概率统计期中考前复习
概率统计总复习(含答案)
概率统计总复习一填空选择题考点1 掌握事件的关系与运算，会写样本空间1．试验E 为抛一枚硬币,观察正面H ,反面T 出现的情况,则E 的样本空间S = .2．设,,A B C 为随机事件,则,,A B C 中至少有一个发生可表示为 ,,A B C 同时发生可表示为考点2古典概型的计算；1.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有2枚正面朝上的概率是2.袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取一个,无放回地取两次,则两次取到的均为新球的概率为 .3．一袋中装有6个球，其中3个白球，3个红球，依次从中取出2个球（不放回），则两次取到的均为白球的概率为 15。
4．从1,2,3,4,5五个数中任意取两个数,则这两个数中含偶数的概率是 考点3 概率的计算A 概率的性质和事件的独立性综合计算1．已知(),()0.2,()0.96P A a P B P A B ==⋃=，若事件AB 相互独立，则 a =1/20 2 设()0.4,()0.3P A P B ==，,A B 独立，则()P AB = ()____P A B -=. 3．设事件A 与B 相互独立,已知()0.5,()0.8P A P A B == , ()P AB = . B 条件概率相关计算1．设事件A 与B 独立,且()0.4P A =,(|)0.5P B A =,则()P AB = 2．设()0.3P AB =,(|)0.4P B A =,则()P A = .3．已知()0.5,()0.6,()0.4P A P B P B A ===，那么()P AB = __0.2_____，()P AB =_0.4____, ()P A B ⋃=_______0.7_____.C 正态分布概率相关计算1．设随机变量~(1,1)X N ,则{02}P X <<= .（(1)0.8413Φ=）2.已知2~(1,)X N σ，{12}0.3P X <<=，则{0}P X <=____0.2_____.3 设随机变量(1,4)X N ，则(13)P X -<<= ;若()0.5,P X a >= 则a = .0.6826,14．随机变量),2(~2σN X ，(04)0.3,<<=P X 则(0)<=P X 。
中考复习——统计与概率
中考复习——统计与概率【知识点回顾】一、全面调查与抽样调查1)全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查．2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．3．抽样调查样本的选取：1)抽样调查的样本要有代表性；2)抽样调查的样本数目要足够大．二、总体、个体、样本及样本容量总体：所要考察对象的全体叫做总体．个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本．样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．用总体估算样本：总数×该部分的占比（该部分的数量样本容量）三、几种常见的统计图表1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．特点：(1)能够显示每组中的具体数据；(2)易于比较数据之间的差别．2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．特点：易于显示数据的变化趋势．3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．扇形的圆心角=360°×百分比．样本容量=某部分的数量÷该部分所占的百分比4．频数分布直方图1)每个对象出现的次数叫频数．2)每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．3)频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．4)频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数（用进一法取组数）；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．样本容量=某部分频数÷该部分的频率四、平均数1)平均数：一般地，如果有n 个数1x ，2x ，…，n x ，那么，121()n x x x x n…叫做这n 个数的平均数．2)加权平均数：如果n 个数中，1x 出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次(这里12k f f f n …)，那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为1122k kx f x f x f x n…，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f 1，f 2，…，f k 叫做权．五、众数、中位数1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．（销售时最喜爱众数）2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．（中位数能看到某个数据的位置处于中上水平还是中下水平）六、方差在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“2s ”表示，即2222121[(((]n s x x x x x x n…．方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．（方差越小越稳定）一组数据的每个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k 2倍．例1要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是()A．中央电视台《开学第--课》的收视率B．某城市居民6月份人均网上购物的次数C．即将发射的气象卫星的零部件质量D．某品牌新能源汽车的最大续航里程练习：下列采用的调查方式中，不合适的是()A．了解澧水河的水质，采用抽样调查．B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．例2今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是()A．这1000名考生是总体的一个样本B．近4万名考生是总体C．每位考生的数学成绩是个体D．1000名学生是样本容量练习：为了了解某市八年级学生的肺活量，从中抽样调查了500名学生的肺活量，这项调查中的样本是A．某市八年级学生的肺活量B．从中抽取的500名学生的肺活量C．从中抽取的500名学生D．500例3为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为____．练习：1、4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间(x小时)x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．2、质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品．例4我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下(单位：分)：839268557771736273959294726459 667175698687798177688262776188整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图(如图)．