【精准解析】2021届高考数学一轮知能训练：专题五 圆锥曲线的综合及应用问题+第1课时

|k|
12 3
＝ ·4|k| 2
12 ＝ 12
k＝± 3时等号成立
3
2
，
|k|
∴|S1－S2|的最大值为 3，
则|S1－S2|的取值范围为 0≤|S1－S2|≤ 3.
-7-
，∴c＝1，a＝2.
-6-
∴椭圆方程为x2＋y2＝1. 43
(2)当直线 l 无斜率时，直线方程为 x＝1，此时 C
1，－3 2
，D
1，3 2
，△ABD，△ABC
面
积相等，|S1－S2|＝0；
当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时，
设直线 l 方程为 y＝k(x－1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， x2＋y2＝1，
△AFB
的面积记为 S2＝1× 2
2－1 4
(|y1|＋|y2|)＝7 8
y1＋y21
，
则
2S1－S2＝98
y1＋ 2 y1
≥9
4
2，的最小值是9
4
2.
7．解： (1)连接 QF.
∵|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2 2(|EF|＝2)，
∴点 Q 的轨迹是以 E(－1,0)，F(1,0)为焦点，长轴长 2a＝2 2的椭圆， 即动点 Q 的轨迹Γ的方程为x2＋y2＝1.
x＝my＋n y1＋y2＝m
， y2 － my － n ＝ 0 ， ∴
y1y2＝－n，
O→A·O→B＝2，x1x2＋y1y2＝y21y22＋y1y2＝2，∴y1y2＝－2，即 n＝2，直线 AB 方程为 x＝my＋2
过点(2,0)，
△AOB 的面积记为 S1＝12×2(|y1|＋|y2|)＝y1＋y21，
专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第 1 课时
1．已知椭圆x2＋y2＝1 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点 A(0,2 3)，当点 P 在椭圆上运 95
动时，△APF 的周长的最大值为________ .
2．已知点
F1，F2
是x2＋y2＝1 4
的左、右焦点，点
P
在椭圆上运动，则P→F1·P→F2的最大值是
-3-
专题五 圆锥曲线的综合及应用问题
第 1 课时
1．14 解析：如图 D191 所示设椭圆的左焦点为 F′，
图 D191
|AF|＝4＝|AF′|，
则|PF|＋|PF′|＝2a＝6，
∵|PA|－|PF′|≤|AF′|，
∴△APF 的周长＝|AF|＋|PA|＋|PF|＝|AF|＋|PA|＋6－|PF′|≤4＋6＋4＝14，当且仅当三点
x＝ky＋2，
∴x1x2＝614×(－16)2＝4，∵x1>0，x2>0，∴|PN|＋4|QM|＝x1＋4x2＋15≥2 4x1x2＋15＝23，当
且仅当 x1＝4，x2＝1 时取等号，∴|PN|＋4|QM|的最小值为 23.故选 A.
-4-
y2＝x 6 ． C 解 析 ： 设 直 线 AB 方 程 为 x ＝ my ＋ n 联 立
c2＝a2－b2， 解得 a2＝9，b2＝8，c2＝1. ∴椭圆 C 的方程为x2＋y2＝1.
98 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 E(x0，y0)，点 G(m,0)，使得|GM|＝|GN|，则 GE ⊥MN.
y＝kx＋2，
由 x2＋y2＝1， 得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0， 98
方程是 y2＝8x，焦点坐标是 C2(2,0)，准线方程是 x＝－2，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则|PN|
＝|PC2|＋1＝x1＋2＋1＝x1＋3，|QM|＝|QC2|＋1＝x2＋2＋1＝x2＋3，设直线 l 的方程是 x＝ky＋
y2＝8x，
2，由
得 y2－8ky－16＝0，则Δ＝64k2＋64>0，∴y1y2＝－16，∵y21＝8x1，y22＝8x2，
由Δ>0，得 k∈R，且 k≠0.
∴x1＋x2＝－9k326＋k 8，
∴x0＝9－k21＋8k8，y0＝kx0＋2＝9k12＋6 8.
