高三数学专项练习05、06(等差等比数列及数列的通项与求和)

合集下载

高考数学二轮总复习1.2.1等差数列、等比数列通项与求和专题限时训练文

1.2.1 等差数列、等比数列通项与乞降专题限时训练( 小题加速练 )( 建议用时： 45 分钟)一、选择题1．等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝2，S 3＝12，则 a 6 等于( )A ．8 B.10 C.12D.14分析：由题意知 a 1＝2，由 S 3＝3a 1＋ 3×2 2 ×d ＝12，解得 d ＝2，所以 a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12. 应选 C. 答案： C2．等差数列 { a n } 的公差为 2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则数列 { a n }的前 n 项和 S n ＝( )A ．n ( n ＋1)B.n ( n －1) n n ＋1C.2n n －1 D.2分析： ∵a 2，a 4，a 8 成等比数列，2∴a 4＝a 2·a 8，即( a 1＋3d )2＝( a 1＋d )( a 1＋7d ) ，将 d ＝2 代入上式，解得 a 1＝2.1＋d )( a 1＋7d ) ，将 d ＝2 代入上式，解得 a 1＝2.∴S n ＝2n ＋n n －1 ·2 2＝n ( n ＋1) ．应选 A.答案： A3．在等差数列 { a n } 中，已知 a 4＋a 8＝16，则该数列前 11 项和 S 11 等于( )A ．58 B.88 C.143D.17611 a 1＋a 11 分析： S 11＝ 2 ＝11 a 4＋a 8 2＝88. 应选 B. 答案： B4．在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a m ＋1·a m －1＝2a m ( m ≥2) ，数列{ a n }的前 n 项积为 T n ，若 T 2m －1＝512，则 m 的值为 ()A ．4 B.5 C ．6D.72分析：由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a m ＝2a m ( m ≥2) ，所以 a m ＝2( m ≥2) ，即 a n ＝2，即数列{ a n } 为常数列，所以 T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即 2m －1＝9，所以 m ＝5. 应选 B.答案： B5．已知 { a n } 为等比数列， a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则 a 1＋a 10＝()A．7 B.51C．－5 D.－7 分析：∵{ a n} 是等比数列，∴a5a6＝a4a7 ＝－8，联立a4＋a7＝2，a4a7＝－8，可解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－3＝－1 a4，故a1＋a10＝3＋a7q3＝－7；2 q当a4＝－2，a7＝43时，q ＝－2，同理有a1＋a10＝－7.答案：Da2－a16．已知－2，a1，a2 ，－8 成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8 成等比数列，则等于( )b214 A.12 B.C．－121D. 或－212分析：∵－2，a1，a2，－8 成等差数列，－8－－2∴a2－a1＝3＝－2.又∵－2，b1，b2，b3，－8 成等比数列，2∴b2＝( －2) ×( －8) ＝16，解得b2＝±4.2又b1＝－2b2，∴b2＝－4，∴a2－a1＝b2－2－4＝12. 应选B.答案：B7．设各项都是正数的等比数列{ a n} ，S n 为前n 项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40 等于( ) A．150 B.－200C．150 或－200 D.400 或－50分析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，所以有( S20－S10) 2＝S10( S3010( S3－S20)，即( S20－10) 2＝10(70 －S20) ，故S20＝－20 或S20＝30.20) ，故S20＝－20 或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150. 应选 A.答案：A18．各项都是正数的等比数列{ a n} 中，3a1，a3,2a2 成等差数列，则2 a10＋a12＋a15＋a19＋a20＋a23 a8＋a10＋a13＋a17＋a18＋a21＝( )2A．1 B.3C.6D.9分析：依题意可知，a3＝3a1＋2a2，即a1q 1＋2a1q，即q2＝3a 2－2q－3＝0，解得q＝3 或q＝－1，因为{ a n} 为正项等比数列，所以q＝3.a10＋a12＋a15＋a19＋a20＋a23则a8＋a10＋a13＋a17＋a18＋a212 aq 8＋a10＋a13＋a17＋a18＋a21＝a8＋a10＋a13＋a17＋a18＋a21＝9. 应选D.答案：DS12 9．在等差数列{ a n} 中，a1＝－2 015，其前n项和为S n，若－12 S10＝2，则S2 016 的值等于( ) 10A．－2 015 B.2 015 C．2 016 D.0分析：设数列{ a n} 的公差为d.S12＝12a1＋12×11 10×9d，S10＝10a1＋2 2d，所以S12＝1212×1112a1＋1＋212d11＝a1＋d.2S10 9＝a1 ＋d，所以10 2 S12－12S10＝d＝2，10所以S2 016 ＝2 016×a1＋2 015×2 0162d＝0. 应选 D.答案：D2－19nn10．已知数列a n 的前n 项和为S n，且S n＋1＋S n＝( n∈N 10＜a11，则S n 取最小值*) ，若a2时n 的值为( )A．10 B.9C.11D.12n2－19n分析：∵S n＋1＋S n＝①，2由等差数列前n 项和的性质，知数列{ a n} 为单一递加的等差数列，将n 换为n＋1 得，S n＋2＋S n＋1＝n＋1 2 －19 n＋ 12②，②－①得，a n＋2＋a n＋1＝n－9，当n＝9 时，a11＋a10＝0，又a10＜a11，3∴a11＞0，a10＜0，∴n＝10 时，S n 取最小值．应选 A.答案：A11．假如x＝[ x] ＋{ x}，[ x] ∈Z, 0≤{x} ＜1，就称[ x] 表示x 的整数部分，{ x} 表示x 的小数部分．已知数列{ a n} 知足a1＝5，a n＋1＝[ a n] ＋2{ a n}，则a2 019－a2 018 等于( )A．2019－ 5 B.2 018 ＋ 5 C．6＋ 5 D.6－ 5分析：a1＝5，a n＋1＝[ a n] ＋2，{ a n}∴a2＝2＋2＝6＋2 5，5－2a3＝10＋2＝12＋5，2 5－4a4＝14＋2＝18＋2 5，5－2a5＝22＋2＝24＋5，⋯⋯.2 5－4∴a2 018 ＝6×2 017＋2 5，a2 019 ＝6×2 018＋ 5. 则a2 019 －a2 018＝6－ 5. 应选 D.答案：D12．数列{ a n} 知足a n＋1＝ 2 sin nπ2－1 a n＋2n，n∈N n} 的前100 项和为( ) *，则数列{ a*，则数列{ aA．5 050 B.5 100C．9 800 D.9 850分析：设k∈N*.当n＝2k 时，a2k＋1＝－a2k＋4k，即a2k＋1＋a2 k＝4k，①当n＝2k－1 时，a2k＝a2k－1＋4k－2，②联立①②可得，a2k＋1＋a2k－1＝2，所以数列{ a n} 的前100 项和S n＝a1＋a2＋a3＋a4＋⋯＋a99＋a100＝( a1＋a3＋⋯＋a99) ＋( a2＋a4＋⋯＋a100)＝( a1＋a3＋⋯＋a99) ＋[( －a3＋4) ＋( －a5＋4×2) ＋( －a7＋4×3) ＋⋯＋( －a101＋4×50)] ＝25×2＋[ －( a3＋a5＋⋯＋a101) ＋4×(1 ＋2＋3＋⋯＋50)]＝25×2－25×2＋4×50 1＋5024＝5 100. 应选 B. 答案： B 二、填空题2*，n ≥2) ，则 S 13．各项均不为零的等差数列 { a n } 中， a 1＝2，若 a n －a n －1－a n ＋1＝0( n ∈N2019＝________.22*，n ≥2) ，即 a分析：因为 a n －a n －1－a n ＋1＝0( n ∈N n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2. 又 a 1＝2，∴a n＝2，n ∈N 2019＝4 038.* ，故 S 答案： 4 03814．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N 1＝________，S 5＝________.*，则a 分析： ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，1∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n＝3 S n ＋＋1＋21 2 ， 1 2∴数列 S n ＋是公比为 3 的等比数列， 1 S 2＋2∴ ＝3. 又 S 2＝4，∴S 1＝1，∴ a 1＝1， 1S 1＋21 1 ∴S 5＋＝ S 1＋2 2 ×3 3 2434＝ 4 ＝×3 ， 2 2 ∴S 5＝121. 答案： 1 12115．数列 {a n } 是首项 a 1＝4 的等比数列，且 4a 1，a 5，－ 2a 3 成等差数列，则 a 2 017＝ .分析：设公比为 q ，则 a 5＝a 1q 3＝a 1 q4，a 2. 又 4a 1，a 5，－ 2a 3 成等差数列，4 2 ∴2a 5＝4a 1－2a 3，即 2a 1q ＝4a 1－2a 1q，∴q4＋q 2－2＝0，解得 q2＝1 或 q 2＝－2( 舍去) ，∴ q ＝±1.∴a2 017 ＝4·( ±1) 2 017 －1＝4. 答案：416．设等差数列{ a n} ，{ b n} 的前n 项和分别为S n，T n，若对随意自然数n 都有S n＝T n2n－34n－3，则a9＋b5＋b7a3的值为. b8＋b4分析：∵{ a n} ，{ b n} 为等差数列，∴a9 a3 a9＋＝＋b5＋b7 b8＋b4 2b6a3＝2b6a9 ＋a3＝2b6a6.b65S11 a1＋a11 2a62×11－3 ∵＝＝＝＝T11 b1＋b11 2b6 4×11－3 1941，∴a619＝.b6 41答案：1941专题限时训练( 大题规范练)( 建议用时：60 分钟)*1．已知等比数列{ a n} 的前n 项和为S n，a1＝2，a n＞0( n∈N)，S6＋a6 是S4＋a4，S5＋a5 的等差中项．(1) 求数列{ a n} 的通项公式；(2) 设b n＝log 12a2n－1，数列2b n b n＋1的前n 项和为T n，求T n.分析：(1) ∵S6＋a6 是S4＋a4，S5＋a5 的等差中项，∴2( S6＋a6) ＝S4＋a4＋S5＋a5，化简得4a6＝a4. ∵a1＝2，{ a n} 是等比数列，设公比为q.则q2＝2＝a6＝a41.4*∵a n＞0( n∈N ) ，∴q＞0，∴q＝1 2 ，∴数列{ a n} 的通项公式a n＝2×12n－1＝12n－2.(2) 由b n＝log 12a2n－1＝log12122n－3＝2n－3，∴数列{ b n} 的通项公式b n＝2n－3.那么2＝b n b n＋122n－3 2n－11＝－2n－31.2n－1数列2b n b n＋1的前n 项和为T n＝( －1－1) ＋1－13＋1 1－3 5＋⋯＋1－2n－ 312n－ 1＝－1－1＝－2n－ 12n. 2n－12．已知数列{ a n} 的前n 项和为S n，且S n＝4a n －3( n∈N* ) ．(1) 证明：数列{ a n} 是等比数列；(2) 若数列{ b n} 知足b n＋1＝a n＋b n( n∈N 1＝2，求数列{ b n} 的通项公式．*) ，且b分析：(1) 证明：依题意S n＝4a n－3( n∈N*) ，n＝1 时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为S n＝4a n－3，则S n－1＝4a n－1－3( n≥2) ，所以当n≥2时，a n＝S n －S n－1 ＝4a n－4a n－1，整理得a n＝43a n－1.6又a1＝1≠0，所以{ a n} 是首项为1，公比为43的等比数列．(2) 因为a n＝43n－1，由b n＋1 ＝a n＋b n( n∈Nn＋1 ＝a n＋b n( n∈N*) ，得b n＋1－b n＝43n－1.可得b n＝b1＋( b2－b1) ＋( b3－b2 )＋⋯＋( b n－b n－1) ＝2＋43n－11－＝3·41－343n－1－1( n≥2) ．当n＝1 时也知足．所以数列{ b n} 的通项公式为b n＝3·43n－1－1.a n3．已知数列{ a n} 知足：a1＝1，na n ＋1.＋1＝2( n＋1) a n＋n(n＋1)( n∈N n＝* ) ，若 bn(1) 证明数列{ b n} 为等比数列；(2) 求数列{ a n} 的通项公式a n 及其前n 项和S n.分析：(1) 证明：na n＋1＝2( n＋1) a n＋n( n＋1) ? a n＋ 1＝n＋12a nn＋1，得a n＋1＋1＝n＋12a nn＋2＝2a n＋1 ，n即b n＋1＝2b n，又b1＝2，所以数列{ b n} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列．n (2) 由(1) 知b n＝2? a nn＋1＝2 ? a n＝n(2nn－1) ，∴S n＝1×(2 －1) ＋2×(2 2－1) ＋3×(2 3－1) ＋⋯＋n(2 n －1) ＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n·2n－(1 ＋2＋3＋⋯＋n)＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n·2n－n n＋12.令T n＝1×2＋2×22＋3×23＋⋯＋n·2n ，则2T n＝1×22＋2×23＋3×24＋⋯＋n·2n＋1，两式相减，得－T n＝2＋2 －n·2 2＋23＋⋯＋22＋23＋⋯＋2n n＋1＝n2 1－21－2－n·2n＋1 ，∴T n＝2(1 －2n) ＋n·2n) ＋n·2n＋1＝( n－1) ·2n＋1＋2，∴S n＝( n－1) ·2n＋1＋2－n n＋12.1 4．若数列{ a n} 的前n 项和为S n，点( a n，S n) 在y＝－6 13*) ．x 的图象上( n∈N(1) 求数列{ a n} 的通项公式；7(2) 若c1＝0，且对随意正整数n 都有c n＋1－c n＝log 12a n，求证：对随意正整数n≥2，总有13≤1c2＋1 1＋＋⋯＋c3 c41 3＜.c n 4分析：(1) ∵S n＝1 1－a n ，6 3∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－1＝13a n－1－－1－13a n ，1 1 1∴a n＝a1，a n－1. 又∵S1＝－4 6 31∴a1＝8，18 ∴a n＝14n－1＝122n＋1.(2) 证明：由c n＋1－c n＝log 12a n＝2n＋1，适当n≥2时，c n＝c1＋( c2－c1) ＋( c3－c2) ＋⋯＋( c n －c n－1) ＝0＋3＋5＋⋯＋(2 n－1) ＝n2－1＝( n＋1)( n－1) ．∴1 1 1＋＋＋⋯＋c2 c3 c41＝c n1＋22－12－11 1＋＋⋯＋3 42－1 2－12－1 2－11n2－12－11 1×1－＝2 3 ＋1 1－2 4＋1 1－3 5＋⋯＋1－n－11 n＋112＝1＋12－1＋n1n＋13 ＝－4 121n＋1n＋134＜.又∵1＋c21＋c31＋⋯＋c41 1 1≥＝，c n c2 31 ∴≤3 1＋1＋1＋⋯＋1＜3.高考数学二轮总复习1.2.1等差数列、等比数列通项与乞降专题限时训练文c2c3c4c n 4821 / 21。

