1(2cos 22ππn dx x n x a n n -==⎰<n =1, 2,⋅⋅⋅>, b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故 2cos )(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos )1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=,x ∈[0,2].总习题十一 1.填空: <1>对级数∑∞=1n n u ,0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件,不是它收敛的________条件; 解 必要; 充分.<2>部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解 充分必要. <3>若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则级数∑∞=1n n u 必定________;若级数∑∞=1n n u 条件收敛,则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解 收敛; 发散.2.判定下列级数的收敛性: <1>∑∞=11n n nn ; 解因为11lim 11lim ==∞→∞→n n nn nnn n ,而调和级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知,级数发散. <2>∑∞=1222)!(n nn ;解因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知,级数发散.<3> ∑∞=1223cos n n n n π; 解因为n n n n n 223cos 2<π,12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n所以由根值审敛法,级数∑∞=12n n n 收敛;由比较审敛法,级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. <4>∑∞=110ln 1n n;解 因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim, 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示:∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101limln lim9910<5>∑∞=1n s nna <a >0,s >0>. 解 因为a n a n a s n n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散.当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3.设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛,证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明 因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u ,0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u ,0lim lim 2==∞→∞→n n n n n v v v , 所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数 ∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,且1lim =∞→n n n u v ,问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解 级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有 11)1(11)1(lim =-+-∞→nn n n .5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:<1>∑∞=-11)1(n p n n ; 解∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p n n n 是p 级数.故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的,当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散.因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时,级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,因而收敛,这时是条件收敛的. 当p ≤0时,由于01)1(lim ≠-∞→p nn n ,所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散. 综上所述,级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛,当0<p ≤1时条件收敛,当p ≤0时发散. <2>∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解因为1111|1sin )1(|+++≤+-n n n n πππ,而级数∑∞=+111n n π收敛,故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛,从而原级数绝对收敛. <3> ∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n nn n n n n n n ,而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数|1ln )1(|1∑∞=+-n n n n 发散,即原级数不是绝对收敛的. 另一方面,级数∑∞=+-11ln )1(n n n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,所以该级数收敛,从而原级数条件收敛.<4>∑∞=++-11)!1()1(n n nn n . 解令1)!1()1(++-=n n n n n u .因为 11)11(112lim )1(12lim )!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→enn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛,从而原级数绝对收敛. 6.求下列级限: <1>∑=∞→+n k k k n k n 12)11(311lim ; 解 显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和. 因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n n n n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n nn n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n n k k k n s n k n . <2>])2( 842[lim 312719131n n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→. 解n n nn 3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和. 设∑∞=-=11)(n n nx x S ,则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x -='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而 4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→nn s n n n .7.求下列幂级数的收敛域:<1>∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的; 当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51,51[-. <2>∑∞=+12)11(n n n x n ; 解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1,时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ;。

新教材高中数学第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论优质作业含解析新人教B版必修第四册

新教材高中数学第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论优质作业含解析新人教B版必修第四册

学习资料第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论课后篇巩固提升基础达标练1。

空间中，可以确定一个平面的条件是（）A。

两条直线B。

一点和一条直线D.三个点2.（2020黑龙江牡丹江一中高一月考)下列命题正确的是()A。

三点确定一个平面B。

圆心和圆上两个点确定一个平面C。

如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点,则这两条直线平行，故A错误；当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面，故B错误；如果两个平面相交有一个交点，则这两个平面相交于过该点的一条直线，故C正确；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面，故D错误。

3.若平面α和平面β有三个公共点A，B，C，则平面α和平面β的位置关系为(）A。

平面α和平面β只能重合B。

平面α和平面β只能交于过A,B，C三点的一条直线C。

若点A，B，C不共线，则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A，B，C的一条直线A，B,C共线与不共线两种情况讨论.4（多选题）（2020江苏响水中学高一月考）已知A，B，C表示不同的点,l表示直线，α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是()A。

如果A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB。

如果l⊄α，A∈l，则A∉αC。

如果A∈α，A∈l，l⊄α，则l∩α=AA∈α,A∈β,B∈α，B∈β，则α∩β=ABA,由A∈l,A∈α，B∈l，B∈α,根据平面的基本事实2，可得l⊂α,所以A正确；对于B，由l⊄α，A∈l，根据直线与平面的位置关系,则A∉α或A∈α，所以B不正确;对于C，由A ∈α，A∈l，l⊄α，根据直线与平面位置关系，则l∩α=A，所以C正确;对于D，由A∈α,A∈β，B∈α，B∈β,根据平面的基本事实3，可得α∩β=AB，所以D正确.5。

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是（）A。

高数答案第11章

高数答案第11章

第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用） § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C 。

()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =（ C ）A 。

24 D 。

223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布,其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B 。

⎰++104221dt t t tC 。

⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1。

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§11.1二次曲线的几何性质 1、解（1）∵025),(22=++=ΦYXY X Y X 时 )52(:51:i Y X ±-=,同时 0411152>==I∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)52(:51i ±-（2）∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X同时0132212<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3-（3）∵02),(22=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时011112=--=I∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解（1）∵0492252522≠-==I , ∴曲线是中心曲线. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解得⎩⎨⎧=-=21y x ∴中心为)2,1(-（2）∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a aa a , ∴曲线为线心曲线。

