自动控制原理及应用4.3

一、参量根轨迹
K ‘P(s) 经整理变换为 有时也需要了解反馈系数、时间常数 有时也需要了解反馈系数、=-1 Q(S)
等其它参量对系统性能的影响， 等其它参量对系统性能的影响，这时就使 据上式按照前述绘制根轨迹的规则 m 条根轨迹终止于开环传递函数 K即可绘制参量根轨迹图 为确定数， 。 r为确定数， 绘制出系统的其它某个参量 个零点。 的m个零点 注意： 注意：参量根轨迹的起点和终点与一般 K变化时的根轨迹，称为参量根轨迹。 变化时的根轨迹， 变化时的根轨迹 称为参量根轨迹。 m<n: m<n: 与一般系统的根轨迹图是一样的 根轨迹图略有不同。 根轨迹图略有不同。 设系统根轨迹方程为 m>n: 系统有m m>n: 系统有m条根轨迹 KrB(s) 条起始于开环传递函数的个n n条起始于开环传递函数的个n极点 G(s)H(s)=-1 即 =-1 A(s) m-n条起始于无穷远
第三节 广义根轨迹
三、非最小相位系统的根轨迹
系统有位于右半平面的开环极点或 零点，称为非最小相位系统。 零点，称为非最小相位系统。
1 .具有正反馈性质的根轨迹 具有正反馈性质的根轨迹
除了前述具有正反馈结构的系统之 有些非最小相位系统虽是负反馈结构, 外,有些非最小相位系统虽是负反馈结构 有些非最小相位系统虽是负反馈结构 但传递函数中S的系数为负 的系数为负,系统具有正反 但传递函数中 的系数为负 系统具有正反 馈性质,要用零度根轨迹规则来作图 要用零度根轨迹规则来作图。 馈性质 要用零度根轨迹规则来作图。
第三节 广义根轨迹
2．常规根轨迹 ．
有些非最小相位系统既无正反馈结 又不具正反馈性质， 构 ， 又不具正反馈性质 ， 只是开环的零 点或极点为正, 其幅值方程和相角方程与 点或极点为正 其幅值方程和相角方程与 最小相位系统相同， 最小相位系统相同 ， 所以根轨迹图绘制 方法也与最小相位系统是一样的。 方法也与最小相位系统是一样的。
第三节 广义根轨迹
二 正反馈系统的根轨迹
因为相角条件为2kπ,而非常规的 因为相角条件为 而非常规的 正反馈系统的闭环特征方程： 正反馈系统的闭环特征方程： （3）出射角和入射角的计算公式为 ）出射角和入射角的计算公式为: (2k+1)π,称之为零度根轨迹。 称之为零度根轨迹。 称之为零度根轨迹 1-G(s)H(s)=0 m∠ n Өi=∑ (p-zi) – ∑∠(pi-pj) ，不 在绘制根零度根轨迹的规则中， 在绘制根零度根轨迹的规则中 正反馈系统根轨迹方程： 正反馈系统根轨迹方程： j =1 j≠l i =1 同于负反馈系统的有以下几点： 同于负反馈系统的有以下几点： G(s)H(s)=1 m∠ n∠ (zl-zi) –∑ (zl-pj) 、 φ l =- ∑ （1）实轴上根轨迹区段右侧的开环零 ）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、 其幅值方程与负反馈系统相同， 其幅值方程与负反馈系统相同，相 i =1 j =1 i≠l 极点数目之和为偶数。 极点数目之和为偶数。 角方程则为 n∠ ±2 k （2）根轨迹的渐近线与 )=±2kπ π ） m∠(s-z ) – ∑ (s-p ±2kπ ∑ i i ө= n-m 实轴的夹角： 实轴的夹角j： =1 i =1
第四章 根轨迹分析法
第三节 广义根轨迹
除以上介绍的根轨迹均以根轨迹增益 Kr作为可变参量之外 其它某个参量 变化 作为可变参量之外,其它某个参量 其它某个参量K变化 时的根轨迹，称为参量根轨迹。 时的根轨迹，称为参量根轨迹。
一、参量根轨迹 二、正反馈系统的根轨迹 三、非最小相位系统的根轨迹
第三节 广义根轨迹
第三节 广义根轨迹
