福建省三明市第一中学2019届高三暑假第一次返校考试数学(理)答案
福建省三明市第一中学2019届高三下学期开学考试数学(理)试题(含答案)
三明一中 2018—2019 学年高三寒假返校考理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数 2 + i的虚部为1 - i A ． 1B ． 3C ． 1 iD ． 3i22．已知集合 A = {x | y = 2, B = {x |xx - 122≤ 0} ,则 A ． A ∩B = BB ．A ∩B = {x | 0 ≤ x ≤ 1}C ． A BD ． A ∪ B = R3．《几何原本》卷 2 的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆O 的直径，点 D 在半圆周上，CD ⊥AB 于点 C ，设 AC ＝a ，BC ＝b ，直接通过比较线段 OD 与线段 CD 的长度可以完成的“无字证明”为 b ＋m bA ．a ＋m >a (b >a >0，m >0)2B ．a 2＋b 2≥ 2 (a ＋b )(a >0，b >0)2abC ．a ＋b ≤ ab (a >0，b >0)a ＋bD ． 2 ≥ ab (a >0，b >0)4．如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负 相关B ．2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008 年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010 年我国实际利用外资同比增速最大5．( x2 - 25 展开式中的常数项为x3A．40 B．－40C．80 D．－806．若要从10 名高三年级优秀学生中挑选3 人参加重点高校2019 年中学生冬令营活动，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为A．28 B．49C．56 D．857．设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当S n取最小值时，n=A．6 B．7C．8 D．98．如图，设D 是图中边长分别为1 和2 的矩形区域，E 是D 内位于函数y =1 x影部分)，从D 内随机取一个点M，则点M 取自E 内的概率为()( x> 0) 图象下方的区域(阴ln 2 1－ln 2A．2 B． 21＋ln 22－ln 2C． 2 D． 29．若a =log2 3，b = log4 8 ，c = log5 8，则a, b, c 的大小关系为A．a >b >c C．b >a >c B．a >c >b D．c >b >a10．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．” 乙说：“我也无法确定．” 甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了．” 根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中A．一定有3 号球B．一定没有3 号球C．可能有5 号球D．可能有6 号球⎨⎩11．当x =θ时，函数f ( x) = 2 + sin x - 4 cos 2x取得最大值，则cosθ=2A．5B．-5C．5D．-512．已知二次函数f (x) =ax2 +bx +c 的导数为f '( x) ，f '(0) > 0 ，对于任意的实数x 都有f ( x) ≥ 0 ，f (1)则f '(0)⎡3的取值范围是()⎫A．⎣2，＋∞⎭ B．[2，＋∞)⎡5 ⎫C．⎣2，＋∞⎭ D．[3，＋∞)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．⎧x≥ 1,13．已知变量x, y 满足条件⎪y ≤ 2,⎪x -y ≤ 0,则z =x +y 的最小值是．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．15．设S n 为数列{a n}的前n 项和，a1＝0，若a n＋1＝[1＋(－1)n]a n＋(－2)n(n∈N*)，则S2n = ．116．在△ABC 中，AB⊥AC，AB＝t4A B AC，AC＝t，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP =+，则| AB || AC |△PBC 面积的最小值为．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分17．（12 分）在△ABC 中，已知角A, B, C所对的边分别为a, b, c ，3 + 2 s in B = 4 c os 2B ．（1）求sin B ；（2）若B 为锐角，(4 + sin B =b (sin A + sin C) ，且∆ABC 的面积为△ABC 的周长．218．（12 分）如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，点 D ， E 分别是 AA 1 ， BC 的中点．（1）证明： DE // 平面A 1B 1C ； （2）若侧面 ACC 1 A 1 ∞ 底面 ABC ， ∠A 1 AC = 60︒ ， AC = 2 A A 1 = 4 ， AB = 2 ， ∠BAC = 60︒ ，过直 线 DE 作平面α 与平面A 1B 1C 相交，交线为 l ，求直线l 与平面 ABB 1 A 1 所成角的正弦值．19．（12 分）已知椭圆 E 的两个焦点坐标分别是 (-1, 0) ， (1, 0) ，并且经过点 ( 3, -． 2 4（1）求 E 的标准方程；（2）过椭圆 E 的右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A , B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⋅ MB 为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽 车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1 元/公里计费；②行驶时间不超过 40 分时， 按 0.12 元/分计费；超过 40 分时，超出部分按 0.20 元/分计费．已知张先生家离上班地点 15 公里，每天租2用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t (分)是一个随机变量．现统计了50 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为( 20, 60] 分．（1）写出张先生一次租车费用y （元）与用车时间 t （分）的函数关系式；（2）若张先生一次开车时间不超过 40 分为“路段畅通”，设ξ 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中“路段 畅通”的次数，求ξ 的分布列和期望；（3）若公司每月给1000 元的车补，请估计张先生每月（按 22 天计算）的车补是否足够上、下班租用新 能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）21．（12 分）函数 f (x ) = - a ln x+ x - a + 2 (a ∈ R ) ． x（1）当曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y = x 垂直时，判断函数 f ( x ) 在区间 (e , +∞ ) 上的单调性；（2）若函数F ( x ) = f ( x ) + a在定义域内有两个零点，求a 的取值范围． 4x（二）选考题：共 10 分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．[ 选修 4－4：坐标系与参数方程] （10 分）已知极坐标系中，点 M (42, π，曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2 θ + 3ρ 2 sin 2 θ -12 = 0 ，点N 在曲线 4C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为⎧ ⎪ x = 10 +⎪ ⎨,2 (t 为参数 ) ． ⎪ y = t ⎩ 2（1）求直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的参数方程；（2）求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最大值．23． [ 选修 4－5：不等式选讲] （10 分）已知函数 f (x ) = 2x - 2 - x - 2 ， g ( x ) = x + 1．（1）求不等式 f (x ) < g (x ) 的解集；（2）当x ∈ (2a ,-1 + a ] 时， f (x ) ≥ g (x ) 恒成立，求 a 的取值范围．。
福建省三明市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)答案
