2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题9.6 双曲线含解析
2015高考数学一轮课件：9.6 双曲线
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近
线的
斜率
为
b a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
线的渐近线和离心率的
实质都表示双曲线张口
的大小．
思想方法
练出高分 第七页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)和椭圆 1x62＋y92＝1 有相同的焦点，且双
曲线的离心率是椭圆离心率的
思维启迪
两倍，则双曲线的方程为 __x4_2－__y32_＝_1_．
解析 答案
探究提高
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共
又双曲线的离心率e＝
渐近线，且过点 M(2，－2)的双
曲线方程为__________．
a7，所以 a7＝247，
a2＋b2 a
＝
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十六页，编辑于星期五：十三点 二十九分。
题型分类·深度剖析
题型一
求双曲线的标准方程
【例 1】 (1)(2011·山东)已知双曲 思维启迪 解析 答案 探究提高
2．渐近线与离心率 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的
一条
渐近线的斜率为 Nhomakorabeab a
＝
b2 a2
＝
c2－a2 a2
＝
e2－1.可以看出，双曲
高考数学一轮总复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线课件(理)
由图象可知，此时点 P 在线段 AF1 与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线 AF1 的方程为 y＝2 6x＋6 6，
b1aa6＝2 －12b，32＝1，解得ab22＝＝41，，
∴双曲线的标准方程为x42－y2＝1. 答案：(1)x42－y32＝1 (2)x42－y2＝1
1．确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定 量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确 定 a，b 的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设 其方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C
上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
解析：由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|2F| 1F2|2＝34. 答案：C
第八章 平面解析几何
第六节 双曲线
(2015·全国Ⅱ卷)已知 F 是双曲线 C：x2－y82＝1 的右焦 点，P 是 C 的左支上一点，A(0，6 6)．当△APF 周长最小时，该三 角形的面积为________．
2015高考数学一轮总复习课件：9.67 双曲线
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2 2)2＝8， ∴|PF1|·|PF2|＝4. ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝ (4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20. ∴|PF1|＋|PF2|＝2 5.
c2 ∴ee21＝mc1＝ma ＝2.
a
第十五页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
(2)直线 x＝t 过双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右 焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若
原点在以 AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范
围是___1_,__2______．
【解析】At，bat，Bt，－bat，要使原点在以 AB 为直径的圆外，只需原点到直线 AB 的距离|t|大于半径
A1(0，－a)，A2(0， a)
y＝±bax
y＝±abx
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
e＝ac，e∈__1_,________，其中 c＝ a2＋b2
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
长|B1B2|＝2b；a
叫半实轴，b
叫半虚轴. 第八页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
第十七页，编辑于星期五：十二点 四十六分。
(4)已知双曲线 x2－y2＝1 的两个焦点分别为 F1、 F2，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＋|PF2| ＝___2__5____．
【 解 析 】 由 双 曲 线 的 定 义 知 ||PF1| － |PF2|| ＝ 2 ， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线文1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a －y 2b ＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a －y 2b ＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____________________________________________________________. 答案5解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.3.双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为____________.答案 y ＝±2x解析 方程化为：x 2－y 2－1m＝1，依题意得：－1m ＝2，∴m ＝－14. 双曲线方程为x 2－y 24＝1， 其渐近线为x 2－y 24＝0，即y ＝±2x .4.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________. 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝3.5.(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 28－y 28＝1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________.(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________. 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为________.(2)(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)2＋ 3 解析 (1)如图，∵FB →＝2FA →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2. (2)把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015·重庆改编)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是______.答案 (1)±1 (2)62解析 (1)由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 则kA 2C ＝b 2aa －c，kA 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4ac 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1.(2)F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62. 题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4 3解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴AB ＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点.①求k 的取值范围；②若AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值.解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}. ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴AB ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m ). ∵点C 是双曲线上一点. ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2).设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－22.∴m 的取值范围为(－∞，－22).11.忽视“判别式”致误典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”.致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误. 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[4分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [7分]∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k2＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值. [失误与防范]1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为______________.答案x 216－y 29＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________. 答案3解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3.(2014·江西改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为__________. 答案x 24－y 212＝1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b ).