高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训5 数列的通项与求和

专题限时集训(五) 数列的通项与求和建议A 、B 组各用时：45分钟]A 组高考达标]一、选择题1．(2016·石家庄二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2n ＋1B.2nC.2n －1D.2n －2A 由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.]2．数列{a n }满足a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a 5＝( ) A.15 B.16 C.5D.6A 因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a n a n －1＝n －1n ，所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1，即a 5＝45×34×23×12×1＝15.故选A.] 3.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2)C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2C ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.]4．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011 B.－2 012 C.2 014D.－2 013C 等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，选C.]5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014等于( )A.4 0282 015B.4 0242 013C.4 0182 012D.2 0102 011A 令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，因此1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 014－12 015＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 015＝4 0282 015.故选A.] 二、填空题6．(2016·西安模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＝4S n －3，则S 4＝__________.【导学号：85952025】2027∵a n ＝4S n －3，∴当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1，当n ≥2时，∵4S n ＝a n ＋3，∴4S n －1＝a n －1＋3，∴4a n ＝a n －a n －1，∴a n a n －1＝－13，∴{a n }是以1为首项，－13为公比的等比数列，∴S 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1341＋13＝8081×34＝2027.] 7．(2016·广州二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N * 由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2，n ∈N *)．又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得a 2＝12，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n >1，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *.]三、解答题9．(2016·郑州模拟)已知等差数列{a n }中a 2＝5，前4项和S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝5，S 4＝4a 1＋4×32×d ＝28，2分∴⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，4分 ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝4n －3(n ∈N *).6分 (2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n (4n －3)，8分T 2n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(8n －3)＝4×n ＝4n (n ∈N *).12分 10．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .解] (1)因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②2分 ①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2).4分在①中，令n ＝1，得a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n (n ∈N *).6分 (2)由(1)知a n ＝13n ，故b n ＝na n＝n ×3n .则S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③ 3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④8分 ③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋34＋ (3)－n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1，11分所以S n ＝34＋(2n －1)×3n ＋14(n ∈N *).12分B 组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911 B.1011 C.811D.1211B y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列， ∴a n ＝n ，∴b n ＝1n (n ＋1)，∴T 10＝1－111＝1011，故选B.]2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445 B.765 C.1 080D.3 105B ∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列，∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.令a n ≤0，得n ≤21，∴前20项都为负值．∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30＝－2S 20＋S 30. ∵S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765，故选B.]3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n (n ＋1)C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3B 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1).故选B.]4．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里 B.96里 C.48里D.24里B 由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]二、填空题5．(2016·山西四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝__________.【导学号：85952026】3×21 008－3 ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①， ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×(1－21 008)1－2＝3×21 008－3.]6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝__________，S 5＝__________.1 121 ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.] 三、解答题7．(2016·太原二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解] (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，1分当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，4分∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，a n ＝2n －2(n ∈N *).6分 (2)∵b n ＝log 2a 2n ＋1×log 2a 2n ＋3＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2 ＝(2n －1)(2n ＋1)，8分∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，10分 ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分 8．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解] (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，2分即c n ＋1－c n ＝2.3分又c1＝a1b1＝1，所以数列{c n}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故c n＝2n－1.5分(2)由b n＝3n－1知a n＝c n b n＝(2n－1)3n－1，7分于是数列{a n}的前n项和S n＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，8分3S n＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，9分相减得－2S n＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分所以S n＝(n－1)3n＋1.12分。

