数学小册子答案

随堂小测评·参考答案
随堂小测评(一)
1. {4} 解析：A ∪B ＝{1，2，3}，所以∁U (A ∪B)＝{4}．
2. [2，3)∪(3，＋∞) 解析：要使函数有意义，x 须满足⎩
⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x ≥2且x ≠3. 3. 1 解析：在正三角形ABC 中，内切圆半径r ＝13·32·23＝1，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°，∠POD ＝θ(θ∈[0，π])．
PA →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO → 2＋(OA →＋OB →)·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2＋2OD →·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2－2OD →·OP →＋OA →·OB →＝1＋2cos θ＋4cos120°＝2cos θ－1.∴ (PA →·PB →)max ＝1.
4. 7 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝3，I ＝4；第2次循环S
＝5，I ＝7；第3次循环S ＝7，I ＝10.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
5. π3或2π3 解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ，即1sin π6＝3sinB ，解得sinB ＝32.因为b>a ，所以B ＝π3或2π3
. 6. 50 解析：由等比数列性质得a 10a 11＝a 9a 12，则a 10a 11＝e 5，
∴ lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)
＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝50. 7. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π3＝2πω
，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k ∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3π＋5π4＝ 2.本题考查ω与周期的关系，以及利用五点作图法逆求φ的值．本题属于中等难度题．
随堂小测评(二)
1. {－2，0，2} 解析：∵ M ＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴ M ∪N ＝{－2，0，2}．
2. 56
解析：基本事件有6种：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，其中颜色不同的事件有5种，则这2只球颜色不同的概率为56
.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
3. －1010 解析：因为角φ的终边经过点P(1，－2)，所以sin φ＝－25，cos φ＝15
，所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝22(15－25)＝－1010. 4. ④ 解析：①②n 与α可能平行、垂直或在平面α内；③α与γ可能平行、垂直或相交．
5. 2x －4y ＋3＝0 解析：当直线l 与直线CP 垂直时，∠ACB 最小．∴ k PC ＝1－012
－1＝－2.∴ k l ＝12.∴ l 的方程为y －1＝12⎝⎛⎭
⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.
6. 8 解析：画出可行域，可知该区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5，2)处时，取得最大值z ＝8.
7. －22 解析：由题意g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝
⎛⎭⎫x －π3＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，又x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，则3x －3π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，sin(3x －3π4)∈⎣⎡⎦
⎤－22，1.故y ＝g(x)的最小值为－22. 随堂小测评(三)
1. (1，＋∞) 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ＝⎝⎛⎭⎫a －322－14，a ∈R ＝[－14，＋∞)，N ＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，M ∩N ＝(1，＋∞)．
2. 3 解析：不妨设P 点在右支上，PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＝6a ，则PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，则∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角，∠PF 1F 2＝30°.cos ∠PF 1F 2＝（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c
＝3a 2＋c 24ac ＝32.化简得⎝⎛⎭⎫c a 2－23·c a ＋3＝0，e ＝ 3. 3. 63 解析：设BC ＝a ，AC ＝b ，作CD 垂直AB ，ME 垂直AB ，CM ＝BM ＝a 2
，AM ＝b 2＋a 24，CD ＝2ME ，sin ∠BAM ＝ME AM ＝13，ME ＝13AM ，CD ＝ab a 2＋b 2，则12ab ·1a 2＋b 2＝13b 2＋a 24，化简得2b 2＝a 2，所以sin ∠BAC ＝CD AC ＝63
. 4. －12 解析：1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）（－i ）2i （－i ）
＝－1－i 2，实部为－12.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
5. (－5，0) 解析：当m ＝0时，函数f(x)的图象与x 轴有且只有1个交点；当m>0时，函数f(x)的图象与x 轴没有交点；当m<0时，函数f(x)的图象要与x 轴有且只有两个不同的交点，则f(0)<0，且f(1)>0，得实数m 的取值范围为(－5，0)．本题综合考查了函数思想和数形结合思想的运用．本题属于中等题．
6. [3t ，－4t] 解析：12t 2－tx －x 2≥0(x ＋4t)(x －3t)≤0，
∵ t<0，∴ x ∈[3t ，－4t]．
7. 23 解析：由题意可知V SAPC V SABC ＞13
.如图所示，三棱锥SABC 与三棱锥SAPC 的高相同，
因此V SAPC V SABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＝AP AB ＞13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23
. 随堂小测评(四)
1. 1 解析：由N M 知1∈M ，则x ＝1.本题考查了集合的子集的概念．本题属于容易题．
2. 1－i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则x －yi －2＝i －1.