由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴a －2＋－b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0). ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 5.已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2＝________. 答案 1解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 6.(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7.已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去).8.若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________. 答案 (3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.9.(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________. 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52. 10.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2， ∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上. (3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是__________. 答案 (1,2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4， ∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2).12.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2. 13.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，由双曲线定义，得PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28， 因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.14.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15.已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝P B →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由 AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12OA ·OB ·sin 2θ＝2mn ＝2.。
高三数学一轮复习-双曲线 (带答案)
解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。
过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。
情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。
二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。
难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在 轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 个交点． 五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（ ）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2） （1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第八章平面解析几何第6节双曲线
2009~2013年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线考点一 双曲线的定义、标准方程1．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C 1的离心率e 1＝c 1a 1＝a 21＋b 21a 21＝ cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1cos θ，双曲线C 2的离心率e 2＝c 2a 2＝ a 22＋b 22a 22＝ sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝ 1＋sin 2θcos 2θ＝1cos θ，所以e 1＝e 2，而双曲线C 1的实轴长为2a 1＝2cos θ，虚轴长为2b 1＝2sin θ，焦距为2c 1＝2 a 21＋b 21＝2，双曲线C 2的实轴长为2a 2＝2sin θ，虚轴长为2b 2＝2sin θsin θ，焦距为2c 2＝2 a 22＋b 22＝2 sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2tan θ，所以A ，B ，C 均不对，故选D.答案：D3．（2012湖南，5分）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：根据已知列出方程即可．c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x 220－y 25＝1.答案：A4．（2011山东，5分）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案：A5．（2011安徽，5分）双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4.答案：C6．（2011安徽，5分）双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为： x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)． 答案：C考点二 双曲线的简单几何性质1．（2013福建，5分）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B.45 C.255D.455解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C2．（2013浙江，5分）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D3．（2013北京，5分）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x解析：本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 答案：B4．（2013陕西，5分）双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m16⇒m ＝9. 答案：95．（2013江苏，5分）双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力． 令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x6．（2013湖南，5分）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，求得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .而|F 1F 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos ∠PF 1F 2，所以4a 2＝16a 2＋4c 2－2·4a ·2c ·cos 30°，即3a 2－23ac ＋c 2＝0，所以3a －c ＝0，故双曲线C 的离心率为 3. 答案： 37．（2012新课标全国，5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C8．（2012浙江，5分）如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3解析：不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±bax ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b1－a 2)， 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)， 因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B9．（2011湖南，5分）设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：双曲线方程x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.答案：C10．(2009·浙江，5分)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若＝12，则双曲线的离心率是( )A.2B. 3C. 5D.10解析：直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B (a 2a ＋b ，aba ＋b )，l 与渐近线l 2：bx＋ay ＝0交于C (a 2a －b ，－ab a －b)，A (a,0)，＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b )，＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2)．∵＝12，∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b 2，b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案：C11．（2012湖北，5分）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c 2， S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：1＋52 2＋5212．（2011辽宁，5分）已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：213．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)， 则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案：4。
2015高考数学一轮精品课件：9.6 双曲线
=
考点一
3
=
2 1+ 2 +1
2
3
2 1+ 2 -1
3
2 1+ 2 -1
考点二
=1+
考点三
.