请根据所给信息，解答下列问题：(1)补全频数直方图；(2)参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是_____分；(3)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于60分60分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．例5一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：鞋的尺码/cm2222.52323.52424.525销售量双12511731若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的()A．平均数B．方差C．众数D．中位数练习：1、小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的() A．众数B．中位数C．方差D．平均数2、小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图(如图)，则下列说法正确的是()A．中位数是3，众数是2B．众数是1，平均数是2C．中位数是2，众数是2D．中位数是3，平均数是2.53、小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩(成绩得分用x表示，单位：分)，收集数据如下：90,82,99,86,98,96,90,100,89,8387,88,81,90,93,100,100,96,92,100整理数据：xx 95100x 90958085x 859034a8分析数据：平均分中位数众数92b c根据以上信息，解答下列问题：a b c的值；(1)直接写出上述表格中,,(2)该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？例6甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选___________去．甲乙丙丁平均分85909085方差50425042A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁练习：1、如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据()A ．众数改变，方差改变B ．众数不变，平均数改变C ．中位数改变，方差不变D ．中位数不变，平均数不变2、甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个)，各次训练成绩(投中个数)的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为2s 甲与2s 乙，则2s 甲__2s 乙填" ”、“＝”、“ "中的一个)．4、某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩(分)分别为：86,88,90,92,94，方差为28.0s ．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s 新__________．5、在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0(单位：分)．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是()A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差【知识点回顾】一、事件的分类1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．二、概率的计算1．公式法：P(A)=mn，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．2．列举法1)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．2)画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．三、利用频率估计概率1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率mn来估计这一事件发生的概率．2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．例1如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是()A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关练习：下列事件中，是必然事件的是()A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯例2如图，ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．练习：1、如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是()A．13B．14C．16D．182、在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是_____．3、如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是()A．12B．13C．14D．16例3在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．练习：1、某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158321 801“射中9环以上”的频率(结果保留小数点后两位)0.750.830.780.790.800.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)．2、某养殖户想要估算鱼塘中有多少鱼，他第一次捕捞出200条鱼作标记后再放回鱼塘，第二次再捕捞出200条鱼，发现其中有50条鱼有标记。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
【中考复习】中考数学考前考点辅导：概率与统计
【中考复习】中考数学考前考点辅导：概率与统计
初中最重要的阶段，大家一定要把握好初中，多做题，多练习，为中考奋战，编辑老师为大家整理了中考数学考前考点辅导，希望对大家有帮助。
概率的初步概念
(1)必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%;
（2）不可能的事件是指不可能发生的事件；
(3)随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件;
（4）随机事件的概率
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
（5）概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件a发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件a的概率，记为p(a)=p.
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.
初步统计的相关概念
总体：所要考查对象的全体叫总体;个体：总体中每一个考查对象.
样本：群体样本是从群体中抽取的个体的一部分
样本容量：样本中个体的数目.
样本平均值：样本中所有个体的平均值称为样本平均值
总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.