高三数学数列专题复习：等差数列等比数列数列通项的求法数列求和

高考数学等差等比数列,数列通项,数列求和,数列综合应用专项突破精选习题集汇编及详解答案（七大部分）第一部分数列的概念与数列的简单表示一、选择题1．(2010年北京卷)已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－212．(2010年江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n3．若数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝(n ＋1)2n 2 D ．a n ＝n 2(n －1)24．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．195．(2009年柳州模拟)已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 8C ．a 8，a 9D ．a 9，a 50 二、填空题6．(2009年培正中学月考)若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项．7．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是___________________________．8．(2010年四川卷)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝32a n －3，求这个数列的通项公式．10．(2010年福建卷)已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.参考答案1．解析：由已知a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24， a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：C2．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12，…， a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎫21⎝⎛⎫32⎝⎛⎭⎫43…⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1＝2＋ln n .答案：A3．解析：由a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2得，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2，两式相除得a n ＝n 2(n －1)2.答案：D4．解析：由a n ＋1＝a n ＋2＋a n ⇒a n ＋2＝a n ＋1－a n ， ∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－5， a 6＝a 5－a 4＝－3. 答案：A5．解析：a n ＝n －79n －80＝1＋80－79n －80.当n ＝8,9时，|n －80|最小．故选择C. 答案：C6．解析：数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，数列为等差数列，数列的通项公式为a n＝S n －S n －1＝2n －11，数列{}na n 的通项公式为na n ＝2n 2－11n ，其中数值最小的项应是最靠近对称轴n ＝114的项，即n ＝3，第3项是数列{}na n 中数值最小的项．答案：a n ＝2n －11 3 7．a n ＝n ＋23n ＋28．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1， a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1， a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1.将以上各式相加得：a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1 ＝(n －1)[(n －1)＋1]2＋n ＋1＝(n －1)n 2＋n ＋1＝n (n ＋1)2＋1；答案：n (n ＋1)2＋19．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －3－32a n －1＋3.∴a na n －1＝3.依定义知数列{}a n 是以3为公比，6为首项的等比数列，∴a n ＝6×3n －1＝2×3n (n ∈N ＋)．10．解析：法一：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知：a n ＝n 从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2 ＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2－2n ＋1－1) ＝－5·2n ＋4·2n ＝－2n ＜0，所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1. 法二：(1)同法一． (2)证明：因为b 2＝1，b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(b n ＋1－2n )(b n ＋1＋2n ＋1)－b 2n ＋1＝2n ＋1·b n －1－2n ·b n ＋1－2n ·2n ＋1 ＝2n (b n ＋1－2n ＋1) ＝2n (b n ＋2n －2n ＋1) ＝2n (b n －2n ) ＝… ＝2n (b 1－2) ＝－2n <0，所以b n －b n ＋2<b 2n ＋1.第二部分等差数列一、选择题1．(2009年辽宁卷)已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0.则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2 2．(2009年福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d ＝( ) A ．1 B.53C ．－2D ．33．(2009年四川卷)等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1904．(2009年安徽卷)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．185．(2008年韶关调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题6．(2009年陕西卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________. 7．(2009年山东卷)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.8．(2009年宁夏海南)等差数列{a n }前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.三、解答题9．(2009年全国卷)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }前n 项和S n .10．已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，(1)设f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .参考答案1．解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝2d ＝－1⇒d ＝－12.答案：B2．解析：S 3＝6⇒3a 2＝6⇒a 2＝2，∴d ＝a 2－a 1＝－2.选C. 答案：C3．解析：设公差为d ，则(1＋d )2＝1·(1＋4d )．∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100. 答案：B4．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1＜0得n ＝20，选B.答案：B 5．A6．解析：由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，得a n ＝2n . 答案：2n7．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝13. 答案：138．解析：由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得：2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝0或a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38知a m ≠0.∴m ＝10. 答案：109．解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．10．解析：(1)证明：∵f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． (2)∵b n ＝|3n －8|，当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5. S n ＝n (5＋8－3n )2＝13n －3n 22.当n ≥3时，b n ＝3n －8， S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.第三部分等比数列一、选择题1．(2009年辽宁卷)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73C.83D ．3 2．(2009年广东卷)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)23．(2009年湖北卷)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列4．(2008年全国卷Ⅰ)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．2435．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、填空题6．(2009年宁夏海南)等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7．(2009年江苏卷)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,81}中则6q ＝________.8．(2009年浙江卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．三、解答题9．(2009年福建卷)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .10．(2009年辽宁卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n ，参考答案1．解析：设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n ，a n ＞0，则a n ＝2n ，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C3．解析：可分别求得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5＋12＝5－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12＝1，则三数成等比数列．答案：B4．解析：由a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1(1＋q )＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝26＝64. 答案：A5．解析：∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3 ＝a 2(1＋q ＋1q )＝1＋q ＋1q.∴当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q ＝3(当且仅当q ＝1q即q ＝1时取“＝”)；当公比q <0时， S 3＝1－(－q －1q)≤1－2－q ·(－1q)＝－1，(当且仅当－q ＝－1q 即q ＝－1时取等号)．∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D6．解析：由a n ＋2＋a n －1＝6a n 得：q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得：q ＝2，又a 2＝1， ∴a 1＝12，S 4＝12(1－24)1－2＝152.答案：1527．解析：{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－32，6q ＝－9.答案：－98．解析：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 89．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和 S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .10．解析：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4. 故S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .第四部分数列通项的求法一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n －1(a 为不为零的实数)，则此数列( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )，则数列{}a n 的通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n3．(2009年巴蜀联考)如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100＝( )A ．2100B ．299C ．25050D ．249504．(2009年长沙月考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2009＝( )A ．2B ．－13C ．－32D ．15．(2009年抚州一中模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2008＝－a ，S 2008＝2b －aB ．a 2008＝－b ，S 2008＝2b －aC ．a 2008＝－b ，S 2008＝b －aD ．a 2008＝－a ，S 2008＝b －a 二、填空题6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n ，则a n ＝________.8．(2009年朝阳一模)设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________________.三、解答题9．设曲线y ＝x 2＋x ＋1－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }中，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在切线l 上． (1)求证：数列{1＋a n }是等比数列，并求a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .10．(2009年陕西)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N .(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列： (2)求{a n }的通项公式．参考答案1．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(a n －1)－(a n －1－1)＝a n －1(a －1)．①当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }的通项公式a n ＝0，是等差数列，但不是等比数列；②当a ≠1时，∵a ≠0，数列{a n }的通项公式a n ＝(a －1)·a n －1，是等比数列，但不是等差数列，选C. 答案：C2．解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒(n ＋1)a n ＝na n ＋1⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，…，a n a n ＋1＝nn －1(n ≥2) 相乘得：a na 1＝n ，又a 1＝1，∴a n ＝n .选D.答案：D3．解析：由题设知：a 1＝1，a na n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，相乘得： a n a 1＝21·22·23…2n －1＝2n (n －1)2，a n ＝2n (n －1)2，a 100＝24950. 答案：D4．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝－11＋a n ⇒a 2＝－11＋2＝－13a 3＝－11－13＝－32，a 4＝－11－32＝2，a 5＝－13，a 6＝－32，…故数列{a n }具有周期性，a 3n －2＝2，a 3n －1＝－13，a 3n ＝－32.∵2009＝3×669＋2，∴a 2009＝a 2＝－13.答案：B5．解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)⇒a 3＝a 2－a 1＝b －a ， a 4＝a 3－a 2＝b －a －b ＝－a ， a 5＝a 4－a 3＝－a －(b －a )＝－b ， a 6＝a 5－a 4＝－b －(－a )＝a －b a 7＝a 6－a 5＝a －b －(－b )＝a . 