误区警示
第二十一页，编辑于星期五：十三点 六分。
9.6
第九章
双曲线
考纲要求
此时 1 +
3
>1,且
2
2
所以 1<1+
3
1+
||
||
=
||
||
<3,且
考点二
3
2 1+ 2 -1
梳理自测
探究突破
巩固提升
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
y2
y2
b
a2
− 2=1(a>0,b>0)
x2
− 2=1(a>0,b>0)
b
图形
第四页，编辑于星期五：十三点 六分。
9.6
第九章
双曲线
考纲要求
标准方程
范围
对称性
性
质
性
质
顶点
x2
a2
梳理自测
梳理自测
探究突破
y2
y2
b
a2
− 2=1(a>0,b>0)
||
的取值范围是
||
考点一
2
<3,且 1+
综上所述,
巩固提升
3
≠2,
2
2 1+ 2 -1
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2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷
第九章 解析几何 第六节 双曲线
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 设P 是双曲线x 2a 2－y 2
9＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y －＝，F 1，F 2分别是双曲线的左，
右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )
A ．1或5
B ．6
C ．7
D ．9
2. 抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A.1
2 B.
32
C ．1
D. 3
3. 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( )
A.14
B.12 C ．2
D ．4
4.【2014山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为122
22=+b
y a x ，双曲线2C 的方程为
22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为2
3，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x
5. 已知定点A 、B ，且|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( ) A ．
12 B ．32 C ．7
2
D ．5
6. 【2014全国1高考理第4题】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A.
3 B. 3 C. m 3 D. m 3
7.【改编题】已知斜率为2的直线l 双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的
中点，则C 的离心率等于（ ）
（A) (B) 2 (C) (D)
【答案】D
8. 已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，
则OA FP uu r uu r
⋅的取值范围为（ ）
A ．
)
1,1 B ．
C ．(
D ．
)
+∞
9. 若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取
值范围是( )
（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C ）(1 （D ）)+∞
10. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F 、2
F ，其中一条渐近线方程为(*)2b y x b N =∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <（其中O 为坐标原点），若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲
线C 的方程为（ ）
A.2214x y -=
B.22
1x y -= C.22149x y -= D.221416
x y -=
二、填空题
11. ．已知双曲线221x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +的值为__________．
12. P 为双曲线右支上一点，M 、N 分别是圆和上的点，则
的最大值为________．
因为M 、N 分别是圆
和
上的点，所以
，
13. 已知F 是双曲线C:22x a -2
2y b
=1(a>0,b>0)的左焦点,B 1B 2是双曲线的虚轴,M 是OB 1的中点,过F 、M 的直线
与双曲线C 的一个交点为A,且FM =2MA ,则双曲线C 离心率是 .
三、解答题
14. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为)0,2(F ，右顶点为)0,1(A ． （1）试求双曲线的方程；
（2）过左焦点作倾斜角为
6
π
的弦MN ，试求OMN ∆的面积（O 为坐标原点）． 【解析】（1）3,1,2===b a c ，方程为13
2
2
=-y x
（2）直线MN ：)2(3
3
+=
x y ， 与13
2
2
=-y x 联立，消y 并整理得013482=--x x 则3)8
13
(4)21(311||2=-⨯-⋅+
=MN 又原点到直线MN 的距离为11)3
3(33
22
=+=d
故所求OMN ∆的面积的面积为2
31321=⨯⨯=
S ． 15. 已知双曲线2
2
:12
y C x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点． （1）求12PA PF ⋅的最小值；
（2）若直线l 为圆2
2
:2O x y +=上动点0000(,)(0)Q x y x y ≠处的切线，且与双曲线C 交于不同的两个点,A B ，证明ABO ∆为直角三角形．
；
2222
000022220000828(82)1[4]03423434
x x x x x x x x --=+-+=---- 2
AOB π
∴∠=
，AOB ∴∆为直角三角形．
16. 一条双曲线14
22=-y x 的左、右顶点分别为21,A A ，点()),(,,1111y x N y x M -是双曲线上不同的两个动
点．
(1)求直线M A 1与N A 2交点的轨迹E 的方程式；
(2)设直线l 与曲线E 相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,2(-，若点()0,0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA .求0y 的值.
（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）．线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→
=--=-±）由4，得=。