13-2数组的运算
第2章 递归与分治_作业答案讲解
具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
Excel中进行模拟运算表的操作方法
Excel中进行模拟运算表的操作方法一旦我们在工作表中输入公式后，就可进行假设分析，查看当改变公式中的某些值时怎样影响其结果，模拟运算表提供了一个操作所有变化的捷径。
今天，店铺就教大家在Excel中进行模拟运算表的操作方法。
希望对你有帮助！Excel中进行模拟运算表的操作步骤Excel中进行模拟运算表的操作步骤1：单输入模拟运算表。
当对公式中的一个变量以不同值替换时,这一过程将生成一个显示其结果的数据表格。
我们既可使用面向列的模拟运算表，也可使用面向行的模拟运算表。
面向列的模拟运算表例如我们对图13-3中的模型进行模拟运算，假设可变成本分别为固定成本的10%、15%、20%、25%和30%，而其他条件不改变时整个公司的利润会怎样变动?其操作步骤如下：(1)在单一列的输入单元格内，输入要Excel替换的值的序列，我们在“A6”单元格中向下输入上述的序列。
在第一个值的上面一行和值列右边的单元格中，键入引用输入单元格的公式，输入单元格可以是工作表上的任一空单元格，我们指定“A5”单元格为输入单元格。
输入附加的公式到同一行中第一个公式的右边，即输入“=A2+A3-B2*A5-B2”。
如图13-4所示。
(2)选定包含公式和替换值序列的矩形区域，如图13-5所示。
(3)执行“数据”--“假设分析”—“数据表”(即模拟运算表)命令，出现如图13-6的对话框。
(4)在“输入引用列的单元格”框中，输入可变单元格地址，在这里我们输入“A5”单元格。
按下“确定”按钮。
之后，Excel就会替换输入单元格中的所有值，且把结果显示在每一个输入值的右侧，如图13-7所示。
还可以提供新值来替换工作表上原来输入的值，这样Excel将使用新值重新进行计算。
使用基于行的模拟运算表的过程和列类似，读者可以自己练习一下。
如果要观察一个输入值的变化对多个公式的影响，可以在已存在的单输入数据表格中增加一个或多个公式。
其操作步骤是在包含已存在公式的行或列中输入新公式，然后选定包含公式和输入值的区域，最后执行“模拟运算表”命令。
2017年-matlab实验内容
2017年文化素质课 MATLAB实验实验一、MATLAB基本操与运算基础【实验目的】〔1〕熟悉MATLAB基本环境，掌握MATLAB变量的使用〔2〕掌握MATLAB数组的创建〔3〕掌握MA TLAB数组和矩阵的运算【实验内容及步骤】熟悉建立数组的方法：逐个元素输入法、冒号法、特殊方法〔使用函数linspace建立〕1、有关向量、矩阵或数组的一些运算（1）设A=15；B=20；求C=A+B与c=a+b？（2）设A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，B=[9 8 7;6 5 4;3 2 1]；求A*B与A.*B？（3）设a=10，b=20；求i=a/b=？与j=a\b= ？（4）设a=[1 -2 3;4 5 -4;5 -6 7]（5）在MATLAB命令行窗口运行A=[1,2;3,4]+i*[5,6;7,8]；看结果如何？如果改成运行A=[1,2;3,4]+i[5,6;7,8]，结果又如何？（6）请写出完成以下计算的指令：a=[1 2 3;3 4 2;5 2 3]，求a^2=？,a.^2=？（7）有一段指令如下，请思考并说明运行结果及其原因clearX=[1 2;8 9;3 6];X( : ) %转化为列向量（8）写出以下指令的运行结果>> A = [ 1 2 3 ]; B = [ 4 5 6 ];>> C = 3.^A>> D = A.^B2、设有矩阵A和B，A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;11 12 13 14 15;16 17 18 19 20;21 2223 24 25]，B=[3 0 16;17 -6 9;0 23 -4;9 7 0;4 13 11]1）求它们的乘积C2）将矩阵C的右下角3x2子矩阵赋给D3、完成以下操作1〕求[100，999]之间能被61整除的数及其个数〔提示：先利用冒号表达式，再利用find和length 函数。
[Matlab]数组运算和矩阵运算
![[Matlab]数组运算和矩阵运算](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/67e7b8e29b89680203d82581.webp)
上面方程是超定方程.要注意的:结果矩阵 x 是列向量形式.如果, >> a=[21 34 20 5; 78 20 21 14; 17 34 31 38]; >> b=[10 20 30]'; >> x=b\a x= 1.6286 1.2571 1.1071 1.0500 上面的方程为不定方程. 4. 矩阵与标量间的四则运算 矩阵与标量的四则运算和数组与标量间的四则运算完全相同,即矩阵中的每个元素与标量进 行加,减,乘,除四则运算.需要说明的是,当进行除法运算时,标量只能做除数. 5. 矩阵的幂运算 矩阵的幂运算与标量的幂运算不同.用符号"^",它不是对矩阵的每个元素进行幂运算,而是与 矩阵的某种分解有关. >> b=[21 34 20; 78 20 21; 17 34 31]; >> c=b^2 c= 3433 2074 1754 3555 3766 2631 3536 2312 2015 6. 矩阵的指数,对数运算与开方运算 矩阵的指数运算,对数运算与开方运算与数组相应的运算是不同的.它并不是对矩阵中的单个 元素的运算,而是对整个矩阵的运算.这些运算函数如下: expm, expm1, expm2, expm3 —— 指数运算函数; logm —— 对数运算函数; sqrtm —— 开方运算函数. >> a=[1 3 4; 2 6 5; 3 2 4]; >> c=expm(a) c= 1.0e+004 * 0.4668 0.7694 0.9200