故数列具有周期性，a 6n ＋1＝a 1，a 6n ＋2＝a 2，a 6n ＋3＝b －a ，a 6n ＋4＝－a ，a 6n ＋5＝－b ，a 6n ＝a －b . 且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0.∵2008＝6×334＋4. ∴a 2008＝a 4＝－a ，S 2008＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2b －a .故选A. 答案：A6．解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n ⇒1a n ＋1＝1a n ＋3，又a 1＝1，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝13n －2. 答案：13n －27．解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n⇒a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12，又a 1＝1∴a n 2n ＝12＋(n －1)·12＝n2，a n ＝n ·2n －1. 答案：n ·2n －18．解析：a 1＝f (0)＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)＝n 2·a n当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2·a n －1两式相减得： a n ＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1⇒a na n －1＝n －1n ＋1.∴a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，a 4a 3＝35，…，a n a n －1＝n －1n ＋1，相乘得：a n a 1＝1×2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1).答案：1n (n ＋1)9．解析：(1)由y ＝x 2＋x ＋1－ln x ，知x ＝1时，y ＝3. 又y ′|x ＝1＝2x ＋1－1x|x ＝1＝2，∴切线l 的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. ∵点(a n ，a n ＋1)在切线l 上， ∴a n ＋1＝2a n ＋1,1＋a n ＋1＝2(1＋a n )．又a 1＝1，∴数列{1＋a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴1＋a n ＝2·2n －1，即a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2n ＋1－2－n . 10．解析：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项；－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2 ＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1＝1＝a 1，所以a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1()n ∈N *.第五部分数列的求和一、选择题1．数列{}a n 中，a 1＝－60，且a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列的前30项的绝对值之和为( ) A ．495 B ．765 C ．3105 D ．120 2．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －1＋2n－1的结果是( )A ．2n －2n ＋1B ．2n ＋1－n ＋2C ．2n ＋n －2D ．2n ＋1－n －23．在项数为2n ＋1且中间项不为零的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为( ) A.n ＋1n B.n ＋12nC.2n ＋1n D ．14．数列{}a n 的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．1215．设S n 和T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，若对任意n ∈N ，都有S n T n ＝7n ＋14n ＋27，则数列{a n }的第11项与数列{b n }的第11项的比是( )A ．4∶3B ．3∶2C ．7∶4D ．78∶71 二、填空题6．对于每个正整数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于两点a n 、B n ，则||a 1B 1＋||A 2B 2＋…＋||A 2010B 2010的值为______．7．(2010年汕头测试)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为________颗；第n 件工艺品所用的宝石数为________颗(结果用n 表示)．8．(2010年广州一模)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9，则a 1的值为：________；k 的值为：________.三、解答题9．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ＝1,2,3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜72.10．(2010年广东卷)已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n ＞0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝ S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列{1b n b n ＋1}前n 项和为T n ，问T n ＞10002009的最小正整数n 是多少？参考答案1．解析：数列{a n }是首项a 1＝－60，公差d ＝3的等差数列， ∴a n ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63.当a n ≤0时，3n －63≤0⇒1≤n ≤21；当n ≥22时，a n ＞0. ∴前30项的绝对值之和S 30＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 21|＋|a 22|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋…＋a 30＝630＋135＝765. 答案：B2．解析：由S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋1×2n －1 ⇒2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋1×2n相式相减得：S n ＝2＋22＋…＋2n －1＋2n －n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －2.选D.答案：D3．解析：奇数项之和S 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)2×(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1，偶数项之和S 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝(a 2＋a 2n )2×n ＝na n ＋1∵中间项不为零，∴a n ＋1≠0即S 1S 2＝n ＋1n .选A.答案：A 4．解析：由a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 得：a 1＝2－1，a 2＝3－2，…，a n ＝n ＋1－n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋1－1令n ＋1－1＝10⇒n ＝120.选C.答案：C5．解析：因为a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)＝S 2n －1T 2n －1，所以a 11b 11＝S 2×11－1T 2×11－1＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选A.答案：A6．解析：令y ＝0⇒(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0⇒ (nx －1)[(n ＋1)x －1]＝0解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1，∴|A n B n |＝|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2010B 2010|＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12010－12011 ＝1－12011＝20102011.答案：201020117．解析：设第n 件工艺品所用的宝石数为a n ，则 a 1＝4×(1＋2)－3×2＝6，a 2＝4×(1＋2＋3)－3×3＝15， a 3＝4×(1＋2＋3＋4)－3×4＝28， a 4＝4×(1＋2＋3＋4＋5)－3×5＝45，a 5＝4×(1＋2＋3＋4＋5＋6)－3×6＝66.依此规律， a n ＝4×[1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)]－3×(n ＋1) ＝4×(n ＋2)(n ＋1)2－3(n ＋1)＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：66 2n 2＋3n ＋18．解析：令n ＝1，得a 1＝S 1＝23a 1－13⇒a 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.∴S n ＝23(S n －S n －1)－13⇒S n ＝－2S n －1－1，∴S n ＋13＝－2⎝⎛⎭⎫S n －1＋13. ∴S n ＋13＝－23×(－2)n －1，∴S n ＝－13－23×(－2)n －1＝13[(－2)n －1]由1＜S k ＜9⇒1＜13[(－2)k －1]＜9⇒3＜(－2)k －1＜27，∴k ＝4. 答案：－1 49．解析：(1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29. 当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13.所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .当n ＝1时，b 1＝23也适合上式，∴b n ＝2·13n (n ∈N *)(2)证明：数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，a 1＝2，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n .∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋532＋833＋…＋3n －13n ，13T n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫232＋533＋…＋3n －43n ＋3n －13n ＋1， ∴23T n ＝2⎣⎡3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·⎦⎥⎤13n ＋1. 从而T n ＝72－72·13n －n 3n －1＜72.10．解析：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ， a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227. 又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1；又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)； ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1)(S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)又b n ＞0，S n ＞0，∴ S n －S n －1＝1；数列{S n }构成一个首项为1公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又∵当n ＝1时，b 1＝1满足上式． ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)；(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 由T n ＝n2n ＋1＞10002009得n ＞10009，∴满足T n ＞10002009的最小正整数为112.第六部分数列的综合应用一、选择题1．(2010年夏门模拟)在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35 D ．702．(2010年湖北八校联考)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2009，S 20072007－S 20052005＝2，则S 2009的值为( )A ．－2006B ．2006C ．－2009D ．20093．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.31724．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n<12；2a n－1， 12≤a n<1.若a 1＝67，则a 20的值为( )A.67B.57C.37D.175．(2010年昆明模拟)已知等比数列{}a n 的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A ．S 4a 5＝S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4 C ．S 4a 5<S 5a 4 D ．以上都不正确二、填空题6．(2010年江西师大附中)设等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋a ，等差数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2－2n ＋b ，则a ＋b ＝________.7．(2010年烟台质检)已知实数数列{a n }中，a 1＝1，a 6＝32，a n ＋2＝a 2n ＋1a n，把数列{a n }的各项排成如下图的三角形形状．记A (m ，n )为第m 行从左起第n 个数，则A (12,5)＝______.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … …(2)(理)若A (m ，n )·A (n ，m )＝250，则m ＋n ＝________.8．(2010年南通调研)如下图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中Oa 1＝a 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记Oa 1，OA 2，…，Oa n ，…的长度构成数列{}a n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.三、解答题9．(2010年安徽卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n ， (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .10．(2009年天津卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)． (1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．参考答案1．解析：∵S 7＝21，∴a 1＋a 72×7＝21，即a 1＋5＝6，∴a 1＝1又a 7＝5，∴公差d ＝a 7－a 17－1＝23.∴S 10＝10×a 1＋10×92×23＝40.答案：B2．解析：∵S n ＝a 1＋a n 2×n ，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又由S 20072007－S 20052005＝2⇒a 1＋a 20072－a 1＋a 20052＝2⇒a 2007－a 2005＝4，∴公差d ＝2.∴S 2009＝2009a 1＋2008×20072×2＝2009×(a 1＋2007)＝－2009.故选C.答案：C3．解析：由题意四个根为14，14＋16，14＋26，34.则a ＝14×34＝316，b ＝512×712＝35144.答案：D4．解析：∵a 1＝67＞12，∴a 2＝2a 1－1＝57＞12，a 3＝2a 2－1＝37＜1，a 4＝2a 3＝67，故数列{a n }满足a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3k ＋1且a m ＝a m ＋3. 又20＝3×6＋2，∴a 20＝a 2＝57.选B.答案：B5．