中考数学试题分类汇编：与圆有关的计算

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2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：圆的有关性质及计算(附答案解析)

2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：圆的有关性质及计算一．选择题（共29小题）1．（2022•张店区二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．2．（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E 是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4B．C．D．6 4．（2022•博山区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点（小正方形的顶点）上，AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．π﹣2C．2πD．π5．（2022•莱西市一模）如图，PC，PB分别切⊙O于点C，B．若AB是⊙O的直径，∠P ＝70°，则∠A的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．80°6．（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．C．16D．7．（2022•乳山市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝3，∠DBC＝15°，∠BDC＝30°，则点A到BD的距离是（）A．3B．C．2D．8．（2022•烟台模拟）下列说法正确的个数是（）①相等的圆心角所对的弧相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③平分弦的直径一定垂直于弦；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等A．0个B．1个C．2个D．3个9．（2022•福山区一模）如图，以五边形ABCDE的顶点A为圆心，以AB的长为半径作圆，若⊙A过点E，且BC和DE分别为⊙A的切线，点P在五边形外但在⊙A内一点，连接PB，PE，若∠C+∠D＝236°，则∠P的度数可能是（）A．124°B．68°C．62°D．58°10．（2022•淄川区二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°11．（2021•滨州三模）如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为，△PMN的周长为6，则扇形AOB的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π12．（2021•临沂模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（）A．80°B．100°C．120°D．140°13．（2021•岱岳区一模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．3B．C．2D．4 14．（2021•德州模拟）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A．4πcm2B．5πcm2C．6πcm2D．8πcm2 15．（2021•乳山市一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4 16．（2021•青岛二模）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（）A．22°B．44°C．48°D．68°17．（2021•沂南县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°18．（2021•历城区一模）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（）A．3π﹣4B．3π﹣2C．3π﹣4D．2π19．（2021•济宁二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．B．C．πD．2π20．（2021•泰山区模拟）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（）A．B．C．D．21．（2020•历下区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．20 22．（2020•德城区模拟）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（）A．3B．6πC．3πD．6 23．（2020•新泰市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD 的大小为（）A．130°B．100°C．120°D．110°24．（2020•槐荫区模拟）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°25．（2020•平阴县二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2 26．（2020•河东区一模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°27．（2020•平邑县一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π28．（2020•济宁模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π29．（2020•武城县模拟）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等二．填空题（共1小题）30．（2020•武城县模拟）在⊙O中，半径为2，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为．2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：圆的有关性质及计算参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2022•张店区二模）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD＝CD＝CE＝OE＝GQ＝QF＝R，求出y＝2R，x＝R，根据锐角三角函数值求出即可．【解答】解：如图：设⊙O的半径是R，PE＝PF＝x，BQ＝y，连接OD，OG，OF，OE，∵⊙O内切于Rt△ABC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°＝∠C，AD＝AG，∵OD＝OE，∴四边形CDOE是正方形，∴OD＝CD＝CE＝OE＝R，同理OG＝GQ＝FQ＝OF＝R，则PQ＝CP，AC＝AQ，∵PQ⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠PQB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BQP∽△BCA，∴＝＝，∴BC＝2BQ＝2y，根据BG＝BE得：y+R＝2y﹣R，解得：y＝2R，在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2＝BP2，即（2R）2+（R+x）2＝（4R﹣R﹣x）2，解得：x＝R，即PQ＝R+R＝R，BQ＝2R，tan B＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线长定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，难度偏大．2．（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E 是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．【解答】解：∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵E，D关于AB对称，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，∵∠CED＝∠COD＝30°，∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，∵M是动点，∴DM不一定垂直CE，故③错误，连接EM．则ME＝MD，∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4B．C．D．6【考点】切线的性质；坐标与图形性质；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∴AC＝2AE，∵⊙M与x轴相切于点D，∴∠MDO＝90°，∵M（2，3），∴ME＝2，MD＝3，∴MA＝MD＝3，在Rt△AEM中，AE＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022•博山区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点（小正方形的顶点）上，AB和CD所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为（）A．π﹣2B．π﹣2C．2πD．π【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】如图，连接，OA，OB，OD．证明S阴＝S扇形AOB﹣S扇形COD，可得结论．【解答】解：如图，连接，OA，OB，OD．S阴＝S△AOB+S△OBD﹣S△AOC﹣S扇形OCD＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝﹣＝π，故选：D．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．5．（2022•莱西市一模）如图，PC，PB分别切⊙O于点C，B．若AB是⊙O的直径，∠P ＝70°，则∠A的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．80°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠PCO＝∠PBO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵PC，PB分别切⊙O于点C，B，AB是⊙O的直径，∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵∠BOC＝∠A+∠ACO＝110°，∴∠A＝55°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．C．16D．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；几何直观．【分析】如图，连接OB交AC与点H．解直角三角形求出AC，可得结论．【解答】解：如图，连接OB交AC与点H．由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，∵OB⊥AC，∴CH＝AH＝＝，∴AC＝2CH＝，∴阴影部分的面积＝6××（）2＝8．故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，等边三角形的性质，正六边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2022•乳山市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝3，∠DBC＝15°，∠BDC＝30°，则点A到BD的距离是（）A．3B．C．2D．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD＝3，∴点B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠DAC＝2∠DBC＝30°，∴∠BAD＝90°，∴△BAD是等腰直角三角形，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3，∴点A到BD的距离等于BD的一半，∴A到BD的距离为．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．8．（2022•烟台模拟）下列说法正确的个数是（）①相等的圆心角所对的弧相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③平分弦的直径一定垂直于弦；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】三角形的内切圆与内心；菱形的判定与性质；中点四边形；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】①根据同心圆定义即可判断；②根据平行四边形的性质即可判断；③根据圆的性质即可判断；④根据菱形的判定即可判断；⑤根据三角形内心定义即可判断．【解答】解：①在同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等，故结论错误；②如图，在▱ABCD中，∠B＝∠ADC，它们的两条边互相平行，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠B+∠CDE＝180°，它们的两条边也互相平行，故结论错误；③如图，在⊙O中，∵AB、CD是直径，∴它们互相平分，但是不垂直，故结论错误；④解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，根据三角形的中位线定理，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，∵四边形ABCD的对角线相等，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，故④正确；⑤三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故⑤错误，综上所述：正确的有④，共1个，故选：B．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，菱形的判定和性质，中点四边形，垂径定理，三角形的中位线的应用，熟记性质和判定定理是解此题的关键，注意：有四条边都相等的四边形是菱形．作图要注意形象直观．9．（2022•福山区一模）如图，以五边形ABCDE的顶点A为圆心，以AB的长为半径作圆，若⊙A过点E，且BC和DE分别为⊙A的切线，点P在五边形外但在⊙A内一点，连接PB，PE，若∠C+∠D＝236°，则∠P的度数可能是（）A．124°B．68°C．62°D．58°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；正多边形与圆；推理能力．【分析】根据多边形内角和定理和切线的性质即可得到结论．【解答】解：∵多边形ABCDE是五边形，∴∠A+∠ABC+∠AED+∠D+∠C＝540°，∵BC和DE分别为⊙A的切线，∴∠ABC＝∠AED＝90°，∴∠A＝540°﹣90°﹣90°﹣236°＝124°，∵A＜∠P＜∠A，∴∠P的度数可能是68°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（2022•淄川区二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接AE，利用圆内接四边形对角互补求解即可．【解答】解：连接AE，∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED＝180°，∵所对的圆心角为50°，∴∠AEB＝×50°＝25°，∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，故选：A．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．11．（2021•滨州三模）如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为，△PMN的周长为6，则扇形AOB的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，可得PA+PB＝6，PA＝PB＝3，根据直角三角形的性质得∠AOP＝∠BOP＝60°，∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：连接OA，OB，OP，∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB，∵△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝6，∴PA＝PB＝．在Rt△POA中，PA＝3，AO＝，∴PO＝＝，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，＝＝π．∴S扇形AOB故选：A．【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，扇形的面积，解决本题的关键是掌握切线长定理．12．（2021•临沂模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（）A．80°B．100°C．120°D．140°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，然后由邻补角的定义即可解决问题．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2021•岱岳区一模）如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．3B．C．2D．4【考点】切线的性质；菱形的性质；圆周角定理．【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．（2021•德州模拟）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A．4πcm2B．5πcm2C．6πcm2D．8πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】正多边形与圆；推理能力．【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4，S底＝×42π+π＝5π（cm2）．所以圆锥的表面积＝S侧+故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．（2021•乳山市一模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【考点】圆周角定理；勾股定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，∴BC＝OC＝2，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．16．（2021•青岛二模）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（）A．22°B．44°C．48°D．68°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力；模型思想．【分析】根据切线的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和可求出答案．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝22°，∴∠AOB＝180°﹣22°﹣22°＝136°，又∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∴∠BOC＝136°﹣90°＝46°，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠OCB+∠BOC＝90°，∴∠OCB＝90°﹣46°＝44°，故选：B．【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握切线的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是正确解答的前提．17．（2021•沂南县模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证，然后由圆周角定理求解即可．【解答】解：连接BD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为半圆的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝45°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．18．（2021•历城区一模）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（）A．3π﹣4B．3π﹣2C．3π﹣4D．2π【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．【解答】解：连接OD，∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，又∵OA＝OD，∴OA＝AD＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAC＝∠DAC＝30°，∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，∴OC＝2，∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．19．（2021•济宁二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．B．C．πD．2π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】与圆有关的计算．【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，再根据旋转的性质得∠BAB′＝∠CAC′＝45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，∴点B′、C、A共线，∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形CAC′﹣S△ABC＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′＝﹣＝π．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．20．（2021•泰山区模拟）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力．【分析】作⊙O的直径DK，连接CK，求出△KCD∽△DBC，求出CD，再解直角三角形求出即可．【解答】解：如图，作⊙O的直径DK，连接CK，∵CB垂直于过点D的切线，垂足为B，∴∠KDB＝90°，∠KCD＝90°，∴∠CDB＝90°﹣∠KDC＝∠K，∵∠KCD＝∠B＝90°，∴△KCD∽△DBC，∴，∵⊙O的半径为，BC＝3，∴＝，即CD＝4，∴sin∠A＝sin K＝＝，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．21．（2020•历下区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．20【考点】圆周角定理；解直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．【专题】综合题；推理能力．【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝FA＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．22．（2020•德城区模拟）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为（）A．3B．6πC．3πD．6【考点】圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】根据扇形面积公式求出圆锥侧面积．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，则圆锥侧面积＝×2π×3＝3π，故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．23．（2020•新泰市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD 的大小为（）A．130°B．100°C．120°D．110°【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；应用意识．【分析】首先证明∠ADC＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2020•槐荫区模拟）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．31°D．32°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算．【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再计算出∠AOB＝62°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵AB为切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，∴∠ACB＝∠AOB＝31°．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．25．（2020•平阴县二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（）A．﹣4B．+4C．﹣2D．+2【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【专题】与圆有关的计算．【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积＝+π×12﹣22＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．26．（2020•河东区一模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算．【分析】根据圆周角定理求出∠AOC即可解决问题．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝34°，∴∠AOC＝68°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣68°）＝56°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（2020•平邑县一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【专题】与圆有关的计算．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED∴△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．28．（2020•济宁模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】几何图形．【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S＝．29．（2020•武城县模拟）下列说法错误的是（）A．平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B．已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【考点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系；三角形的内切圆与内心．【分析】根据垂径定理，三角形的外接圆与内切圆，直线与圆的关系等知识分析此题．【解答】解：A、如果直径平分的弦也是直径的话，此种情况是不成立的；。