矩阵 B 的逆乘标量 s A.^n 数组 A 的每个元素的 n 次方 A^n A 为方阵时,矩阵 A 的 n 次方 A+B 数组对应元素的相加 A+B 矩阵相加 A-B 数组对应元素的相减 A-B 矩阵相减 A.*B 数组对应元素的相乘 A*B 内维相同矩阵的乘积 A./B A 的元素被 B 的对应元素除 A/B A 右除 B B.\A 一定与上相同 B\A A 左除 B(一般与右除不同) exp(A) 以 e 为底,分别以 A 的元素为指数,求幂 expm(A) A 的矩阵指数函数 log(A)
python的算术运算
python的算术运算Python是一种功能强大的编程语言，它提供了丰富的算术运算功能，可以进行各种数学计算。
本文将介绍Python的算术运算功能，并以实例展示其用法。
一、基本算术运算1. 加法运算：使用加号（+）进行两个数的相加操作。
例如，计算2和3的和，可以使用如下代码：```pythonresult = 2 + 3print(result)```2. 减法运算：使用减号（-）进行两个数的相减操作。
例如，计算5减去3的结果，可以使用如下代码：```pythonresult = 5 - 3print(result)```3. 乘法运算：使用乘号（*）进行两个数的相乘操作。
例如，计算4乘以6的结果，可以使用如下代码：```pythonresult = 4 * 6print(result)```4. 除法运算：使用斜杠（/）进行两个数的相除操作。
例如，计算10除以2的结果，可以使用如下代码：```pythonresult = 10 / 2print(result)```5. 整除运算：使用两个斜杠（//）进行两个数的整除操作，返回结果的整数部分。
例如，计算13除以5的整数部分，可以使用如下代码：```pythonresult = 13 // 5print(result)```6. 取余运算：使用百分号（%）进行两个数的取余操作。
例如，计算13除以5的余数，可以使用如下代码：```pythonresult = 13 % 5print(result)```二、数学函数的使用除了基本的算术运算，Python还提供了许多数学函数，可以方便地进行各种复杂的数学计算。
1. 幂运算：使用两个星号（**）进行幂运算，将一个数的值提高到另一个数的幂。
例如，计算2的3次方，可以使用如下代码：```pythonresult = 2 ** 3print(result)```2. 开方运算：使用math模块中的sqrt函数进行开方运算。
十进制与二进制
十进制与二进制一句话，二进制与十进制本质上是一样的。
表示方法各个位置上的数字称为“系数”十进制：1234=1*103+2*102+3*101+4*100=1234(十进制数)二进制：1011=1*23+0*22+1*21+1*20=11(十进制数)七进制：1011=1*73+0*72+1*71+1*70=351(十进制数)运算法则十进制：0~9，逢十进一；二进制：0~1，逢二进一。
十进制加法，举例：8+9=17(十进制数)二进制加法，举例：1+1=10(二进制数)11+11=110(二进制数)如何获得各个位置上的数字？短除法十进制：不断地除以10，求余数，再倒过来书写。
见课本(第一册)第4页举例：798÷10=79余879÷10=7余97÷10=0余7十进制转二进制，不断地除以2，求余数，再倒过来书写。
举例：13(十进制数)转为二进制数13÷2=6余16÷2=3余03÷2=1余11÷2=0余1倒过来书写，即1101十进制转其它进制？方法完全一样试一试，把13转成7进制？1、计算机内部信息的表示及存储往往采用二进制形式，采用这种形式的最主要原因是D。
A．计算方式简便B．表示形式单一C．避免和十进制相混淆D．与逻辑硬件相适应2、计算机是用二进制来处理信息的。
二进制数（1000）2和（10）2的关系(A)前者是后者的4倍(B)前者是后者的100倍(C)前者是后者的2倍(D)前者是后者的10倍3、人们通常用的十进制有0到9十个数字，进位规则为“逢10进1”；类似的，三进制有0、1、2这三个数字，进位规则为“逢3进1”。
则将十进制的数字39转化为三进制数是()(A)1021(B)1201(C)1110(D)2101方法：不断的除以3求余数4、将十进制数63转换成二进制数为A.10001B.111111C.1111111D.1000001方法：64=2^6=1000000(1后面6个零)类似的，2=2^1=10，16=2^4=10000，32=2^5=100000，……所以63=64-1=1000000-1=111111其它选项：(A)、10001=2^4+1(C)、1111111=2^7-1(D)、1000001=2^6+1 5、当依次输入1，0，1，1后，输出的结果。