解析：当n ≥2时，S n ·a n ＋1－S n ＋1·a n ＝S n (S n ＋1－S n )－S n ＋1·(S n －S n －1)＝－S 2n ＋S n ＋1·S n －1 ∵S n ＋1＝a 1(1－q n ＋1)1－q ，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n －1＝a 1(1－q n －1)1－q∴S n ＋1·S n －1－S 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2[(1－q n ＋1)(1－q n －1)－(1－q n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2()2q n －q n ＋1－q n －1＝－qn －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2(1－q )2 当n 是奇数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＜0；当n 是偶数时，S n ＋1·S n －1－S 2n ＞0. ∴S 4·a 5－S 5·a 4＞0.选B. 答案：B6．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋a －(2n －1＋a )＝2n －1，又a 1＝S 1，∴1＝21＋a ⇒a ＝－1；又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n 2－2n ＋b －(n －1)2＋2(n －1)－b ＝2n －3，由b 1＝T 1⇒－1＝1－2＋b ⇒b ＝0.∴a ＋b ＝－1. 答案：－17．解析：由a n ＋2＝a 2n ＋1a n ⇒a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n，知数列{a n }是等比数列，又a 1＝1，a 6＝32，设公比为q ，则32＝q 5⇒q ＝2.∴a n ＝2n －1，由图示规律，第11行最右边的数为a 121， ∴A (12,5)＝a 126＝2125.(2)(理)一般地，A (m ，n )是数列{a n }中的第(m －1)2＋n 项．由A (m ，n )·A (n ，m )＝250⇒m 2－2m ＋n ＋n 2－2n ＋m ＝50⇒m 2－m ＋n 2－n －50＝0，Δ＝1－4(n 2－n －50)＝202－(2n －1)2，当(2n －1)2＝81或121时，Δ为完全平方数．解得n ＝5或6，m ＝6或5.∴m ＋n ＝11. 答案：2125 118．解析：依题意a 2m －a 2n －1＝1，a 1＝1，∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n ，a n ＝n . 答案：n9．解析：(1)a 1＝s 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， ∴a n ＝4n (n ∈N *)．又当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝2－b n －(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，数列{b n }是首项1，公比为12的等比数列，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)由(1)知c n ＝a 2n ·b n ＝16n 2·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴C n ＋1C n ＝16(n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12(n ＋1)－116n 2·⎝⎛⎭⎫12n －1＝(n ＋1)22n 2. 由C n ＋1C n ＜1得(n ＋1)22n2＜1即n 2－2n －1＞0，∴n ＞1＋2即n ≥3. 又n ≥3时(n ＋1)22n 2＜1成立，即C n ＋1C n ＜1，又C n ＞0，因此，当且令当n ≥3时，C n ＋1＜C n .10．解析：(1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得 a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝q ， …a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)．将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时， a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ，q ≠1，n ，q ＝1.上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1. 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得 q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去)，于是q ＝－32. 另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．第七部分数列测试—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．题目要求的)1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( )A ．非负整数B ．N *的子集C ．N *D ．N *或{1,2,3，…，n }2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －6＝0上，则a 3－a 5＋a 7的值为( )A ．27B ．6C ．81D ．93．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n (n －1)，则该数列是( )A ．公比为2的等比数列B ．公比为12的等比数列C ．公差为2的等差数列D ．公差为4的等差数列5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟6．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－c ，则“c ＝1”是“数列{a n }为等比数列”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 010＝( )A ．－2B ．－13C ．－12D ．39．在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋22n －7(n ∈N *)，{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x＋y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．在等差数列{a n }中，a 11a 10＜－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则下列各数中是S n 的最小正数的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 2012．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．13413．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 14．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.15．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n }为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．16．已知S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，则下列四个命题：①d ＜0；②S 11＞0；③S 12＜0；④S 13＞0中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a n ∈N *，前n 项和S n ＝18(a a ＋2)2.(1)求证：{a n }是等差数列；(2)若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．19.(本小题满分12分)某市2008年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市流感病毒新感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8 670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求这一天的新感染人数．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }、{B n }、{C n }，其中A n (n ，a n )、B n (n ，b n )、C n (n －1,0)满足：向量A n A n ＋1与共线，且点列{B n }在方向向量为(1,6)的直线上，a 1＝a ，b 1＝－a .(1)试用a 与n 表示a n (n ≥2)；(2)若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围． 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围．答案：一、选择题 1．D2．A 由题意得a n －a n －1－6＝0，即a n －a n －1＝6，得数列{a n }是等差数列，且首项a 1＝3，公差d ＝6，而a 3－a 5＋a 7＝a 7－2d ＝a 5＝a 1＋4d ＝3＋4×6＝27.3．C 由S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )． ∵d ≠0，∴d ＝2a 1. ∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3. 4．D 由条件可得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)＝4(n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，代入适合，故a n ＝4(n －1)，故数列{a n }表示公差为4的等差数列．5．C 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15，故选C.6．C 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －c ，且c ＝1，则a n ＝2×3n －1(n ≥1)，从而可知c ＝1是数列{a n }为等比数列的充要条件，故选C 项．7．B 因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则a 2k ＝a 1a 2k ，[9d ＋(k －1)d ]2＝9d ·[9d ＋(2k －1)d ]，又d ≠0，则k 2－2k －8＝0，k ＝4或k ＝－2(舍去)． 8．B 由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝－2，…，即{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2 010＝a 2＝－13，故选B.9．D 结合选项，对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n .由于{x n }是等差数列，所以x n＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34xn ＋1－x n＝⎝⎛⎭⎫34d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列． 10．C 由函数f (n )＝1＋22n －7(n ∈N *)的单调性知，a 1＞a 2＞a 3，且a 4＞a 5＞a 6＞…＞0，又a 1＝35，a 2＝13，a 3＝－1，a 4＝3，故a 3为最小项，a 4为最大项，x ＋y 的值为7. 11．C ∵等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴a 1＞0，且d ＜0，由a 11a 10＜－1得a 10＞0，a 11＜－a 10，即a 10＋a 11＜0， ∴S 20＝10(a 1＋a 20)＜0， S 19＝19a 10＞0，又由题意知当n ≥11时， a n ＜0，∴n ≥11时，S n 递减，故S 19是最小的正数． 12．C 由题意可知， lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又∵b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012， ∴q 3＝10－6.即q ＝10－2，∴a 1＝1022. 又∵{a n }为正项等比数列， ∴{b n }为等差数列，且d ＝－2，b 1＝22.故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋5294.又∵n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )max ＝132. 二、填空题13．【解析】设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1，∴S 6＝1－q 61－q ＝4(1－q 3)1－q. ∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3.【答案】 314．【解析】 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153.【答案】 15315．【解析】因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤(x 3＋x 182)2＝100，即x 3x 18的最大值为100. 【答案】 10016．【解析】解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ S 6＞S 7⇒S 6＞S 6＋a 7⇒a 7＜0S 7＞S 5⇒S 5＋a 6＋a 7＞S 5⇒a 6＋a 7＞0，S 6＞S 5⇒S 5＋a 6＞S 5⇒a 6＞0即a 6＞0，a 7＜0，a 6＋a 7＞0，因此d ＜0，①正确；S 11＝11a 6＞0②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2＞0，故③错误； S 13＝12(a 1＋a 13)2＝12a 7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②.【答案】 ①②三、解答题17．【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝9a 1＋4d ＝21，解得a 1＝5，d ＝4，∴{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1.(2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1，∴{b n }是首项为b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．∴S n ＝25(24n －1)24－1＝32×(24n －1)15. 18．【解析】 (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n＝18(a n ＋1＋2)2－18(a n ＋2)2， ∴8a n ＋1＝(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2，∴(a n ＋1－2)2－(a n ＋2)2＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0.∵a n ∈N *，∴a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n －4＝0.即a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝S 1＝18(a 1＋2)，解得a 1＝2.∴a n ＝4n －2， b n ＝12a n －30＝2n －31，由⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02(n ＋1)－31≥0得 292≤n ＜312.∵n ∈N *，∴n ＝15， ∴{a n }前15项为负值，以后各项均为正值．∴S 5最小．又b 1＝－29，∴S 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225 19．【解析】设第n 天新感染人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n 项和S n ＝20n ＋n (n －1)2×50＝25n 2－5n (1≤n ＜30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列，其前30－n 项的和T 30－n ＝(30－n )(50n －60)＋(30－n )(29－n )2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850，依题设构建方程有，S n ＋T 30－n ＝8 670，∴25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670，化简得n 2－61n ＋588＝0，∴n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12－1)·50＝570人．故11月12日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为570人．20．【解析】 (1)A n A n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )，＝(－1，－b n )．因为向量A n A n ＋1与向量共线，则a n ＋1－a n－b n ＝1－1，即a n ＋1－a n ＝b n .又{B n }在方向向量为(1,6)的直线上，。