2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

中考数学复习专题24：圆的有关计算(含中考真题解析)

专题24 圆的有关计算☞解读考点知识点名师点晴弧长和扇形面积弧长公式会求n°的圆心角所对的弧长扇形面积公式会求圆心角为n°的扇形面积圆锥侧面积计算公式能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量☞2年中考【题组】1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2【答案】A．【解析】试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．考点：圆锥的计算．2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．考点：圆锥的计算．3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A ．考点：圆锥的计算．4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【答案】B．考点：圆锥的计算．5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．433π-B ．4233π-C ．3π-D ．233π-【答案】A ．【解析】试题分析：过O 点作OE ⊥CD 于E ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O 的半径为2，∴OE=1，CE=DE=3，∴CD=23，∴图中阴影部分的面积为：2120211233602⋅π⋅-⨯⨯=433π-．故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．6．（成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．7．（甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．8．（攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A 239π439πC．29πD．49π【答案】D．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 9．（自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S △OCE=S △ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S 扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 10．（达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π 【答案】B ．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．11．（德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．2π-B ．3π-C ．πD ．2 【答案】A ．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．12．（梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A．95 B．185 C．365 D．725【答案】B．【解析】试题分析：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．在Rt△AOD中，OD=22AD AO+=2263+=35，∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN•AD=16562⨯⨯=185．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．综合题．13．（咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C．考点：1．扇形面积的计算；2．定值问题；3．综合题．14．（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O1A1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B ；④扇形AOB 与扇形A1O1B1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题．15．（邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π 【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是： 0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型． 16．（北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．【答案】2．考点：圆锥的计算．17．（贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为：15π．考点：圆锥的计算．18．（庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．【答案】2π．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴2，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×2282π．故答案为：82π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．19．（贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．【答案】2512 4π+．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．20．（天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．【答案】4π．考点：1．弧长的计算；2．等边三角形的性质；3．综合题．21．（河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．【答案】3 122π+．【解析】试题分析：连接OE、AE ，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=2602360π⨯=23π，S扇形ABO=2902360π⨯=π，S扇形CDO=2901360π⨯=14π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=121(13)432πππ---⨯⨯=3122π+．故答案为：3122π+．考点：扇形面积的计算．22．（烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．【答案】62．考点：圆锥的计算．23．（乐山）如图，已知A （23，2）、B （23，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，23）的位置，则图中阴影部分的面积为．【答案】34π．【解析】试题分析：∵A （232）、B （23，1），∴OA=4，13，∵由A （232）使点A 旋转到点A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，∴阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC=22114(13)44ππ⨯-⨯=34π，故答案为：34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．24．（镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）15 8．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．25．（宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）26.6°．（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=2142EOOA==，则∠EAO≈26.6°．考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．26．（玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的判定；3．扇形面积的计算；4．综合题．27．（扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．分类讨论；4．综合题；5．轨迹．【题组】1．（·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0 B．2.0 C.3.0 D.4.0【答案】B．【解析】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，∴22S S S10.510.250.215ππ=-=-⋅=-≈阴影正方形圆．∵0.215最接近0.2，∴阴影部分的面积与下列各数最接近的是0.2故选B．考点：1．圆和正方形的面积；2．无理数的大小估计；3．转换思想的应用．2．（·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4 B．5:2 C52 D52【答案】A．故选A．考点：1．等腰直角三角形的判定和性质；2．勾股定理；3．扇形面积和圆面积的计算．3．（·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选B．考点：圆锥的计算．4．（·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．12R C3R D．32R【答案】D．【解析】试题分析：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=12R2213()22R R-=．故选D．考点：圆锥的计算．5．（·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A ． 30°B ． 60°C ．90°D ．180°【答案】D ．考点：圆锥的计算．6．（湖南衡阳市）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 【答案】C ．【解析】试卷分析：12012180rππ=，解得：r=18．故选C ．考点：圆的计算．7．（南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 cm ．【答案】6．【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=，∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=．又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=．考点：圆锥和扇形的计算． 8．（·呼和浩特）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．【答案】1600．考点：圆锥的计算．9．（·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】233π-．【解析】试题分析：如图，连接O1O2，过点O1作O1H ⊥AO2于点H ，由题意可得：AO1=O1O2=AO2=3，∴△AO1O2是等边三角形．∴11233HO O O sin60322=︒=⋅=．∴()12122AO O AO O 6031333S 3S 223,2460ππ∆⨯=⨯⨯===扇形．∴12212AO O AO AO O 33S S S 24π∆=-=-弓形扇形．∴图中阴影部分的面积为：33423324ππ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定和性质；3．相交两圆的性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．转换思想的应用． 10．（·重庆A ）如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4433π-．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．含30度角的直角三角形的性质；4．勾股定理；5．扇形面积的计算；6．转换思想的应用．☞考点归纳归纳 1：弧长公式基础知识归纳：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180n r l π=注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例1】在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则AB 的长等于（）A ．3πB ．2πC ．23πD ．32π【答案】C ．考点：弧长的计算．归纳 2：扇形面积基础知识归纳：扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇注意问题归纳：其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长．【例2】如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm²【答案】4．【解析】试题分析：设围成扇形的角度为n ，∵将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，∴围成扇形的弧长为4cm ．∴根据弧长公式，得n 23604n 180ππ⋅⋅=⇒=，∴根据扇形面积公式，得()223602S 4cm 360π⋅⋅==．考点：扇形的计算．归纳 3：圆锥的侧面积基础知识归纳：圆锥的侧面积：122S l r rlππ=•=，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径．注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．【例3】一个圆锥的高为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（） A ． 12πcm2 B ．15πcm2 C ．20πcm2 D ．30πcm2考点：圆锥的计算．归纳 4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．π-．【答案】24考点：扇形面积的计算．☞1年模拟1．（湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π【解析】试题分析：底面圆的半径为10cm ，则底面周长=20πcm ，侧面面积=π×10×50=500πcm2．故选B ．考点：圆锥的计算．2．（湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（）cm2．A ．4π B ．8π C ．12π D ．（4+4）π【答案】C ．【解析】试题分析：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，因为底面半径为2cm 、高为23cm ，所以圆锥的母线长为4cm ，即可求得侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，所以全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C ．考点：圆锥的有关计算．3．（山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是（）A ．210cmB ．210cm π C ．220cm D ．220cm π 【答案】B ．考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．4．（山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+【答案】C ．【解析】试题分析：连接BH ，BH1，∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH ≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()22360132********BH BC πππ=⨯-=-．故选C ．考点：扇形面积的计算．5．（江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m ，母线长为2.5m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是 m2．【答案】154π．考点：圆锥的计算．6．（河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，分别以A 、C 为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．【答案】24-254πcm2．【解析】试题分析：如图：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=2286+=10cm，△ABC的面积是：12AB•BC=12×8×6=24cm2．∴S阴影部分=12×6×8-2905360π⨯=24-254πcm2,故阴影部分的面积是：24-254πcm2．考点：扇形面积的计算．7．（湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．【答案】（1）图形详见解析；（2132；（3）（0，53）．试题解析：解：（1）如图如下：考点：作图—旋转变换；待定系数法求解析式；弧长公式．8．（广东省中山市校级模拟）如图，AB是的直径，点D在上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）、相切；（2）、324．【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB 得出∠ODC=90°，从而说明切线；（2）、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积．考点：切线的判定、扇形的面积计算．9．（山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）6π．【解析】试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E．∵∠CDB=∠OBD=30°∴∠COB=60°，∠OEB=90°∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90°∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．（2）∵∠OEB=90°，∠OBD=30°∴OC⊥BD，321==OB OE∴BE=DE=33273622==-∴362==DEBD（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°，BE=DE，∴△OEB≌△CED∴ππ63606602=⋅==OBCSS扇形阴影考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．10．（山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）16433π-．考点：1．切线的证明；2．勾股定理；3．特殊角的三角函数值；4．扇形的面积计算．。