16 －0
∵GE⊥MN，∴kGE＝－1，即 9k2＋8 ＝－1，
k
－18k －m k
9k2＋8
∴m＝9－k2＋2k8＝9－k＋28. k
当 k>0 时，9k＋8≥2 9×8＝12
n－3 4
2－7，∵n≥
3，故当
3
3
4
n＝ 3时取得最小值，最小值为 3－2 3，故选 A.
5．A 解析：圆 C2：x2＋y2－4x＋3＝0 的圆心坐标是 C2(2,0)，半径是 1，由题意知，可
设抛物线 C1 的方程是 y2＝2px(p>0)，∵抛物线 C1 过点(2,4)，∴4p＝16，p＝4.∴抛物线 C1 的
→ 方法二，可设点 P(2cos α，sin α)，转化为三角问题，则由PF1＝(－ 3－2cos α，－sin α)，
P→F2＝( 3－2cos α，－sin α)，得到P→F1·P→F2＝3cos 2α－2≤1.故选 D.
3．A 解析：设 M(m,0)，MA，MB 为抛物线的切线，显然关于 x 轴对称，设其中一条方
34
-1-
8．(2018 年浙江)如图 Z5­1，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上．
(1)设 AB 的中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2＋y2＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
1(a>0)有共同的焦点 F，O 为坐标原点，P 在 x 轴上方且在双曲线上，则O→P·F→P的最小值为( )
A．3－2 3 B．2 3－3
C．－7 D.3
4
4
5．已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点(2,4)，圆 C2：x2＋y2－4x＋3
＝0，过圆心 C2 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
因此，△PAB 的面积为
S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝3
4
2(y20－4x0)3. 2
∵x20＋y420＝1(x0<0)，
∴y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]．
因此，△PAB 面积的取值范围是 6
2，15 10 4
.
c＝1， a3
9．解：(1)由已知得 1·2c·b＝2 2， 2
消去 x 整理得(m2＋2)y2＋2mny＋n2－2＝0，
又Δ＝4m2n2－4(m2＋2)(n2－2)＝8(m2－n2＋2)＝8,
由韦达定理得 y1＋y2＝－m22m＋n2，y1y2＝mn22－＋22.
又λ＝O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝(my1＋n)(my2＋n)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2＝3n2－m22＋m22－2＝mm22＋＋12∈
y＋y0
1y2＋x0
∵PA，PB 的中点在抛物线上，∴y1，y2 为方程 2 2＝4·4
，
2
即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实数根．
∴y1＋y2＝2y0.
因此，PM⊥y 轴．
y1＋y2＝2y0， (2)解：由(1)可知
y1y2＝8x0－y20，
-5-
∴|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝2 2y20－4x0.
4
图 Z5­1
9．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为13，点 P 在椭圆 C 上，且△PF1F2 的面积的最大值为 2 2.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线 l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若在 x 轴上存在点 G，使 得|GM|＝|GN|，求点 G 的横坐标的取值范围．
A，F′，P 共线时取等号．
∴△APF 的周长最大值等于 14.
2．D 解析：方法一，设点 P(x0，y0)，F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，P→F1＝(－ 3－x0，－y0)， P→F2＝( 3－x0，－y0)，P→F1·P→F2＝x20－3＋y20＝x20－3＋1－x420＝34x20－2.又∵x20≤4，∴34x20－2≤1.
2
(2)依题意结合图形知直线 l 的斜率不可能为零，∴设直线 l 的方程为 x＝my＋n(m∈R)．
∵直线 l 即 x－my－n＝0 与圆 O：x2＋y2＝1 相切，
∴ |n| ＝1，解得 n2＝m2＋1. m2＋1
x＝my＋n， 又∵点 A，B 的坐标(x1，y1)，(x2，y2)满足：
x2＋2y2－2＝0，
与椭圆方程联立得到 4 3
y＝kx－1，
消去 y 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
显然Δ>0，方程有根，
∴x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝31＋2|4kk| 2.
12
∵k≠0，上式＝
பைடு நூலகம்
3
≤ ＋4|k| 2
当且仅当 9k＝8，
2
k
k
即 k＝2 2时，取等号
3
，
∴－ 2≤m<0; 12
当 k<0 时，9k＋8≤－12
当且仅当 9k＝8，即
2
k
k
k＝－2 2时，取等号
3
，
∴0<m≤
2，∴点 G 的横坐标的取值范围为
－ 2，0 12
∪
0， 2 12