三明一中2019～2020学年上学期月考一 高三理科数学试卷参考答案二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分) 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 14. 10 6 15. 5. 16. 8三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ，所以cos θ⋅=⋅a b a b 22== 考虑到0πθ，得向量a 与b 的夹角4π． （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ，因为2⋅=b a ，24=a ， 所以240λ-=，解得2λ=． 18.(本题满分12分)解：(1)()21cos cos sin 32+-=x x x x f x x 2cos 212sin 23-=3362sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 3626πππ≤-≤-∴x 3662cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx1cos 2cos 2cos 2266662x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦632233212336-=⨯-⨯=（2）由a c A b 32cos 2-≤，得a c bca cb b 3222222-≤-+⋅ac b c a 3222≥-+ 222cos 22a cb B ac +-∴=≥(0,)0,6B B ππ∈∴<≤从而得6626πππ≤-<-B 故()⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,2162sin πB B f19.(本题满分12分)解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3. ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝(31)2n n -＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)， 故当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋1－qn1－q .20.(本题满分12分)解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14. (2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，知k ＝m n ⋅＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.21.（本题满分12分)解析:（1）∵12,,n n S a +成等差数列，∴122n n S a +=+，当1n =时， 11224S a a ==+,122aa =+ 当2n ≥时， 112n n n n a S S --=-=， ∵{}n a 是等比数列，∴11a =,则212a+=，得2a =-, ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -= ()*n N ∈ （2）由（1）得 ()()121212n n n b n a n -=-=-⋅， 则2311325272n T =⨯+⨯+⨯+⨯ ()1212n n -++-⋅，①232123252n T =⨯+⨯+⨯++ ()()1232212n n n n --⋅+-⋅，② ①-②得2112222n T -=⨯+⨯+⨯++ ()122212n n n -⨯--⋅()()2112222212n n n -=++++--⋅()()11421212n n n -=+---⋅ ()2323n n =--⋅-．∴()2323n n T n =-⋅+． 22.(本题满分12分)【解析】（1）()x f x e m '=-，若0m ≤，则()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以()f x 无极值。
2024届福建三明一中高三上学期暑假考试(开学考)数学试题及参考答案
高二数学第1页（共6页)三明一中2023-2024学年高三暑期考试数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边上一点P 的坐标为)1,2(-，则αcos 的值为A .55B .55-C .552-D .5522.已知集合{})1ln(2x y y M -==，{}11<<-=x x N ，则A .N M =B .]0,1[-=⋂N MC .)0,1(-=⋂N M D .),1()(+∞-=⋃N M C R 3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若︒===30,2,1A b a ，则B 等于A .︒30B .︒45C .︒30或︒150D .︒45或︒1354．已知53sin =α，),2(ππα∈，21)tan(=-βπ，则)tan(βα-的值为A .112-B .112C .211D .211-5.已知43)6cos(=+πα，则652sin(πα+＝A .81-B .81C .41-D .416.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg20.3≈）A ．20B ．27C ．32D ．407.若过点),(b a 可以作曲线x y ln =的两条切线，则A .b a ln <B .a b ln <C .ab <ln D .ba <ln 8.已知)0,0(sin )1()3sin(2)(>>-++=ωωπωa x a x x f 在),0(π上存在唯一实数0x 使3-)(0=x f ，又32)()(-=x f x ϕ，任意的1x ，2x 均有)()(21x x ϕϕ-≤成立，则实数ω的取值范围是A .351≤<ωB .351≤≤ωC .2365<<ωD .2365≤<ω二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是A .R a ∈∃，使函数xxa y -⋅+=22在R 上为偶函数B .R x ∈∀，函数2cos sin ++=x x y 的值恒为正数C .R x ∈∃，22xx<D .xx x31log )31(),,0(>+∞∈∀10.将函数x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数)(x f 的图象，则A .)62cos()(π+=x x f B .)0,6(π是f (x )图象的一个对称中心C .当12π-=x 时，)(x f 取得最大值D .函数)(x f 在区间45,[ππ上单调递增12.已知函数()f x 的定义域为R ，1f x +为偶函数，()32f x +为奇函数，则A .()f x 的图象关于1x =对称 B.()f x 的图象关于()1,0对称C .()()4f x f x +=D .()201i f i ==∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简)2cos()sin()25sin()2cos(αππααππα-⋅-⋅+-的结果为****．14.已知41sin )(-+=x x x f ),(R b a ∈，若2)3(=-f ，则)3(f ****．15.在ABC ∆中，caB A =sin sin ，bc a c b a c b 3))((=-+++，则ABC ∆的形状为****．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）在ABC ∆中，C C sin 32sin =.(1)求C ；(2)若6=b ，且ABC ∆的面积为36，求ABC ∆的周长.已知xa x x x g -+=ln 2)(.(1)若函数)(x g 在区间]2,1[内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若)(x g 在区间]2,1[上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.19.（12分）已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件)250(≤<x 并全部销售完，每千件的销售收入为)(x R (单位：万元)，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++-≤<-=2510,57175,100,31108)(2x x x x x x R (1)写出年利润)(x f (单位：万元)关于年产量x (单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)已知函数)4cos(46)4sin(42)(x x x f -+-=ππ.(1)求函数)(x f 在区间]23,4[ππ上的最值；(2)若54cos =θ，)2,23(ππθ∈，求32(πθ+f 的值.21.（12分）在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答.①B c b a cos 22=-，②21cos 6sin(+=+C C π，③),(a b c a m --=，),(b c a n +=，n m ⊥.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且________.(1)求角C ；(2)若3=c ，求ABC ∆周长的取值范围.已知曲线)(sin )(:2R a x ae x x f C x ∈-+=（1）若曲线C 过点)1,0(-P ,求曲线C 在点P 处的切线方程；（2）当1-=a 时，求)(x f 在]2,0[π上的值域；（3）若10≤<a ，讨论212cos 21)()(--+=a x x f x g 的零点个数.三明一中2023-2024学年高三暑期考试数学学科参考答案一、选择题123456789101112CDDABBDAACBDABAC二、填空题13.α2sin -14.10-15.等边三角形16.)1,1[e -三､解答题17.解：（1）(1)因为C C sin 32sin =，所以C C C sin 3cos sin 2=.……………2分因为),0(π∈C ，所以0sin ≠C ，……………3分所以23cos =C ，6π=C .