excel数组--随心所欲
EXCEL 函数常用技巧浅析(四)技巧四:数组--随心所欲数组的变化可以说是函数的精髓部分,对于数组的解析太多前辈高人做过很多的讲解过了,我这里只不过把前辈高人本技巧介绍的都是以CTRL+SHIFT+回车键结束的内存数组公式，所谓内存数组，简单的讲就是在内存中保存的或一:数组的基本原理1:一个纵向一维数组与单个元素的运算;单个元素:我这里为什么要把他叫做单个元素,因为无论是一个单元格也好,一个常量数值或文本也好,在数组的运算中成一个横向数组,因为常常在与一维或二维的运算中,这个元素是具有扩展性的,如果与他运算的数组+公式:=B13:B17+12:一个横向一维数组与单个元素的运算;同理,如果这个与其运算的数组是一个一行五列的横向数组,那这个元素也会自动扩展为一个一行五列的数组与之运可以用F9键查看结果的公式形成的是内存数组{2,3,4,53:一个二维数组与单个元素的运算;其结果与与其运+4:一个横向数组与纵向数组运算;一个横向数组与一个纵向数组进行运算,纵向数组扩展成为与其进行运算的横向数组的列数,形成一个行数与原数组纵向数组F9键查看结果的公式5:一维同向数组运算两个一维同向数组运算,其中有一个条件就是这两个数组的行数或列数必须是相等的,其结果行或列数与原数组相同数组一数组二结果145数组对称2+57369公式:=B76:B78+D76:D78数组不对称+6:一维数组与二维数组运算一维数组与二维数组的运算与一维同向数组原理相同,那就是一维数组的行数或列数必须与二维数组的行数或列数相+公式:=B92:B94+D92:E94+纵向数组7:二维数组与二维数组的运算.++二：一维转二维A B C D 转换成A B C E D E F F G H IG H I思维一：LOOKUP 函数(此题出一位前辈高人贴子,具体贴子没查到)LOOKUP 函数一般利用第一参数来驱动数组的结果，我们来想像一下，我们需要构造一个什么样第一步：首先利用ROW 函数构造LOOKUP 函数的第二参数与第三参数(向量法)1A 2B 3C 4D 5E 6F 7G 8H 9ILOOKUP(现在不考虑第一参数,ROW(1:9),A9:A17)第二步:需要得到的结果为三行三列,我们的第一参数也必然是一个三行三列数组来驱动函数的结果想像一个如果要得到正确的结果,我们的第一参数就必须为以下数组:123456789第三步:在我们要得到正确结果中的第一参数中寻找规律,这个规律是很好找的,我们会发现这个数组123公式:=(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C)112324563789公式解析:首先用ROW(1:3)-1产生一个一列三行纵向数组,其结果为{0;1;2},再用这个数组乘以3,其结果依然为001乘以33其原理为纵向数组的第一个元素乘以单个数字,其结26=ROW(1:3)-1=(ROW(1:3)-1)*3再用COLUMN(A:J)产生一个一行三列的横向数组,其结果为{1,2,3}123=COLUMN(A:C)最后用纵向的一维数组(ROW(1:3)-1)*3加上横向的一维数组COLUMN(A:C),其结果为一个三列三1230123此数组运算的原理可以理解为:每一个纵向数组与每3456或者也可以这样理解:每一个横向数组与每一个纵向6789=C60:C62+D59:F59第四步:利用LOOKUP 的向量法进行每一个第一参数的查找,得到结果的数组方向与第一参数一致A B C D E F G H I=LOOKUP((ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C),ROW(1:9),B9:B17)思维二:INDIRECT 函数利用INDIRECT 函数对单元格引用的特性也可以实现以上结果,利用INDIRECT 函数的第一参数来驱到数组的方向,第一步:我们设想一下我们我们应该如果构造INDIRECT 函数的第一参数,现我们的原数据在B9:B17区域,那INDIRECT 函数的第一参数就应该如下表:B9B10B11略去B 91011B12B13B14121314B15B16B17151617第二步:如何实现以上效果,其实规律同思维一是一样的,只是数字不一样而已91011191011公式:=(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(I:K)21213143151617公式解析:同思维一,只是增大了列号第三步:根椐INDIRECT 函数的特性,加上列号,就形成了第一步的第一表列号行号列号行号B9B10B11B12B13B14B15B16B17第四步:用INDIRECT函数引用上面得出的单元格地址,但得到的结果为一个三维结果,用F9与单元格无法显示,在本示就需要用N函数来转换,注意:T与N函数转换三维后得到的结果只是每一个三维平面中第一个单元格的结果,平面中不#VALUE!#VALUE!一列的数组与之运算,其结果也必然是五行一列的结果;单个元素:我这里为什么要把他叫做单个元素,因为无论是一个单元格也好,一个常量数值或文本也好,在数组的运算中成一个横向数,因为常常在与一维或二维的运算中,这个元素是具有扩展性的,如果与他运算的数组纵向一维数组如果不加T的结果为#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!