用统计的思想和方法来估计人口的平均水平和分布，用统计的思想和方法来推断人口的平均水平和分布特征
这篇
高中入学考试
数学考前考点辅导的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
概率与统计中考知识点总结
概率与统计中考知识点总结一、概率1.1 随机试验与概率随机试验是指满足以下条件的试验：在一定条件下，试验的结果是不确定的，但是结果的可能性是可知的。
样本空间是随机试验的全部可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
概率是指事件发生可能性的大小。
1.2 概率的性质（1）非负性：任何事件的概率都大于等于零。
（2）规范性：样本空间的概率是1。
（3）可列可加性：若事件A₁、A₂、A₃、…两两互不相容，则P(A₁∪A₂∪A₃∪…) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …1.3 事件的概率（1）等可能事件的概率：对于n个等可能事件，它们的概率都是1/n。
（2）事件的概率计算：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)是事件A中元素的个数，n(S)是样本空间S中元素的个数。
（3）互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)。
1.4 条件概率（1）在事件B已发生条件下事件A发生的概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
（2）条件概率的性质：- P(AB) = P(A)×P(B|A) = P(B)×P(A|B)；- P(A₁A₂) = P(A₁)×P(A₂|A₁) = P(A₂)×P(A₁|A₂)。
1.5 独立事件若P(A₁A₂) = P(A₁)×P(A₂)，则事件A₁和A₂是独立事件。
1.6 事件的相互关系事件A和B的关系可以用交、并、差、余等集合的运算来描述：（1）交集：事件A和B同时发生的事件记为A∩B。
（2）并集：事件A或B发生的事件记为A∪B。
（3）差集：事件A发生而B不发生的事件记为A-B。
（4）余集：事件A不发生的事件记为A¯。
1.7 重要公式（1）全概率公式：P(A) = P(A|B₁)×P(B₁) + P(A|B₂)×P(B₂) + … + P(A|Bₙ)×P(Bₙ)。
概率论与数理统计期中考试复习题
概率论与数理统计期中考试复习题一、填空题1. 十个考签中有三个难签，从中接连抽取两个(不放回)，则第三个才抽到难签的概率为___________。
2. 设A ,B ,C 为三个随机事件，则“三个事件至多发生两个”的事件表示为 。
3. 若A 、B 为两个随机事件，且P (A )=0.8，P (B -A )=0.3，则P (AB )= 。
4. 若A 、B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，则)(B A P += 。
5. 设随机变量X 服从b (2,p )，且 {}2591=≥X P ，则p =__________。
6. 设X则(1)P X ≥=__________。
7.则k =__________8. 设(X ,Y )的联合概率密度为,0,0(,)0,x y ce x y f x y --⎧≥≥=⎨⎩其他，则c =__________。
9. 设随机变量X 服从指数分布e (0.001)，则P (X >1000)= 。
10. 设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=111000)(2x x x x x F ，则(0.5)P X ≤=__________。
11. 设随机变量X 服从均匀分布U (0,4)，则E (2X +1)= 。
12. 设随机变量X 服从指数分布e (3)，则=2EX __________。
13. 设随机变量X 的数学期望为EX u =、方差2DX σ=，则由切比雪夫不等式有{}2P X u σ-≥ 。
14. 设随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立，并服从同一分布，数学期望为μ，方差为σ2，令∑==ni i X n X 11。
则D (X )=__________。
二、单项选择题1. 从一批产品中任取10件，设A ={至少1件次品}，则事件A =( )。
A. {至多1件次品} B. {至多1件正品}C. {没有1件次品}D. {没有1件正品}2. 一名射手向某个目标射击三次，设A i ={第i 次击中目标}(i =1,2,3)，则321A A A ++表示( )。
概率统计复习资料
第一部分、复习纲要1、随机事件：掌握事件的表示，掌握事件之间的关系与运算，特别是事件的并、事件的交、差事件、逆事件以及对偶律。
2、事件的概率：会计算简单古典概型中的相关概率，理解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质。
