2018年全国各地高考数学一模试卷(理科)及答案解析(合集)
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）
A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）
A．a=3B．a=0C．a≠0D．a＜0
3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣
5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）
A．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
B．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减
C．?a∈R，f（x）是偶函数
D．?a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）
A．﹣16B．16C．48D．﹣48
7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．π+4+4B．2π+4+4C．2π+4+2D．2π+2+4
8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）
A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c a
C．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b
9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）
A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？
10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）
A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）
11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）
A．B．C．1D．2
12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的
a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为．
14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交
双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．
16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，
AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．
（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；
（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．
19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．
（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．
①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；
②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．
（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；
（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；
（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）
（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）
A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R
【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，
B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，
则A∩B={x|0＜x＜2}，
A∪B=R．
故选：D．
2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）
A．a=3B．a=0C．a≠0D．a＜0
【解答】解：由z+3i=a+ai，
得z=a+（a﹣3）i，
又∵复数z是纯虚数，
∴，解得a=0．
故选：B．
3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，
由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，
则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，
∴满足题意的概率值为：1﹣=．
故选：B．
4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，
∴a5=．
则tan a5=tan=﹣．
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
B．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减
C．?a∈R，f（x）是偶函数
D．?a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，
当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，
故A，B均错误，
?a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，
故C错误，
故选：D．
6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）
A．﹣16B．16C．48D．﹣48
=?24﹣r（﹣x）r，
【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为T r
+1
∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣?23+24=﹣16，
故选：A．
7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．π+4+4B．2π+4+4C．2π+4+2D．2π+2+4
【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：
其表面积S=2×π?12+2××2×1++﹣2×1=2π+4 +4，
故选：B
8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）
A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c a
C．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b
【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，log b a＜log c a正确，
∵a＞1，0＜c＜b＜1，
∴a c＜a b，a﹣c＞0，
∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，
∵c﹣b＜0，
∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，
故选：C．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）
A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？
【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，
第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，
第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，
第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，
第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，
第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，
第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，
第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，
第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，
第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11
第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，
故判断框中的条件可以是S＜4095？，
故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）
A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）
【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，
根据+φ=2?（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．
将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，
故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．
故选：A．
11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）
A．B．C．1D．2
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，
可得，
消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得x P+x Q=6，x P x Q=1，
|PF|=x P+1，|QF|=x Q+1，
|PF||QF|=x Q+x P+x P x Q+1=6+1+1=8，
则+===1．
故选：C．
12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）=a n+1，
﹣（n+1）a n=1，
即na n
+1
则有﹣==﹣，
则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1 =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，
∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，
∴2t2+at﹣1≥3，
化为：2t2+at﹣4≥0，
设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有即，
可得t≥2或t≤﹣2，
则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0．
【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），
向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），
∵向量2﹣与=（1，2）共线，
∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．
∴向量=（1，﹣），
∴向量在向量方向上的投影为||?cos＜，＞===0．
故答案为：0．
14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．
【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，
平移直线y=至B点时，
z=x﹣3y+1取得最大值，联立，
解得B（，）．
所以z=x﹣3y+1的最大值是：．
故答案为：﹣．
15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．
【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，
以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，
可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，
解得e=1+，e=1﹣舍去．
故答案为：1+．
16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．
【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，
由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）
则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），
V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），
由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；
当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．
∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，
此时长方体的高为6﹣2x=2，
∴其外接球的直径2R==2，∴R=，
∴其外接球的体积V==4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．
【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=，
∴A=．
（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，
解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴=，
∴AD=AC=．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．
（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；
（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．
【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵
AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，
又M为CC1的中点，∴．
∴四边形CDEM是平行四边形．
∴CD∥EM，
又EM?MAB1，CD?MAB1
∴CD∥平面MAB1；
解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为