svd分解的简单理解
svd解超定方程组
svd解超定方程组SVD（奇异值分解）是一种常用的数值线性代数方法，用于解决超定方程组。
超定方程组是指方程个数大于未知数个数的情况，这种情况下方程组不一定有唯一解。
SVD通过将矩阵分解为奇异值矩阵的乘积形式，可以找到一个最优解。
在实际问题中，常常会遇到超定方程组。
例如，在机器学习中，为了拟合一个函数模型，我们需要根据已知的数据点来确定模型的参数。
当数据点个数大于模型参数个数时，我们就面临着一个超定方程组。
以一个简单的例子来说明超定方程组和SVD的应用。
假设我们有3个数据点，需要根据这些数据点拟合一条直线。
我们知道，一条直线可以由其斜率和截距来确定。
因此，我们需要找到斜率和截距的取值，使得这条直线能够最好地拟合这3个数据点。
我们可以将这个问题表示为一个超定方程组。
假设数据点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)，我们可以得到以下3个方程：y1 = a*x1 + by2 = a*x2 + by3 = a*x3 + b其中a和b分别代表直线的斜率和截距。
我们可以将这个方程组表示为矩阵形式：Y = X*A其中Y是一个3x1的矩阵，包含了数据点的纵坐标，X是一个3x2的矩阵，包含了数据点的横坐标和一个全为1的列向量，A是一个2x1的矩阵，包含了直线的斜率和截距。
由于方程个数大于未知数个数，所以这个方程组是超定的，不一定有解。
但我们可以利用SVD来找到一个最优解。
SVD的思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积形式：A = U*S*V^T，其中U和V是正交矩阵，S是对角矩阵。
接下来，我们可以将方程组改写为以下形式：Y = X*U*S*V^T我们可以将X*U看作新的系数矩阵，S*V^T看作新的未知数向量。
由于S是对角矩阵，S*V^T相当于对未知数向量进行了线性变换。
我们可以通过最小二乘法来求解这个线性变换后的方程组。
最小二乘法的思想是使得方程组的残差最小化，即使得数据点到拟合直线的距离最小化。
奇异值分解定理
奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。
SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。
下面将对奇异值分解定理进行详细解释。
给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。
假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。
我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。
然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。
最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。
奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。
例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。
在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。
在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。
奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。
通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。
然而，奇异值分解也有一些限制。
首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。
其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。
矩阵理论中的SVD分解
矩阵理论中的SVD分解在矩阵理论中，SVD分解是一种重要的矩阵分解方法。
SVD分解是矩阵分析和数据分析中的基本概念之一，被广泛应用于数据挖掘、信号处理、优化等领域。
本文将对SVD分解的原理、应用以及优化方法进行阐述。
一、SVD分解的原理SVD分解全称为奇异值分解（Singular Value Decomposition），它是一种将任意矩阵分解成三个部分的方法：左奇异矩阵U、右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。
