1_1 映射与函数

华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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三、集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性 y x1 x2 时, x1 , x2 I , 当 , f ( x) M , 称 为有上界 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 , M f (单调增函数 x), 称 为有下界 ; )1 x M 2 , x ( x) 为 Ix上的 D, 使 f ( xx 若 若对任意正数 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 M ,f 均存在 单调减函数 . 则称 f ( x ) 无界 .
( a a 点的 邻域 ( a , ) x a x a
0
( , ) x x R x


) a
xa
去心 邻域 ( a , ) x 0 x a 左 邻域 : (a , a) ,
例如, 常量函数 f ( x) C
周期为
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数 Page
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1 为 f 的反函数 . 习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
y f 1 ( x) , x f ( D)
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t
)2 解: f ( 1 2
1 2

2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D (0 , )
值 域 f ( D ) (0, )
t 0时
函数无定义
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有了变数 , 运动进入了数学,
有了变数，辩证法进入了数学 , 恩格斯 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
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主要内容
1.分析基础 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程

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其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
). 右 邻域 : (a , a Page
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
第1章 函数与极限
§1.1 映射与函数
一、什么是高等数学 ?
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
二、如何学习高等数学 ? 三、集合 四、映射 五、函数
4
1
2
1
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数.
o
P ( a, b)
x
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 — 复合映射的特例 设有函数链
y f (u ), u D1
则
且 g ( D) D 1
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少. 可定义复合 例如, 函数链 : y arcsin u , 函数
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的为函数
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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义
定义5 若映射 使 称此映射 f 1 为 f 的逆映射 .
f
为单射, 则存在一新映射
其中
D
f 1
习惯上 , y f ( x) , x D
的逆映射记成
f ( D)
合映射 , 记作
g f
或 f g ( x), x D.
g ( D)
注意: 构成复合映射的条件 g ( D) D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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五、函数
1. 函数的概念
定义7. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣. 一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f ( x) f ( x) , 则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
x o
y x e
xx
f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
称为 f 的 值域 .
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注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
若
f
Y f (X )
有
X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2
(2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ( a , b ) x a x b
B
A c BA
B
特例: R R 记 R 2 为平面上的全体点集
A B
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A
四、 映射
1. 映射的概念 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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引例2.
引例3.
(点集)
(点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2
可定义复合函数:
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X
y f ( x) , x D
因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形:
y y
C ( x , y ) y f ( x) , x D D f ( D)

a x b ( D [a, b] )
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x
xD
(定义域) • 定义域
f
y f ( D) y y f ( x), x D
闭区间 [ a , b ] x a x b
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半开区间 [ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b 无限区间 [ a , ) x a x ( , b ] x x b
记
奇函数
y 1
th x 双曲正切
o 1
y th x x
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(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
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例1.
海伦公式
(满射) 例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射) 例3. 如图所示, 则有
r
(满射)
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说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
X (≠ )
f f
Y (数集) X
f 称为X 上的泛函
y f 1 ( x) , x f ( D)
例如, 映射 其逆映射为
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(2) 复合映射
引例.