3、条件概率与事件的独立性：理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用它们解决较简单的问题，理解事件的独立性定义，知道互不相容与相互独立的区别．4、随机变量及其分布：掌握分布函数的概念及性质，会用分布函数求有关概率，理解离散型随机变量的分布律与性质，会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数；理解连续型随机变量的概率密度，掌握概率密度的性质，熟练掌握几种重要的分布：0—1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布，会求这些分布的相关概率．5、二维随机变量及其分布：理解二维随机变量的分布函数的概念，掌握概率密度的性质及有关计算，能根据联合分布求边际分布，会利用随机变量的独立性进行相关计算，知道有限个独立正态随机变量的线性组合仍是正态分布．6、随机变量的函数及其分布：会求随机变量的简单函数的分布．7、随机变量的数学特征：掌握随机变量的期望及方差的计算，熟记期望及方差的性质，熟记常用分布的期望与方差，知道协方差及相关系数的定义及计算性质．第二部分、典型题型一、填空题1、设事件A 、B 互不相容，且q B P p A P ==)(,)(，则=)(B A P2、设A, B, C 为三个事件，则事件A, B, C 中不多于两个发生表示为3、已知事件A,B 满足)()(B A P AB P =，记p A P =)(，则=)(B P4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它只是被甲射中的概率为5、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率是0.9，乙射中目标的概率是0.8，则目标被射中的概率是6、3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码被译出的概率是 7、随机变量T 在[1，6]上服从均匀分布，则方程 210x T x ++=有实根的概率为8、随机变量X 服从参数为λ的泊松分布（0λ>），且[(2)(3)]2E X X --=，则=λ9、设随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，则121X X =+与132Y Y =+的相关系数为10、设~(1,3),~(2,4)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则~Y X +11、设随机变量),(~p n b X ，已知E (X )=2.4，D (X )=1.44，则n = ，=p12、设1()X P λ:，2()Y P λ:，且X 与Y 相互独立，则X Y +:13、设），Y X (的联合分布律为：且Y X 、相互独立，则α= ，β= ．二、选择题1、已知)|()(),|()(B A P A P B A P A P ==，则下列说法正确的有（ ）（A ）A 与B 相互独立 （B ）A 与B 互逆 （C ）A 与B 互斥 （D ）)()(B P A P =2、设事件A ,B 互不相容，且()0P B >，则下列选项正确的是（ ）（A ）()1()P A P B =- （B ）(|)0P A B = （C ）(|)1P A B = （D ）()0P AB =3、将3个人随机地分配到4个房间去，每个房间所住人数不限，则每个房间里最多只有一个人的概率为（ ）（A ）323 （B ）83 （C ）161 （D ）81 4、有人打靶击中的概率为8.0，求他打了10枪，直到第十枪击中的概率为（ ） （A ）2.08.09⨯ （B ）8.02.09⨯ （C ）91102.08.0⨯⨯C （D ）91108.02.0⨯⨯C5、一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ ）（A ）11a a b -+- （B ）(1)()(1)a a a b a b -++- （C ）a a b+ （D ）2()a a b + 6、设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法正确的是（ ）（A ）)(x F 取值为),(+∞-∞ （B ）)(x F 为连续函数 （C ）1F(x) 1≤≤- (D) 1F(x) 0≤≤7、设()sin f x x =是某个连续型随机变量X 的密度函数，则X 的取值范围是（ ）（A ）[0,]2π （B ）[0,]π （C ）[,]22ππ- （D ）3[,]2ππ 8、设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数()Y F y 为（ ）（A ）(53)X F y - （B ）5()3X F y - （C ）3()5X y F + （D ）31()5X y F -- 9、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立 （B ）()D X Y DX DY -=+ （C ）()D X Y DX DY -=- （D ）()D XY DXDY =10、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 1(0)(1)2P X P X ==== 则随机变量max(,)Z X Y =的分布律为（ ）（A ）1(0)2P Z ==，1(1)2P Z == （B ）(0)1P Z ==，(1)0P Z == （C ）1(0)4P Z ==，3(1)4P Z == （D ）3(0)4P Z ==，1(1)4P Z == 三、解答题 1、设2~(3,2)X N ，求(25)P X <≤，(||2)P X >．（其中(1)0.8413;Φ=(0.5)0.6915;(2.5)0.9938Φ=Φ=）2、设随机变量2~(108,3)X N ，试求： （1）(102117)P X <<；（2）常数a ，使得()0.95P X a <=． （其中(1.64)0.9495Φ=；(1.65)0.9505Φ=；(2)0.9772Φ=；(3)0.99876Φ=）3、设2~(8,4)X N ，求(0),(1220).P X P X ≤<≤（其中(1)0.8413;Φ=(0.5)0.6915;(2.5)0.9938Φ=Φ=）4、已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ===U ，试求()P A B -与()P B A -．5、将3个球随机地放入4个杯子中去，每个杯子所放球数不限，以X 表示杯子中球的最大个数，求X 的分布律与分布函数．6、口袋中有5个球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