最后公式:=T(INDIRECT("b"&(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(I:K)))思维三:OFFSET函数利用OFFSET函数的第二参数对行的偏移,也可以实现以上效果,第二参数的数组构造与思维一一致,因为OFFSET函A B CD E FG H I公式:=T(OFFSET(B8,(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C),))思维四:VLOOKUP函数因为PINY版主的N(IF({1},)的发现,用VLOOKUP函数实现上面的内存数组不再是难事情,虽然实现的公式看起来有点第一步：用N(IF{1},)可以实现第一参数的数组化,构造方法如思维一的第三步;123456789=IF({1},(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C))第二步:构造VLOOKUP函数第二参数,这里可以用IF函数构造一个9行二列的数组1A=IF({1,0},ROW(1:9),B9:B17)2B3C4D5E6F7G8H9I第三步:进行组装,VLOOKUP函数结果的方向由第一参数驱动,A B CD E FG H I公式:=VLOOKUP(N(IF({1},(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C))),IF({1,0},ROW(1:9),B9:B17),2,0)思维五:INDEX函数同理,用N(IF({1},)也可以实现INDEX函数第二参数的数组化,而且INDEX函数结果的方向也是由第二参数来驱动.A B CD E FG H I=INDEX(B9:B17,N(IF({1},(ROW(1:3)-1)*3+COLUMN(A:C))))三:二维转一维二维转一维的显示原数据内存数组的办法不是很多,而且如果待转区域数值与文本相混合的话会变得很繁琐ABCA B C D转换成DE F G H EI J K L FGHIJKL思维一:OFFSET函数基原理利用OFFSET函数第二参数与第三参数相对应产生的偏移来形成一个一维数组.第一步:首先我们应该考虑应该怎样来构造第二参数与第三参数,想像一下,我们是否应该构造成以下对应数组,这里我第二参数(行偏移)第三参数(列偏移)测试00A01B02C03现在我们来证明一下如此D10构造第二与第三参数是否E11正确F12G13H20I21J22K23L公式:=T(OFFSET(B257,B271:B282,C271:C282))结果证明这种思路是正确的,那剩下的事情就简单了,我们只要找出构造这种数组的办法就行了第二步:构造第二参数与第三参数,从上面的猜想我们可以看到第二参数与第三参数是有明显的规律的,第二参数的规律是重复我们原数据的列数的数据,可以用INT加除法实现,第二参数重复从0到原数据的列数减1,直接第二参数(行偏移)第三参数(列偏移)000102031011121320212223公式:=INT(ROW(4:15)/4-1)公式:=MOD(ROW(4:15),4)第三步:组装再把构造出的参数代入OFFSET函数,因为OFFSET函数取出的数据是三维平面,而这里又是文本,所有要用T函数取出ABCDEFGHIJKL公式:=T(OFFSET(B257,INT(ROW(4:15)/4-1),MOD(ROW(4:15),4)))思维二:INDIRECT函数INDIRECT函数的原理与OFFSET函数差不多,利用INDIRECT函数的R1C1模式也可以构造出同样的数组,所谓的R1第一步:根据INDIRCT特性分别设想R1部分与C1部分,现数据区域在R257C2:R259C5中R1C1测试2572A2573B2574再来测试一下我们的设想C结果证明我2575是否正确D们的设想是正确的2582E2583F2584G2585H2592I2593J2594K2595L第二步:构造R1与C1其实我们只要仔细观察一下,上面的数组与OFFSET函数的第二与第三参数基本上雷同,只是把数字的大小放大了而R1C1257225732574257525822583258425852592259325942595公式:=INT(ROW(4:15)/4+256)公式:=MOD(ROW(4:15),4)+2第三步:组装原理与OFFSET函数第三步一样ABCDEFGHIJKL公式:=T(INDIRECT("R"&INT(ROW(4:15)/4+256)&"C"&MOD(ROW(4:15),4)+2,0))思维三:INDEX函数INDEX函数的原理与OFFSET函数一样,也是通过构造第二参数与第三参数来实现二维转一维,不过如果要形成内存多单元格数组公式,而不是内存数组第一步:根据INDEX函数设想第二参数与第三参数索引值区域索引测试11A12B13C14现在我们来证明一下如此D21构造第二与第三参数是否E22正确F23G24H31I32J33K34L=INDEX(B257:E259,N(IF({1},B374:B385)),N(IF({1第二步:构造索引值与区域索引通过观察,发现上面构造出来的数组与OFFSET雷同索引值区域索引111213142122232431323334=INT(ROW(4:15)/4)=MOD(ROW(4:15),4)+1第三步:组装这一步要给两个参数加上N(IF({1},)结构,否则不会形成内存数组,A