……………5分（2）)因为ABC ∆的面积3621621sin 21=⨯⨯⨯==a C ab S ，……………6分所以34=a .……………7分由余弦定理可得12723648cos 2222=-+=-+=C ab b a c ，……………8分所以32=c ，……………9分所以ABC ∆的周长为)13(632634+=++=++c b a .……………10分18.解：（1）)0(12)(2>++='x xax x g .……………1分∴0)(≥'x g 在]2,1[上恒成立，即0122≥++x a x 在]2,1[上恒成立，……………2分∴x x a --≥22在]2,1[上恒成立，……………3分∴max 2)2(x x a --≥，]2,1[∈x ，……………4分3-)2(max 2=--x x ，……………5分∴3-≥a .∴实数a 的取值范围是),3[+∞-.……………6分（2）)(x g 在]2,1[上存在单调递增区间，则0)(>'x g 在]2,1[上有解，……………7分即x x a -->22在]2,1[上有解，……………8分∴min 2)2(x x a -->，……………9分又10-)2(min 2=--x x ，……………10分∴10->a ，……………11分∴实数a 的取值范围是),10(+∞-.……………12分19.解：（1）当100≤<x 时，100381)27100()()(3--=+-=x x x x xR x f ；………2分当2510≤<x 时，7530)27100()()(2++-=+-=x x x x xR x f .……………4分故⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<--=.2510,7530,100,100381)(23x x x x x x x f ……………5分（2）当100≤<x 时，由)9)(9(81)(2-+-=-='x x x x f ，……………6分当)9,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；……………7分当)10,9(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减.……………8分故386100931981)9()(3max =-⨯-⨯==f x f .……………9分当2510≤<x 时，300300)15(7530)(22≤+--=++-=x x x x f .……………10分综上，当9=x 时，年利润取最大值386……………11分所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.……………12分20.解：（1）由题意得)4cos(46)4sin(42)(x x x f -+-=ππ)]4cos(23)4sin(21[22x x -+-⨯=ππ127sin(22π--=x ……………2分因为23,4[ππ∈x ，所以]1211,3[127πππ-∈-x ，……………3分所以]1,23[)127sin(-∈-πx ，……………4分所以]46,22[127sin(22-∈--πx ，……………5分即函数)(x f 在区间23,4[ππ上的最大值为46，最小值为22-.……………6分（2）因为)2,23(,54cos ππθθ∈=，所以53sin -=θ，……………7分所以2524cos sin 22sin -==θθθ，……………8分所以2572592516sin cos 2cos 22=-=-=θθθ，……………9分所以)42sin(2212732sin(22)32(πθππθπθ--=-+-=+f ……………10分)2sin 2(cos 21)2cos 2sin(21θθθθ-=--=50312524257(21=+⨯=.……………12分21.解：（1）选①：由正弦定理及B c b a cos 22=-，得B C B A cos sin 2sin sin 2=-，……………1分又∵C B C B C B C B A sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，……………2分∴B C B sin cos sin 2=.……………3分∵0sin ≠B ，∴21cos =C .……………4分又∵),0(π∈C ，∴3π=C .……………5分选②：由21cos )6sin(+=+C C π，得21cos cos 21sin 23+=+C C C ，……………1分即21cos 21sin 23=-C C ，……………2分∴216sin(=-πC .……………3分∵),0(π∈C ，∴)65,6(6πππ-∈-C ，……………4分∴66ππ=-C ，∴3π=C .……………5分选③：∵n m ⊥，∴0)())((=-++-b a b c a c a ，……………1分化简得ab c b a =-+222，……………2分∴212cos 222=-+=ab c b a C .……………3分∵),0(π∈C ，……………4分∴3π=C .……………5分（2）由余弦定理得ab b a ab b a C ab b a c 3)(cos 2222222-+=-+=-+=.………6分∵ab b a ≥+2，∴4)(2b a ab +≤，当且仅当b a =时等号成立.……………7分∴22)(433)(3b a b a ab +≤-+=，……………8分∴320≤+<b a ，当且仅当3==b a 时等号成立.……………9分∴33332=+≤++c b a .……………10分又∵c b a >+，∴322=>++c c b a .……………11分∴ABC ∆周长的取值范围为]33,32(.……………12分22.解：（1）依题意得，(0)1f a =-=，此时2()sin e x f x x x =--，()sin 2e 1x f x x '=--，……1分则切线斜率为(0)2f '=-，…………2分故切线方程：12(0)y x +=--，即21y x =--…………3分（2）当1-=a 时，x e x x f x --=2sin )(，则12sin )(--='x e x x f ，012sin )(<-≤--='∴x x e e x x f ，……4分)(x f '∴在2,0[π上单调递减，…………5分又21)2(,1)0(2πππ--=-=e f f ，)(x f ∴值域为]1,21[2---ππe .…………6分（3）)10(212cos 21)()(≤<--=--+=a a x ae a x x f x g x ，令01)(=-='x ae x g 得a x ln -=，令0)(>'x g 得a x ln ->，令0)(<'x g 得a x ln -<.)(x g 减区间为)ln ,(a --∞，增区间为),ln (+∞-a ，……7分a a a g x g -+=-≥∴ln 1)ln ()(.当1=a 时，0ln 1=-+a a ，0)(≥∴x g ，)(x g ∴在),(+∞-∞上有且仅有一个零点…8分当10<<a 时，令)10(ln 1)(<<-+=a a a a r ，0111)(>-=-='aa a a r ，)(a r ∴在)1,0(上单调递增，0)1()(=<∴r a r ，…………9分又0)0(=g ，)(x g ∴在)ln ,(a --∞上有一个零点，又a a aa g -+=-ln 21)ln 2(……11分令)10(ln 21)(<<-+=a a a a a ϕ，则0)1()(2<--='aa a ϕ，)(a ϕ∴在)1,0(上单调递减，0)1()(=>∴ϕϕa ，0)ln 2(>-∴a g ，)(x g ∴在)ln 2,ln (a a --上有一个零点.……12分综上所述，1=a 时，)(x g 有一个零点，10<<a 时，)(x g 有2个零点。
福建省三明市第一中学2019-2020学年高二上学期暑假返校考数学试题Word版
福建省三明市第一中学2019-2020学年上学期暑假返校考高二数学试题一、选择题（本题12小题，每小题3分，共36分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
）1.下列关于集合的说法中，正确的是（ ）A ．绝对值很小的数的全体组成一个集合B.方程2(1)0x x -=的解集是{1,0,1}C.由1，a ，b ，c 组成的集合和由c ，b ，a ，1组成的集合相等D.数轴上到原点的距离与1接近的点的全体组成一个集合2.函数9()lg f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A.（6，7）B.（7，8）C.（8，9）D.（9，10）3.角a 终边上有一点（a ，a ），a ≠0，则sin α=（ ）或 C. D.14.某商品降价20%，由于原材料上涨，欲恢复原价，问需提价（）A.10%B.15%C.20%D.25%5.已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A. 34- B. 43- C. 34 D. 436.有下列说法，其中正确的是（ ）A.若0a ≠，则对任意0b ≠,有0a b ⋅≠B.若0a b ⋅=，则a ，b 中至少有一个为0C.a b ⋅表示向量a b ⋅的长度D. b 在a 方向上的投影可能是正数，可能是负数，还可能是07.设函数(2)23g x x +=+，则()g x =（ ）A.21x +B.21x -C.23x -D.27x +8.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ） A. 2sin(2)6y x π=- B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin()6y x π=+D. 2sin()3y x π=+9.在△ABC 中，15AE AB = ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB a =，AC b =，则BF 等于（ ）A.15a b -+ B.15a b - C.2133a b - D.1233a b + 10.