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴ z ＝1－i. 3. x 29－y 227＝1 解析：由渐近线方程y ＝3x ，得b a
＝ 3.抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线的一个焦点为(－6，0)，即c ＝6.由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝36，b ＝3a ，
得a 2＝9，b 2＝27. 4. 2 解析：8，x ，10，11，9的平均数为10，则x ＝12. 该组样本数据的方差s 2＝(4＋4＋1＋1)÷5＝2.本题考查了平均数和方差公式．本题属于容易题．
5. 1 解析：本题画出可行域发现z ＝2x ＋y 过点(0，1)时，z ＝2x ＋y 的最小值为1.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．
6. 8 解析：由a 7＋a 8＋a 9＞0得3a 8＞0，a 8＞0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，则a 9＜0，故当n ＝8时，S n 最大．
7. －33
解析：△AOB 的面积取得最大值，则∠AOB ＝90°，则半圆的圆心到直线的距离为12
，利用点到直线的距离公式可得k 2＝13，由图形知k ＜0，则k 的值为－33.本题考查三角形面积公式，点到直线的距离公式．本题属于中等题．
随堂小测评(五)
1. [1，2) 解析：A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，则A ∩B ＝[1，2)．
2. 5 解析：z ＝－2＋i ，z 的模为 5.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. 8 解析：a －2b ＝(1，4)，(a －2b )·c ＝k －8＝0，则k ＝8.本题考查了向量的坐标运算，属于容易题．
4. －14 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，因此cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－162×2×3
＝－14. 5. 9 解析：由流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝2，n ＝3；第2次循环S ＝10，n ＝5；第3次循环S ＝42，n ＝7；第4次循环S ＝170，n ＝9.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
6. －e 解析：k 1＝e －1，k 2＝a ，两直线垂直，则e －1 a ＝－1，a ＝－e.本题考查了导数的
几何意义及两条直线垂直，属于容易题．
7. 3＋22 解析：设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d.
因为a 1＜a 2，所以d ＞0.
又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d)2(a ＋d)2＝(a 2－d 2)2，
则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍去)，则d ＝±2a.
若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22＜1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝⎛⎭⎫a 2a 1
2＝3＋2 2.
随堂小测评(六)
1. 1 解析：2a －1＝1，a ＝1.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易
题．
2. 3 解析：复数z ＝(1＋i)(1－2i)＝3－i ，z 的实部为
3.本题考查复数的基本运算和复数实部的概念．本题属于容易题．
3. 35
解析：从5件产品中任意抽取2件有10种不同的方法，其中抽得一件合格、另一件不合格的方法种数为6种，所以所求的概率为P ＝610＝35
.本题主要考查概率知识．本题属于容易题．
4. 1＋26
解析：几何体是由一个棱长为1的正方体和一个正四棱锥组成，正方体的体积为1，正四棱锥的高为22，底面积为1，体积为26，则该空间几何体体积V ＝1＋26
.本题考查了正方体和正四棱锥的体积．本题属于容易题．
5. 2 解析：双曲线x 24－y 2m ＝1(m>0)的渐近线方程为x 24－y 2m ＝0，即y ＝±m 2x ，又双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22
x ，所以m ＝2. 本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题．
6. cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则cos 2α
＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝c 2＋a 2
a 2＋
b 2＋
c 2，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（c 2＋a 2＋b 2）a 2＋b 2＋c 2
＝2.本题考查类比问题，考查线面角的概念及简单计算．属于中等题． 7. 52 解析：圆的半径为1，∠PCQ ＝90°，故圆心到直线的距离为22
.由点到直线距离公式得|3a －a|9＋1＝22
，又a>0，故a ＝52.本题考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中等题．
随堂小测评(七)
1. {－1，1，3} 解析：B 中的奇数有－1，1，3, A ∩B ＝{－1，1，3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 5 解析：∵ z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）
＝a －12＋a ＋12i ，且z 的虚部为3，∴ a ＋12＝3，解得a ＝5.本题主要考查复数的基本概念、基本运算等基础知识，属于容易题．
3. 14 解析：图中伪代码表示的算法是S ＝2＋4＋8＝14，所以输出S ＝1
4.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．
4. 13
解析：用列举法列出基本事件总数：(一、二)，(一、无)，(二、一)，(二、无)，(无、二)，(无、一)，两人都中奖的基本事件数为2，两人都中奖的概率为13
.本题主要考查古典概型的求法．本题属于容易题．
5. ⎣⎡⎦⎤12，54 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4
，由题意知⎝⎛⎭⎫π2
ω＋π4，πω＋π4⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2
，解得12≤ω≤54. 6. －1 解析：由题意，因为函数f(x)＝x 2＋c 与g(x)＝ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，所以c ＋4＝ae 2＝t ，f ′(x)＝2x ，g ′(x)＝ae x .因为曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的
切线，所以f′(2)＝g′(2)，即4＝ae 2，所以a ＝4e 2，c ＝0，f(x)＝x 2，g(x)＝4e
2e x .记F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝1－4e 3>0，F(0)＝f(0)－g(0)＝0－4e
2＜0，所以F(－1)F(0)＜0，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)的负零点在区间(－1，0)内，故k ＝－1.本题主要考查导数的几何意义、导数的求法，函数零点存在性定理及其应用等基础知识，考查等价转化与数形结合思想，属于中等题．
7. 3－12 解析：由已知条件给出的数列递推关系可得a 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13＝13
－0＝33，a 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2＝{3}＝3－1，a 4＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3＋12＝3＋12－1＝3－12，a 5＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a 4＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫23－1＝{3＋1}＝3＋1－2＝3－1，由此计算过程可发现，当n 为大于2的奇数时，a n ＝3－1，当n 为大于2的偶数时，a n ＝3－12，故a 2 016＝3－12
.本题用新定义创新考查了递推数列，考查了阅读理解与归纳推理能力，属于中等题．
随堂小测评(八)
1. 1 解析：z ＝1＋i 1－i ＝2i 2
＝i ，z 的模为1.本题主要考查复数模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 5 解析：B ＝{0，－1，－2，1，2}．
3. －2 解析：画出可行域，其中A ⎝⎛⎭
⎫1，32.由图可知，z min ＝－2.本题考查线性规划基础知识．本题属于容易题．
4. 13
解析：这是一个几何概型，其概率的值就是对应区间长度的比值．因为－1≤x ≤1时－π2≤πx 2≤π2，又当－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2时，0≤cos πx 2≤12
，此时－1≤x ≤－23或23≤x ≤1，故所求概率P ＝13＋132＝13
. 5. 20 解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 7＋a 5)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.