AB请通过F9键查看前后两个公式的区别,BC CD DE EF FG GH HI IJ JK KL L=INDEX(B257:E259,N(IF({1},INT(ROW(4:15)/4))),N(IF({1},MOD(ROW(4:15),4)+1)))=INDEX(B257思维四：数字文本混合二维数组转一维上面演示的是纯文本的转换,用T函数就可以转化成结果,那我们也可以举一反三,如果源数据是数字那可以用N函数转这里我介绍三种方法,不做解析,思路还是使用上面三个函数,但都不完美,这里只是起一个抛砖引玉的做用,第一种方法欢迎各位前辈高人提供更佳思路.A12DE F3HI J K L方法一:结果结果#VALUE!结果是出来了,但用F9查看只显示一个单元格的结果,#VALUE!套T也无效,只是更为糟糕,不#VALUE!不会形成内存数组,#VALUE!反而把数字也转成文本型了#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!#VALUE!=IF({1},OFFSET(B373,INT(ROW(4:15)/4-1),MOD(ROW(4:15),4)))=T(IF({1},OFFSET(B373,INT(ROW(4:1方法二:A1这里是完美转换了,而且形成内存数组,2但问题是公式过长,嵌套也多了DEF3HIJKL=IF(T(OFFSET(B373,INT(ROW(4:15)/4-1),MOD(ROW(4:15),4)))="",N(OFFSET(B373,INT(ROW(4:15)/4-1),MOD(ROW(4:1方法三:A12DEF3HIJKL=INDEX(B427:E429,N(IF({1},INT(ROW(4:15)/4))),N(IF({1},MOD(ROW(4:15),4)+1)))此种方法较佳,但是嵌套还是太多,我们后续处理就不能套太多函数了此贴为chenhh803原创,转贴请注明技巧浅析(四)过了,我这里只不过把前辈高人讲过的东西再重新解读一下,数组高手可以飘过。
NumPy学习心得（二）
NumPy学习⼼得（⼆）基本运算数组的算术运算是按元素逐个运算。
数组运算后将创建包含运算结果的新数组。
[python]1. >>> a= np.array([20,30,40,50])2. >>> b= np.arange( 4)3. >>> b4. array([0, 1, 2, 3])5. >>> c= a-b6. >>> c7. array([20, 29, 38, 47])8. >>> b**29. array([0, 1, 4, 9])10. >>> 10*np.sin(a)11. array([ 9.12945251,-9.88031624, 7.4511316, -2.62374854])12. >>> a<3513. array([True, True, False, False], dtype=bool)与其他矩阵语⾔不同，NumPy中的乘法运算符*按元素逐个计算，矩阵乘法可以使⽤dot函数或创建矩阵对象实现(后续章节会介绍)[python]1. >>> A= np.array([[1,1],2. ...[0,1]])3. >>> B= np.array([[2,0],4. ...[3,4]])5. >>> A*B # 逐个元素相乘6. array([[2, 0],7. [0, 4]])8. >>> np.dot(A,B) # 矩阵相乘9. array([[5, 4],10. [3, 4]]) 有些操作符如+=和*=⽤来更改已存在数组⽽不创建⼀个新的数组。
[python]1. >>> a= np.ones((2,3), dtype=int)2. >>> b= np.random.random((2,3))3. >>> a*= 34. >>> a5. array([[3, 3, 3],6. [3, 3, 3]])7. >>> b+= a8. >>> b9. array([[ 3.69092703, 3.8324276, 3.0114541],10. [ 3.18679111, 3.3039349, 3.37600289]])11. >>> a+= b # b转换为整数类型12. >>> a13. array([[6, 6, 6],14. [6, 6, 6]])当数组中存储的是不同类型的元素时，数组将使⽤占⽤更多位（bit）的数据类型作为其本⾝的数据类型，也就是偏向更精确的数据类型(这种⾏为叫做upcast)。
C语言程序设计ppt数组
达数组中打头元素旳地址
2024/10/10
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8.2.1 一维数组旳申明
例8.1 具有基本数据类型旳一维数组旳申明
#define SIZE 10 int array[5]; double d[5],e[SIZE]; char name[SIZE*5];
13. double even;
21. course_even[i]=course_su
/*分别为全部课程旳总分、平均分 m[i]/5.0;
*/
22. sum+=course_sum[i];
14. int i;
23.