等差等比数列通项、求和巩固练习

等差等比数列通项、求和巩固练习选择填空题1.首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S =2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______3.已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________.4.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。

5.若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .6.公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）87.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n8.在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=___________ 9.数列{a n }的通项公式2cos πn a n =，其前n 项和为S n ，则S 2012等于____________10.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

11.在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于_____________12.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=_______13.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝____________14.数列{a n }为等差数列，且a 5a 9＝59，则S 5S 9等于( )A.59B.5 C ．3 D.1315．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6等于( )A ．4 2B ．±2 2C ．±4 2D ．3216.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和是S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，那么a 1的值是( )A.421B.631C.821D.1231解答题1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .2.已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

2021年高考数学数列的通项与求和(综合篇) 专题练习

2021年高考数学数列的通项与求和(综合篇) 专题练习2021年高考数学-数列的通项与求和(综合篇)-专题练习2022高考数学通用术语和数列总则（综合部分）-专题练习1。

典型示例1[2022年高考浙江科学与数学]设置数字序列？一前n项之和为Sn，如果S2=4，则为an？1.2sn？1，n∈ n*，那么A1=_______________;，s5=_____？一前n项和序列号？1.A哪里？？0（I）证明？一是一个等比序列，求其通项公式；（二）如果是S5？31、请问32个案例3 [新高考2022课目中的课文]已知吗？一是公差为3的等差序列吗？bn？遇见B？1，b2？，anbn？1.NbN（我）寻找？一广义公式；（二）请求？bn？前n项和。

[趁热练习]1。

[2022年高考北京号]知道吗？一这是一个算术序列，？bn？是一个算术序列，B2？3，b3？9，a1？b1，a14？B4。

（1）请求？一广义公式；（2）设置CN？一求序列{CN}的前n项和。

13n2sn？1.N2?．找到序列了吗？（安）？广义公式。

2.顺序？一在中，前n项和序列号满足：S1？1，sn？2n？1典型示例1[2022高考山东数学]已知数系列？一前n项和序列号？3n2？8n？bn？是一个算术序列，和？bn？bn？1.（一）找到序列了吗？一广义公式；(an?1)n?1（ⅱ）令cn?.求数列?cn?的前n项和tn．（BN？2）n例2 [天津2022高考论文数]已知？一是等比序列，前n项之和是Sn？NN （我）问？一广义公式(ⅱ)若对任意的n?n?,bn是log2an和log2an?1的等差中项，求数列112??，中六？63.a1a2a3 1.nbn2的前2n和-1-/3例3。

在算术序列中？一中等，A1？a3？4号和5号？a6？a7？十八（1）求数列?an?的通项公式；（2）若a1,a2,a4成等比数列，求数列?【练一练趁热打铁】1．设数列?an?满足a1?3a2?32a3?…?3n?1an?（1）求数列?an?的通项；（2）设bn1??的前n项和sn.2n？2.一n、 n？N*。

高二高三数学专项练习题推荐

高二高三数学专项练习题推荐数学在高中阶段是一门非常重要的学科，也是学生们常常觉得难以掌握的一门学科。

为了帮助高二高三的学生们更好地学习数学，提高数学水平，本文将推荐一些适合做专项练习的数学题。

一、代数与函数1. 二次函数的性质：求解二次函数的定义域、值域，以及最值等问题。

这些题目有助于理解和掌握二次函数的基本性质，并提高解题能力。

2. 三角函数的运算：包括角度和弧度的互相转化、正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质以及运算等。