已知函数()f x 在[-5，5]上是偶函数，()f x 在[0，5]上是单调函数，且(4)(2)f f -<-，则下列不等式一定成立的是（ ）A. (1)(3)f f -<B. (2)(3)f f <C. (3)(5)f f -<D.(0)(1)f f >11.已知向量(1,3)OA =-，(2,1)OB =-，(1,2)OC m m =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是（ ）A.2m ≠-B.12m ≠C.1m ≠D.1m ≠-12.若sin sin 2αβ-=1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-的值为（ ）A. 12B. 2C.4D.1二、填空题（本题4小题，每小题3分，共12分）13.设集合{0}A x x m =|+≥，{4}B x x =|-2<<，全集U R =，且()U A B =∅ð，则实数m 的取值范围是 .14.将120.7，30.6，10.98-按从小到大的顺序列为 .15.函数(21)()log x f x -=的定义域为 .16.在半径为6的圆中，长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形的面积为 .三、解答题（共6题，52分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分8分） 化简：sin()cos()sin(2)cos()222cos()sin()πππααπααπαπα-+---+-. 18.（本题满分8分）已知奇数函数()f x 在定义域（-1，1）上是减函数，解不等式(1)(13)0f x f x -+-<.19.（本题满分8分）已知点A （2，1），B （3，2），D （-1，4）.①求证：AB ⊥AD.②要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值.20.（本题满分8分） 已知函数2()sin 2()sin(2)2cos 133f x x x x ππ=++-+-，x R ∈. ①求函数()f x 的最小正周期；②求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 21.（本题满分10分） 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产1部，需要增加投入25元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为21()5002N x x x =-其中x 是产品售出的数量（0500x ≤≤）.（1）令x 为年产量，y 表示利润，求()y f x =的表达式.（2）当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？22.（本题满分10分） 已知函数3()31x x n f x +=+为奇函数，n R ∈. （1）求n 的值.（2）利用定义判断并证明函数()f x 的单调性，并求出()f x 在[-2，2]的最小值.。
2019福建三明普通高中毕业班质量检查试题及解析—理科数学
2019福建三明普通高中毕业班质量检查试题及解析—理科数学注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕， 第二卷第21题为选考题，其他题为必考题、本试卷共6页、总分值150分、考试时间120分钟、本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上、2、考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效、3、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚、4、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑、5、保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、 参考公式：样本数据12,x x ，…，nx 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x-为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、0α<<π，且3tan 4α=，那么cos α等于 A 、35- B 、35 C 、45- D 、 452、假设等差数列{}n a 的前5项和525S =，那么3a 等于 A 、3 B 、4 C 、5 D 、63、“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是A 、找出a 、b 、c 三个数中最大的数B 、找出a 、b 、c 三个数中最小的数C 、找出a 、b 、c 三个数中第二大的数D 、把c 的值赋给a题的是A 、假设//,,l n αβαβ⊂⊂，那么//l nB 、假设,l αβα⊥⊂，那么l β⊥C 、假设,l n m n ⊥⊥，那么//l mD 、假设,//l l αβ⊥，那么αβ⊥ 6、双曲线Γ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的离心率2e =，过双曲线Γ的左焦点F 作O ：222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，那么AFB ∠的大小等于A 、45°B 、60°C 、90°D 、120°7、函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 图象的一条对称轴方程为6x π=-，那么实数a 的值为 A、BC、8、正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,那么函数()()log a f x x b =+的图象可能为 9、在Rt △PAB 中，PA ＝PB ，点C 、D 分别在PA 、PB 上，且CD ∥AB ，AB ＝3，AC，那么AD BC ⋅的值为A 、－7B 、0C 、－3D 、310、假设数列{}n a 满足na ab ≤≤，其中a 、b 是常数，那么称数列{}n a 为有界数列，a 是数列{}n a 的下界，b 是数列{}na 的上界、现要在区间[1,2)-中取出20个数构成有界数列{}n b ，并使数列{}nb 有且仅有两项差的绝对值小于1m，那么正数m 的最小取值是A 、5B 、193C 、7D 、233第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置、11、复数122i ,43i z z =+=-在复平面内的对应点分别为点A 、B ，那么A 、B 的中点所对应的复数是、12、函数1()22xx f x =-，且(),(0),()(),(0),f x x g x f x x ≥⎧=⎨-<⎩那么函数g (x )的最小值是、 13、假设23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a =，那么=n 、14、函数()11x f x m -=+(其中0m >，且1m ≠)的图象恒过定点A ，而点A 恰好在直 线220ax by +-=上〔其中0ab >〕，那么14a b+的最小值为、 15、如图，标识为①、②、③、④的四张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母、现在规定：当牌的一面写的是数字3时，它的另一面必须写字母M 、为了检查这四张牌是否符合规定，你仅需．．翻看的牌的标识为、 【三】解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、〔本小题总分值13分〕某工厂共有工人40人，在一次产品大检查中每人的产品合格率〔百分比〕绘制成频率分布直方图，如下图、(Ⅰ)求合格率在［50，60〕内的工人人数；(Ⅱ)为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70〕内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X 表示所选工人合格率在[60，70〕内的人数，求X 的分布列和数学期望、17、〔本小题总分值13分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2，E 在线段PD 上、〔Ⅰ〕假设E 是PD 的中点，试证明： AE ∥平面PBC ；① ② ③ ④〔Ⅱ〕假设异面直线BC 与PD 所成的角为60°，求四棱锥P －ABCD 的侧视图的面积、18、〔本小题总分值13分〕抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点与椭圆224205x y +=的右焦点重合、(Ⅰ〕求抛物线Γ的方程；(Ⅱ〕动直线l 恒过点(0,1)M 与抛物线Γ交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，请你观察并判断：在线段MA ，MB ，MC ，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明、19、〔本小题总分值13分〕函数()f x 的导函数是2()329f x x mx '=++，()f x 在3x =处取得极值，且 (0)0f =，〔Ⅰ〕求()f x 的极大值和极小值；〔Ⅱ〕记()f x 在闭区间[0,]t 上的最大值为()F t ，假设对任意的t (04)t <≤总有()F t t λ≥成立，求λ的取值范围；〔Ⅲ〕设(,)M x y 是曲线()y f x =上的任意一点、当(0,1]x ∈时，求直线OM 斜率的最小值，据此判断()f x 与4sin x 的大小关系，并说明理由、20、〔本小题总分值14分〕某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示、如图2是遮阳篷的截面示意图，AB 表示窗户上、下边框的距离，AB=m ，CD 表示遮阳篷、该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为β〔αβ>〕、假设要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD 和遮阳篷与窗户上边框的距离BC 各为多少？ 