2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题11 圆的概念与计算(逐题详解版)

2020年上海市16区中考数学二模汇编专题11 圆的概念与计算1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）下列命题中正确的个数是（）①过三点可以确定一个圆②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米④三角形的重心到三角形三边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.（2020金山二模）如图，∠MON ＝30°，OP 是∠MON 的角平分线，PQ ∥ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆与ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与⊙P 相交，那么r 的取值范围是（）A ．4＜r ＜12B ．2＜r ＜12C ．4＜r ＜8D ．r ＞43.（2020长宁二模）如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（）A ．内切B ．外离C ．相交D ．外切4.（2020浦东二模）矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，如果分别以A 、C 为圆心的两圆外切，且点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是（）A. 512r <<B. 1825r <<C. 18r <<D. 58r <<5.（2020杨浦二模）已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（）A ．0＜d ＜3B ．0＜d ＜7C ．3＜d ＜7D ．0≤d ＜36.（2020杨浦二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．7.（2020黄浦二模）已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切8.（2020普陀二模）如图2，已知A、B、C、D四点都在⨀O上，OB⊥AC，BC=CD，在下列四个说法中，̂=2CD̂；②AC=2CD;③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确的个数是（）①ACA．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题1.（2020松江二模）已知⊙O1和⊙O2相交，圆心距d＝5，⊙O1的半径为3，那么⊙O2的半径r的取值范围是．2.（2020松江二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D 的对应点分别为A′、D′，如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为．3.（2020静安二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．4.已知矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是．5.（2020嘉定二模）如图3.点A、B、C在圆O上，其中点C是劣弧AB的中点，请添加一个条件，使得四边形AOBC是菱形，所添加的这个条件可以是_(使用数学符号语言表达）。

辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编(11)——圆(含答案)