这些题目有利于加深对三角函数概念的理解，并提高计算和推导的能力。

3. 幂函数与指数函数的应用：涉及到幂函数与指数函数的图像、性质及其应用问题。

这些题目可以帮助学生掌握幂函数与指数函数的特点，并培养抽象思维和数学建模能力。

二、几何与立体几何1. 平面几何基础：重点包括平面上的图形性质、直线、圆的性质、面积和周长的计算等。

这些题目能够帮助学生巩固和提高平面几何的基本概念和计算技巧。

2. 三角形的性质与判定：如三角形的内角和定理、外角和定理，以及三角形相似、全等的判定等。

这些题目可以加深对三角形性质和判定方法的理解。

3. 空间几何：包括立体图形的面积与体积的计算、平行四边形体的性质、球的性质和圆柱、圆锥、棱柱等立体图形的特点与计算等。

通过练习这些题目，学生可以提升对空间几何的理解和解题能力。

三、概率与统计1. 事件与概率：包括事件的概念、概率的性质、计算等。

这些题目有助于培养学生对事件与概率的敏感性和分析问题的能力。

2. 统计分析：主要涉及数据收集、整理、分析和解读等。

练习这些题目可以帮助学生提高统计分析的能力，并培养良好的数据处理和解读的思维习惯。

四、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：重点包括数列的通项公式、求和公式等。

这些题目能够帮助学生加深对数列的理解，并提高运用数学归纳法解题的能力。

2. 数列与函数的关系：涉及到数列与函数的图像、性质的联系与应用等。

练习这些题目可以加深对数列与函数的关系的理解，并提高数学建模能力。

高三数学一轮复习-等差数列与等比数列求通项、求和专题训练

等差数列与等比数列求通项、求和专题训练专题一：探索数列通项 1.归纳猜想：数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列形成的图标，也称为数表.常见的是排成等差数列或等比数列，此类问题重点考查等差、等比数列的相关知识.有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律.此处我们以数阵为背景设置一道例题，让大家对观察法求通项有进一步的研究.例1：以下数表的构造思想源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.该数表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A.201522017⨯B.201422017⨯C.201522016⨯D.201422016⨯ 2.特殊探索当已知数列为等差数列或等比数列，只需利用条件求出基本量（首项1a 及公差d 或公比q ）即可写出通项公式.解题时一定要分清是的很差数列还是等比数列，切不可张冠李戴.例2：已知等比数列}{n a 为递增数列，且1210255)(2,++=+=n n n a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式=n a （）A.n 2B.12+nC.n )21(D.1)21(+n 例3：已知数列}{n a 满足t ca a n n +=+1，且275=a .（1）若31==t c ，，求数列}{n a 的通项公式；（2）若03==t c ，，求数列}{n a 的通项公式.3.递推关系由数列的递推关系式求通项，通常需要对数列的递推关系进行化归，转化为等差数列或等比数列问题求通项.常见的类型有：（1）一阶递推数列类型一：形如)(1n f a a n n +=+的递推关系式这类递推数列采用累加法求其通项（数列)}({n f 可求前n 项和）.当)(n f 为常数时，可通过累加法求得等差数列的通项公式.而当)(n f 为等差数列时，}{n a 为二阶等差数列，其通项公式应形如c bn an a n ++=2，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是bn an S n +=2，其常数项一定为0. 类型二：形如n n a n f a )(1=+的递推关系式这类递推式可通过累乘法求得其通项（数列)}({n f 可求前n 项积）. 当)(n f 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式. 类型三：形如)1,0)((1≠≠+=+c c n f ca a n n 的递推关系式①)(n f =常数，即)0,1,0(1≠≠≠+=+t c c t ca a n n ，满足此类递推关系式的数列的通项公式有如下求法：方法一：迭代法.即利用递推关系式逐次将i a 用1-i a 表示（2,*≥∈i N i ）,直至用1a 表示，求和即得通项公式.方法二：利用待定系数法将递推关系式划归为).1(11c t a c c t a n n --=--+当 011≠--ct a 时，数列}1{c t a n --是以c t a --11为首项，c 为公比的等比数列；当011=--c t a 时，01=--cta n ，即ct a n -=1. 方法三：由t ca a n n +=+1，得)2(1≥+=-n t ca a n n ，两式相减得)(11-+-=-n n n n a a c a a .当n n a a ≠+1时，数列}{1n n a a -+是以c 为公比的等比数列，求出n n a a -+1的表达式，累加即得到数列}{n a 的通项公式.例4：已知数列}{n a 中，431+=+n n a a ，且11=a ，则数列}{n a 的通项公式为 .例5：在数列}{n a 中，已知21=a ，且)(134*1N n n a a n n ∈+-=+，则该数列的通项公式为 .例6：已知数列}{n a 满足253211=⨯+=+a a a n n n ，，则数列}{n a 的通项公式为 .例7：已知数列}{n a 满足2553211=+⨯+=+a a a n n n ，，则数列}{n a 的通项公式为 .类型四：形如),0(1cr pt pc rpa tca a n n n ≠≠++=+的递推关系式. 对于此类递推关系式，当0=t 时，即rpa ca a n nn +=+1时，若0≠n a ，则有： c p a c r ca r pa a n n n n +⨯=+=+111，视na 1为一个整体，即可化为类型三种的①；当0≠t 时，可利用待定系数法转化为0=t 的类型.例8：已知数列}{n a 中，531=a ，121+=+n nn a a a ，则数列}{n a 的通项公式为 .类型五：形如)0,1(1≠≠=+k k ca a k n n 的递推关系式当0,0>>c a n 时，对递推关系式两边取以t （1,0≠>t t ）为底的对数，得c a k a t n t n t log log log 1+=+，视n t a log 为一个整体，即转化为类型三种的（1）.（当1≠c 时，可取c t =简化运算）.例9：在正项数列}{n a 中，,...)5,4,3,2(10121121====---n a a a a a a n n n n ，，，则数列}{n a 的通项公式为 .类型六：形如1,0,),(d *1≠≠∈=-+k k N n a a k n k n 常数的递推关系式对于形如1,0,),(d *1≠≠∈=-+k k N n a a k n k n 常数的递推关系式，只需视k n a 为一个整体，利用等差数列的定义即知数列}{k n a 是以d 为公差的等差数列，进而求数列}{n a 的通项公式.例10：若数列}{n a 中，)2(32211≥+==-n a a a n n ，，则数列}{n a 的通项公式为 .（2）可转化为等差、等比数列或一些特殊的二阶递推数列类型一：形如)0,2(11≠≥+=-+ct n ta ca a n n n 的递推关系式对于此类递推关系式，同样可以使用待定系数法将其转化为等比数列问题，即令)(11-+-=-n n n n xa a y xa a ，用待定系数法求出x 与y 的值，即可转化为等比数列问题，进而求通项.例11：已知数列}{n a 满足)2(6511≥-=-+n a a a n n n ，且4,121==a a ，则数列}{n a 的通项公式为 .类型二：形如)0(11≠++=-+cta a ta ca a n n n 的递推关系式对于此类递推关系式，可转化为等差数列求解.例12：数列}{n a 满足.222,11221+-===++n n n a a a a a ，（1）设n n n a a b -=+1，证明}{n b 是等差数列. （2）求}{n a 的通项公式.（3）特殊的n 阶递推数列例13：数列}{n x 满足n n x n x x x x 2211 (2)1=+++=，，则数列}{n x 的通项公式为 .4.已知n S 求n a .对于由n S 与n a 构成的递推关系式，通常是通过)2(1≥-=-n S S a n n n 消去n S 或n a 两种途径解决问题.对于由n S 与）（21≥-n S n 构建n a 求解.注意表达式⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n ，若1=n 时，na )2(≥n 表达式的值不等于1a ，则数列的通项公式要分段表示.例14：已知数列}{n a 的前n 项和n n a n S -=2，则数列}{n a 的通项公式为 .例15：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(02111≥=+=-n S S a a n n n ，. （1）求证：数列}1{nS 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式.例16：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，已知45,23,13211===a a a ，且当2≥n 时，.854112-+++=+n n n n S S S S（1）证明：}21{1n n a a -+为等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式.5.两个数列的混合递推关系问题对于由两个数列构成递推关系式，通常是通过消元，转化为同一个数列的递推关系问题，进而求通项.例17：设各项均为正数的数列}{n a 和}{n b 满足：1+n n n a b a ，，成等差数列，11++n n n b a b ，，成等比数列，且.3,1,1211===a b a 求n a ，n b .6.不动点法累加法和累乘法是求数列通项公式的基本方法，等差数列与等比数列的通项公式就可以分别由累加法与累乘法得到.对于一般的递推式，如果可以通过适当的代数变形转化成可以使用累加法或累乘法的递推形式，则问题就能得到解决.不动点法就提供了一个转化方向，先从一种简单的情形入手.例18：已知数列}{n a 中，*11232N n a a a n n ∈-==+，，，则数列}{n a 的通项公式为 .例19：已知数列}{n a 中，*11,3132N n a a a a n n n ∈++==+，，则数列}{n a 的通项公式为 .专题2：数列求和的方法求数列的前n 项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法.1.公式法公式法是数列求和最常用的方法之一，可直接利用等差数列的前n 项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=，等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,1)1(11,111q q q a qq a a q na S n n n . 还可利用常见数列的前n 项和的公式，如：（1）);1(21...321+=++++n n n（2）22)112()12(...531n n n n =+-=-++++；（3）n n n n n +=+=++++22)22(2...642；（4）)12)(1(61...3212222++=++++n n n n .例20：设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知75,21157-==S S ，n T 为数列}{nSn 的前n 项和，求n T 的最大值.例21：若数列}{n a 中的相邻两项1+n n a a ，是关于x 的方程,...)3,2,1(02==+-n c nx x n 的两个实根，且11=a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设12-=n n c b ，求数列}{n b 的通项公式及}{n b 的前n 项和n T .2.倒序相加法如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求前n 项和.例22：已知定义在R 上的函数)(x f 的图像的对称中心为（1010,2）.数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),(N n n f a n ∈=，则2019S = .3.裂项相消法若数列的通项可拆成结构相同的两式之差，则数列的前n 项和可由裂项相消法求解常用的裂项技巧有：（1）111)1(1+-=+n n n n ，)111(21)2(1+-=+n n n n ，)0)(11(1)(1≠+-=+t tn n t t n n （2）n n n n -+=++111，);(11b a ba b a --=+（3）若}{n a 为等差数列，d 为公差，其中0≠n a ，则).11(1111++-=n n n n a a d a a例23：已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4,6212129=+=a a a ，则数列}1{nS 的前20项和为（） A.2019 B.2120 C.2221 D.2322例24：已知数列}{n a 的前n 项和pn n S n +=2. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知1274,,a a a 成等比数列，求p 的值；（3）在（2）的条件下，若121+⋅+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和可用错位相减法来求.事实上，等比数列的前n 项和公式就是用此方法推导的.例25：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，491-=a ，且)(934*1N n S S n n ∈-=+. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足)(0)4(3*N n a n b n n ∈=-+，记}{n b 的前n 项和为n T ，若n n b T λ≤对任意*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围.例26：已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且，，2724411=+==b a b a.1044=-b S（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）记*132211,...N n b a b a b a b a T n n n n n ∈++++=--，证明.10212n n n b a T +-=+例27:已知}{n a 为等差数列，前n 项和为n S （*N n ∈），}{n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，.11,2,1241114332b S a a b b b =-==+ （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{122-n n b a 的前n 项和（*N n ∈）.5.分组求和法若一个数列的通项公式是一个和式，且各项加式构成的前n 项和可求，则数列的前n 项和可通过加法交换律与结合律分组求和完成.例28：已知数列}{n a 的通项公式为⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a nn ,2,12，求数列}{n a 的前n 项和n S .例29：在等比数列}{n a 中，已知31=a ，公比1≠q ；等差数列}{n b 满足.,,3132411a b a b a b === （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）记n n n n a b c +-=)1(，求数列}{n c 的前n 项和n S .6.并项求和法若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循（如构成某个特殊数列），采用并项求和法进行数列求和比较简便.例30：已知数列}{n a 中，21212121++++++===n n n n n n a a a a a a a a ，，，且121≠++n n a a ，则其前2021项的和为 .例31：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12-=n n S a （*N n ∈）. （1）求证：数列}{n a 为等比数列；（2）若n n a n b )12(+=，求数列}{n b 的前n 项和n T .。