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1、 设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，求X 落到区间（0.3,0.7）内的概率【解析】)(lim )(lim 11x F x F x x +-→→=，得A=1。
故 4.0)3.0()7.0(7.03.0(=-=<<F F x P2、 现有一批产品是由三家生产的，已知其中一家的废品率是0.2，另两家的废品率是0.1 ,今从这批产品中任取一件进行检测。
假设这件产品来自哪个工厂是等可能的，则取到的废品的概率等于多少？【解析】设,,A B C 分别表示三个工厂生产的产品，D 表示"取到的废品"，则3/1)()()(===C P B P A P ，1.0)|()|(,2.0)|(===C D P B D P A D P 。
由全概率公式得：15/2)()|()()|()()|()(=++=C P C D P B P B D P A P A D P D P3、设每人血清中含肝炎病毒的概率为0.4%，求100人的血清混合后含有肝炎病毒的概率。
【解析】100人的血清混合后没有肝炎病毒的概率=100)004.01(-，故混合后肝炎病毒的概率为33.0)004.01(1100=--=p4、 甲、乙两人独立的对同一个目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率 【解析】设B A ,分别表示甲、乙命中目标，则5.0)(,6.0)(==B P A P ，故目标命中 的概率为8.0)()()()()(=-+=⋃B P A P B P A P B A P ，由此所求概率为(())()(|)3/4()()P A A B P A P A A B P A B P A B ⋂⋃⋃===⋃⋃5、 某人对同一个目标进行射击四次。
若至少命中一次的概率等于80/81，则该射手的命中率为多少【解析】设X 为四次中命中目标的次数，p 为射手命中率，则~(4,)X B p 。
由题意81/80)1(14=--p ，得p=2/36、设8.0)(,7.0)(,5.0)(=⋃==B A P B P A P ，求()P AB 【解析】由于4.0)()()()(=⋃-+=B A P B P A P AB P ，所以()1.0)()()()(=-=-Ω=AB P A P B A P B A P7、已知3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，6.0)(=⋃B A P 。
求(|)P A B【解析】由于)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃，则2.06.05.03.0)(=-+=AB P所以4.0)()()|(==B P AB P B A P8、有三个车间同事加工同一批零件，零件由各车间工人加工的概率分别是0.5,0.3,0.2。
各车间工人加 的零件为合格的概率分别是0.92,0.9,0.95。
则这批零件合格率是多少？设事件321,,A A A 分别表示"零件由第一、第二、第三个工人加工"设事件B 分别表示"零件合格",321,,A A A 构成完全事件组。
根据题意有5.0)(1=A P ，3.0)(2=A P ，2.0)(3=A P ，且有92.0)|(1=A B P ，9.0)|(2=A B P ，95.0)|(3=A B P ，由全概率公式的这批零件合格率为：92.0)|()()(31==∑=i i i A B P A P B P9、设随机变量X 在]5,2[上服从均匀分布，现对X 进行3次独立观察，则至少2次观察值大于3的概率是多少？【解析】设Y 为3次观察值大于3的次数，由于⎰==>533231)3(dx X P ，则)32,3(~B Y ，故所求概率为：2720323132)3()2(3223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==C Y P Y P p 10、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=else x x x f ,010,2)(令Y 表示对X 三次独立观察中事件}2/1{<X 出现的次数，则)2(=Y P 等于多少？【解析】⎰==<2/104/12)2/1(xdx X P ，则)41,3(~B Y ，故64/9)4/3()4/1()2(223===C Y P11、 有100栋住房在2002年1月1日购买了火灾保险，假设每栋房子在今后一年之内发生火灾的概率都相等，为0.05，如果各栋房子是否发生火灾是相互独立的，则在2002年内只有不超过两栋房子发生火灾的概率为多少？ 【解析】解法（1）P=P （没有房子发生火灾）+P(恰有一栋房子发生火灾)+P(恰有2栋房子发生火灾)=010019912982100100100(0.95)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)0.1183C C C ++=解法（2）用Poisson 逼近，5==np λ。