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（11）——圆一．圆周角定理（共4小题）1．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°2．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．160°3．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°̂的中点，BD交OC于4．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是AC点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．二．三角形的外接圆与外心（共3小题）5．（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°̂的长为．6．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则AC7．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．三．直线与圆的位置关系（共2小题）8．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB．（1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠FBC=13，DF＝2，求⊙O的半径．9．（2019•抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O 经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是DBĈ的中点，⊙O的半径为2，求BĈ的长．四．切线的性质（共6小题）10．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°11．（2020•大连）四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P（如图2）．若tan∠CAB=512，BC＝1，求PD的长．12．（2020•鞍山）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AĈ=CD̂，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．（1）求证：AE＝AF．（2）若EF＝12，sin∠ABF=35，求⊙O的半径．13．（2019•营口）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD＝AD+CE．（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．14．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4√5，CD＝4，则⊙O的半径是．15．（2019•大连）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．五．切线的判定与性质（共11小题）16．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．17．（2020•沈阳）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．（1）求证：DC＝AC；（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为．18．（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若tan A=34，AD＝2，求BO的长．19．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．20．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH=√5，求⊙O的半径．21．（2019•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE ＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．22．（2019•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2√3，AC＝4，求扇形OAC的面积．̂=BN̂，弦MN交AB 23．（2019•锦州）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且AN于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．24．（2019•葫芦岛）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O 交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD=35，AF＝6，MD＝2，求FC的长．25．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2√3，求阴影部分的面积．26．（2019•本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC=12，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．六．正多边形和圆（共3小题）27．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，−√3）B．（1，√3）C．（1，﹣2）D．（2，1）28．（2020•葫芦岛）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EF A的度数是．29．（2019•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．七．弧长的计算（共4小题）30．（2020•盘锦）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 为线段OB 上的一点，OE ：EB ＝1：√3，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，连接OF 交⊙O 于点G ，若BF ＝2√3，则BĜ的长是（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．3π431．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，BC ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则DÊ的长为（）A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π332．（2019•鞍山）如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的点，若⊙O 的半径为3，∠ADB ＝30°，则BĈ的长为．33．（2019•铁岭）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝60°，∠C ＝70°，OB ＝9，则AB̂的长为．八．扇形面积的计算（共2小题）34．（2020•朝阳）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且∠ACB ＝15°，过点O 作OD ∥AB 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，已知⊙O 半径为2，则图中阴影面积为．35．（2019•抚顺）如图，直线l 1的解析式是y =√33x ，直线l 2的解析式是y =√3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以点A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B 2B 3为邻边在l 1，l 2间作菱形A 2B 2B 3C 2，分别以点A 2，B 3为圆心，以A 2B 2为半径画弧得扇形B 2A 2C 2和扇形B 2B 3C 2，记扇形B 2A 2C 2与扇形B 2B 3C 2重叠部分的面积为S 2………按照此规律继续作下去，则S n ＝．（用含有正整数n 的式子表示）九．圆锥的计算（共2小题）36．（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为．37．（2019•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为．一十．圆的综合题（共2小题）38．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当AFBF =25，CE＝4时，直接写出CG的长．39．（2019•丹东）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O 与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且AĜ=EĜ，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（11）——圆参考答案与试题解析一．圆周角定理（共4小题）1．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．2．【解答】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B．3．【解答】解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故选：A．4．【解答】解：连接OB．∵AB̂=BĈ，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC=12∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．二．三角形的外接圆与外心（共3小题）5．【解答】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=12∠BOC＝30°，故选：A ．6．【解答】解：连接OC ，OA ．∵∠AOC ＝2∠ABC ，∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝6，∴AC ̂的长=60⋅π⋅6180=2π，故答案为2π．7．【解答】解：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵BO ＝CO ，∴AB ＝2OD ＝2×2＝4，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝90°，∴BÊ=EC ̂， ∴∠BAE ＝∠CAE =12∠BAC =12×90°＝45°， ∵EA ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝4，∴DC ＝AD ＝4，∴AC＝8，∴BC=√AB2+AC2=√42+82=4√5．故答案为：4√5．三．直线与圆的位置关系（共2小题）8．