2021-2022年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题(含解析)

2021年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题（含解析）1、已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝－2或0(舍去)．故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 2、已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点二：数列与函数、不等式的综合应用1、设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x－a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2，知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 2、已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ，所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1.(2)因为1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12，要使不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，只需2≤a 2－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．考点：数列综合练习题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－－34]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )．A ．15B ．－15C ．±15D ．10解析由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15.答案 A3．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n .答案 A6．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12. 答案 127．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a1＝2，q＝2.则S n＝a11－q n1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.答案6。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三数学专项练习5 （等差数列、等比数列）一、填空题：1．已知等差数列的前n 项和为S n ，若a 4=18－a 5，则S 8等于。

2．已知n S 是}{n a 的前n 项和，且有12-=n n a S ，则数列}{n a 的通项=n a . 3．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为。

4．已知数列{}n a 对于任意的,p q N *∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则a 36= 。

5．在等差数列}{n a 中，若1391197533,100a a a a a a a -=++++则的值为_______6．数列{}n a 中，a 1=1，对于所有的2,n n N ≥∈都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则35a a += 。

7．若公差不为零的等差数列{}n a 的2a 、3a 、6a 成等比数列，则135246a a a a a a ++=++ 。

8．下列五个命题：⑴若2b ac =，则a,b,c 成等比数列；⑵若{}n a 成等差数列，且常数c>0,则数列{}n a c 为等比数列；⑶常数列既是等差数列，又是等比数列；⑷若{}n a 成等比数列，则数列{}n a 为等比数列；⑸若数列{}n a 的前n 项和为S n =3n －c ，则c=1是{}n a 为等比数列的充分必要条件。

其中是正确命题的序号为。

（将所有正确命题的序号都填上）二、解答题：9．在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，（1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t *N ∈)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅，使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，当32a =时，用t 表示t n ．10．以数列}{n a 的任意相邻两项为坐标的点))(,(1*+∈N n a a P n n n 均在一次函数)0(,2≠+=k k x y 的图象上，数列}{n b 满足条件：1()n n n b a a n N *+=-∈，⑴求证：数列}{n b 是等比数列；⑵设数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若46T S =，95-=S ，求k 的值．高三数学专项训练6 (数列的通项与求和)1．设数列{}n a 的首项11,4a a =≠且11, 214n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数，为奇数，则4_____a =2．已知数列{}n a ，前n 项和28n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k 等于_____． 3．在数列{}n a 中，121,2,a a ==且21(1)()n n n a a n N *+-=+-∈，则100_____S = 4．已知数列{}n a 的前n 项的和为242,n S n n =-+则1210a a a ++ 的值是___ 5．数列{}n a 的前n 项的和为(),n n S npa n N *=∈且12a a ≠，则常数p 的值为_____ 6．已知数列{}n a ，构造一个新数列121321,,,,n n a a a a a a a ---- 此数列是首项为1，公比为13的等比数列，则_______n a = 7．在小于100的正整数中被3除余2的所有数的和是_________ 8．已知(1)log (2)()n n a n n N +=+∈，观察下列运算1223lg3lg 4log 3log 42,lg 2lg3a a ==⋅= 1234562367lg3lg 4lg 7lg8log 3log 4log 7log 83,,lg 2lg3lg 6lg 7a a a a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= 定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数的()k k N *∈叫做企盼数。

试确定当1232008k a a a a ⋅⋅⋅⋅= 时，企盼数______k =。

9．已知数列{}n a 的前n 项和()1*(),2n n n n a a S S n N -=∈满足且2a =2. (1) 求1a 的值,并证明：当n>2时有112n n n a a n --=-； (2) 求证：231111nS S S +++< .10．已知x x f m log )(=（m 为常数，m>0且1≠m ）设))((,),(),(21+∈N n a f a f a f n 是首项为4，公差为2的等差数列.（Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）若b n =a n ·)(n a f ，且数列{b n }的前n 项和S n ，当2=m 时，求S n ；（Ⅲ）若c n =lg n n a a ，问是否存在m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.高三数学专项练习5答案1．72； 2．12-=n n a ，*N n ∈； 3．218； 4．4； 5．40； 6．1661； 7．53； 8．（2）（4）（5） 9．解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，则546462a a a , a a 12=+∴+=（2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a =则()11233014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=⎧⇒=∴=-⎨+=⎩ n N *∈又 235m a a a = 则 ()3631m 3a , 12=m , m =92=∴-∴（3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2= 则1124461n a d 2d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=⎧⇒=-∴=-∈⎨+=⎩又因为公比53632a q , a ===首项32a =，123t t n a +∴=⋅又因为 112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=⋅=+ n N *∈10．证明：⑴由条件得12n n a a k +=+ 显然0≠n b …1 分（若0=n b ，则n n a a =+1，那么点P n 在一次函数x y =的图象上，与条件不符）∵2)2()2(111121=-+-+=--=++++++n n n n n n n n n n a a k a k a a a a a b b 为常数， ………………5分 ∴所以数列}{n b 是公比为2的等比数列 ………………7分⑵由⑴得：11112112)(2)(2---⋅+=⋅-=⋅=n n n n k a a a b b ， ………………9分∴)(15)2222()(132114k a k a T +=+++⋅+= …………10分 ∵n n n b a a =-+1，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-01211121111()(222)()2n n n a b b b a a k a k k ---=++++=+++++=+⋅- …14分∴;57636)222)((151016k a k k a S +=-++++= k a S 263115+= 由46T S =得k a 871-=代入,95-=S 得.8=k ………………16分专项训练6答案 1.8321+a ； 2．7； 3．2600； 4．66；5．21； 6．])31(1[23n -； 7．1650； 8．222008- 9．解:(1)由()12n n n a a S -=得()111102a a S -==,即1a =0. 当n>2时有11122n n n n n n n a S S a a ---=-=-∴112n n n a a n --=- (2)由(1)知n>2时,212322(1)2321n n n a a n n n --=⨯⨯⨯⨯=--- 又1a =0, 2a =2也适合上式,∴*2(1),()n a n n N =-∈ ∴(1)2n n naS n n ==-∴231111111223(1)n S S S n n+++=+++⋅⋅- =1-1n <1 10．解：（Ⅰ）由题意,22)1(24)(+=-+=n n a f n 即,22log +=n a n m∴22+=n n ma ∴2222)1(21m mm a a n n n n ==++++ ∵m>0且1≠m ，∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列（Ⅱ）由题意222222)22(log )(+++⋅+===n n m n n n n m n m m a f a b ，当212)1(2)22(2++⋅+=⋅+==n n n n n b m 时，∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ① ①式两端同乘以2，得326542)1(22423222++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②②－①并整理，得3265432)1(222222++⋅++-----⋅-=n n n n S3254332)1(]2222[2++⋅++++++--=n n n=3332)1(21]21[22+⋅++----n n n 3332)1()21(22+⋅++-+-=n n n n n ⋅=+32 （Ⅲ）由题意 22lg (22)lg n n n n c a a n m m +==+⋅ 要使n n c c <-1对一切2≥n 成立，即 m m n m n lg )1(lg 2⋅⋅+<对一切 2≥n 成立，①当m>1时， 2)1(2≥+<n m n n 对成立； …………12分 ②当0<m<1时，2)1(m n n +>∴221m m n ->对一切 2≥n 成立，只需2122<-m m ，∴0<m<.36综上，当0<m<36或m>1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.。