高中数学人教A版(2019)必修第一册《三角函数小结》课件
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三角函数的应用(一)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
根据已知数据作出散点图，如下图所示．
y
由数据表和散点图可 22
知，振子振动时位移的最 20
18
大值为20mm，因此A＝20；16
14
振子振动的周期为0.6s，
即 = 0.6 解得ω＝ ；
再由初始状态(t＝0)振子
的位移为-20，可得sinφ
=－1，因此φ ＝- ．
所以振子位移关于时间
的函数解析式为
y=20sin( t
-
),
12
10
8
6
4
2
–2 O
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
t∈[０，＋∞）．
x
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这
些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正
然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最
后利用这个函数模型来解决相应的实际问
题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往
往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归
6
7
8
9
10
11
水
5.00 6.21 7.12 7.49 7.24 6.42 5.25 4.01 3.02 2.52 2.65 3.37
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
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)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共38张PPT)
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．
三角函数的诱导公式 高中数学课件(人教A版2019必修第一册)
x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －
x
3
tan
( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=
(1)解:原式=
( +)( +)
(°+°)+(°+°)
=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a
-
2
cos( -)=sin
2
c
α
b
sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角
2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的
三角函数的图象与性质(探索与发现)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
谢谢
出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。从诱导公
式 sin(x 2k ) sin x(k Z) 中得到反映。在数学上用周期性来刻画这种变化规律。
引入定义：
周期函数的概念： 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，
使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且 f(x+T)=f(x),
（2）因为函数f (x 2 ) cos(x 2 ) cos x 2 cosx cos x f (x) 所以2是原函数f (x)的一个周期；
课堂小结：
（1）函数y f (x) Asin(x )、y f (x) Acos(x )的周期可以用公式 T 2 ；
（2）根据周期性定义 f (x T ) f (x)求周期；
（3）y sin(1 x ), x R
26
解析：
记住正弦、余 弦函数的周期
解法一：
（1）T 2 2
（2）T 2 2 2
（3）T
2
2
1
4
2
得出结论：
y Asin(x ), x R
周期
y Acos(x ), x R
T 2
是否可以推广到求一般周期函数的周期？
提升结论：
三角函数的图像与性质
探究与发现提高课---周期性 必修一：P203页
回顾旧知：
正弦、余弦函数图像特征：
y
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π π
3π 5π x
O
2π
4π
6π
9
5
2
2
-1y1源自22Oy=cosx
5 2
9
2
诱导公式 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1
sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα
第5章 三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)
6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长 度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M， 得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α
三角函数的概念 完整版PPT课件
通常将它们记为： 正弦函数 y sin x, x R
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
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三角函数定义
正切函数性质与图象
应用
具体内容
追问4 两角差的余弦公式C（α－β）不仅是和（差）角公式的基础，也 可以看成是诱导公式的一般化．你能画一张本章公式的“逻辑图”吗? 推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法?
C(α-β)
β换成-β
C(α+β)
β换成α
C2α
S(α-β)
β换成-β
S(α+β)
具体内容
追问2 你能说说三角函数与幂函数、指数函数定义方法的差异性吗？ 概念的建构过程；对应关系的背景不同．
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具体内容
追问3 单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用．你能借助单 位圆，自己归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？
单位圆
正弦函数的 图象
余弦函数的 图象
正、余弦函数 的性质
本章小结
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知识结构
问题1 学完这章内容，你能画一个本章的知识结构框图吗？
任意角与弧度制， 单位圆
任意角的三角函 数
三角函数的图象 与性质
简单的三角恒等 变换
函数y=sin(ωx+φ)
同角 三角 函数 的基 本关 系式
诱导 公式
周期 性、 单调 性、 奇偶 性、 最值
差 角 余 弦 公 式
β换成α
S2α
转化
T(α-β)
T(α+β) β换成α
T2α
特殊化
C(α-β) 特殊化
具体内容
β 2kπ，k Z cos2kπ α cosα
β π
cosπ α cosα
α0
cos β cos β
απ α π
2
β π 2
cosπ β cos β
cos
π 2
Байду номын сангаас
β
sin
β
cos
ω 上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来 的 1 倍（纵坐标不变），就得到y＝sin（ωx＋φ）的图象．
ω
具体内容
参数A对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y＝sin（ωx＋φ） 图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到 原来的A倍（横坐标不变）而得到． 从而，函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值 是－A．
研究思路
追问 在学习三角函数的图象与性质过程中，你清楚研究一个新函数 的一般思路吗？
研究函数的思路一般有两种： 一是根据定义画函数图象，再结合图象研究性质； 二是根据定义推导性质，再由性质画图象．
具体内容
问题3 你能对本章的主要知识点进行归纳和整理吗？
追问1 从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠 定了基础．你能概括一下引入弧度制的必要性吗？ ①满足函数定义的要求； ②三角函数的可用性； ③有利于数学的后续发展需要．
和 差 角 公 式
倍 角 公 式
三角函数模型的 简单应用
研究思路
问题2 你能简单描述一下三角函数内容的研究过程和方法吗？
研究过程是：先将0°～360°角推广到任意角，接着学习角的另一种 度量方法即弧度制，为研究三角函数做好前期准备，然后从圆周运动 出发给出三角函数的定义，根据定义得出同角基本关系式和诱导公式， 再借助单位圆研究三角函数的图象和性质，最后是三角恒等变换和三 角函数的应用．
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研究思路
问题2 你能简单描述一下三角函数内容的研究过程和方法吗？
研究方法：先抽象出定义，然后根据定义画出图象，再结合定义与图 象从几何直观与代数运算两个角度研究性质，最后是函数的应用．但 三角函数因为其对应关系的独特性，因此研究方法中也表现出与其它 函数不一样的地方，具体地来说，就是在研究概念、图象及性质的过 程中，关键都借助了单位圆这一重要的工具，很好地利用了单位圆的 直观性．
π 2
α
sin
a
具体内容
追问5 函数y＝A sin（ωx＋φ）在刻画周期现象时有着非常重要的作
用，其中参数ω，φ，A都有相应的实际意义．你能借助匀速圆周运动 或其他周期现象（如简谐振动、单摆等），说明这些参数的意义，以 及它们的变化对函数图象的影响吗？
在匀速圆周运动中，ω表示角速度，φ表示初相，A表示圆的半径．
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具体内容
参数φ对y＝sin（ωx＋φ）图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝ sin（x＋φ）（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞0时）或向 右（当φ＜0时）平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin（x＋φ）的图 象．
具体内容
参数ω对y＝sin（ωx＋φ）图象的影响 一般地，函数y＝sin（ωx＋φ）的周期是 2π ，把y＝sin（x＋φ）图象
具体内容
追问6 你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数 据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？
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作业布置
作业：复习参考题5．
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再见
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