【解答】解：（1）BC所在直线与⊙O相切；理由：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C，∴∠ABD＝∠C，∵∠A+∠ABD＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF，∴tan∠FBC＝tan∠DBF=DFBD=13，∵DF＝2，∴BD＝6，设AB＝AF＝x，∴AD＝x﹣2，∵AB2＝AD2+BD2，∴x2＝（x﹣2）2+62，解得：x＝10，∴AB＝10，∴⊙O 的半径为5．9．【解答】解：（1）DE 是⊙O 的切线；理由：连接OD ，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，∴∠ABC ＝45°，∴∠COD ＝2∠ABC ＝90°，∵四边形GDEC 是平行四边形，∴DE ∥CG ，∴∠EDO +∠COD ＝180°，∴∠EDO ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）连接OB ，∵点B 是DBĈ的中点， ∴BĈ=BD ̂， ∴∠BOC ＝∠BOD ，∵∠BOC +∠BOD +∠COD ＝360°，∴∠COB ＝∠BOD ＝135°，∴BC ̂的长=135⋅π×2180=32π．四．切线的性质（共6小题）10．【解答】解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．11．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC+2∠ACD＝180°，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝2∠ACD；（2）解：连接OD交AC于点E，∵PD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DP ，∴∠ODP ＝90°，又∵AD̂=CD ̂， ∴OD ⊥AC ，AE ＝EC ，∴∠DEC ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ECP ＝90°，∴四边形DECP 为矩形，∴DP ＝EC ，∵tan ∠CAB =512，BC ＝1，∴CB AC =1AC =512，∴AC =125， ∴EC =12AC =65，∴DP =65．12．【解答】（1）证明：∵AF 与⊙O 相切于点A ， ∴F A ⊥AB ，∴∠F AB ＝90°，∴∠F +∠B ＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAE +∠CEA ＝90°，∵AĈ=CD ̂， ∴∠CAE ＝∠D ，∴∠D +∠CEA ＝90°，∵∠D ＝∠B ，∴∠B +∠CEA ＝90°，∴∠F ＝∠CEA ，∴AE ＝AF ．（2）解：∵AE ＝AF ，∠ACB ＝90°，∴CF ＝CE =12EF ＝6，∵∠ABF ＝∠D ＝∠CAE ，∴sin ∠ABF ＝sin ∠CAE =35，∴CE AE =6AE =35， ∴AE ＝10，∴AC =√AE 2−CE 2=√102−62=8，∵sin ∠ABC =AC AB =8AB =35， ∴AB =403， ∴OA =12AB =203．即⊙O 的半径为203．13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵AE ⊥BC ，∴AD ⊥OA ，∵AO 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线，又∵DF 是⊙O 的切线，∴AD ＝DF ，同理可得CE ＝CF ，∵CD ＝DF +CF ，∴CD ＝AD +CE ．（2）解：连接OD ，AF 相交于点M ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AD＝4CE，∴设CE＝t，则AD＝4t，∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，∴在Rt△ABE中，AE=√(5t)2−(3t)2=4t，∴OA＝OE＝2t，∵DA，DF是⊙O的两条切线，∴∠ODA＝∠ODF，∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，∴AF⊥OD，∴在Rt△OAD中，tan∠ODA=AOAD=2t4t=12，∵∠OAD＝∠AMD＝90°，∴∠EAF＝∠ODA，∵EF̂=EF̂，∴∠EGF＝∠EAF，∴∠ODA＝∠EGF，∴tan∠EGF=1 2．14．【解答】（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO ＝∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABC ．；（2）解：连接AC ，在Rt △BCD 中，BC ＝4√5，CD ＝4，∴BD =√BC 2−CD 2=8，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△ABC ∽△CBD ，∴AB BC =CB BD ，即4√5=4√58， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径是5，故答案为5．15．【解答】（1）证明：作DF ⊥BC 于F ，连接DB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝90°，即∠P +∠ACP ＝90°，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即∠PCA +∠DAC ＝90°，∴∠P ＝∠DAC ＝∠DBC ，∵∠APC ＝∠BCP ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴DB ＝DC ， ∵DF ⊥BC ，∴DF 是BC 的垂直平分线，∴DF 经过点O ，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∵∠BDC ＝2∠ODC ，∴∠BAC ＝∠BDC ＝2∠ODC ＝2∠OCD ；（2）解：∵DF 经过点O ，DF ⊥BC ，∴FC =12BC ＝3，在△DEC 和△CFD 中，{∠DCE =∠FDC∠DEC =∠CFD DC =CD，∴△DEC ≌△CFD （AAS ）∴DE ＝FC ＝3，∵∠ADC ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE 2＝AE •EC ，则EC =DE 2AE =92， ∴AC ＝2+92=132，∴⊙O 的半径为134．五．切线的判定与性质（共11小题）16．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵sin∠ACB=AB AC，∴AB=sin45°⋅AC=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵sin∠ADF=AF AD，∴AF=sin45°⋅AD=3√2，∴DF=AF=3√2，在Rt△ABF中，BF2=AB2−AF2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BF=4√2，∴BD=BF+DF=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD＝CH，BD＝BH，∵AD＝6，CD＝8，∴DH＝CD+CH＝14，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．∴BD=7√2．17．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠BDO+∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠ADC，∴CD＝AC；（2）∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，∴DC =√3OD =√3，故答案为：√3． 18．【解答】（1）证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∵BO 为△ABC 的角平分线，OH ⊥AB ，∴OH ＝OC ，即OH 为⊙O 的半径，∵OH ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为3x ，则OH ＝OD ＝OC ＝3x ，在Rt △AOH 中，∵tan A =34，∴OH AH =34， ∴3xAH =34， ∴AH ＝4x ，∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x)2+(4x)2=5x ，∵AD ＝2，∴AO ＝OD +AD ＝3x +2，∴3x +2＝5x ，∴x ＝1，∴OA ＝3x +2＝5，OH ＝OD ＝OC ＝3x ＝3，∴AC ＝OA +OC ＝5+3＝8，在Rt △ABC 中，∵tan A =BCAC ，∴BC ＝AC •tan A ＝8×34=6， ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5．19．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC=12AB•AC=12×4×4√3=8√3，∴S△ACE=12S△ABC=12×8√3=4√3，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF=30π×AE2360=30π×42360=4π3，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4√3−4π3．20．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AHD ＝∠DF A ＝90°，∴∠DFB ＝90°，∵AD ＝AB ，DH =√5，∴DB ＝2DH ＝2√5，在Rt △ADF 和Rt △BDF 中，∵DF 2＝AD 2﹣AF 2，DF 2＝BD 2﹣BF 2，∴AD 2﹣AF 2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2﹣（AD ﹣BF ）2＝DB 2﹣BF 2，∴AD 2−(AD −2)2=(2√5)2−22，∴AD ＝5．∴⊙O 的半径为52． 21．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，点B ，D 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的直径，∠BCE ＝∠BDE ，∵∠FDE ＝∠DCE ，∠BCE +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠BDE +∠FDE ＝90°，即∠BDF ＝90°，∴DF ⊥BD ，又∵BD 是⊙O 的直径，∴DF 是⊙O 的切线．（2）如图，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴AC=√AB2−BC2=√82−42=4√3，∵点D是AC的中点，∴AD=CD=12AC=2√3，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴DE=12AD=12×2√3=√3，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+(2√3)2=2√7，在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(2√7)2−(√3)2=5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴DFBD =DEBE，即2√7=√35，∴DF=2√21 5．22．