6. 7 解析：取AC 的中点N ，则AO →＝AN →＋NO →，ON ⊥AC ，则AO →·AC →＝(AN →＋NO →)·AC
→＝12|AC →|2.同理AO →·AB →＝12|AB →|2.又AO →·AM →＝4，则AO →·AM →＝12AO →·(AB →＋AC →)＝14|AB →|2＋14|AC →|2＝4，得AB ＝7.本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容．本题属于中等题．
7. 6 解析：f′(x)＝12x 2＋2mx ＋m －3≥0恒成立，则Δ＝4m 2－48(m －3)≤0，即m 2－12m ＋36＝(m －6)2≤0，即m ＝6.本题考查函数单调性与导数、一元二次不等式恒成立的条件，本题属于中等题．
随堂小测评(九)
1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c ≥1.
2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）
＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．
3. π3
解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3
. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b ＝4，故a·b ＝1.
5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．
6. 55 解析：设公差为d ，则⎩
⎨⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， 故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12
，故前20项和为－2×20＋20×192×12
＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题． 7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1
的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23
，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即 2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．
随堂小测评(十)
1. {－1，3} 解析：(－1)2≥1，32≥1，则A ∩B ＝{－1，3}．本题主要考查集合的交集
运算，属于容易题．
2. 1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.
3. y 2－x 23
＝1 解析：c ＝2，a ＝1，则b 2＝3，双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2－x 23
＝1.本题考查抛物线的焦点、双曲线的离心率等概念．本题属于容易题． 4. 6 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环后S ＝38，k ＝2；第2次循环后S ＝34，k ＝3；第3次循环后S ＝26，k ＝4；第4次循环后S ＝10，k ＝5；第5次循环后S ＝－22，k ＝6.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
5. －14 解析：由正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，则b ＝32c ，a ＝2c ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc
＝94c 2＋c 2－4c 22·32
c ·c ＝－14. 6. 4 解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，x 2＋y 2x －y ＝x 2－2xy ＋y 2＋2xy x －y ＝（x －y ）2＋4x －y
＝x －y ＋4x －y ≥4，则x 2＋y 2x －y
的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用．本题属于中等题．
7. 3n －12 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝n ，S n ＋12＝n ＋12，此时⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋12不是等比数列；当q ≠1时，S n ＝1－q n 1－q ，∴ S n ＋12＝1－q n 1－q ＋12＝1－q n ＋12－12q 1－q ＝12（3－q ）－q n 1－q
.∵ ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋12是等比数列，∴ q ＝3，从而S n ＝3n －12. 随堂小测评(十一)
1. {2} 解析：∁U A ＝{x ∈N |2≤x<5}＝{2}．
2. 2n －1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＝9，即3a 1＋3d ＝9，所以a 1＋d ＝
3.因为a 1＝1，所以d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
3. ⎝⎛⎭⎫45，－35 解析：|a|＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1，a 、b 方向相同，则b ＝15a ＝⎝⎛⎭⎫45
，－35. 4. 180 解析：由频率分布直方图得到体重在70～78 kg 的男生的频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，所以该校1 500名高中男生中体重在70～78 kg 的人数大约为0.12×1 500＝180.
5. x －2y ＋2＝0 解析：设切点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则AT 1的方程为x 1x ＋(y 1－2)(y －
2)＝4，AT 2的方程为x 2x ＋(y 2－2)(y －2)＝4，则2x 1－4(y 1－2)＝4，2x 2－4(y 2－2)＝4，所以2x －4(y －2)＝4，即x －2y ＋2＝0.
6. ⎝⎛⎭⎫32n －1 解析：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得
3S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公比q ＝32
的等比数列，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.
7. 1 解析：平面区域为三条直线围成的△ABC ，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＋2＝0，得A(1，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，kx －y ＝0，得B(1，k)；由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，kx －y ＝0，得C ⎝⎛⎭⎫－2k ＋1，－2k k ＋1；S ＝12|AB|(1－x C )＝12(k ＋3)⎝⎛⎭⎫1＋2k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫k ＋1＋4k ＋1＋4.∵ k ≥0，∴ k ＋1>0，∴ S ≥12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（k ＋1）·4k ＋1＋4＝4，
当且仅当k ＋1＝4k ＋1
，即k ＝1时，等号成立． 随堂小测评(十二)
1. [0，4) 解析：因为M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x|0≤x<4}．
2. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（log 2
x ）2－1>0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12. 3. －12
解析：m a ＋b ＝(2m ，3m)＋(－1，2)＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，则－2m ＋1＝12m ＋8，解得m ＝－12
. 4. {a|－1＜a ＜3} 解析：由题意得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.
