04--05(下)期末试题

∑
∑
1 (−1) n n−1 (−1) n n−1 = −∑ n+1 x = ∑ n+1 x 2 (2 + x) 2 n=0 2 n=1 n+1 ∞ (−1) n n−1 x = ±2时 ∑ n+1 x 发 . ， 散 2 n=1 展开式成立范围− 2 < x < 2
∞ n ∞
n+1
2.求微分方程y′′ − y = e−x cos x的通解
W = ∫ (2xy − y4 + 3)dx + (x2 − 4xy3 )dy 解： L
∂P ∂Q 3 = 2x − 4y = 积分与路径无关 ∂y ∂x
W = ∫ Pdx + Qdy =∫ 3dx =12
L −2
2
W = ∫ [2x(−x + 4) − (−x + 4) + 3]dx
2 2 4 −2
解：将函数奇延拓，则 an = 0 2 π 2 2 π π bn = ∫ (1− x)sin nxdx = − cos nx |0 + ∫ xd cos nx π 0 nπ nπ 0 2 2 2 π n π = [1− (−1) ] + x cos nx |0 − ∫ cos nxdx nπ nπ nπ 0 2 2 n n π = {[1− (−1) ] + (−1) π}− 2 sin nx |0 nπ nπ 2 n = [1+ (−1) (π −1)] nπ ∞ 2 1− x = ∑ [1+ (−1)n (π −1)]sin nx 0 < x < π π n=1 n
2π 2
= 6∫ dθ ∫
0
1 6 − r2
0
rdr = −2 6π 6 − r2 |0 2
= (12 − 4 6)π
5.求u = x2 + y2 + z2 在点P(1,1,1)处沿曲线x = t, y = t , z = t 在该点的切线正方向（对应于t增大
2 3
的方向）的方向导数. ∂u x 解： = ∂x x2 + y2 + z2 ∂u z = 2 2 2 ∂z x + y +z
2 2 2π 0
4 ≤ x2 + y2 ≤16 Ω1 1 2 (x + y2 ) ≤ z ≤ 8 2
2 8 0 2
(x + y )dv = ∫ dθ ∫ rdr∫ r2dz ∫∫∫
Ω
+∫ dθ ∫ rd ρ∫r r dz
2
2π
4
8
2
0
2
2
= 48π + 288π = 336π
5.设 于 空 x > 0 任 的 滑 向 曲 S, 对 半 间 内 意 光 有 闭 面 都 有
解： r2 −1 = 0, r = ±1
设
*
Y = Ce + C2e 1
x
−x
y = e ( Acos x + Bsin x)
*
−x
′ = −e−x ( Acos x + Bsin x) + e−x (−Asin x + Bcos x) y
y*′′ = e−x ( Acos x + Bsin x) − 2e−x (−Asin x + Bcos x) +e−x (−Acos x − Bsin x) 1 2 代入得A = − , B = − 5 5
x2 + y2 −1 = 0 2 2 2 2 (- , ),(- , − ). 2 2 2 2 由实际问题知存在最大与最小值 1 2 2 2 2 1 最高 温度 ， T( , ) = T(- , − ) = ， 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 最低 温度− . T(- , ) = T( , − ) = − . 2 2 2 2 2 2
4.求 球 z = 6 − x − y 被 物 z = x + y 半 面 抛 面
2 2 2
2
所 部 的 积 截 分 面 .