21、此题有〔1〕、〔2〕、〔314分.如果多做，(1〕〔本小题总分值7分〕选修设矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭、 图1 图2〔I 〕假设2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；〔II 〕假设曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵M 的作用下变换成曲线C '：2221x y -=，求a b +的值、(3〕〔本小题总分值7分〕选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =++-、(Ⅰ)求()y f x =的最小值；(Ⅱ)假设关于x 的不等式()4f x ≥的解集为A ，求集合A 、2018年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准【一】选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D B A B C B【二】填空题：11、3－i .12、013、714、915、②、④【三】解答题：16、解：〔Ⅰ〕产品合格率在［50，60〕内的频率为：1－〔0.035＋0.03＋0.0225＋0.0075〕×10＝0.05，………………………2分所以产品合格率在［50，60〕内的人数共有40×0.05＝2人、……………………4分 〔Ⅱ〕同〔1〕可得产品合格率在[60，70〕内的人数有40×0.0225×10＝9， 所以产品合格率在[50，70〕内的人数共有11人.依题意，X 的可能取值是1，2，3.………………………6分P (X ＝1)＝2129311C C C ＝355；P (X ＝2)＝1229311C C C ＝2455；P (X ＝3)＝P(A)＝2855.……10分那么X 分布列为：………………………11分所以EX ＝1×355＋2×2455＋3×2855＝2711.………………………13分17、解：〔Ⅰ〕解法一：在四棱锥P －ABCD 中，取PC 的中点F ，连结EF 、FB ，因为E 是PD 的中点，所以EF ∥12CD ∥AB ，………………………………2分所以四边形AEFB 是平行四边形，…………………………………………3分那么AE ∥FB ，而AE ⊄平面PBC ，FB ⊂平面PBC ，…………………………………………5分 ∴AE ∥平面PBC 、……………………………………………6分解法二：如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设PB ＝t ，那么P 〔0,0，t 〕，D 〔－1,2，0〕， C 〔1,2，0〕，A 〔－1,0，0〕，所以E 〔－12，1，2t 〕，1(,1,)22t AE =，…………２分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =a ，那么0,0,BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a a 所以20,0,x y tz +=⎧⎨=⎩即2,0.x y z =-⎧⎨=⎩ 取1y =-，得到平面PBC 的法向量为(2,1,0)=-a 、所以AE ⋅a ＝0，而AE ⊄平面PBC ，那么AE ∥平面PBC .……………………6分 〔Ⅱ〕同〔Ⅰ〕法二建立空间直角坐标系，设PB t =〔t ＞0〕，那么P 〔0,0，t 〕， D 〔－1,2，0〕，C 〔1，2，0〕， 所以PD ＝〔－1,2，－t 〕，BC ＝〔1,2，0〕， 那么|PD |，|BC |9分由异面直线BC 与PD 成60°角，所以PD ·BC ＝||||cos60PD BC ⋅⋅︒12， 又PD ·BC ＝－1×1＋2×2＋(－t )×0＝3，12＝3，解得tPB所以侧视图的面积为S ＝12×2……………………13分18、解：〔Ⅰ〕∵椭圆方程为：2215144x y +=，∴2251,44a b ==，………………2分 所以21c =，即椭圆的右焦点为〔1,0〕， 因为抛物线的焦点为〔2p ，0〕，所以p ＝2，……………………3分那么抛物线的方程为24y x =.…………………………4分〔Ⅱ〕解法一：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，那么C 〔－1k，0〕，由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩得222(2)10k x k x +-+=，………………………………………6分因为△＝224(2)40k k -->，所以k ＜1，………………………………7分设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么1222(2)k x x k -+=-，1221x x k=，………………8分所以由弦长公式得：1|||MA x，2|||MB x，1||||MC k =，12||||AB x x -=，………………10分通过观察得：||||MA MB ⋅＝(21k +)·12||x x ＝(21k +)·21k ＝2||MC .………………11分假设||||MA MB ⋅＝2||AB，那么8k =-±，不满足题目要求.………………12分 所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列.………………………………13分 解法二：同法一得1221x x k=，…………………………………………8分 而MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1122(,)(,)x kx x kx ⋅ ＝212(1)k x x +＝221(1)k k +⋅＝211k +，因为C 〔－1k ，0〕，所以2||MC ＝1＋21k .…………………………10分因为M 、A 、B 三点共线，且向量MA 、MB 同向，所以MA MB ⋅＝||||cos0MA MB ⋅⋅︒＝||||MA MB ⋅，……………………11分 因此||||MA MB ⋅＝211k+＝2||MC . 所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列.………………………………13分解法三：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，那么C 〔－1k，0〕，由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩得2440ky y -+=，…………………………………6分由△＝16－16k ＞0，得到k ＜1， 所以124y y k +=，124y y k ⋅=，212121()16x x y y =，……………………………8分 所以MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1212(1)(1)x x y y +-- ＝2121()16y y ＋12y y －〔12y y +〕＋1 ＝211644116k k k ⋅+-+＝211k+，………………10分 下同解法二.19、解：〔I 〕依题意，(3)0f '=，解得6m =-，……………………1分由可设32()69f x x x x p =-++，因为(0)0f =，所以0p =，那么32()69f x x x x =-+，导函数2()3129f x x x '=-+、…………………………3分由上表可知()f x 在1x =处取得极大值为(1)4f =，()f x 在3x =处取得极小值为(3)0f =、…………………………………5分 〔Ⅱ〕①当01t <≤时，由〔I 〕知()f x 在[0,]t 上递增，所以()f x 的最大值32()()69F t f t t t t ==-+，……………………6分由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得3269t t t t λ-+≥，那么2269(3)t t t λ≤-+=-，因为01t <≤，所以332t -<-≤-，那么24(3)9t ≤-<，因此λ的取值范围是4λ≤、………………………………8分②当14t <≤时，因为(1)(4)4f f ==，所以()f x 的最大值()(1)4F t f ==， 由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得4t λ≥，∴4tλ≤， 因为14t <≤，所以414t≤<，因此λ的取值范围是1λ≤， 综上①②可知，λ的取值范围是1λ≤、……………………10分〔Ⅲ〕当(0,1]x ∈时，直线OM 斜率322()69(3)f x x x x k x x x-+===-， 因为01x <≤，所以332x -<-≤-，那么24(3)9x ≤-<，即直线OM 斜率的最小值为4、…………………………………11分 首先，由()4f x x ≥，得()4f x x ≥.