5. 2＋1 解析：设双曲线的左焦点为F′，连结AF′.∵ F 是抛物线y 2＝4px 的焦点，且AF ⊥x 轴，∴ 设A(p ，y 0)，得y 20＝4p ×p ，得y 0＝2p ，A(p ，2p)，∴ 在Rt △AFF ′中，|AF|
＝|FF′|＝2p ，得|AF′|＝22p ，∴ 双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距2
c ＝|FF′|＝2p ，实轴2a ＝|AF′|－|AF|＝2p(2－1)，由此可得离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝2p 2p （2－1）
＝2＋1. 6. 3＋13526 解析：由题意得a 3＝12，a 5＝23，…，a 11＝813
. ∵ a 2 014＝a 2 016且a n ＞0，∴ a 2 014＝－1＋52
，易得a 2 014＝a 2 012＝…＝a 24＝a 22＝a 20，∴ a 20＋a 11＝－1＋52＋813＝3＋13526
. 7. 3 解析：因为BB 1∥平面ADD 1，所以V 三棱锥AB 1D 1D ＝V 三棱锥B 1AD 1D ＝V 三
棱锥BAD 1D ＝13S △ADD 1·AB ＝13×12
×3×2×3＝3. 随堂小测评(十三)
1. 3 解析：sin （π＋α）＋cos （π－α）sin （－α）＋cos （－α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1
＝3. 2. x －y ＋3＝0 解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0.
3. 小 2 解析：∵ f(x)＝2x ＋lnx ，∴ f ′(x)＝－2x 2＋1x
.令f′(x)＝0，则x ＝2.当0<x<2时f′(x)<0；当x>2时f ′(x)>0，∴ f(x)的极小值点为x ＝2.
4. 22，－22 解析：由x ←5执行y ←y ＋3，得y ＝－17.
5. －4＜m ＜2 解析：∵ 2x ＋1y ＝1，∴ x ＋2y ＝(x ＋2y)·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y
≥4＋24＝8.∵ x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，∴ m 2＋2m ＜8，解得－4＜m ＜2.
6. 223 解析：cos β＝a·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|
＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1·e 2＋4e 22·9e 21－6e 1e 2＋e 22
＝9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13
＋1＝83×22＝223.
7. ⎝⎛⎭⎫12n
解析：因为a 1＝12
，且对于任意的正整数p 、q ，都有a p ＋q ＝a p a q ，令p ＝n ，q ＝1，所以a n ＋1＝a n a 1，即a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是以12为首项，公比为12
的等比数列．故a n ＝⎝⎛⎭⎫12n .
随堂小测评(十四)
1. (－3，－1] 解析：∵ A ＝(－3，3)，∁R B ＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴ A ∩(∁R B)＝(－3，－1]．
2. －4 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直
线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2
＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4. 3. f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：由14·2πω＝3π8－π8可得ω＝2.再由2×π8＋φ＝π2，可得φ＝π4，故函数的解析式为f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. 4. 充分不必要 解析：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.因为“sin α＝cos α”“cos2α＝0”，但“sin α＝cos α”/“cos2α＝0”，所以“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．
5. [7－1，7＋1] 解析：由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，
故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD
→|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋
OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．
6. 3 解析：累加得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1，a n ＝n 2－n ＋254，a n n
＝n 2－n ＋254n ＝n ＋254n
－1，由a 1＞a 2＞a 3，a 3＜a 4＜…，根据函数单调性知a 3最小，所以n ＝3. 7. 12 解析：抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝tan30°＝33，所以直线AB 的方程为y ＝33x －34.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34，y 2＝3x ，
得13x 2－72x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916.所以|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋13·⎝⎛⎭⎫2122－4×916
＝12. 随堂小测评(十五)
1. 5 解析：A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，则集合A ∪B 中元素共5个．本题考查了集合的并集的概念．本题属于容易题．
2. 5 解析：设z ＝a ＋bi ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则a 2－b 2＝3，2ab ＝4，得a ＝±2，b ＝±1，z 的模为 5.本题考查了复数的概念及运算．本题属于容易题．
3. 12
解析：共有2，3，4；2，3，6；2，4，6；3，4，6，四种选法，构成等差数列的有2种．
4. 1 000 解析：由100/n ＝0.004×25，得n ＝1 000.本题主要考查了频率分布直方图，属于容易题．
5. 充分不必要 解析：l 垂直于两腰AD 、BC l 垂直于平面ABCD l 垂直于两底AB 、DC.
6. ⎝⎛⎭⎫－22，0 解析：据题意⎩
⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，
解得－
22
＜m ＜0. 7. (x －1)2＋y 2＝2 解析：直线mx －y －2m －1＝0过定点(2，－1)，由图形知：圆过点(2，
－1)时，半径最大，此时半径为2，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.本题考查了直线过定点，
两点之间的距离公式，圆的标准方程，考查了数形结合的思想．本题属于中等难度题．
随堂小测评(十六)
1. ±2 解析：∵ A ＝{0，2}，B ＝{1，a 2}，又A ∪B ＝{0，1，2，4}，
∴ a 2＝4，解得a ＝±2.
2. 2n ＋1 解析：设a n ＝kn ＋b ，a n ＋2＝ kn ＋2k ＋b ，a n ＋a n ＋2＝2kn ＋2k ＋2b ＝4n ＋6，则2k ＝4，2k ＋2b ＝6，则k ＝2，b ＝1，故a n ＝2n ＋1.本题考查了等差数列通项公式的特征，并利用待定系数法求等差数列通项公式．本题属于容易题．
3. 2＋2 解析：(a ＋b ＋2c )·c ＝a·c ＋b·c ＋2c 2，设a 与c 的夹角为θ，则b 与c 的夹角为π2－θ或3π2
－θ.所以(a ＋b ＋2c )·c ＝cos θ＋sin θ＋2或cos θ－sin θ＋2，其最大值为2＋2.