} /* 计算各门课平总分 */
24. even=sum/(3.0*SIZE);
2024/10/10
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17
例8.10
8. int course_sum[3]={0,0,0}; 15. for(i=0;i<5;i++){
9. double course_even[3];
16. course_sum[0]+=math[i];
/组**分/ 别为各门课程总分、平均分数17. course_sum[1]+=physics[i];
用若干个数字序号（下标）来区别各数组元素
例如定义float score[30]，可表述30位学生成绩 用数组具有什么好处？
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8.1 数组概述
问题
计算全班30位同学某门课程旳平均成绩
处理措施
设置30个float型变量来统计成绩 设置一种有30个float型元素旳数组来统计成绩
重庆市中考数学 第二部分 题型研究 题型六 新定义题针对演练-人教版初中九年级全册数学试题
题型六 新定义题针对演练1. (2016某某)设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a （a >0）a －b （a ≤0）.例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕ 2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1>0) 参照上面材料，解答下列问题：(1)2⊕ 4＝________，(－2)⊕ 4＝________；(2)若x >12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．2. 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f (123)＝12＋02＝1， .规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))．例如：F 1(123)＝F (123)＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)和F 2015(4)；(2)若F3m(4)＝89，求正整数m的最小值．3. 如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2＝13－(－1)3，26＝33－13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)】(1)请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；(2)求在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？4. (2015某某A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数1232＋22＝131，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此1232＋22＝131是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．5. (2016某某一中三模)当一个多位数为偶数位时，在其中间位插入一位数k(0≤k≤9)得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729＋435×1000，4356729＝729＋6×1000＋435×10000.请阅读以上材料，解决下列问题．(1)若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足此条件的三位关联数；(2)对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数(0≤m≤9，且m为3的倍数)，试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．6. (2016某某外国语学校二诊)定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如(3，6)为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被(3＋6)整除；又如(15，30，60)为三个数的祖冲之数组，因为(15×30)能被(15＋30)整除，(15×60)能被(15＋60)整除，(30×60)能被(30＋60)整除….(1)我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n(n－1)(n≥2，n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想；(2)若(4a，5a，6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.____________________ __________ __________ __________ _______________ _____7. (2016某某南开阶段测试三)进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n (n ≤10)进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0～(n －1)进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数(234)5＝2×52＋3×5＋4＝69，记作(234)5＝69，七进制数(136)7＝1×72＋3×7＋6＝76，记作(136)7＝76.(1)请将以下两个数转化为十进制：(331)5＝________，(46)7＝________；(2)若一个正数可以用七进制表示为(abc )7，也可以用五进制表示为(cba )5，请求出这个数并用十进制表示．8. (2016某某实验外国语学校一诊)有一个n 位自然数abcd …gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd …gha 能被(x 0＋1)整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd …ghab 能被(x 0＋2)整除，按此规律轮换后，d …ghabc 能被(x 0＋3)整除，…，habc …g 能被(x 0＋n_____ _____－1)整除，则称这个n 位数abcd …gh 是x 0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：32＋22＝134能被2整除，243能被3整除，432＋22＝13能被4整除，则称三位数32＋22＝134是2的一个“轮换数”． (1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”； (2)若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a ＝2，求这个三位自然数abc .9. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 32＋22＝13→32＋22＝13→12＋02＝1， →12＋02＝1， 72＋02＝→72＋02＝42＋92＝97→42＋92＝97→92＋72＝130→12＋32＋02＝10→12＋02＝1， 所以32＋22＝13和72＋02＝都是“快乐数”．_____ _____ _____ __________ (1)写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；(2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”.10. 