Lecture_PS02_1(1)

投掷次数n 正面朝上次数nA 频率nA /n 2048 4040 12000 24000 30000 1061 2048 6019 12012 14994 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
13
例2. 初生婴儿的性别比例 拉普拉斯 伦敦 柏林 全法兰西 10年 巴黎 40年(1745~1784)
mi
i 1
n
种不同的方法.
7
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回)
按一定的次序排成一排，不同排法共有:
n! A n(n 1)( n 2) (n m 1) (n m)!
m n
全排列
A n!
n n
可重复排列 (放回）
从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有:
概率统计A
主讲：罗定生 博士 北京大学信息科学技术学院
Dsluo@ 010-62752502 2015年春季
Lecture 2
随机事件与概率
Outline to Lecture 2
排列组合知识回顾 样本空间与随机事件 事件的关系及运算 随机事件的概率 古典概型与几何概型 概率的公理化定义 条件概率与事件的独立性 系统可靠性、独立试验序列 小结
22
• 文氏图 • 事件的关系
包含、相等、互斥、对立
• 事件的运算
并(和)、交(积)、差
• 完备事件组 • 运算律
交换律、结合律、吸收律 分配律、德·摩根律、重余律 幂等律、差化积
23
文氏图 ( Venn diagram )
A

与集合论中集合的关系和运算相类似，随机事件 的关系和运算可以通过文氏图很方便的加以表示。
B A
A

每次试验 A、 B中有且只有一个发生
如在例4 掷骰子 C={2,4,6}, F={1,3,5} C F, F C 易见：事件对立则必然互斥，反之不真。
30
完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥，且 i 1 则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个划分。
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ai Ai
i 1 i 1
33
n
n
运算顺序：逆交并差，括号优先
Any questions
34
本讲小结
Lecture 2.1：随机事件与概率
1、回顾了排列组合有关基本知识，其在概率论特别 是古典概型中具有广泛的应用 2、介绍了随机试验、样本空间、随机事件等基本概 念，并讨论了事件的关系、运算及若干性质
32
结合律 分配律
( A B) C A ( B C ) ( AB )C A( BC ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B )( A C )
AB A B
德·摩根律 A B A B
A
An
n
i
A1 A2
A3


An 1
易见：互逆事件构成了一个完备事件组。
31
运算律 吸收律 A
A A A A ( A B) A
A A A ( AB ) A
重余律 幂等律 差化积 交换律
A A
A A A A A A A B AB A ( AB) A B B A AB BA
25
事件的并(和事件)
A 与B 的并事件记为 A B 或 A B
A

B
A B 发生 事件 A与事件B 至少有一个发生
在例4 掷骰子 A={2}, B={1,2,3}, C={2,4,6} B∪C={1,2,3,4,6}, A∪B=B
并的推广
A1 , A2 ,, An 的并事件 —— Ai i 1 A1 , A2 ,, An , 的并事件 ——
Probability Theory and Statistics
Dingsheng LUO
School of Electronics Engineering & Computer Science, Peking University
Dsluo@
010-62752502 Spring, 2015
m
8
n
不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类,
第 i 类中有 ki 个相同的元素，即
k1 k 2 k m n,
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，不同 的排法共有: n! k1!k 2 ! k m !
9
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回）组成一组， 不同的分法(组数)共有: n! m Cn m!(n m)!
i 1
n
27
事件的差
A 与B 的差事件记为
A

B
A B
A B 发生 事件 A 发生，但事件 B 不发生
在例4 掷骰子 A={2}, B={1,2,3}, C={2,4,6} B-C={1,3}, C-B={4,6}, A-B= Ø
28
事件的互斥(互斥事件)
若事件A 与B 的交事件为 不可能事件，则称A与B 是互斥事件(或互不相容 事件)，记为AB= Ø
n
Ai
i 1