根据式子 2+0.25S+0.25=-1 绘制根轨迹 S (4) 与虚轴的交点 (2) 实轴上的根轨迹段 (1) 开环零、极点 开环零、 jω p Z3~-∞± 系统闭环特征方程 14.48 P1.2=-0.125±j0.484 1 ‘=∞ ω1=0 0.43 K 出射角和入射角 (3) Z1=04 Z2=0 Z3=-0.25 K ‘=— -(ω +φ2± 2 -θ θ1=±ω3+φ12,3≈±0.4332 π K ’+4)φ3 +ω 75.5 z -j4K’两条根轨迹起始于 104.5 1 3 z2 0 σ z3 =±π+104.48º+104起始 (5) 系统根轨迹 于无穷远. +75.52º-90º 于无穷远 (K ‘+4) ω2=0 190 -0.43 即 p2 =14.48º -4K ‘ω3+ω=0 三条根轨迹终止于三个零点
第三节 广义根轨迹
例 系统的开环传递函数为 Kr(S+1) G(s)H(s)=S (S-1)(S 2+4S+16) (6)根轨迹的出射角 试绘制系统的根轨迹图。 试绘制系统的根轨迹图。 -3ω3- 16ω+Krω=0 (5) 分离点和会合点 4） 与虚轴的交点 ） jω (3) 根轨迹的渐近线 p3 即 4 -12ω2+K (1) n-mφ 、=0 开环零、极点 开环零 (S)B(S) 解: ω不在根轨迹段上， -54.5 A(S)B‘(S)=A ‘– ∑ө 系统闭环特征方程为 1 =3 r 4 S3.4不在根轨迹段上， ө3=±π+ ∑ p 2=1 j ± i p 故舍去 S 4+33S3+12。3+21S2 Kr =0 1=0i =1 S 2 j≠3 1-2-2+1 故舍去。 2 可得 S 4+10S =0 o-120o ω1 =- 3 σ= =π+106S±j2=0 -163.4=-2±Kr 3 P S+Kr + 3 +24S-16=0 Kr =23.32 o-90o z1 p1 0 p2σ (7) 带入(2k+1)π 系统根轨迹 -130.5 =±1.56 解得 ± Z1ω2,3 ± S=jω =-1 ө= ° S 4-j3ω3-12ω2 =-2.22 S =-54.5° ω 1=35.683 2 (2)=0.46 Kr 实轴上的根轨迹段 返回 ± ө-j16ω+jKr4,5180o2.56 =54.5oo2 ±=±=0 Z~ S =±60 , ±j± =-0.79± 32.16 p4 4 3.4p1 ~pω ω+Kr -∞
第三节 广义根轨迹
例 设系统的开环传递函数为 1 G(s)H(s)= S (K ‘S+1)(4S+1) 试绘制系统K 变化时的根轨迹图。 试绘制系统 ’变化时的根轨迹图。 解: 系统的特征方程式为 S+1)+1] K ‘S 2(4S+1)=-[S(4 1+G(s)H(s)=0 得 S (K ‘S4S2)(4S+1)+1=0 +1 +S+1 将上式进行整理得: 将上式进行整理得 化成零极点形式 ‘S 2(4S+1)++0.25S+0.25=-1 S2 S(4S+1)+1=0 K
第三节 广义根轨迹
例 系统的开环传递函数为 K 1(1-0.5S) -0.5K1(S-2) G(s)H(s)= = S (S+1) S (S+1) (4) 与虚轴交点 (3) 分离点与会合点 。 试绘制系统的根轨迹图。 试绘制系统的根轨迹图 2 开环零、 =S 系统闭环特征方程为 -2 解: (1) +S 开环零、 A(S)=S解得 B(S)极点 jω S2 =0 S+1 1=0 =1 ‘K + S-KrS+2Kr=0 ω B‘(S) 1.4 A (S)=2 r 将式子标准化 -0.45 4.45 代入 S= jω 1.41 ‘(S)B(S) =0 =-1 ± pK2=1 pω2,3=±Z1= A(S)B‘(S)=A 1r 2 p2 p1 0 z1 -ω +jω-jωKr+2K2 =0 2-4S-2=0 r S -ω2+2K (2) 实轴上的根轨迹段 -1.4 (5) 系统根轨迹r=0 p ω即 S p2 ωK Z1 S =4.45 解得1 ~1=-0.45 ~+∞ r=0 2