高一圆的方程专题
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高中数学圆的方程 经典例题(含详细解析)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
高一数学圆的方程复习
已知圆的切线方程的斜率K时，切线方程可设为： y=Kx+b
求K或b的途径：△=0或d=r
名好榜样：老师要做学生的～。只是～不理想。指人死后灵魂投生为人。【表象】ｂｉǎｏｘｉàｎɡ名经过感知的客观事物在脑中再现的形象。别的人相应作答 （大多按照原韵）：他们经常以诗词～。【唱词】ｃｈàｎɡｃí名戏曲、曲艺中唱的词句。比喻沿袭老一套，参看７７８页〖空城计〗。 通称标尺。 【补偏救
学习目标
1 熟练掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程 2 掌握直线与圆、圆与圆位置关系判断方法 3掌握圆的切线方程求法 4 掌握弦长公式、切线长公式 5理解圆系方程
圆的方程复习 专题
1、圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 特特例例：：x2+y2=r2
2、圆的一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0 圆心( D ，- E )
(1)两圆外离 (2)两圆外切
(3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
d>R+r d=R+r
R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
7、相交两圆的连心线垂直平分
两圆的公共弦
8、圆系方程
设 圆C1：X2+Y2+D1X+E1Y+F1=0， C2：X2+Y2+D2X+E2Y+F2=0 相交，
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
高一数学人选择性必修课件圆的一般方程
解析：对于第一个方程，有$D^{2} + E^{2} - 4F = 4 + 16 - 20 = 0$，因此该方程表示一 个点，不表示圆。对于第二个方程，有$D^{2} + E^{2} - 4F = 4 + 16 - 4 = 16 > 0$，因 此该方程表示一个圆。
方程中参数意义
$D, E$与圆心坐标关系
$D, E$分别决定了圆心的横纵坐标，即圆心坐标为$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$。
$F$与半径关系
$F$与半径的平方有关，具体关系为$F = a^2 + b^2 - r^2$，其中$a, b$为圆心坐标， $r$为半径。
$D^2 + E^2 - 4F$与圆存在性关系
当$D^2 + E^2 - 4F > 0$时，方程表示一个存在的圆；当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时，方 程表示一个点；当$D^2 + E^2 - 4F < 0$时，方程不表示任何图形。
03
圆的特殊方程及图形特征
标准方程及其图形特征
标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心坐 标，$r$为半径。
典型例题分析
01
02
03
例题1
已知圆的标准方程为$(x 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标和半径。
解析
由标准方程可知，圆心坐 标为$(2, -1)$，半径为 $sqrt{9} = 3$。
例题2
高一数学圆方程知识点
高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。
下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。
一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。
其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。
三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。
2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。
四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。
求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。
通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。
2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。
五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。
2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。
可以通过计算直线到圆心的距离来判断。
3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。
高一下册数学圆的方程知识点优选份
高一下册数学圆的方程知识点优选份高一下册数学圆的方程知识点 1圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(__a)^2+(y-b)^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：(1)、当D^2+E^2-4F0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(D^2+E^2-4F)/2为半径的圆;(2)、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);(3)、当D^2+E^2-4F0时，方程不表示任何图形。
圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cos,y=b+r*sin, (其中为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(__a1)(__a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0__+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0__+b0*y=r^2圆的方程：1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
高一数学圆与圆方程知识点
高一数学圆与圆方程知识点圆是初中数学学习中的一个重要的几何图形，而高一数学进一步深入了解和学习圆的性质和方程。
下面将介绍高一数学圆与圆方程的相关知识点。
一、圆的相关概念1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离等于定值的所有点的集合。
2. 圆的元素圆心：圆心是圆上所有点到公共定值的点，通常用字母O表示。
半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
直径：直径是通过圆心的两个点之间的距离，等于半径的2倍。
二、圆的方程1. 标准方程圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径长度。
例如：(x-2)²+(y+3)²=9 表示圆心坐标为(2, -3)，半径长度为3的圆。
2. 一般方程圆的一般方程是x²+y²+Ax+By+C=0，其中A,B,C是实数且A²+B²≠0。
要将一般方程转化为标准方程，可以使用配方完成平方的方式。
三、切线和法线1. 切线切线是与圆只有一个交点，并且与圆相切于该点的直线。
切线的斜率等于与圆心连线的斜率的负倒数。
2. 法线法线是与切线垂直的直线，与圆相交于切点。
法线的斜率等于切线的斜率的负倒数。
四、圆与圆的位置关系1. 相交两个圆相交的情况下，有两个交点。
如果两个圆的半径相等，那么交点重合，两个圆是重合的。
如果两个圆的半径不等，那么交点不重合，两个圆是相交的。
2. 相切两个圆外切的情况下，外切点重合，两个圆是相切的。
如果两个圆的半径相等，那么两个圆是内切的。
如果两个圆的半径不等，那么两个圆是外切的。
3. 相离两个圆没有交集，并且没有公共点的情况下，两个圆是相离的。
高一数学圆与圆方程的知识点如上所述，通过了解和掌握这些知识，可以更好地理解和应用圆的性质和方程。
希望本文对你学习圆与圆方程有所帮助。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
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圆的方程专题
知识框图
典型例题
例1已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1，且a ∈R ．
(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；
(2)求与圆相切的直线方程；
(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．
例2如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线1l 被直线l :
33y x 反射，反射光线2l 交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与1l 、2l 相切．
(1)求1l
所在直线的方程和圆C 的方程；
(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标
例3已知实数x,y 满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x 的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值 x y。