高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第一节直线的斜率与直线方程 文

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第一节直线的斜率与直线方程文
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
本章主要包括两个内容：解析几何初步、圆锥曲线．
1．解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故该部分在高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．
2．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2道选择题或者填空题，一道解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大．解答题中主要是以椭圆、抛物线为基本依托，考查椭圆、抛物线方程的求解，考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．
在备考复习中，要注意以下的高考重点、热点和命题方向：
(1)直线的方程命题重点：直线的倾斜角与斜率、两条直线的位置关系、对称及与其他知识结合考查距离等．
(2)圆的方程命题重点：由所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系．
(3)圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(定义、性质)，通过大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程等．
(4)在知识的交汇处命题是解析几何的显著特征，与向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何等知识结合，考查综合分析问题和解决问题的能力．
根据近年广东高考对本章内容的考查情况，预计该部分的考查仍然是以客观题考查直线与圆的基础知识和方法、圆锥曲线的定义和性质，以解答题考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，以及将解析几何与其他数学知识相结合考查综合运用能力.
学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题．为此建议在复习备考中做到：
1．搞清概念(对概念定义应“咬文嚼字”)；
2．熟悉曲线(会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线)；
3．熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；
4．处理问题时要在“大处着眼”(即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想)，“小处着手”(即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法)．
在具体复习过程中应要注意如下几点：
1．要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆，能否分清这两点是学好有向线段的关键．
2．在解答有关直线的问题时，要注意：
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；
(4)要灵活运用中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算；
(5)掌握对称问题的四种基本类型的解法；
(6)在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．
3．熟练掌握圆的标准方程与一般方程，能由方程迅速求出圆心坐标和半径，能结合运用圆的几何性质，会使解题难度降低且速度快捷．
4．熟练掌握三类圆锥曲线的标准方程与几何性质，注意数形结合思想方法的运用．
第一节直线的斜率与直线方程
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
知识梳理
一、直线的倾斜角
1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按________________到和________时所转的________记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0.
2．倾斜角的取值范围：________.
二、直线的斜率
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率k，即k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为________的直线没有斜率．
2．斜率公式：经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线的斜率为__________________．
三、求直线斜率的方法
1．定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α.
2．公式法：已知直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1 x2－x1
.
四、斜率的应用：证明三点共线：k AB＝k BC.
五、直线方程的几种形式
注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性．
一、1.逆时针方向转 直线l 重合 最小正角 2.[)
0，π 二、1.90° 2.k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
()x 1≠x 2
基础自测
1．(2013·华南师大附中第三次月考)直线2x －y ＋4＝0在两轴上的截距之和是( ) A ．6 B ．4
C ．3
D ．2
解析：令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝－2,4＋(－2)＝2.故选D. 答案：D
2．(2012·大同质检)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π
4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π
2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π
解析：斜率k ＝－1
a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知，倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B.
答案：B
3．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为_________．
解析：因为x －2y －4＝0的斜率为1
2，所以直线l 在y 轴上截距为2，所以直线l 的方程
为y ＝3x ＋2.
答案：y ＝3x ＋2
4．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 过点(1,2)且直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则直线l 的方程是____________．
答案：x －3y ＋5＝0
1．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1
B ．y ＝－x ＋1
C ．y ＝2x －2
D ．y ＝－2x ＋2
解析：切线的斜率k ＝f ′(1)＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，根据点斜式得切线方程为y ＝x －1.故选A.
答案：A
2．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．
解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝1
3
不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1,0)． 答案：①③⑤
1．(2013·太原模拟)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )
A ．x ＋y －5＝0
B ．2x －y －1＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x ＋y －7＝0
解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3,4)．直线PA 、PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.
答案：D
2．(2013·湖北孝感统考)直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是________．
解析：方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1
a ，即
a ＝1时取等号．
答案：1。