4. 12 解析：正六棱锥的底面面积为63，高为23，则六棱锥的体积为13×63×23＝12.本题考查了棱锥的体积，侧棱与底面边长、高等概念．本题属于容易题．
5. π6 解析：令x ＝π3，则y ＝cos π3＝12.将⎝⎛⎭⎫π3，12代入y ＝sin(2x ＋φ)中，得12
＝sin ⎝⎛⎭
⎫2π3＋φ，因0≤φ＜π，故φ＝π6. 6. －3 解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P(2，－5)，得4a ＋b 2＝－5 ①，y ′＝2ax －b x
2，y ′|x ＝2＝4a －b 4，依题意4a －b 4＝－72
②，由①②组成方程组，解得a ＝－1，b ＝－2，故a ＋b ＝－3.
7. [1，7] 解析：画出可行域发现：x ≥0, y ≤3，则z ＝x －y ＋3，当直线y ＝x －z ＋3过(1，3)与(4，0)两点时分别取最小值和最大值1与7，则z ＝|x|＋|y －3|的取值范围是[1，7]．本题考查了线性规划概念，通过数形结合，去掉绝对值符号．本题属于中等题．
随堂小测评(十七)
1. 22 解析：AB →＝OB →－OA →＝1z －1＝12(1－i)－1＝12(－1－i)，|AB →|＝22
.本题主要考查复数的几何意义，以及简单的运算，属于容易题．
2. {1} 解析：A 中元素为－1，1, A ∩B ＝{1}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．
3. {x|－1<x<2} 解析：由2x 2－x<22，得x 2－x －2<0，解得－1<x<2.本题考查了一元二次不等式的解法和指数函数的性质．本题属于容易题．
4. a ＞1 解析：令t ＝ax －1，∴ y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，t ＝f(x)＝ax －1在
(1，2)上也单调递增，∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，f （1）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －1＞0a ＞1. 5. 7 解析：S k －a k ＋5＝4k ＋k(k －1)－4－2(k ＋4)＝k 2＋k －12＝44(k ∈N *)，则k ＝7.本题考查等差数列通项公式、求和公式．本题属于容易题．
6. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．
7. 94
解析：设点A 、B 分别在第一和第四象限，AF ＝2m ，BF ＝2n ，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，2m ＝2·34＋3m ，2n ＝2·34－3n ，解得m ＝32(2＋3)，n ＝32(2－3)， ∴ m ＋n ＝6，∴ S △OAB ＝12·34·(m ＋n)＝94
. 随堂小测评(十八)
1. (0，1] 解析：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1. 2. 30 解析：对于在区间[4，5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30.本题主要考查频率分布直方图．本题属于容易题．
3. 52 解析：将点M(2，2)代入抛物线方程y 2＝2px ，得p ＝1，焦点F(12
，0)，则MF ＝⎝⎛⎭⎫2－122＋22＝52
. 4. 30 解析：在△BCD 中，BD ＝10，BC ＝10 3.在△ABC 中，BC ＝103，∠ACD ＝60°，∠CAB ＝30°，∴ AB ＝30.
5. －3 解析：m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，则m ＝2，n ＝5，则m －n ＝－3.本题考查了向量的坐标运算．本题属于容易题．
6. 3 解析：tan (α＋β)＝－2＋tan β1＋2tan β
＝17，则tan β＝3.本题考查了正切的和角公式．本题属于容易题．
7. 2011 解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝（n ＋1）n 2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(110－111)]＝2011.本题考查了叠加法求通项，裂项法求和．本题属于中等难度题．
随堂小测评(十九)
1. －1 解析：∵ z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，∴ a ＋1＝0，即a ＝－1.
2. 24
解析：sin α＝cos (α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，得tan α＝sin βcos β1＋sin 2β＝sin2β3－cos2β＝0－（－sin2β）3－cos2β
，即单位圆的下半圆(α、β均为锐角)上的点与(3，0)连线的斜率，最大斜率为132－1＝24
.本题主要考查了和差角公式、同角三角函数的关系，二倍角公式，斜率的几何意义．本题属于难题． 3. x 2－y 23＝1 解析：a ＝1，e ＝c a ＝2，得c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，双曲线的标准方程为x 2－y 23
＝1.本题考查了抛物线的焦点以及双曲线的有关概念和标准方程求法．本题属于容易题．
4. 2 解析：S 5＝5 a 1＋10d ＝5，a 4＋a 6＝10＝2a 1＋8d ，则d ＝2.本题考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了方程(组)的思想．本题属于容易题．
5. 18
解析：由l 1∥l 2得1×(－b)－(－2)×a ＝0，即b ＝2a.由a 、b ∈{1，2，3，4}知a ＝1，b ＝2；a ＝2，b ＝4.故P ＝24×4＝18
. 6. (－∞，22] 解析：不等式x 2＋2＋|x 3－2x|≥ax 对x ∈(0，4)恒成立，等价于不等式x ＋2x ＋|x 2－2|≥a 对x ∈(0，4)恒成立，令f(x)＝x ＋2x
＋|x 2－2|，x ∈(0，4)，则f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2x ＋2－x 2，x ∈（0，2），x ＋2x
＋x 2－2，x ∈（2，4）. 由x ∈(0，2)时x ＋2x 与2－x 2均为减函数，可得f(x)在x ∈(0，2]上为减函数；由x ∈(2，
4)时x ＋2x
与x 2－2均为增函数，可得f(x)在x ∈(2，4)上为增函数，∴ 函数f(x)的最小值为f(2)＝22，即可得实数a 的取值范围是(－∞，22]．
7. －89 解析：3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3＝sin ⎝⎛⎭
⎫π6－πx ，展开得3sin (πx)＋cos (πx)＝0，则sin ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π6＝0，得x ＝k －16，k ∈Z ，则x 1＝－16，x 2＝56，代入解析式得y 1＝32，y 2＝－32，则OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－89
.本题考查了正弦的和角公式，三角方程的解法以及数量积的坐标运算．本题属于中等题．
随堂小测评(二十)
1. 3 解析：2a －3b ＝(2k －3，－6)，由(2a －3b )⊥c 得(2k －3)×2＋(－6)×1＝0，k ＝3.