（3）∵042212=--=I ，且231322121211a a a a a a ≠=, ∴曲线为无心曲线。

3、解（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+-=023223),(02123),(21y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(22=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1325+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x （2）由⎩⎨⎧=++==++=01),(012),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和211+=--y i x 即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i4、解（1）∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29)1,2(1=F5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(29=-+-y x 即 028109=-+y x（2）∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上；设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为03)(2)(21)(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①把)1,2(--代入切线方程得 00=x ②又因),(00y x 在曲线上，把它代入曲线方程得03400200020=+++++y x y y x x ③由②③解得切点为)1,0(),3,0(--，代入①得 切线方程为03=++y x 和01=+y5、解（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5228A ，13581=+=I , 3652282==I , 特征方程为036132=+-λλ 解得9,421==λλ, 求得21,λλ对应的特征向量 {}2,11-=ξ ,{}1,22=ξ, 所以主方向是 )2(:1:11-=Y X ， 1:2:22=Y X , 主直径是0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0)852)(2()428(=-+-+++y x y x 与 0)852()428(2=-++++y x y x , 就是052=+-y x 与02=+y x（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5445A ，10551=+=I ，954452==I 特征方程为09102=+-λλ，解得9,121==λλ，求得21,λλ对应的特征向量 {}111，-=ξ, {}112-=，ξ, 所以主方向是1:1:11-=Y X )1(:1:22-=Y X 主直径为 0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0=-y x 与 02=-+y x（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1612129A , 251691=+=I ,016121292=--=I , 特征方程为0252=-λλ，解得251=λ，02=λ, 求得21,λλ对应的特征向量是 {}4,31-=ξ, {}3,42=ξ 所以非渐近主方向是)4(:3:11-=Y X , 渐近主方向是 3:4:22=Y X , 主直径只有一条，就是 0),(4),(321=-y x F y x F , 即0743=+-y x 6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为),(00y x ，则因为),(00y x 是方程⎩⎨⎧==0),(0),(21y x F y x F 的唯一解，可设过),(00y x 的直线方程为0),(),(21=+y x F y x F μλ ① 对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向， 故①又表示与非渐近方向μλ:共轭的直径的方程。

对于双曲型曲线，当①中的μλ:为非渐近方向时，①就是与μλ:共轭的直径方程；当μλ:为渐近方向时，方程①即为渐近线，可把它看成与自己方向共轭的直径。

综上，第一结论得证。

（2）对无心二次曲线，它只有唯一的渐近方向: 12221112::':'a a a a Y X -=-=， 设任意平行于':'Y X 的直线方程为 01211=++λy a x a ②要证明②是直径，要求②有如下形式： 0),(),(21=+y x YF y x XF （':':Y X Y X ≠） 即0)()(231322121211=+++++Y a X a y Y a X a x Y a X a ③比较②，③得：122212111211a Y a X a a Y a X a +=+ λYa X a a Y a X a 2313122212+=+ ④又由④求得)(:)(:131212221223a a a a a a Y X --=λλ为使②与③相容，只须证明上面求得的':':Y X Y X ≠：假设1112131212221222:':')(:)(:a a Y X a a a a a a Y X -==--=λλ则有111123121311121111231213121222a a a a a a aa a a a a a a a λλλ-+-=-+=-从而有011231213=-a a a a 即23131211a a a a =与无心曲线的充要条件23131211a a a a≠矛盾。

所以':':Y X Y X ≠ 综上所述，对任意平行于渐近方向的直线②，当取非渐近方向)(:)(:131212221223a a a a a a Y X --=λλ时②成为直径，具有形式③。

§11.2 直角坐标变换1、 解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5525555552M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-55255555521M （1）=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''5525555552y x （2）=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 5525555552 2、解（1）已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→54,53'i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=→53,54'j 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=53545453M ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-535454531M 因而⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-=→→→5453'54'53j i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=→→→53,54'53'54j i j（2）⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=2'53'541'54'53y x y y x x 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21''53545453y x y x （3）由公式)('01X X M X -=-得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2153545453''y x y x3、解（1）解⎩⎨⎧=-+=+-07340143y x y x 得⎩⎨⎧==11y x 所以新坐标系的原点'O 的坐标为（1，1）又1l 的斜率43tan =θ，得54cos =θ，53sin =θ 所以坐标变换式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11''54535354y x y x （2）把坐标变换式代入直线方程032=+-y x 得03)1'54'53()1'53'54(2=+++-+-y x y x 即04'2'=+-y x（3）'''y x o -到xy o -的变换式为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515754535354''y x y x 代入直线03''2=+-y x 得 013211=-+y x§11.3 二次曲线的化简与分类1、利用转轴与移轴，化简下列二次曲线方程，并画出它们的图形。

()()()()22222221585181890;22410;35122212190;42220.x xy y x y x xy y x y x xy x y x xy y x y ++--+=++-+-=+---=++++=解（1）矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445A ,10551=+=I ,92==A I ,特征方程为09102=+-λλ 解之得 91=λ,12=λ.求得21,λλ相应的单位特征向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,211ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,212ξ建立旋转坐标变换式：'MX X = 其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121M 代入原方程化简得： 09'218''922=+-+x y x 配方得 09')2'(922=-+-y x作平移坐标变换 '0'X X X +='' ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''=''02''''0X y x X y x X得 09922=-''+''y x 所以，曲线的标准方程是1922=''+''y x （椭圆） 总的坐标变换式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+''+''-''=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1212112121221212121y x y x y x y x 新坐标原点就是曲线的中心（1，1）新坐标轴（两条主直径）在原坐标系的方程是2121-=-y x 和2121-=--y x即0=-y x 和02=-+y x （2）标准方程是y x ''-=''4252（3）标准方程是19422=''-''y x （4）标准方程是 22±=''y2、利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线的类型，并求化简后的标准方程。

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