其次，当(0,1]x ∈时，有44sin x x >，所以()4sin f x x >，………………12分 证明如下：记()44sin g x x x =-，那么()44cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在(0,1)递增，又(0)0g =，那么()0g x >在(0,1)恒成立，即44sin x x >，所以()4sin f x x >.……………13分19、解：如下图，设BC x =，CD y =，依题意∠ADC ＝α，∠BDC ＝β.…………2分在△BCD 中，∠BCD ＝πθ-， CBD BDC BCD πθβ∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin()x y βθβ=-，①…………4分 在△ACD 中，CAD ACD CDA πθα∠=-∠-∠=-，AB ＝m ，AC m x =+， 由正弦定理得sin sin()m x y αθα+=-，②…………6分 由①②得sin()()sin()sin sin x m x θβθαβα-+-=，……………………8分 所以sin()sin sin sin()sin sin()m x θαβαθββθα-=---，………………………………11分 sin()sin()sin()sin sin sin()sin sin()m y x θβθαθββαθββθα---==---.……………………13分 答：遮阳篷的伸出长度CD 为sin()sin sin sin()sin sin()m θαβαθββθα----，遮阳篷与窗户上边框的距离BC 为sin()sin()sin sin()sin sin()m θαθβαθββθα-----.……………………14分 21、(1〕〔本小题总分值7分〕选修4-2：矩阵与变换解：〔I 〕设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么110.01MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭又1231M ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以112212103101x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以121221,30x x x x +=+=， 121220,31y y y y +=+=，即11221231,,,,5555x y x y =-===-故所求的逆矩阵112553155M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.………………………………4分 〔II 〕设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点 '(',')P x y ，那么11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭''x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即',',x ay x bx y y +=⎧⎨+=⎩，……………………5分又点'(',')P x y 在曲线'C 上，所以2221x y ''-=，那么22()2()1x ay bx y +-+=， 即2222(12)(24)(2)1b x a b xy a y -+-+-=为曲线C 的方程， 又曲线C 的方程为22421x xy y ++=，比较系数可得2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0,2b a ==，∴2a b +=.……………………7分 (2)(本小题总分值7分〕选修4－4：坐标系与参数方程 解：〔I 〕圆C 直角坐标方程为22(1)(1)4x y -++=， 展开得222220x y x y +-+-=，……………………………2分 化为极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ-+-=、………………………4分 〔II 〕点Q 的直角坐标为(2,2)-，且点Q 在圆C 内，因为||QC =P ，Q两点距离的最小值为||2PC =7分(3)(本小题总分值7分〕选修4－5：不等式选讲解：(I)2 1 , (1),()3, (-12),2 1 , (2),x x f x x x x -+≤-⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩所以()y f x =的最小值为3、……………4分 (II)由(I)可知，当1x ≤-时，()4f x ≥，即()4f x ≥，此时32x ≤-； 当2x ≥时，()4f x ≥，即214x -≥，此时52x ≥、 因此不等式()4f x ≥的解集为A 为{|32x ≤-或25≥x }、…………………7分。
福建省三明市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)答案
三明一中2018—2019学年度高三上学期第一次月考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13．1； 14．－6a b ； 15．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 16．()3,1−.三、解答题17.解:（1）因为()24P ，在曲线31433y x =+上，且2y x '=，……………………….. 2分 ∴在点()24P ，处的切线的斜率2|4x k y ='==． ………………………..4分 ∴曲线在点()24P ，处的切线方程为()442y x −=−，即440x y −−=． ………..6分 （2）设曲线31433y x =+与过点()24P ，的切线相切于点()00,A x y ， 则切线的斜率220|x k y x ='==， …………………..7分∴切线方程为()320001433y x x x x −−=−， ………………..8分∵点()24P ，在切线上，∴2300144233x x =+−，即3200340x x −+=， …………..9分 ∴322000440x x x +−+=，即()()200120x x +−=解得01x =−或02x =，………..10分 ∴所求的切线方程为440x y −−=或20x y −+=． ………………………..12分 18．解：(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ……………………….. 2分∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， ………………………..3分 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ……………………5分 ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. ………………………..6分C D OBE'AH(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ………………………..7分 ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. ………………………8分 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ………………………..10分 ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7). ………………………..12分19．解：(1) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,ODOE , 在OCD ∆中,由余弦定理可得 OD ==， 由翻折不变性可知A D '=, 所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, …………………..4分 同理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE ． …………………..6分(2) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE , 所以A H CD '⊥,所以A HO '∠为二面角A CD B '−−的平面角． …………………..9分 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =, 从而2A H '==所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '−− …………………..12分向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz −如图所示, 则(A ',()0,3,0C −,()1,2,0D −，所以(CA '=,(1,DA '=−， 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩,解得y x z =−⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =− …..9由(1) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===', 即二面角A CD B '−−的平面角的余弦值为5． ………………12分 20．