线性规划的对偶规划
线性规划中的对偶规划模型及对偶理论
MaxZ 2x1 x2
s.t.53xx11
4x 2x
2 2
15 10
x1, x2 0
MinW 15y1 10y2
3y1 5y2 2 s.t.4y1 2y2 1
y1, y2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
n
MaxZ c j x j j 1 n
s.t. j1 aij x j bi i 1,2, , m x j 0 j 1,2, , n
(特点：等式约束)
对偶问题
m
MinW bixi i 1
m
s.t. i1 aij yi 来自cjj 1,2, ,n
yi符号不限， i 1,2, ,m
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束， 再根据对称形式的对偶关系定义写出；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2
10x3 14
11
x1 0, x2符号不限, x3 0
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y2 14y3 MaxW 7 y1 11y2 14y3
x2
线性规划的对偶理论(第一部分
对偶问题的约束条件 对应于原问题的目标 函数和约束条件的系 数。
对偶问题的可行解集 是原问题可行解集的 凸包。
原问题与对偶问题关系
弱对偶性
对于任意一对原问题和对偶问题 的可行解，原问题的目标函数值 总是大于或等于对偶问题的目标
函数值。
强对偶性
当原问题和对偶问题都存在可行 解时，它们的最优解对应的目标
强对偶性定理
若原问题和对偶问题都有可行解，则 它们分别存在最优解，且这两个最优 解的目标函数值相等。
在满足某些约束规格（如Slater条件） 的情况下，强对偶性成立。
互补松弛条件
在原问题和对偶问题的最优解中，如果某个约束条件的对偶变量值为正，则该约束 条件必须是紧的（即取等号）。
如果原问题（对偶问题）的某个变量在最优解中取正值，则其对应的对偶问题（原 问题）的约束条件必须是紧的。
标准形式
通常将线性规划问题转化为标准 形式，即求解目标函数的最小值 ，约束条件为一系列线性不等式 。
对偶问题定义与性质
对偶问题定义：对于 给定的线性规划问题， 可以构造一个与之对 应的对偶问题，该问 题的目标函数和约束 条件与原问题密切相 关。
对偶问题性质
对偶问题的目标函数 是原问题约束条件的 线性组合。
解决对偶间隙等关键问题
在实际应用中，由于原问题和对偶问题之间可能存在对偶间隙，导致对偶理论的实用性受到一定的限制。 未来可以研究如何缩小或消除对偶间隙，提高对偶理论的实用性和应用范围。
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简化了复杂问题的求解过程
对偶理论能够将一些复杂的线性规划问题转化为相对简单的对偶问题进行求解，从而降低了问题 的求解难度和计算量。
揭示了原问题和对偶问题之间的内在联系
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
线性规划对偶理论
线性规划对偶理论前言线性规划（linear programming, LP）是一种求解线性模型的算法，该算法可以在目标函数下寻找最佳的解决方案。
通常情况下，线性规划可以被看作是一种最优化问题，其目的是在满足一组约束条件的前提下，找到可以最大化或最小化目标函数的变量值。
而对偶理论是线性规划问题中的重要概念之一，在很多情况下，使用对偶理论能够有效地求解出更优的解答。
线性规划与对偶理论在介绍线性规划对偶理论之前，我们先来简单了解一下线性规划的概念。
线性规划可以被定义为一组决策变量的线性函数，该函数的取值范围应在满足一组线性方程（或不等式）约束条件的前提下，使得目标函数达到最小（或最大）值。
换句话说，线性规划要求我们在可接受的条件下，寻找到最优的决策变量值。
围绕这种思想，我们可以进一步探讨线性规划的对偶问题。
在实践中，我们常常会面对一些较复杂的线性规划问题，此时我们可以使用对偶理论对其进行简化处理。
形式化地说，对于一个线性规划问题，我们可以构建一个对应的对偶问题，二者之间的关系可以被描述为一种对称的互补关系。
具体而言，在每个线性规划问题中，我们可以根据不同的约束条件求出一个对应的乘法因子，这个乘法因子可以在构建对偶问题时被使用。
通过这种方式，我们总是可以在对偶问题中找到一组最优解，而这组最优解实际上是原始问题的一个下界。
同时，我们可以利用对偶问题的最优解来求解原始问题的最优解，这种方法被称为对偶算法。
相比于原始的线性规划问题，对偶问题有着更为简洁的约束条件和更为易于求解的优化问题，因此其求解效率较高。
对偶问题的分析与求解在实际求解中，我们通常需要对给定的线性规划问题进行对偶化处理，并使用一系列的对偶算法来求解对偶问题。
下面，我们将会举两个例子来说明对偶问题的分析与求解。
例1：最小费用最大流问题最小费用最大流问题是一种最优化问题，其目的是在给定图中求出最大流量下的最小费用。
在具体求解中，我们可以通过建立一个对应的线性规划问题，并将其对偶化得到一个更加简洁的对偶问题。
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
运筹学04-线性规划的对偶问题