2. 143
解析：乙组数学成绩波动较小，则其方差较小，他们的数学成绩为90，91，95，平均数为92，则s 2＝（90－92）2＋（91－92）2＋（95－92）23＝143
.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．
3. 6 解析：由a 5＋a 7＝4得a 6＝2，由a 6＋a 8＝－2得a 7＝－1.则当n ＝6时，S n 最大．
4. 5 解析：(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →＋CB →＋BC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋
BD →)＝AC → 2－BD → 2＝9－4＝5.
5. (－∞，3] 解析：由f(x)≤3，得x ≥－3，而f(f(x))≤3，则f(x)≥－3.即－x 2≥－3，则不等式f(f(x))≤3的解集为(－∞，3]．本题考查了分段函数的求值和一元二次不等式的解法(本题也可以利用函数的图象来求解)，属于中等题．
6. 6－24 解析：由sinA ＋2sinB ＝2sinC 和正弦定理得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a 2＋22
b ·cosC ＝a 2＋b 2－
c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a 2＋22b 22ab ＝38·a b ＋14·b a －24≥2·38·a b ·14·b a －24＝6－24
，当且仅当38·a b ＝14·b a 即a b ＝23
时，等号成立，所以cosC 的最小值为6－24. 7. 15 解析：设圆心为C(1，0)，AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·(AC →＋CN →)＝(AC →＋CM →)·(AC →－CM →)
＝AC → 2－CM → 2，而AC max ＝4，CM ＝1，则AM →·AN →的最大值为16－1＝15. 本题考查了向量的线性表示，数量积的运算律，以及数形结合思想和化归思想的运用．本题属于中等题．
随堂小测评(二十一) 1. 2 解析：a －2＝0，a ＝2.本题主要考查纯虚数的概念，属于容易题．
2. －24 解析：∵ α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，∴ cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223.∴ tan α＝－24. 3. 32 解析：前3组的频数和为1212
＝24，后2组的频率和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，∴ 前3组频率和为1－0.25＝0.75，∴ 样本容量为240.75
＝32. 4. 2555 解析：圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离为|2＋2×（－1）－3|12＋22
＝355，则弦长为2·4－⎝⎛⎭
⎫3552＝2555. 5. －1 解析：由a 1＝－8，a 2＝－6，得d ＝2，则a 4＝－2，a 5＝0，a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数为－8＋m ，－2＋m ，m ，则(－8＋m)m ＝(－2＋m)2，解得m ＝－1.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与简单性质．本题属于容易题．
6. 1 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F(2，0)，则c ＝2，c 2＝3＋n ，则n ＝1.本题考查了抛物线与双曲线的焦点的概念以及双曲线中基本量之间的关系．本题属于容易题．
7. －23
解析：在△ABC 中，AB 2＋AC 2－BC 2＝2AB·AC ·cosA ，即AB 2＋AC 2－4＝－AB·AC ，AB 2＋AC 2＝4－AB·AC.又AB 2＋AC 2≥2AB ·AC ，则有4－AB·AC ≥2AB·AC ，AB ·AC ≤43.所以AB →·AC →＝AB·AC·cos ∠A ≥－23
. 随堂小测评(二十二)
1. 2 解析：∵ 在复平面内，复数z 1的对应点是Z 1(1，1)，z 2的对应点是Z 2(1，－1)，∴ z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，∴ z 1·z 2＝(1＋i)(1－i)＝12－i 2＝1＋1＝
2.
2. x ＝－π4 解析：因为y ＝sinx 的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎫x －π4的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4
，k ∈Z ，当k ＝－1时，一条对称轴是x ＝－π4
. 3. 120° 解析：设a 与b 的夹角为θ，由已知|a|＝3，|b|＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33可得
a 2＋3
b 2＋4a·b ＝33，即9＋48＋4a·b ＝33，解得a·b ＝－6，即3×4×cos θ＝－6，cos θ＝－12
.再由0°≤θ≤180°，可得θ＝120°.