解：（1）由题设得，33(100)(1)200432432x xT x x x x =⨯⨯−+−⨯++21006400432x x x −+=+225(64),8x x x x +−−=∈+N ； …………………..6分∴该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数为T =225(64),8x x x x +−−∈+N ． （2）由（1）得，2225(16512)()(8)x x T x x −+−'=+， …………………..8分令()0T x '=，得到32x =−（舍）或16x =， …………………..9分 当016x <<时，'()0T x >；当16x >时，'()0T x <； ∴()T x 在(0,16)上单调递增，在在(16,)+∞上单调递减；∴16x =为()T x 唯一的极大值点， …………………..11分 根据实际问题，它为最大值点，即当16x =时盈利最大．∴为获得最大盈利，该厂的日产量应为16件． …………………………12分 21.解：（1）函数()f x 的定义域是1(,)a−+∞， 21'()11a xf x a ax x a −=−=++ …………………………………….1分①当0a <时，'()0f x >，函数()f x 在1(,)a−+∞上是增函数； …….2分 ②当0a >时，若10x a −<<，'()0f x >；若0x >，'()0f x <； 所以函数()f x 在1(,0)−上是增函数，在(0,)+∞上是减函数… ……..3分. …….4分问题转化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.故h故a 的取值范围是(,)2+∞.……………………….6分（3）由于当0a <时，函数()f x 不满足题意，所以0a >. ………………………7分()g x '= ……………………….8分 因为0x a−<<，所以2210x a <<，2201a x <<，22110a x −<−<，22221a a a x <−−，则222201aa a x +<−，即()0g x '<，所以函数()g x . ……………………….9分所以1()(0)0g x g >=，于是11()()0f x f x −−>，即11()()f x f x −> ……………10分 又12()()0f x f x ==，则1()f x −>2()f x ， ，20x >，10x ∴−> 由()f x 在(0)+∞，上为减函数可知21x x >−，即120x x +>…………..12分 22．解：（1）直线l :4y x =+,圆C :22(2)4x y +−=, ………..1分联立方程组224(2)4y x x y =+⎧⎨+−=⎩,解得22x y =−⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩, ………..3分对应的极坐标分别为3)4π，(4,)2π ………..5分（2）设(2cos ,22sin )P θθ+,则)1|4d πθ==++， ………..8分当cos()14πθ+=时, d 取得最大值2+ ………..10分23．解：（1）不等式()()f x g x a <+即|2||4|x x −<+，两边平方得2244816x x x x −+<++， ……….. 2分 解得1x >−，所以原不等式的解集为(1,)−+∞． ………..5分（2）不等式2()()f x g x a +>可化为2|2||4|a a x x −<−++，又|2||4||(2)(4)|6x x x x −++≥−−+=， ………..7分所以26a a −<，解得23a −<<，所以a 的取值范围为(2,3)−． ……………….10分。
精选2019届高三数学暑假第一次返校考试试题理
厦门双十中学2018年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ）A ．{}|0AB x x =< B ．A B R =C ．{}|0A B x x =<D ．A B =∅2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x =+D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x x x+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ） A ．72 B ．92 C.72- D ．92- 5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12x y =*的值域为（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数的最大整数，[]()g x x =为取整函数，是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题:若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题：(0,)m ∀∈+∞，关于的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C.○3○4 D ．○1○48.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数41()2x f x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点，且00x <，则实数的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 14.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2018D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数，则． 17.函数21()log (2)3x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为． 18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数，满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是． 19.已知函数()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x =的零点分别为，，，则，，的大小关系是（由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点，和函数2log y x =图象上的点，线段AC 平行于轴，当ABC ∆为正三角形时，点的横坐标为．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 已知抛物线：22y px =（0p >）的焦点为，曲线2y x=与抛物线交于点PF x ⊥轴. （1）求的值；（2）抛物线的准线交轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求AB 的中点的轨迹方程.23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 24.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求、值；（2）若1a <，2b =，关于的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.3 18.9+19.123x x x << 20.三、解答题21.解：（1）由于10x a -≠，则1xa ≠，得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意，有 311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x a⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭ 3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭，。
福建省三明市第一高级中学2019年高三数学理期末试题含解析
福建省三明市第一高级中学2019年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“”的否定是（）A. B. C. D .参考答案：B略2. 若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为( )A．B．C．D．π参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）?（3+2）=0，即32﹣22﹣?=0，即?=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．3. 运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素a，则函数是增函数的概率为 ( )参考答案：C略4. “”是“”的（）A. 充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C5. 函数与在同一坐标系中的图象只可能是（）参考答案：A略6. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A． 6 B．7 C．8 D．9参考答案：D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质7. 若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B圆心为，半径为，圆心到直线的距离为。