生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用，主要研究如何安排生产 计划，以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题，可以确定最优的生产计划，使得生产过程中的资源得 到充分利用，同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多，对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展，如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路，与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
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线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数，表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式，表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合，称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换，形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中，对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益， 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域，对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险，提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中，对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划，提高运输 效率。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
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1对偶问题的形式 设原线性规划问题为：
1max n
i i i Z c x ==∑
11112211211222221122..0,1,2,,n n n n m m mn n m
j a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b
x j n
⎧+++≤⎪
+++≤⎪⎪
⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩
则称下面线性规划问题：
1min m
i i i W b y ==∑
11121211121222221122..0,1,2,,m m m m n n mn m n
j a y a y a y c a y a y a y c s t a y a y a y c
y j m
⎧+++≤⎪
+++≤⎪⎪
⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩
为其对偶问题，其中(1,2,,)j y j m = 称为对偶变量。
上述对偶问题称为对称型对偶问题。
原问题简记为（P ），对偶问题简记为（D ）。
原问题（P ）矩阵形式：
T max Z =c x
..0,1,2,,i s t x i n
≤⎧⎨≥=⎩Ax b 对偶问题（D ）矩阵形式：
T max W =b y
T ..0,1,2,,j s t y j m
⎧≥⎪⎨≥=⎪⎩A y c
2对偶关系对应表
形式原问题对偶问题目标函数类型max min
目标函数系与右边项系数
目标函数系数
右边项系数右边项系数目标函系数
变量数与约束数
变量数n
约束数m 约束数n 变量数m
原问题变量类型与对偶问题约束类型
≥0
≤0
无限制
≥0
≤0
=
原问题约束类型与对偶问题变量类型≥0
≤0
=
≥0
≤0
无限制
2对偶问题的基本性质
定理1：对偶问题的对偶就是原问题；
定理2 （弱对偶定理）：若*x，*y分别为（P），（D）的可行解，则有T T
**
≤
c x y b；
推论1：若（P），（D）都有可行解，则（P），（D）必定都有最优解。
推论2：若（P）有可行解，但无有限最优解，则（D）无可行解。
定理3：若*x，*y分别为（P），（D）的可行解，且有T T
=**
c x y b，则*x，
*
y分别为（P），（D）的最优解；
定理4（主对偶定理）：若（P），（D）都有可行解，则（P），（D）必
定都有最优解，且目标函数的最优值必定相等；
推论：若（P），（D）中任意一个有最优解，则（P），（D）必定都有最优解，且目标函数的最优值必定相等。
定理5：若*x，*y分别为（P），（D）的可行解，则*x，*y分别为（P），
（D）的最优解的充要条件是
T
T T
()0
()=0
**
**
⎧-=
⎪
⎨
-
⎪⎩
y b Ax
A y c x
同时成立。