定义一种对于三位数abc (a 、b 、c 不完全相同)的“F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)．例如abc ＝213时，则 213――→F 198(32＋22＝131－123＝198)――→F792(981－189＝792)． (1)579经过三次“F 运算”得________；(2)假设abc 中a ＞b ＞c ，则abc 经过一次“F 运算”得______(用代数式表示)；(3)猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值，请证明你的猜想．11. (2016大渡口区诊断性检测)若一个整数能表示成a 2＋b 2(a ，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12.再如，M ＝x 2＋2xy ＋2y 2＝(x ＋y )2＋y 2(x ，y 是整数)，所以M 也是“完美数”． (1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；(2)已知S ＝x 2＋4y 2＋4x －12y ＋k (x ，y 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．12. (2016某某西大附中第九次月考)对于实数x ，y 我们定义一种新运算L (x ，y )＝ax ＋by (其中a ，b 均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L (x ，y )，其中x ，y 叫做线性数的一个数对．若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．(1)若L (x ，y )＝x ＋3y ，则L (2，1)＝________，L (32，12)＝________； (2)已知L (1，－2)＝－1，L (13，12)＝2. ①a ＝________，b ＝________；②若正格线性数L (m ，m －2)，求满足50<L (m ，m －2)<100的正格数对有多少个；③若正格线性数L (x ，y )＝76，求满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．13. (2016某某巴蜀二诊)古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：记第n 个k 边形数N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n (n ≥1，k ≥3，k 、n 都为整数)， 如第1个三角形数N (1，3)＝3－22×12＋4－32×1＝1； 第2个三角形数N (2，3)＝3－22×22＋4－32×2＝3； 第3个四边形数N (3，4)＝4－22×32＋4－42×3＝9； 第4个四边形数N (4，4)＝4－22×42＋4－42×4＝16. (1)N (5，3)＝________，N (6，5)＝________；(2)若N (m ，6)比N (m ＋2，4)大10，求m 的值；(3)若记y ＝N (6，t )－N (t ，5)，试求出y 的最大值．题型六 新定义题针对演练1. 解：(1)2，－6.【解法提示】2⊕ 4＝42＝2，(－2)⊕ 4＝－2－4＝－6. (2)∵x ＞12， ∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝12142--x x ＝－4－(1－4x )， 即2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.∴x 的值为3.2. 解：(1)F 2(4)＝F (F 1(4))＝F (F (4))＝F (16)＝12＋62＝37； F 1(4)＝F (4)＝16，F 2(4)＝37，F 3(4)＝58，F 4(4)＝89，F 5(4)＝145，F 6(4)＝26，F 7(4)＝40，F 8(4)＝16，通过观察发现，每进行7步运算是一个循环，2015÷7＝287……6，因此F 2015(4)＝F 6(4)＝26.(2)由(1)可知，每进行7步运算是一个循环，F 4(4)＝89＝F 11(4)＝F 18(4)＝F 4＋7i (4)，其中i ＝0，1，2，3，…，要求m 的最小值，则(4＋7i )为3的最小公倍数，因为3m >4，所以3m ＝18，所以m ＝6.3. 解：(1)98是麻辣数，169不是麻辣数，理由如下：设k 为整数，则2k ＋1，2k －1为两个连续奇数，设M 为麻辣数，则M ＝(2k ＋1)3－(2k －1)3＝24k 2＋2， ∵98＝53－33，故98是麻辣数；M ＝24k 2＋2为偶数，故169不是麻辣数． (2)同(1)令M ≤2016，则24k 2＋2≤2016， 解得k 2≤100712<84， 故k 2＝0，1，4，9，16，25，36，49，64，81， 故M 的和为24×(0＋1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81)＋2×10＝6860.所以，在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为6860.4. 解：(1)1331，2442，1001.猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除．理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx ，用十进制表示为：1000x ＋100y ＋10y ＋x ＝1001x ＋110y ＝11(91x ＋10y )，∵x 、y 是0～9之间的整数，∴11(91x ＋10y )能被11整除．∴任意一个四位“和谐数”能被11整除．(2)设这个三位“和谐数”为xyx ，用十进制表示为：100x ＋10y ＋x ＝101x ＋10y ，∵它是11的倍数， ∴1110101y x +为整数． 将这个式子变形：1110101y x +＝11291121199y x y x y x y x -++=-++， ∵x 、y 是0～9之间的整数， ∴112y x -应为整数． 又∵1≤x ≤4，0≤y ≤9，∴2≤2x ≤8，－9≤－y ≤0，∴－7≤2x －y ≤8， ∵要使112y x 是整数，则2x －y 只能是0， ∴2x －y ＝0，即y ＝2x ，∴y 与x 的函数关系式是y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．5. (1)解：如：135，225，315，405.【解法提示】设原来的两位数为xy ，插入的数字为k .由题意得：9(10x ＋y )＝100x ＋10k ＋y ，化简得：4y －5x ＝5k ，当k ＝0时，4y －5x ＝0，则x ＝4，y ＝5；当k ＝1时，4y －5x ＝5，则x ＝3，y ＝5；当k ＝2时，4y －5x ＝10，则x ＝2时，y ＝5；_____ __________ ___ 当k ＝3时，4y －5x ＝15，则x ＝1，y ＝5.(2)证明：设一个位数为2n 位的多位数为ab ，中间插入数字m ，得其关联数(0≤m ≤9，且m 为3的倍数)为amb ，由题意得，amb －10ab ＝a ×10n ＋1＋m ×10n ＋b －10(a ×10n ＋b )＝m ×10n－9b ， ∵m 是3的倍数，∴m ×10n能被3整除， 又∵9b 能被3整除，∴m ×10n－9b 能被3整除， 故对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m (0≤m ≤9，且m 为3的倍数)，所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．