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH=12AC=2，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH=EF=2√3，在Rt△OHC中，OC=√CH2+OH2=√22+(2√3)2=4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC=60π⋅42360=83π．23．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON̂=BN̂，∵AN∴AN＝BN＝4̂=BN̂，∵AB是直径，AN∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB=√AN2+BN2=4√2∴AO＝BO＝ON＝2√2∴OC=√CN2−ON2=√9−8=1∴AC＝2√2+1，BC＝2√2−1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴ACCM = CNBC∴AC•BC＝CM•CN ∴7＝3•CM∴CM=7 324．【解答】（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OF A，∴∠EFC+∠OF A＝90°，∴∠EFO＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，cos∠CAD=AFAM=35，∵AF＝6，∴6AM =35，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，cos∠CAD=ADAC=35，∴8AC =35，∴AC=40 3，∴FC=403−6=22325．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE，∵∠EDA=12∠AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2√3，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2√3，∴S扇形AOE=60⋅π×(2√3)2360=2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2√3×√32=3，∴S△AOE=12AE•OF=12×2√3×3＝3√3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3√3．26．【解答】（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP ≌△CBP （SAS ），∴∠CDP ＝∠CBP ，∵∠BCD ＝90°，∴∠CBP +∠BEC ＝90°，∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∠OED ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠CDP +∠ODE ＝90°，∴∠ODP ＝90°，∴DP 是⊙O 的切线；（2）∵∠CDP ＝∠CBE ，∴tan ∠CBE =tan ∠CDP =CE BC =12，∴CE =12×4=2， ∴DE ＝2，∵∠EDF ＝90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠F +∠DEF ＝90°，∴∠F ＝∠CDP ，在Rt △DEF 中，DE DF =12， ∴DF ＝4，∴EF =√DE 2+DF 2=√42+22=2√5，∴OE=√5，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴PEPD =PDPF=DEDF，设PE＝x，则PD＝2x，∴x(x+2√5)=(2x)2，解得x=23√5，∴OP＝OE+EP=√5+2√53=5√53．六．正多边形和圆（共3小题）27．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，√3），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，−√3），∴顶点∁i的坐标是（1，−√3），故选：A．28．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，∵△ABF是等边三角形，∴∠F AB＝60°，∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE=12×（180°﹣48°）＝66°，故答案为：66°．29．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA ＝OB ＝AB ＝2，∴扇形AOB 的面积=60⋅π×22360=2π3，故答案为：2π3．七．弧长的计算（共4小题）30．【解答】解：连接OD 、BD ，∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝∠C ＝45°，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵OA ＝OB ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°，∴∠AOD ＝∠ABC ，∴OD ∥FC ，∴△DOE ∽△FBE ，∴BF OD =BE OE ，∵OB ＝OD ，OE ：EB ＝1：√3， ∴tan ∠BOF =BF OB =√3，∴∠BOF ＝60°，∴BF ＝2√3，∴OB ＝2，∴BG ̂的长=60π×2180=23π，故选：C ．31．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴AE ＝AD ＝2，∵AB =√3，∴cos ∠BAE =AB AE =√32， ∴∠BAE ＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴DÊ的长=60⋅π×2180=2π3，故选：C ．32．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOB ＝2∠ADB ＝60°， ∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°，∴BC ̂的长=120π×3180=2π，故答案为：2π．33．【解答】解：连接OA ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝70°，∴∠OAB ＝∠OAC ﹣∠BAC ＝70°﹣60°＝10°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝10°，∴∠AOB ＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则AB ̂的长=160π×9180=8π，故答案为：8π．八．扇形面积的计算（共2小题）34．【解答】解：∵∠ACB ＝15°，∴∠AOB ＝30°，∵OD ∥AB ，∴S △ABD ＝S △ABO ，∴S 阴影＝S 扇形AOB =30π×22360=π3．故答案为：π3． 35．【解答】解：过A 1作A 1D ⊥x 轴于D ，连接B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4， ∵点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，点A 1（32，√32）， ∴OD =32，A 1D =√32，∴OA 1=√A 1D 2+OD 2=(√32)2+(32)2=√3， ∴在Rt △A 1OD 中，A 1D =12OA 1， ∴∠A 1OD ＝30°，∵直线l 2的解析式是y =√3x ，∴∠B 1OD ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°，∴A 1B 1＝OA 1•tan ∠A 1OB 1＝1，∵A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，∴∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝120°，∴∠B 1A 1C 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2（S扇形B 1A 1C 1−S △B 1A 1C 1）＝2×（60⋅π×12360−√34×12）=π3−√32，∵A 1C 1∥B 1B 2，∴∠A 2A 1C 1＝∠A 1OB 1＝30°，∴A 2C 1=12，A 2B 2＝A 2C 1+B 2C 1=32，∠A 2B 2O ＝60°，同理，S 2＝2（S扇形B 2A 2C 2−S △B 2A 2C 2）＝2×[60⋅π×(32)2360−√34×（32）2]＝（π3−√32）×（32）2， S 3＝（π3−√32）×（32）4， …∴S n ＝（π3−√32）×（32）2（n ﹣1）＝（π3−√32）×（32）2n ﹣2．故答案为：（π3−√32）×（32）2n ﹣2．九．圆锥的计算（共2小题）36．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl ＝π×3×5＝15π，故答案为：15π37．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r ，根据题意得2πr =216⋅π⋅5180，解得r ＝3．故答案为3．一十．圆的综合题（共2小题）38．【解答】（1）证明：∵EF ⊥AB ，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AD⊥BC．（2）①证明：连接OA，AC．∵AD⊥BC，∴AE＝ED，∴CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，∵∠GAE＝2∠D，∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAG+∠OAC＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线．②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，∴CH＝CE，∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），∴AE＝AH，∵EF⊥AB，BC是直径，∴∠BFE＝∠BAC，∴EF ∥AC ，∴EC BE =AF BF =25， ∵CE ＝4，∴BE ＝10，∵BC ⊥AD ，∴AĈ=CD ̂， ∴∠CAE ＝∠ABC ，∵∠AEC ＝∠AEB ＝90°，∴△AEB ∽△CEA ，∴AE CE =EB EA ，∴AE 2＝4×10，∵AE ＞0，∴AE ＝2√10，∴AH ＝AE ＝2√10，∵∠G ＝∠G ，∠CHG ＝∠AEG ＝90°，∴△GHC ∽△GEA ，∴GH GE =HC EA =GC GA ， ∴y x+4=2√10=2√10+y ，解得x =283．39．【解答】解：（1）证明：①如图1，连接OE ，∵⊙O 与BC 相切于点E ，∴∠OEB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，̂=EĜ，∵AG∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC=12AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE=√GE2−CG2=√62−32=3√3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE=12（6+3）×3√3−60π⋅62360=27√32−6π．。