对于一个m*n的矩阵A来说，其SVD分解的形式为：A=UΣV^T其中U是m*m的左奇异矩阵，V是n*n的右奇异矩阵，Σ是m*n的奇异值矩阵，^T表示转置矩阵。
具体地讲，奇异值分解可以通过以下步骤实现：1. 对矩阵A的转置矩阵A^T*A进行特征值分解，得到特征值和特征向量；2. 将得到的特征值进行排序，并将对应的特征向量排列成矩阵Σ；3. 对特征值最大的k个特征向量进行选取，组成左奇异矩阵U；4. 将左奇异矩阵U分别与矩阵A和矩阵A^T相乘，得到右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。
二、SVD分解的应用1. 数据压缩SVD分解可以将高维数据压缩成低维数据，从而节约存储空间和计算资源。
这种压缩方式可以应用于图像压缩、声音压缩等领域。
2. 数据挖掘在数据挖掘中，SVD分解可以用来寻找数据中的模式和关联性，从而帮助用户挖掘隐藏在数据中的信息。
对于大规模数据的处理，SVD分解可以通过分布式计算等方法实现高效处理。
3. 推荐系统SVD分解在推荐系统中有广泛的应用，可以通过分析用户对产品的评分和评价来预测用户的喜好和行为。
许多著名的在线商店和视频网站都采用了SVD分解算法来提高用户体验和销售额。
三、SVD分解的优化在实际应用中，SVD分解遇到了许多问题，例如在大规模数据处理中，算法效率过低；在数据稀疏或噪声干扰较大时，分解结果不准确等。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多SVD分解的优化方法。
1. 基于随机化的SVD分解基于随机化的SVD分解是一种全新的分解方式，它通过随机采样的方式，构建出可靠的奇异值近似，并且时间复杂度与数据规模基本无关。
[机器学习笔记]奇异值分解SVD简介及其在推荐系统中的简单应用
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[机器学习笔记]奇异值分解SVD简介及其在推荐系统中的简单应⽤本⽂先从⼏何意义上对奇异值分解SVD进⾏简单介绍，然后分析了特征值分解与奇异值分解的区别与联系，最后⽤python实现将SVD应⽤于推荐系统。
1.SVD详解SVD(singular value decomposition)，翻译成中⽂就是奇异值分解。
SVD的⽤处有很多，⽐如：LSA（隐性语义分析）、推荐系统、特征压缩（或称数据降维）。
SVD可以理解为：将⼀个⽐较复杂的矩阵⽤更⼩更简单的3个⼦矩阵的相乘来表⽰，这3个⼩矩阵描述了⼤矩阵重要的特性。
1.1奇异值分解的⼏何意义(因公式输⼊⽐较⿇烦所以采取截图的⽅式)2.SVD应⽤于推荐系统数据集中⾏代表⽤户user，列代表物品item，其中的值代表⽤户对物品的打分。
基于SVD的优势在于：⽤户的评分数据是稀疏矩阵，可以⽤SVD将原始数据映射到低维空间中，然后计算物品item之间的相似度，可以节省计算资源。
整体思路：先找到⽤户没有评分的物品，然后再经过SVD“压缩”后的低维空间中，计算未评分物品与其他物品的相似性，得到⼀个预测打分，再对这些物品的评分从⾼到低进⾏排序，返回前N个物品推荐给⽤户。
具体代码如下，主要分为5部分：第1部分：加载测试数据集；第2部分：定义三种计算相似度的⽅法；第3部分：通过计算奇异值平⽅和的百分⽐来确定将数据降到多少维才合适，返回需要降到的维度；第4部分：在已经降维的数据中，基于SVD对⽤户未打分的物品进⾏评分预测，返回未打分物品的预测评分值；第5部分：产⽣前N个评分值⾼的物品，返回物品编号以及预测评分值。
优势在于：⽤户的评分数据是稀疏矩阵，可以⽤SVD将数据映射到低维空间，然后计算低维空间中的item之间的相似度，对⽤户未评分的item进⾏评分预测，最后将预测评分⾼的item推荐给⽤户。
#coding=utf-8from numpy import *from numpy import linalg as la'''加载测试数据集'''def loadExData():return mat([[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]])'''以下是三种计算相似度的算法，分别是欧式距离、⽪尔逊相关系数和余弦相似度,注意三种计算⽅式的参数inA和inB都是列向量'''def ecludSim(inA,inB):return 1.0/(1.0+la.norm(inA-inB)) #范数的计算⽅法linalg.norm()，这⾥的1/(1+距离)表⽰将相似度的范围放在0与1之间def pearsSim(inA,inB):if len(inA)<3: return 1.0return 