高中物理竞赛讲义-角动量
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量一、知识点击1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则：t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。
即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量 2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变． ⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。
系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。
或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。
质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。
质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。
定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。
3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。
高二物理竞赛角动量、角动量守恒课件
mv
m
A
2
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
mv
r
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
3
L
o•
r
mv
m
L r mv
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
1
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
M1
M内内2力力矩ddFt 1M(2L11F0.M21L220)4
O
M两 1对式 质M点10 （ 1dd）Lt1：
1
相加： M1 M10 M 2
M对M2质02内M点力Mdd1（t0矩2(0L21）Md：dLLt222)0320
13
i
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
11
力矩：
M rF
角动量 L r mv r p
角动量也称动量矩 质点系的角动量
L Li ri piii来自12F1Z
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
r1
m1 d
r Y
F12
F21
2X
m2
F2如外分图力别设矩受有外质M力点1.MmF211。mF22
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律
15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB
mvAd ml
4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )(πij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑πij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
中学物理竞赛讲义角动量例题
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒
m1 m 2 m1v1 p1 u u m1 m 2 p 2 m 2 v 2 u
两质点的 约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
m2 r1 r2 m2 r12 r1 r1 rc m1 m2 m1 m2 m1 r2 r1 m1r12 r2 r2 rc m1 m2 m1 m2
2 3
3 2
B
mg
由（1）和（2）可得
LdL m gR cos d
2 g sin
8
L
0
LdL m 2 gR 3 cosd L mR 0 L 2 g sin R 2 mR
第六章 角动量守恒
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成 角，求摆球速率. z
解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点 O的角动量为 .L是一个可以绕z轴 L r mv 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L ,其大小分别为
O
Lz
L
L
Lz mvl sin L mvl cos
显然，Lz 不变，而 L 随时间改变.如图,有
7
第六章 角动量守恒
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
解:力矩分析
M mgR cos
dL M dt
O
用角动量定理：
R
t =0 A
N
又
dL mgR cos dt （1） 2 2 d （2） L mR mR
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角动量
一、力矩（对比力）
1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度
2、力矩可以用M 或τ表示
3、力矩是矢量
4、力矩的大小和方向
（1）二维问题
sin rF τθ=
注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）
(sin )r F τθ=
(sin )r F τθ=
二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题
r F τ=⨯r r
r 力矩的大小为
sin rF τθ=
力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺
旋法则
5、质点系统受到的力矩
只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.
二、冲量矩（对比冲量）
1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量
2、冲量矩用L 表示
3、冲量矩的大小
L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r
4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同
5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）
三、动量矩（即角动量）（对比动量）
1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量
2、角动量用l 表示
3、角动量的大小
l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r
4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则
四、角动量定理（对比动量定理）
冲量矩等于角动量的变化量
L t l τ==∆r r r
五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）
角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）
1、合外力为0
2、合外力不为0，但合力矩为0
例如：地球绕太阳公转
此类问题常叫做“有心力”模型
3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0
例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程
注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同
六、转动惯量（对比质量）
1、转动惯量反映了转动中惯性
2、转动惯量用I 或J 表示
3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方
2I mr =
4、转动惯量是标量
5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分
2
i i I m r =∑
6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）
l I ω=r r
七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）
合力矩等于转动惯量乘以角加速度
I τβ=r r
八、动能的另一种表示方式
221122
k E mv I ω=
=
例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结
例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
求
（1）小球所受的重力相对于A、B、C三点的力矩
（2）小球相对于A、B、C三点的角动量
例3、摆长为b的圆锥摆，悬挂点为O′，悬挂点在摆球运动所在水平面内的投影为O，摆线与竖直方向的夹角为α，求
（1）用m、b、α、Δt表示相对O′点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（2）用m、b、α、Δt表示相对O点的角动量及转动小角度Δθ重力、绳子拉力的冲量矩（3）摆球的速率
例4：如图，质量为m的质点，在光滑水平面上，用Array绳子穿过小孔和质量为M的物体相连。
m一边绕小孔转动，
一边在和小孔的连线方向振动，其与孔的最大距离为a，最
小距离为b，求这两个位置时物体的动能。