2019年全国中考数学题分类汇编知识点32 与圆的有关计算

9．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．6．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．6.（2019·遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 6．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD ＝12AC ＝4,∴BD =故选C. 7．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 8．（2019·绍兴）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( ) A.π B.π2 C.π2 D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A ＝180°-∠B-∠C ＝45°，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．10．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π2πC.π-D.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD＝－2π2π,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【】A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（） A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6设∠3＝∠4＝m，∠5＝∠6＝n，得m＋n＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m＋＝90°＋45°＝135°∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆）如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯1. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA ＝ODOA＝12,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.2. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－12π4t2tt165432QPEDA OBCMN【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 3. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.4. （2019·凉山）如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2π B ．2π C ．178πD ．198π【答案】B 【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .5.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形⊙==≈.6.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．7. （2019·湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°【答案】C．【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝∠C＝(52)1805-⨯︒＝108°，CB＝CD．第7题图∴∠CBD ＝∠CDB ＝1801082︒-︒＝36°．∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝108°－72°＝36°．故选C ．8. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（） A.2B.C.32D.【答案】D ．【解析】∵∠A =90°，∠ABC =105°，∴∠ABD =45°，∠CBD =60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 长为R ，则BD．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR ＝12·2RD ．9.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD 中,AD ＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后,分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB 的长为 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【答案】B【解析】AE ＝124AB π⋅⋅,右侧圆的周长为DE π⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124AB π⋅⋅＝DE π⋅,AB ＝2DE,即AE ＝2ED,∵AE+ED ＝AD ＝6,∴AB ＝4,故选B.10. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

2025年中考数学总复习第二轮中档题突破专项训练九与圆的切线有关的证明与计算

3
在Rt△AEF中，sin∠CFD＝＝，AE＝6，
5
∴AF＝10，
∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF，

10−
∴ ＝，∴
＝，

10
6
15
15
解得r＝，∴AB＝AC＝2r＝，
4
2
15
3
∴EB＝AB－AE＝－6＝ .
2
2
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4．(2024·凉州区模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径
在Rt△OAD中，AD＝ 3，AE＝1，AO＝AE＋OE＝1＋R，OD＝R，
∴( 3)2＋R2＝(1＋R)2，解得R＝1，

∴OD＝1，∴tan∠AOD＝＝

3，
∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，
由(1)知△OBD≌△OBC，
1
∴∠BOD＝∠BOC＝ ∠COD＝60°，
2
60∙1
∴∠DCA＝∠3.∴DC∥AE.
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(2)解：连接OE，BE.
∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE.又∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE＝60°，∠AOE＝120°.
෢ ，∴∠AOC＝∠COE＝60°.
෢
∵＝
∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形．
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，DO＝2OC，
以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥
AB于点H，连接BE.
(1)求证：BC＝BH；
(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
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中考数学《与圆有关的计算》复习课件