6. (1)证明：∵n ＋n (n －1)＝n ＋n 2－n ＝n 2， ∴n ·n (n －1)÷[n ＋n (n －1)]＝n －1，∵n ≥2，n 为整数，∴n －1是整数，∴n 和n (n －1)(n ≥2，n 为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组．(2)解：∵(4a ，5a ，6a )是三个数的祖冲之数组，∴可设⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+=⋅+=⋅pa a a a n a a a a ma a a a )65(65)64(64)54(54，即⎪⎩⎪⎨⎧===pa n a ma 1130512920，∴920m ＝512n ＝1130p ，化简得：22p ＝25n ＝27m ；∵m 、n 、p 均为整数，∴m ＝22×25×i (i 为整数)，∴a ＝920×22×25i ＝25119i⨯⨯，∵a 是整数，∴i 为偶数，当i ＝2时，a ＝495，当i ＝4时，a ＝990，__________ _____ _____ __________ 当i ＝6时，a ＝1485，不是三位数，舍去，综上所述，满足条件的所有三位正整数a 为495和990.7. 解：(1)(331)5＝3×52＋3×5＋1＝91； (46)7＝4×7＋6＝34.(2)∵(abc )7＝a ×72＋b ×7＋c ，(cba)5＝c ×52＋b ×5＋a ， ∴25c ＋5b ＋a ＝49a ＋7b ＋c ，即24a ＋b ＝12c ，∵a 、b 、c 是0～6的整数，∴b ＝0，c ＝2a ，当a ＝1时，c ＝2，这个十进制的数为51；当a ＝2时，c ＝4，这个十进制的数为102；当a ＝3时，c ＝6，这个十进制的数为153.8. (1)证明：设此两位数为a 2a ，∵a 2a ＝10a ＋2a ＝12a 为6的倍数，轮换后2aa ＝20a ＋a ＝21a 为7的倍数，_____ _____ _____ _____∴a 2a 为6的一个轮换数．故这个两位自然数一定是“轮换数”．(2)解：∵此三位数为2bc ＝200＋10b ＋c ＝198＋9b ＋(2＋b ＋c )，为3的倍数， ∴(2＋b ＋c )为3的倍数，第一次轮换后：bc 2＝100b ＋10c ＋2＝100b ＋8c ＋(2c ＋2)，为4的倍数，∴(c ＋1)为2的倍数，即c 为奇数，第二次轮换后：c 2b ＝100c ＋20＋b ，为5的倍数，则b 为0或者5.当b ＝0时，2＋b ＋c ＝2＋c ，为3的倍数且c 为奇数，则c ＝1，或7，即三位数为201 或207；当b ＝5时，2＋b ＋c ＝7＋c 为3的倍数且c 为奇数，则c ＝5，即三位数为255.综上所述，这个三位自然数abc 为201，207或255.9. 解：(1)最小的两位“快乐数”是10; 19是“快乐数”. 证明：由题意可知，用反证法证明数字4经过若干次运算后都不会出现数字1即可． ∵4→16→37→58→89→145→42→20→4→16…→4出现两次，∴后面将重复出现，永远不会出现1，∴任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4.(2)设这个三位“快乐数”为abc，由题意知，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或100，所以a2＋b2＋c2＝10或100，又因为a、b、c为整数，且a≠0，所以a2＋b2＋c2＝12＋32＋02＝10或a2＋b2＋c2＝0＋62＋82＝100.(i)当a＝1，b＝3或0，c＝0或3时，这个三位“快乐数”为130，103；(ii)当a＝2时，b、c无解；(iii)当a＝3时，b＝1或0，c＝0或1时，这个三位“快乐数”为310，301；同理当a2＋b2＋c2＝100时，因为62＋82＝100, 所以这个三位“快乐数”的所有可能为680，608，806，860.综上所述，一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个.又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，经计算知只有310和860满足条件．10.解：(1)495.【解法提示】①975－579＝396；②963－369＝594；③954－459＝495.(2)99(a－c)．【解法提示】(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝100a＋10b＋c－100c－10b－a＝99a－99c＝99(a－c)．(3)证明：设这个三位数中三个数字为a，b，c，且a≥b≥c，a≥c＋1，则经过“F运算”_____ _____有abc－cba＝99(a－c)＝100(a－c－1)＋10×9＋(10＋c－a)，因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9，共有990，981，972，963，954五种情况；以990为例得，990－099＝891，981－189＝792，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，…，由此可知最后得到495时就会循环．∴任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值，这个定值为495.11.解：(1)0，1，2，4，8，9均可．∵29＝52＋22，∴29是“完美数”．(2)根据题意S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k＝(x2＋4x)＋(4y2－12y)＋k＝(x＋2)2－4＋(2y－3)2－9＋k＝(x＋2)2＋(2y－3)2＋(k－13)．要使S为“完美数”，则k－13＝0，即k＝13.(3)设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2(a，b，c，d都是整数)，则mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＋b2c2－2abcd＋a2d2＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2， ∴mn 也是“完美数”．12. 解：(1)5；3.【解法提示】由新定义得，L(2，1)＝2＋3×1＝2＋3＝5；L(32，12)＝32＋3×12＝3. (2)①3；2. 【解法提示】由定义得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-2213112b a b a ，解得⎩⎨⎧==23b a . ②由新定义，得L (m ，m －2)＝3m ＋2(m －2)＝5m －4，∵50<L (m ，m －2)<100，∴⎩⎨⎧<->-100455045m m ，解得545<m <1045， ∵m 和m －2均为正整数，∴经计算可知满足50<L (m ，m －2)<100的正格数对共有10个． ③由L (x ，y )＝3x ＋2y ＝76，得y ＝2376x -， ∵x >0，y >0，即2376x ->0，解得x <763，又∵x ，y 均为正整数，∴x 为偶数，∴经计算可知共有12个满足条件的正格数对，若x ，y 满足问题②，则x －y ＝2，即x －2376x -＝2， 解得x ＝16，∴y ＝x －2＝14，∴在这些正格数对中，有满足问题②的数对，为⎩⎨⎧==1416y x .13. 解：(1)15；51.【解法提示】根据题意得，N (5，3)＝3－22×52＋4－32×5＝252＋52＝15； N (6，5)＝5－22×62＋4－52×6＝54－3＝51. (2)由题意得，6－22m 2＋4－62m ＝4－22(m ＋2)2＋4－42(m ＋2)＋10， 化简得m 2－5m －14＝0， 解方程得，m ＝7或m ＝－2(不合题意，舍去)，故m ＝7.(3)由题意得，y ＝22-t ×62＋24t -×6－5－22t 2－4－52t ＝－32t 2＋312t －24， 整理得y ＝－32(t －316)2＋38524， ∵a ＝－32<0，且t 是整数，∴当t ＝5时，y 有最大值，其最大值为16.。