4. 9 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环a ＝3，b ＝2；第2次循环a ＝5，b ＝2；第3次循环a ＝7，b ＝2；第4次循环a ＝9，b ＝2；本题考查了流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
5. －1n 解析：由题意得1a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1a n
＝－1，又1a 1＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1为首项，－1为公差的等差数列，所以1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n
. 6. 2 解析：由三角形的面积公式可得12bcsinA ＝12，又sinA ＝14，所以bc ＝4，故1b ＋2c
＝2b ＋c bc ＝2b ＋c 4≥22bc 4
＝2，当且仅当c ＝22，b ＝2时取得最小值 2. 7. ⎣⎡⎭
⎫－12，0 解析：设P(x 0，y 0)是圆内的任意一点，则x 20＋y 20<1，设A(－1，0)，B(1，0)，则PA →＝(－1－x 0，－y 0)，PB →＝(1－x 0，－y 0)，∴ PA →·PB →＝x 20＋y 20－1<0.∵ PA 、PO 、PB
成等比数列，∴ PO 2＝PA·PB.而PA ＝x 20＋y 20＋2x 0＋1，PB ＝x 20＋y 20－2x 0＋1，PO ＝x 20＋y 20，
∴ (x 20＋y 20)2＝(x 20＋y 20＋2x 0＋1)·(x 20＋y 20－2x 0＋1)，
整理得x 20＝y 20＋12，则PA →·PB →＝2y 20－12≥－12
. 综上可得PA →·PB →∈⎣⎡⎭
⎫－12，0. 随堂小测评(二十三)
1. (－1，2) 解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＜0，1x －2
＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜3，x ＜2，则－1＜x ＜2. 2. ⎝⎛⎭⎫－∞，23 解析：(3＋i)m －(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i.由题意有⎩
⎪⎨⎪⎧3m －2＜0，m －1＜0，解得m ＜23
. 3. π6 解析：由题意3cos ⎝⎛⎭
⎫2×4π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π－13π6，k ∈
Z .所以|φ|的最小值π6
. 4. 56
解析：基本事件为{甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁}，从而甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为56
.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题． 5. (－3，＋∞) 解析：设f(n)＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2
，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)＜f(2)，即λ＞－3.
6. 4 解析：DE →＝AE →－AD →＝13AC →－12AB →，BF →＝BD →＋DF →＝－12AB →＋12DE →＝－12AB →＋12
⎝⎛⎭⎫13AC →－12AB →＝16AC →－34AB →，BF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫13AC →－12AB →·(16AC →－34AB →)＝118AC → 2＋38AB → 2－13
AB →·AC →＝2＋6－13×4×6×12
＝4.本题主要考查平面向量的有关运算以及化简变形的能力．本题属于中等题．
7. ⎣⎡⎭
⎫－34，＋∞ 解析：以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离大于1，即d ＝|k ＋2|k 2＋1
≥1，解得k ≥－34.本题考查了直线与圆、圆与圆、点到直线的距离公式．本题属于中等题．
随堂小测评(二十四)
1. {2，3，4} 解析：由M ∩N ＝{4}，得2a ＝4，a ＝2，b ＝4，则M ∪N ＝{2，3，4}．
2. 三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）
＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等基础知识，属于容易题．
3. 15 解析：S ＝1＋2＋3＋4＋5＝15.本题考查基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
4. ②④ 解析：①由条件，l 与m 还可以平行或异面；③由条件，l 与m 还可能异面或相交．
5. b ＜0或b ＞34
解析：∵ x ，使得x 2－4bx ＋3b<0成立， ∴ Δ＝(4b)2－4×3b>0，解得b>34
或b<0. 6. 3116 解析：显然q ≠1，所以9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q
1＋q 3＝9q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝⎛⎭⎫1251－12
＝3116.本题考查等比数列的求和公式，以及两种等比数列公比之间的关系．本题属于中等题．
7. ⎣⎡⎦⎤32，2 解析：以C 为坐标原点，CA 为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(0，
2)，直线AB ：y ＝2－x ，设M(a ，2－a)，N(b ，2－b)，且0≤a ≤2，0≤b ≤2，不妨设a ＞b ，∵ MN ＝2，
∴ (a －b)2＋(b －a)2＝2，∴ a －b ＝1，a ＝b ＋1，∴ 0≤b ≤1.CM →·CN →＝(a ，2－a)·(b ，2
－b)＝ab ＋(2－a)(2－b)＝2⎝⎛⎭⎫b －122＋32，当b ＝12时，有最小值32
，当b ＝0或b ＝1时，有最大值2.
随堂小测评(二十五)
1. 32－12i 解析：由z·(1＋i)＝2＋i 可得z ＝2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝3－i 2＝32－12i. 2. 64 解析：a 3＝a 1q 2＝4，a 7－2a 5－32＝a 1q 6－2a 1q 4－32＝0，得a 1＝1，q 2＝4，a 7＝a 3q 4＝64.本题主要考查了等比数列通项公式．本题属于容易题．
3. 必要不充分 解析：由a ∥b 可得sin2θ＝cos 2θ＝2sin θcos θ，则cos θ＝0或cos
θ＝2sin θ，即cos θ＝0(tan θ不存在)或tan θ＝12；由tan θ＝12
可得cos θ＝2sin θ，cos 2θ＝2sin θcos θ，则a ∥b.因此“a ∥b ”是“tan θ＝12
