考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x+∞2(B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞； ∫x x x +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx=2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx xx)x 2x=xlimx →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1 (C)α−β>2(D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xxα−1cos1x β+βxα−β−1sin1x β,x >0，0,x ≤0再有 x +′(0)=lim x →0+x (x )−x (0)x =lim x →0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在?α>1，此时x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0连续?α−β>1。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数x(x)在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数x′′(x)则曲线x=x(x)的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】x(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。

x= x(x)的可疑拐点是x′′(x)=0的点及x′′(x)不存在的点。

x′′(x)的零点有两个，如上图所示，A点两侧x′′(x)恒正，对应的点不是x=x(x)拐点，B点两侧x′′(x)异号，对应的点就是x=x(x)的拐点。

虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0))是y= f(x)的拐点。

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数x (μ,ν)满足x (x +x ,x x )=x 2−x 2，则?x ?μ|μ=1ν=1与?x?ν|μ=1ν=1依次是 (A)12,0(B)0,12(C)−12,0(D)0,−12【答案】D【解析】先求出f (μ,ν) 令{μ=x +y ,ν=y x,?{x =μ1+ν,y =μν1+ν,于是f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1)因此?f ?μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0?f ?ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D 是第一象限中由曲线2xx =1,4xx =1与直线x =x ,x =√3x 围成的平面区域，函数f (x ,y )在D 上连续，则∬f (x ,y )dxdy =D (A)∫dθπ3π4∫f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr(B) ∫dθπ3π4f (r cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θrdr(C) ∫dθπ3π4∫f (r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr (D) ∫dθπ3π4f (r cos θ,r sin θ)sin 2θ√2sin 2θdr【答案】B【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x ,y =√3x围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f (x ,y )dxdy D 化为累次积分。

D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4，1√sin 2θ≤θ≤1√2sin 2θ因此∬f (x ,y )dxdy D=∫dθπ3π4∫f (r cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=[11112x 14x 2],b =[1x x 2]。

若集合Ω={1,2}，则线性方程 xx =x 有无穷多解的充分必要条件为(A)x ?Ω,x ?Ω(B) x ?Ω,x ∈Ω (C)x ∈Ω,x ?Ω(D) x ∈Ω,x ∈Ω 【答案】D【解析】Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式，值为(a −1)(a −2),如果a ?Ω，则 |A |≠0，r (A )=3，此时Ax =b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d ?Ω，则r (A |b )=3，排除(C)当a ∈Ω,d ∈Ω时，r (A |b )=r (A )=2，Ax =b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型x (x 1,x 2,x 3)在正交变换x =xx 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中x =(x x ,x x ,x x ),若Q =(x x ,−x x ,x x )在正交变换x =xx 下的标准形为(A) 2y 12−y 22+y 32(B) 2y 12+y 22−y 32 (C) 2y 12−y 22−y 32(D) 2y 12+y 22+y 32 【答案】A【解析】设二次型矩阵为A ,则x −x xx =x x xx =[20001000−1]可见x x ,x x ,x x 都是A 的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-x x 也是A 的特征向量，特征值为-1，因此x x xx =x −x xx =[2000−10001]因此在正交变换x =xx 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。

二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。

(9)设{x =xxx xxx x ,x =3x +x 3,则x 2xxx 2|x =1=【答案】48【解析】由参数式求导法xx xx =x x′x x′=3+3x 211+x 2=3(1+x 2)2再由复合函数求导法则得x 2x xx 2=x xx[3(1+x 2)2]=x xx [3(1+x 2)2]xx xx =6(1+x 2)?2x ?1x x′ =12x (1+x 2)2,x 2x xx 2|x =1=48综上所述，本题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数x (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数x (x )(0)= 【答案】x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,??) 【解析】解法1用求函数乘积的x 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

x(x )(x )=∑x x x (x 2)x (2x )(x −x )xx =0其中x xx =x !x !(x −x )!,注意(x 2)x |x =0=0(x ≠2)，x x 2=x (x −1)2,于是 x (x )(0)=x x 2?2?(2x )(x −2)|x =0=x (x −1)(xx2)x −2 (x ≥2) x ′(0)=0因此x (x )(0)=x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,??) 解法2利用泰勒展开x (x )=x 22x=x 2x xxx2=x 2∑(xxx2)xx !∞x =0=∑xx x 2x !x x +2=∞x =0∑xx x −22(x −2)!x x ∞x =2由于泰勒展开系数的唯一性，得xx x −22(x −2)!=x (x )(0)x !可得x (x )(0)=x (x −1)(xx2)x −2(x =1,2,3,??)综上所述，本题正确答案是x (x −1)(xx2)x −2 (x =1,2,3,??) 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式 (11)设函数x (x )连续，φ(x )=∫xx (x )xx x 2.若φ(1)=1，φ′(1)=5,则x (1)=【答案】2【解析】改写φ(x )=x ∫x (x )xx x 20,由变限积分求导法得φ′(x )=∫x (x )xx x 2+xx (x 2)?2x=∫x (x )xx x 2+2x 2x (x 2)由φ(1)=1=∫x (x )xx 10，φ′(1)=∫x (x )xx 1+2x (1)=1+2x (1)可得x (1)=2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用(12)设函数y =y (x )是微分方程x ′′+x ′−2x =0的解，且在x =0处y (x )取得极值3，则y (x )= 【答案】x −2x +2x x【解析】求y (x )归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题{x ′′+x ′−2x =0y (0)=3，x ′(0)=0由特征方程λ2+λ−2=0可得特征根λ1=−2，λ2=1，于 是得通解x =x 1x −2x +x 2x x 又已知{x 1+x 2=3−2x 1+x 2=0?x 1=1，x 2=2 综上所述，本题正确答案是x −2x +2x x【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数x =x (x ,x )由方程x x +2x +3x +xxx =1确定，则dz |(0,0)=【答案】−13xx −23xx【解析】先求x (0,0)，在原方程中令x =0,x =0得x 3x =1?x (0,0)=0方程两边同时求全微分得x x +2x +3x (xx +2xx +3xx )+xxxx +xxxx +xxxx=0令x =0,x =0,x =0得dx+2dy+3dz|(0,0)=0dz|(0,0)=−13xx−23xx综上所述，本题正确答案是−13xx−23xx【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，x=x x−x+x,其中E为3 阶单位矩阵，则行列式|B|=【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1所以|B|=21【考点】线性代数—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特征值三、解答题：15~23小题，共94分。