26
事件的交(积事件)
A

A 与B 的交事件记为 A B 或 AB A B发生 事件 A与事件B 同时都发生 在例4 掷骰子 A={2}, B={1,2,3}, C={2,4,6} B∩C={2}, A∩B=A
B
交的推广
A1 , A2 ,, An 的积事件 —— Ai i 1 A1 , A2 ,, An , 的积事件 —— Ai
要求： 1. 根据问题本身，能确定出样本空间(集合)的形式 2. 并能熟练地将事件表示为集合(子集)的形式
21
事件的关系及运算
通常，针对某随机现象研究所开展的随机 试验，有多个相应的随机事件存在。这些事件 有的比较简单，有的比较复杂，分析这些事件 间的关系，特别是找出比较简单事件与较复杂 事件间的关系，对于研究该随机现象是很有意 义的。 从一些事件出发得到另一事件的过程，可 看作随机事件的运算。 与集合论中集合的关系和运算完全对应。
下讲内容
Lecture 2.2：随机事件与概率
1、引入概率论中最重要的概念“概率” 2、重点介绍两种重要的概率模型：古典概型、 几何概型
35
19
必然事件 —— 每次试验必定发生的 事件. 全体样本点组成的事件 即为 必然事件. 不可能事件——不包含任何样本点 的事件, 记为 ,每次试验必定不发生 的事件.
20
在例4 掷骰子 A={2}：基本事件 B={1,2,3}, C={2,4,6}：复合事件 D=： 必然事件： E= ：不可能事件
16
例3 掷硬币 ---- 随机试验 可能的结果:正面向上,背面向上. 样本空间： ={正面向上,背面向上} 随机事件：A: 正面向上, B: 背面向上 C: 要么正面朝上，要么背面朝上 例4 掷骰子 ---- 随机试验 可能的结果: 1点,2点, …,6点 样本空间： ={1,2,3,4,5,6} 随机事件：A:2点, B:点数≤3, C:点数为偶数. D:点数≤6, E:点数≤0
24
事件的包含(子事件)

A B
A B —— A 包含于B
称A是B的子事件.
事件 A 发生必导致事件 B 发生 在例4 掷骰子 A={2}, B={1,2,3}, C={2,4,6}. A B, A C, BC, CB (不包含于)
事件的相等
A B A B法原理 •排 列 •组 合
5
加法原理：完成一件事情有n 类方
法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方 法，则完成这件事情共有
n
mi
i 1
种不同的方法.
6
乘法原理：完成一件事情有n 个步
骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方 法，则完成这件事情共有:
22 男婴出生率~ = 0.512 43
14
若试验有如下特点, 则称为随机试验:
1) 可在相同的条件下重复进行 2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并 且不止一个 3) 每次试验有且只有一个结果出现，但试 验前不能预知出现哪个结果
随机试验 常用E 表示
15
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结 果组成的集合，记为. 样本空间的元 素，即随机试验E 的结果，称为样本点. 常记为. 随机事件 —— 的子集,记为 A ,B ,… 随机试验中的事件，是满足某些条 件的样本点所组成的集合；随机事件简 称事件。
17
基本事件 —— 仅由一个样本点组成 的的子集.它是随机试验的直接结 果(所对应的事件).每次试验必定发生 且只能发生一个基本事件. 复合事件 —— 包含2个或2个以上试 验结果(样本点) 随机事件发生 —— 组成随机事件(集 合)的任一样本点(元素)出现.
18
在例3 掷硬币 A={正面向上}, B={背面向上}：基本事件 C={正面向上, 背面向上}：复合事件
11
随机现象 — 大量重复试验中, 其结 果有统计规律性的现象 对某事物特征进行观察, 统称 试验 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性 确定性现象
12
随机现象的统计规律性举例
例1. 掷硬币 试验者 德摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼 频率的稳定性
A

B
A 与B 是互斥关系 每次试验 A、 B中最多只有一个发生 每次试验 A、 B必不能同时发生 如在例4 掷骰子 A={2}, C={2,4,6}, F={1,3,5} A与F, C与F互斥