”的必要不充分条件．本题考查必要不充分的概念、向量共线的坐标运算以及同角三角函数的关系及正弦的二倍角公式运用．本题属于中等题．
4. 78 解析：P ＝4＋4×32＋42×2×2×2＝78
. 5. 40 解析：由频率分布直方图可得在[2 500，3 500)收入段的频率为(0.000 5＋0.000
3)×500＝0.4，则100人中应抽出0.4×100＝40人．
6. －9或－19
解析：设一条直线l 1的斜率为k ，另一条直线l 2斜率为－k.l 1：y －1＝k(x －1)即kx －y ＋(1－k)＝0，圆心O(0，0)到l 1的距离d 1＝|1－k|k 2＋1
，同理可得圆心O(0，0)到l 2的距离d 2＝|1＋k|k 2＋1，则2
4－（1－k ）2k 2＋124－（1＋k ）2k 2＋1＝
62，解得k ＝3或13.故两直线的斜率之积为k·(－k)＝－k 2＝－9或－19.本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．本题属于中等题．
7. 12 解析：由已知条件可得a ＞0且f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a ×⎝⎛⎭⎫2a 2－4×⎝⎛⎭⎫2a ＋c ＝c －4a
＝0，即ac ＝4，可得a ＋c ≥2ac ＝4，则a c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋c a 2＋ac ＝a 2＋c 2ac （c ＋a ）＝（a ＋c ）2－84（c ＋a ）
＝a ＋c 4－2a ＋c ≥44－24＝12
. 随堂小测评(二十六)
1. {1} 解析：因为∁U B ＝{1，2}，所以A ∩∁U B ＝{1}．
2. 1或2 解析：由n 2－3n ＜0，得0＜n ＜
3.又n ∈Z ，则n ＝1，2.又f(x)是偶函数，当n ＝1时，n 2－3n ＝－2；当n ＝2时，n 2－3n ＝－4，符合题意．
3. －3 解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，作出线性区域，发现z ＝2x ＋y 过(－1，－1)时取最小值，则z ＝2x ＋y 的最小值是－3.本题主要考查了利用线性规划求最值，属于容易题．
4. 14
解析：基本事件总数为N ＝4×3＝12，曲线为焦点在x 轴上的双曲线时，n ＝－1，m 可取1或2或3，共有N 1＝3种．
∴ 其概率为P ＝312＝14
. 5. 110 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得(20＋6d)2＝(20＋2d)·(20＋8d)，化
简得d 2＋2d ＝0.∵ d ≠0，∴ d ＝－2，∴ S 10＝10×20＋10×92
×(－2)＝110. 6. 3π8 解析：函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移φ个单位后，所得函数解析式为y
＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π4，由其图象关于原点成中心对称，得2φ＋π4＝k π，又0<φ<π2，得φ＝3π8.本题考查函数图象的平移，以及图象关于原点成中心对称的运用．本题属于容易题．
7. [1，5] 解析：圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x ＋5≤0，即1≤x ≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次不等式的解法等知识， 以及数形结合的数学思想．本题属于难题．
随堂小测评(二十七)
1. {1，5} 解析：∵ A ∪B ＝{2，3，4}，∴ ∁U (A ∪B)＝{1，5}．
2. 充分不必要 解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反
之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.则答案为充分不必要条件. 本题考查充要条件，函数的奇偶性．本题属于中等题．
3. 332
解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝(a －b)2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，故ab ＝6，S △ABC ＝12absinC ＝332
. 4. 223
解析：|a|2＝(3e 1－2e 2)2＝13－12e 1·e 2＝9， |b|2＝(3e 1－e 2)2＝10－6e 1·e 2＝8，又a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝11－9e 1·e 2＝8，
所以cos β＝a·b |a|·|b|＝83·8＝223
. 5. 3＋1 解析：P 点在第一象限，则|PF 1|－|PF 2|＝2a.又△PF 1F 2为直角三角形，∠PF 1F 2
＝30°，则|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c ，3c －c ＝2a ，所以c a ＝23－1＝3＋1. 6. (－1，0) 解析：由题意可知，f(x)为奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增，从而由f(a 2)＜－f(a)＝f(－a)得a 2＜－a ，解得－1＜a ＜0.
7. 50 解析：数列{S n }为等差数列，得S 1＋S 3＝2S 2，即2＋6＋3d ＝24＋d ，则d ＝4，a 13 ＝a 1＋12d ＝50.本题主要考查了等差数列求和公式、通项公式，无理方程的解法．本题属于中等题．
随堂小测评(二十八)
1. －2i 解析：z ＝x －1＋(x ＋1)i ，则z ＝2i ，z －＝－2i.本题主要考查复数模的概念及四
则运算等基础知识．本题属于容易题．
2. 6 解析：(4＋6＋5＋8＋7＋6)÷6＝6.本题考查了平均数的概念．本题属于容易题．
3. {4，10} 解析：∵ A ∩B ＝{4}，∴ 4∈A ，4∈B.又(∁U B)∩A ＝{10}，∴ 10∈A ，∴ A ＝{4，10}．
4. ⎝⎛⎭⎫0，12 解析：y ＝1x ＋2lnx 定义域为(0，＋∞)．y′＝－1x 2＋2x <0，∴ x<12
.∴ 减区间为⎝⎛⎭
⎫0，12. 5. －1 解析：∵ 两直线平行，∴ a(a －1)＝2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，代入验证，此时两直线重合，∴ a ＝2舍去，∴ a ＝－1.
6. 233 解析：设圆锥的底面半径和高为R ，则母线长为2R ，侧面积为12
2R ×2πR ＝42π，则R ＝2，母线长为22，由等积法得13×2×12×4＝13×h ×34×(22)2，则h ＝23
3.本题考查圆锥的底面半径、母线、高与侧面积等概念，以及三棱锥的体积公式和等积法求距离．本题属于中等难度题．
7. ⎝⎛⎭⎫53，73 解析：因为DC ＝2BD ，所以AD →＝23AB →＋13
AC →. 平方得AD → 2＝49AB → 2＋19AC → 2＋49AB →·AC →，即k 2＝49×32＋19×12＋49×3×1×cos θ＝379
＋
129cos θ∈(259，499)(θ∈(0，π))，因为k ＞0，所以k ∈⎝⎛⎭⎫53，73.。