解：
z = 6 − x2 − y2 由 ，得z = 2 z = x2 + y2 在xOy面投影区域Dxy为x2 + y2 ≤ 2
A = ∫∫Dxy源自6 ∂z 2 ∂z 2 dxdy 1+ ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ ∂x ∂y 6 − x2 − y2 Dxy
两 积 边 分 ln Q = −0.6t + C1
Q = Ce
−0.6t
(C = ±e )
C 1 −0.6t
将 (0) =100代 得 =100 Q 入 C
由 ×10% =100e 100
−0.6t
Q =100e
3 得 t = ln10(h) 5
7.金 属板上点 x, y)处的温 T(x, y) = xy,一个 ( 度 蚂蚁 在板 上沿中心 在原点半 径为1的圆周上 漫步，蚂 蚁 遇到 的最高与 最低温度 是多少？
∫∫ xf (x)dydz − xyf (x)dzdx −e
S
2x
zdxdy = 0
其 S方 为 侧 函 f (x)在 +∞)内 连 中 向 外 ， 数 有 续 (0, 一 导 ， f (1) = 0, 求 (x). 阶 数 且 f [ f (x) + xf ′(x) − xf (x) − e2x ]dV = 0 解： 由高斯公式 ∫∫∫ V 1− x 1 2x Q f (0) =1∴C = −e f ′(x) + f (x) = e x x 1−x 1−x 1−x −∫ dx −∫ dx 1 dx 2x ∫ x x x f (x) = Ce +e ∫ x e e dx 1 x 1 2x −x −ln x+x = Ce + e ∫ e xe dx 1 x+1 1 2x x x f (x) = − e + e 1 x 1 2x x x =C e + e x x
∂z ∂z ∂z x ∂z ∂z x ∂z ∂z x + y = xy + +xy − = 2xy ∂x ∂u ∂u y ∂v ∂u y ∂v ∂u ∂z 即 u =0 ∂u
2.验 式 (3x y +8xy )dx + (x +8x y +12ye )dy 证 子
2 2 3 2 y
在 个 平 内 某 函 u(x, y)的 微 ， 整 xOy 面 是 一 数 全 分 并 求 这 的 个 (x, y). 出 样 一 u
0 D D
1
x
2
x
f (x, y)dy
1 y
y = x2
或∫∫ f (x, y)dσ = ∫ dy∫ 2 f (x, y)dy
0 y
二、解下列各题（ 分×7=42分） 6 1.设z = f (x, y)的所有一阶偏导数连续，u = xy, x ∂z ∂z v = , 将方程x + y = 0变换成以u, v为自变 ∂x ∂y y ∂z 1 ∂z 量的方程 ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + =y + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u y ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z x ∂z = + =x − 2 ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u y ∂v
04 − 05高数（下）期末试卷 一、填空（ 分×6=18分） 3
1.若f (u, v, w) = u + v + wu⋅v ,则f (x + y, x − y, xy) = f (x + y, x − y, xy) = (x + y) + (x − y) + (xy)( x+ y)( x−y)
= 2x + (xy)
三、解下列各题（8分×5=40分） 1 1.将 数 = 函 y 展 x的 级 ， 指 展 成 幂 数 并 出 2 (2 + x) 1 1 = −( )′ 开 成 的 围 式 立 范 。 2 解：
(2 + x) 2+ x
∞ ∞ 1 1 1 xn 1 n x n = = (−1)n n+1 x = 2 (−1) ( 2) 2 + x 2 1+ 2 n=0 n=0 2 −2 < x < 2
解： F(x, y) = xy + λ(x2 + y2 −1) 令 Fx (x, y) = y + 2λx，y (x, y) = x + 2λ y，λ (x, y) = x2 + y2 −1 F F y + 2λx = 0 2 2 2 2 ( , ),( , − ), 2 2 2 2 解 x + 2λ y = 0 得
1 2 y = e (− cos x − sin x) 5 5 1 −x 2 −x x −x 方程的通解为y = Ce + C2e − e cos x − e sin x 1 5 5
* −x
r r r 4 2 3 3.求 F = (2xy − y + 3)i + (x − 4xy ) j将 点 力 质 沿 曲 y = −x2 + 4,从 (−2,0)移 到 线 点 动 (2,0)所 的 。 作 功
∂P ∂Q 2 = = 3x +16xy ∂y ∂x
u(x, y) = ∫ (x +8x y +12ye )dy
3 2 y 0
y
= (x y + 4x y +12ye −12e ) |
3 2 2 y y
y 0
= x3 y + 4x2 y2 +12yey −12ey +12
3.将函数f (x) =1− x (0 ≤ x ≤ π )展成正弦级数， 并指出展开式成立的范围.