要使直线与圆有公共点，则有，即，所以，解得，即，选B.8. 已知向量，，若与共线.则等于（）A． B． C．D．4参考答案：A略9. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A．B． C.D．参考答案：A本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力.因为,,所以.由，得，，所以.又,将选项代入验证可知是一条对称轴方程.10. 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4参考答案：解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1=1，则= ．参考答案：3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值．解答：解：由f'（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列{a n}是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以．故答案为：3．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键．12. 若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，）【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y 轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．13. 若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是.参考答案：略14. =.（用数字作答）参考答案：21015. 的二项展开式中不含x的项为_____________.参考答案：16. 平面向量，，满足，，，，则的最小值为．参考答案：略17. 数列的前项和为，，则数列前50项和为______________参考答案：49略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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三明一中2019届高三第一次返校考试理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13．216； 14．2(2k+1)； 15．800； 16．(,2020)−∞−.三、解答题17．解:（1）z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， ．．．．．．．．．3分所以复数z 的模z ==． ．．．．．．．．．5分（2）w ＝－2＋（4＋a ）i ， ．．．．．．．．．6分 复数w 对应的点为（－2，4＋a ）， ．．．．．．．．．7分 由复数w 在复平面内对应的点在第二象限得 4＋a >0， ．．．．．．．．．8分4a ∴>−所以实数a 的取值范围是()4,−+∞． ．．．．．．．．．10分 18．证明：（1）要证 ac ＋bd ≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）只需证 （ac ＋bd ）2≤（a 2＋b 2）（c 2＋d 2） ．．．．．．．．．2分 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤（bc －ad ）2 ．．．．．．．．．4分 上式显然成立，故原不等式成立 ．．．．．．．．．．6分（2）假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．．．．．．．．．．7分 则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°， ．．．．．．．．．．9分 这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ．．．．．．．．．．11分 所以一个三角形不能有两个直角． ．．．．．．．．．12分 19．解：(1)y ＝f (x )的定义域为（0，＋∞），且f '(x )＝1x，．．．．．．．．．．1分设切点为（x 0，ln x 0），则f '(x 0)＝1x 0， ．．．．．．．．．．2分∴切线方程为y －ln x 0＝1x 0（x －x 0）， ．．．．．．．．．．3分因为切线过点（0，0），所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ， ．．．．．．．．．．4分 故此切线的斜率为1e, ．．．．．．．．．．5分∴切线方程为y=x ，即x -e y=0． ．．．．．．．．．．6分 (2)因为g (x )＝x f (x )=x ln x ，函数的定义域为（0，＋∞）.g ′(x )＝ln x ＋1， ．．．．．．．．．．8分 令y ′>0，得x >1e；令y′<0，得x <1e. ．．．．．．．．．．10分所以函数y ＝g (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ．．．．．12分 20．解:(1)①该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124112.6100%10%112.6−⨯≈； ．．．．．．．．．．3分②由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月 共5个月的环比增长率为负数． ……………………5分(2)由已知计算得：17117221ˆ 1.16i ii ii x yn xybxn x==−=≈−⋅∑∑， ．．．．．．．．．．7分 ˆˆ104.56ay bx =−=， ．．．．．．．．．．9分 ∴线性回归方程为ˆ 1.16104.56y x =+． ．．．．．．．．．．10分 当18x =时，ˆ125.4y=， 即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4． ．．．．．．．．．12分 21．解：（1）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （2）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，3……………………….7分随机变量X的分布列为0 1 2 3……………………….9分（3）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B ）标准7：会用前6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数、后6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A 小于品牌B 的有4次，占2/3. 故品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于B ，品牌A 打开含有文字和图片的文件的速度快于B ）标准8：会用这12次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有6次，占1/2.故品牌A 和品牌B 打开文件的速度相当） 参考数据期望 前6次 后6次 12次 品牌A 5.50 9.83 7.67 品牌B4.33 11.83 8.08 品牌A 与品牌B4.92 10.83 方差 前6次 后6次 12次 品牌A 12.30 27.37 23.15 品牌B5.07 31.77 32.08 品牌A 与品牌B8.2727.9722． (1)证明：22()2ln 2222a a a a f a a ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭， 令2a t =，32()2ln 2()2a f t t g t t =−+=，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ．．．．．．．．．．1分 2222221'()6(1)60g t t t t t t t=−−=−−<， ．．．．．．．．．．3分 ()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ．．．．．．．．．．4分 ()()2ln 442ln 202244g t g >=−+=−−>，所以原命题成立. ．．．．．．．．．．6分 （2）由22()2ln a f x x ax x =−+222ln (0)a x ax x x=−+>有三个零点可得 ()ln (0)ah x x ax x =−+>有三个零点，③当02a <<时，记2()(0)x ax x a x ϕ=−+−>得两个零点为1x ，2x ，不妨设120x x <<，且121x x ⋅=，1(0,)x x ∈时，'()0h x <；12(,)x x x ∈时，'()0h x >；2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，观察可得(1)0h =，且121x x <<，当12(,)x x x ∈时，'()0h x >；()h x 单调递增， 所以有12()(1)()h x h h x <<，即12()0()h x h x <<，1(0,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，()h x 单调递减， ．．．．．．．．．．10分由（1）知，0h >，且1()0h x <，所以()h x 在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点， 由lim ()x h x →+∞→−∞，且2()0h x >，所以()h x 在2(,)x +∞上有一个零点， ．．．．．．11分综上可知()ln (0)ah x x ax x x =−+>有三个零点， 即22222()2ln ln (0)a a f x x ax x ax x =−+=−+>有三个零点，。