则2550355110.87530.1247!!k k k k P e e k k ∞--====-=-=∑∑12、某种元件的寿命X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>=elsex x x f ,01000,/1000)(2。
现在从一大批这种元件中随即抽取5只，则其中至少有2只寿命会超过1500小时的概率等于多少？【解析】设抽取的元件中寿命超过1500小时的个数为X ，则X=1,2,3，4,5，每个元件寿命超过1500的概率：3/2/1000)(15002==⎰∞dx x A P 从而有2432323231311)1()0(14255=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=-=C X P X P P 13、每10分钟内电话交换台收到呼唤次数X 是一个离散随机变量，它服从参数为)0(>λλ的泊松分布，已知每10分钟收到三次呼唤与收到4次呼唤的可能性相同，则任意10分钟内电话交换台收到2次呼唤次数的概率为多少？ 【解析】泊松分布函数为!)(k e k X P k λλ-==，由题意知)4()3(===X P X P ，即!4!343λλλλ--=e e解得4=λ，即平均没10 分钟内收到呼唤次数为4次。
448!24)2(--===e e X P k442344(2)0.90840.76190.1465!!k k k k e e P X k k --∞∞====-=-=∑∑14、某元件寿命X 服从参数为)1000(1=-λλ的指数分布，，则3个元件使用1000小时后，都没有损坏的概率为多少？【解析】指数分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,10001)(10001x x e x f x 。
那么元件使用1000小时后没有损坏的概率e dx xf X P X P /1)(1)1000(1)1000(100=-=≤-=>⎰由于3个元件使用寿命是相互独立的，所以它们使用1000小时后没有损坏的概率为[]33)1000(-=>=e X P P15、某工厂生产的螺栓长度服从均值为5cm ，标准差为0.05cm 的正态分布。
按质量标准规定，长度在 4.9~5.1cm 范围内的螺栓为合格品。
则该厂螺栓的不合格率是多少？【解析】设螺栓的长度为X ，则)05.0,5(~2N X ，所以)1,0(~05.05N X Z -=，所以不合格率为⎪⎭⎫⎝⎛≤-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-≤--=≤≤-=205.052105.051.505.0505.059.41)1.59.4(1X P X P X P P ()1(2)(2)22(2)2(10.9772)0.0456=-Φ-Φ-=-Φ=-=16、已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=elsex b ax x f ,020,)(，且25.0}31{=<<X P ，则=>}5.1{X P【解析】有概率密度的性质和定义，有122)()(2=+=+=⎰⎰∞∞-b a dx b ax dx x f ，又25.05.1)()(}31{2131=+=+==<<⎰⎰b a dx b ax dx x f X P ，联立两式，解得a=-0.5, b=1.从而⎩⎨⎧<<+-=else x x x f ,020,15.0)(。
所以0625.0)15.0(}5.1{25.1=+-=>⎰dx x X P17、某种电池的寿命服从正态分布),(2σμN ，其中300=μ小时，35=σ小时，当x 为多少时，寿命在,x x μμ-+之间的概率不小于0.9.其中，95.0)645.1(=Φ，975.0)96.1(=ΦA. 30B. 36.575C. 57.575D. 65.825E. 68.5 【解析】)353530035()(x X x P x X x P <-<-=+<<-μμ9.01)35(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φ=xx x ， 即95.0)35(≥Φx ，则1.65,35x≥57.75x ≥ 18、),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P【解析】令σ2-=X Y ，那么)1,0(~N Y ，所以3.05.0)/2()0()/2()/20()42(=-Φ=Φ-Φ=<<=<<σσσY P X P ， 得8.0)/2(=Φσ。
故2.0)/2(1)/2()/2()0(=Φ-=-Φ=-<=<σσσY P X P19、设),(~2σμN X ，则Xe Y =的分布密度概率是多少A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛--=0,00,)(ln 21exp 21)(22y y y y y f Y μσπσ【解析】dx x X F x⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛--=22)(21exp 21)(μσπσ和0>=X e Y ，所以0≤y ，0)(=y f Y ； 0>y dy y f Y F yY )()(⎰∞-==dy yy y1)(ln 21exp 21022⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=μσσπ dy y y y⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛--=22)(ln 21exp 21μσπσ，所以选择是A 。