C=πd= 2πR . (2)半径为 R 的圆中,n°��的��圆��心角所对的弧长为 l,则 l= �� .
回练课本 1.(1)半径为 4,圆心角为 90°的扇形弧长
为 2π ;
(2)50°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm,
则此弧所在圆的半径是 9 cm .
若圆锥的底面圆半径是 5,则圆锥的母线 l=
.
22.(2014 珠海)已知圆柱体的底面半径为 3 cm,高为 4 cm,则圆柱体
的侧面积为( A )
A.24π cm2 C.12 cm2
B.36π cm2 D.24 cm2
基础训练
1.(2019 温州一模)如图,已知扇形的圆心角∠AOB=120°,半径 OA=2,则扇形的弧长
2.圆、扇形面积计算
(1)半径为 R 的圆面积 S=
πR2
.
(2)半径为 R 的圆中,圆心角为
n°的扇形面��积��为�� S 扇= ��lR
或 S 扇= �� .
2.(1)半径为 4,圆心角为 90° 的扇形面积为 4π ; (2)一个扇形的半径是 24 cm,面积是 240π cm2,则扇形的圆心角是 150° .
3
即 V=13πR2h.
(3)如图所示,“粮仓”的容积为45π m3 (单位:m).
4.正多边形与圆
(1)正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做
正多边形.
(2)圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的
外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接
圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一

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1 2012年全国各地中考数学解析汇编26 与圆有关的计算 18. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）

A. B.2 D.3 D.5 【解析】连接OB，因为AB是⊙O的切线，所以OB⊥AB，∠ABO=90°，因为ABC=120°，所以OBC=30°.因为OB=OC，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以BC的长lBC=12032180. 【答案】B. 【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180

nrl

的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。 14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π) 解析：根据弧长公式2180660l. 答案：2 点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系. 14．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）

解析：根据扇形的面积公式即可求出。答案：3π 点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。 12．(2012山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．

12．【解析】每段弧的长为180nRl＝1×26π=3，故三段弧总长为π． 2

【答案】π 【点评】此题主要考查圆的弧长公式180nRl．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆．

8．（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为 A．4π B．2π C．π D．2π3

【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝3，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝sin60CE＝2，OE＝12OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝16π·22＝2π3．

【答案】D 【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键． 23.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则（1）BD的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分）解析：（1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.

连接AD，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.

A B D

O 图2

A B

C O 图2 E

第23题图 A O B D C 3

解：（1）填2；（2）由（1）得，AD=BD. ∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S△ACD=21CD×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1. 点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.

13. (2012山东省临沂市，13，3分）如图，AB是⊙O的直径，点E是BC的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（） A.1 B. 23 C. 3 D. 32

【解析】由图得，四边形ABED是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE的面积等于弓形DE的面积，又∵AB是⊙O的直径，点E是BC的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S△CDE,又△CDE∽△ABC，∴S△ABC=34, S△CDE=41S△ABC=.3 【答案】选C。【点评】阴影部分的面积可以看作是△ABC的面积减去四边形ABED的面积或阴影部分的面积就是△CDE的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

20 . （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上, 点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°. （1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.

O A

B C D

E 4

【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC=∠D =60°。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°，即AE是⊙O的切线。

（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。 20．解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角 ∴∠ABC=∠D =60° …………2分（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ……………………………………3分 ∴∠BAC=30° ∴∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90° …………………4分即BA⊥AE ∴AE是⊙O的切线 …………………………………………………………5分

（3）如图，连结OC ∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形 ∴OB=BC=4 , ∠BOC=60° ∴∠AOC=120°…………………7分 ∴劣弧AC的长为381804120 …………………………………………8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．

26．（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，AC⊥AB，AB=22，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=，（00＜＜900）．

O A B C D E 5

（1）当=180时，求BD的长. （2）当=300时，求线段BE的长. （3）若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是（直接写出答案）．

【解析】本题考查了圆的有关计算和证明．证明三角形相似是解题的关键.（1）欲求BD的长，只要知道BD

所在圆的圆心角和半径代入弧长公式（nr180），故连半径OD，∠BOD=2，半径OB=2，弧长可求；（2）当=300时，已知直径AB，可以计算出AD、BD，又AC已知，故可以利用△BDE∽△ADC，列出比例式，求出BE. （3）通过画图可以找出的取值范围.

【答案】（1）连接OD，∵=180，∴∠BOD=360，又∵AB=22，∴OB=2，∴BD的长=362180=25．（2）∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=900，又∵=300，∴∠B=600，又∵AC为半圆O的切线，∴∠CAD=600，∴∠CAD=∠B，又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=900，又∵∠ADE+∠BDE=900，∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，

∴BEBDACAD，即323BE,∴BE=233． (3)600＜＜900．【点评】这是一道与圆有关的计算、探索题，重点考查了圆的有关性质、切线的性质、弧长公式等知识，通过构建相似三角形来求解是解题的关键. 9.(2012四川省南充市，9，3分) 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（） A．120° B．180° C．240° D．300°

第26题图 6

解析：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，由题知侧面积是底面积的2倍。所以R=2r，设圆心角为n，则2180nRrR，解得n=180°. 答案：B 点评：已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，从而利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 9. （2012浙江省衢州，9，3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )

A.2cm B.32cm C.42cm D.4cm 【解析】利用已知得出圆锥底面圆的半径为：2，母线长为6cm，进而由勾股定理，即可得出答案．【答案】C 【点评】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键． 6．（2012贵州铜仁，6，4分小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为（） A．270πcm2 B．540πcm2 C．135πcm2 D．216πcm2 【解析】根据圆锥侧面积公式即可得出答案. ∴S侧=πrl=9×30π=270π. 【解答】A. 【点评】本题考查圆锥形侧面积公式，直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解题关键

8. （2012浙江省绍兴，8，3分）如图，扇形DOE的半径为3，边长为3的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，DE上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（） A.21 B. 22

C.237 D. 235