0.5+0.5*corrcoef(inA,inB,rowvar=0)[0][1] #⽪尔逊相关系数的计算⽅法corrcoef()，参数rowvar=0表⽰对列求相似度，这⾥的0.5+0.5*corrcoef()是为了将范围归⼀化放到0和1之间def cosSim(inA,inB):num=float(inA.T*inB)denom=la.norm(inA)*la.norm(inB)return 0.5+0.5*(num/denom) #将相似度归⼀到0与1之间'''按照前k个奇异值的平⽅和占总奇异值的平⽅和的百分⽐percentage来确定k的值,后续计算SVD时需要将原始矩阵转换到k维空间'''def sigmaPct(sigma,percentage):sigma2=sigma**2 #对sigma求平⽅sumsgm2=sum(sigma2) #求所有奇异值sigma的平⽅和sumsgm3=0 #sumsgm3是前k个奇异值的平⽅和k=0for i in sigma:sumsgm3+=i**2k+=1if sumsgm3>=sumsgm2*percentage:return k'''函数svdEst()的参数包含：数据矩阵、⽤户编号、物品编号和奇异值占⽐的阈值，数据矩阵的⾏对应⽤户，列对应物品，函数的作⽤是基于item的相似性对⽤户未评过分的物品进⾏预测评分'''def svdEst(dataMat,user,simMeas,item,percentage):n=shape(dataMat)[1]simTotal=0.0;ratSimTotal=0.0u,sigma,vt=la.svd(dataMat)k=sigmaPct(sigma,percentage) #确定了k的值sigmaK=mat(eye(k)*sigma[:k]) #构建对⾓矩阵xformedItems=dataMat.T*u[:,:k]*sigmaK.I #根据k的值将原始数据转换到k维空间(低维),xformedItems表⽰物品(item)在k维空间转换后的值for j in range(n):userRating=dataMat[user,j]if userRating==0 or j==item:continuesimilarity=simMeas(xformedItems[item,:].T,xformedItems[j,:].T) #计算物品item与物品j之间的相似度simTotal+=similarity #对所有相似度求和ratSimTotal+=similarity*userRating #⽤"物品item和物品j的相似度"乘以"⽤户对物品j的评分"，并求和if simTotal==0:return 0else:return ratSimTotal/simTotal #得到对物品item的预测评分'''函数recommend()产⽣预测评分最⾼的N个推荐结果，默认返回5个；参数包括：数据矩阵、⽤户编号、相似度衡量的⽅法、预测评分的⽅法、以及奇异值占⽐的阈值；数据矩阵的⾏对应⽤户，列对应物品，函数的作⽤是基于item的相似性对⽤户未评过分的物品进⾏预测评分；相似度衡量的⽅法默认⽤余弦相似度'''def recommend(dataMat,user,N=5,simMeas=cosSim,estMethod=svdEst,percentage=0.9):unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1] #建⽴⼀个⽤户未评分item的列表if len(unratedItems)==0:return'you rated everything'#如果都已经评过分，则退出itemScores=[]for item in unratedItems: #对于每个未评分的item，都计算其预测评分estimatedScore=estMethod(dataMat,user,simMeas,item,percentage)itemScores.append((item,estimatedScore))itemScores=sorted(itemScores,key=lambda x:x[1],reverse=True)#按照item的得分进⾏从⼤到⼩排序return itemScores[:N] #返回前N⼤评分值的item名，及其预测评分值将⽂件命名为svd2.py,在python提⽰符下输⼊：>>>import svd2>>>testdata=svd2.loadExData()>>>svd2.recommend(testdata,1,N=3,percentage=0.8)#对编号为1的⽤户推荐评分较⾼的3件商品Reference:1.Peter Harrington，《机器学习实战》，⼈民邮电出版社，2013。
matlab的svd分解
matlab的svd分解SVD（奇异值分解）是一种广泛应用于线性代数，数字信号处理等领域的矩阵分解方法。
它的核心思想是将矩阵进行分解，将其分解为三个矩阵的乘积，其中第一个矩阵的列向量互相正交，第二个矩阵为对角矩阵，第三个矩阵的行向量互相正交。
这种分解方式在很多领域有着广泛的应用，例如降维，矩阵拟合等。
本文将对SVD的概念和应用进行详细讲解。
SVD的基本概念设$A$是一个$m×n$矩阵，$m≥n$时，A可以进行SVD分解，即：$A=U∑V^T$其中，$U$是$m×n$矩阵，$U$的列向量是一个正交向量组，满足$U^TU=I$；$∑$是$n×n$矩阵，$∑$的主对角线元素是$A^TA$或$AA^T$的非负平方根，且按照元素的大小排列；$V$是$n×n$矩阵，$V$的行向量是一个正交向量组，满足$VV^T=I$。
SVD的意义是将$A$分解为三个矩阵的乘积，A的各个子矩阵的奇异性得到了反映。
其中，矩阵$U$是$AA^T$的特征向量，矩阵$V$是$A^TA$的特征向量。
SVD的应用1.降维在很多领域，数据集的维度往往非常高，而且包含很多冗余的特征。
利用SVD分解，我们可以将数据降到一个新的低维空间中，既可以去除冗余特征，又可以保留原数据集的信息。
通过SVD分解，我们可以将矩阵$A$分解为$U∑V^T$，并从中取出部分奇异值。
选取的奇异值越多，恢复信息的效果越好，但维度仍然会降低。
2.图像压缩SVD分解还可用于图像压缩。
在压缩过程中，我们可以将图像的像素矩阵看做是一个$m×n$矩阵，然后对其进行SVD分解，选取部分奇异值，并重新组合矩阵。
这样，图像所需要的存储空间就会大大减少，从而实现图像的压缩。
3.矩阵拟合在数据拟合的过程中，有时候我们需要将一个非线性的分布拟合成一个线性的分布。
这时候，我们可以通过求解矩阵的SVD分解，得到一组正交基，从而将数据拟合成一个线性的分布。
SVD算法原理及应用
SVD算法原理及应用SVD全称Singular Value Decomposition，即奇异值分解，是一种常用的线性代数技术。
SVD的主要作用在于降维和矩阵分解，已经被广泛应用在图像处理、自然语言处理、推荐系统等领域。
本文将着重介绍SVD的原理与应用，并举例说明SVD能够解决哪些实际问题。
1. SVD算法原理SVD算法最初是由Eckart和Young在1961年提出的，它可以将一个$m$行$n$列的矩阵$A$表示为如下的矩阵积形式：$$A=U\Sigma V^T$$其中，$U$是一个$m$行$m$列的正交矩阵，$V$是一个$n$行$n$列的正交矩阵，$\Sigma$是一个$m$行$n$列的对角矩阵，其主对角线上的元素被称为$A$的奇异值。
SVD的另一种等价形式是将$\Sigma$表示为一个由奇异值构成的向量$\sigma$与一个$m$行$n$列的正交矩阵$B$的积：$$\Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 &\sigma_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & \sigma_p \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$其中，$p=\min\{m,n\}$。
SVD的原理可以解释为矩阵分解，通过分解原始矩阵$A$可以获得一组对应的正交基，并将矩阵$A$分成三份：一个由左奇异向量组成的矩阵、一个由奇异值构成的对角线矩阵和一个由右奇异向量组成的矩阵。
奇异值分解在图像处理中的应用
奇异值分解在图像处理中的应用奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是线性代数中的一个重要概念，它在图像处理领域有着广泛的应用。
在图像处理中，SVD可以被用来压缩图像、降噪、图像恢复和图像分析等方面。
本文将从SVD的基本原理入手，探讨其在图像处理中的应用。
SVD的基本原理SVD是指对任意一个矩阵A，可以将其分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为矩阵A的奇异值。
SVD的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为若干简单的部分，从而更好地理解和利用矩阵的性质。
SVD在图像压缩中的应用图像是由像素矩阵组成的，每个像素的颜色可以用一个数值表示。
而图像的大小常常会占用大量的存储空间，为了减小图像的存储空间，可以利用SVD进行图像压缩。
通过对图像矩阵进行SVD分解，可以将图像压缩为更小的表示形式，从而节省存储空间。
SVD在图像降噪中的应用图像常常会受到噪声的影响，这会导致图像质量下降。
为了降低噪声的影响，可以利用SVD对图像进行降噪处理。
通过对图像矩阵进行SVD分解，可以滤除掉噪声对图像的影响，从而得到更清晰的图像。
SVD在图像恢复中的应用在图像传输或存储过程中，图像可能会受到损坏或丢失。
为了恢复受损的图像，可以利用SVD进行图像恢复。
通过对部分图像信息进行SVD分解，可以推导出丢失的图像信息，从而完成图像的恢复。
SVD在图像分析中的应用在图像分析领域，SVD也有着重要的应用。
通过对图像进行SVD分解，可以提取图像的主要特征，从而进行图像分类、识别和分析。
同时，SVD还可以用于图像的压缩和加密，保护图像的安全性。
总结奇异值分解在图像处理中有着广泛的应用，包括图像压缩、降噪、恢复和分析等方面。
通过对图像矩阵进行SVD分解，可以更好地理解和利用图像的信息，从而提高图像处理的效率和质量。
随着科学技术的不断发展，SVD在图像处理中的应用也将变得更加深入和广泛。
奇异值分解解方程
奇异值分解解方程奇异值分解（SVD）是一种常用的线性代数技术，它可以被用来求解解方程。
该技术常常被应用于数据压缩、图像处理、语音识别等领域。
在本文中，我们将介绍奇异值分解的基本概念以及如何通过奇异值分解来解方程。
奇异值分解的基本概念奇异值分解的核心思想是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A =UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U和V是两个酉矩阵，Σ是一个m×n的非负矩阵，其元素仅在对角线上有值，对角线上的值称为奇异值。
U的列向量是AAT的特征向量，对应的特征值是奇异值的平方。
V的列向量是ATA的特征向量，同样对应的特征值是奇异值的平方。
在某些情况下，奇异值为零，这意味着矩阵A很大程度上是线性相关的。
如果矩阵A满秩，则Σ的对角线上的元素是非零的。
对于任意矩阵A，都可以通过奇异值分解来计算其秩和最小二乘解。
在矩阵A的秩小于n的情况下，最小二乘解可以通过奇异值分解的逆求解得到。
使用奇异值分解解方程考虑以下线性方程组：Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，b是一个m维向量，x是一个n维向量。
给定A和b，我们可以使用奇异值分解来求解x。
首先，我们计算矩阵A的奇异值分解：A = UΣV^T。
然后，我们可以将方程Ax=b转化为以下形式：UΣV^Tx=b。
由于U和V都是酉矩阵，它们的逆矩阵分别是U^T和V^T，所以我们可以将方程进一步转化为：ΣV^Tx=U^Tb。
由于Σ只有对角线上的元素非零，我们可以将其表示为一个对角矩阵，假设为Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)，其中r是矩阵A的秩。
我们可以使用正交变换x=Vz来将方程进一步转化为：diag(σ1,σ2,…,σr)z=UTb。
该方程可以通过迭代求解z得到最终的解x=Vz。
需要注意的是，在奇异值分解中，奇异值从大到小排列，因此我们可以只考虑最大的k个奇异值，其中k是一个比秩r小的常数。
这样做的好处是可以节省计算时间和内存空间。
总结奇异值分解是一种重要的线性代数技术，可用于压缩、图像处理、语音识别等各种领域。
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查了网上讲svd的博客，感觉讲的深的跳的太快，最终不知所云，讲的浅的思路很清晰，但总觉得少点什么，尽管如此，网上的东西也够用了，现将自己的所得整理如下，但愿能讲的明白：
1.1 Svd的作用：
从词向量的角度说，svd将矩阵A降维，表示成k维的向量
1.2 正交矩阵和正交变换
正交矩阵在酉空间叫酉矩阵，正交矩阵对应的变换是正交变换，正交变换仅对向量做旋转，不做拉伸。
1.向量OA在一组正交基e1和e2下表示为(a1,a2)T，
2.现在用另一组正交基e1’和e2’来表示，
3.那么一定有(a1’,a2’)T=U(a1,a2)T，
其中U是新的正交基e1’和e2’构成的矩阵，
(a1’,a2’)T就是OA的新的表示形式，
如果放到同一组正交基下来看，就好像OA发生了旋转。
（因为换了一组正交基，就相当于将正交基进行了旋转，运动是相对的嘛）这里没有简单的图，比较抱歉。
1.3 对称矩阵的优美性质
对称矩阵总能相似对角化，且不同特征值对应的特征向量两两正交。
AA T就是一个常用的对称阵，可以利用M=M T来证明。
1.4 特征值的应用
1.5 矩阵分解
1.6 奇异值分解
将U和V做截取近似，取theta中包含90%能量的值，得到k维theta矩阵
在推荐中，可以这么认为：有m个用户，n个物品，X是k维的用户向量，Y是k维的物品向量。