江苏省徐州市20092010学年度高三年级第三次调研考试word版含答案

徐州市2009/2010学年度高三年级第三次调研考试

数 学 试 题

正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸

的指定位置上. 1．若复数2

1(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a . 1-

2

．已知函数y =的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数

为 . 3

3．若函数()sin()(

f x A x A ω?=+>的部分图象如图所示，则ω4．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何

体的侧面积为 . 12π

5．已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = . 12

-

6．已知变量,x y 满足236y x x y y x ??

+??-?

≤≥≥，则2z x y =+的最大值是 .9

7．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .2

8．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，

请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 . 82

第7题图 第8题图

9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，

观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．112

10．已知

p ：112

x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ?的充分不必要条件，则实数

a 的取值范围是 . 10,2??

????

11．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *

∈N ），且

79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .299

12．已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>

过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭

圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ?的值为 .1

3

-

13．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，

若按图一作出的矩形面积的最大值为2

1tan 2

R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 2

tan 2

R α

14．设函数2

()21f x x x =+-，若1,a b <<-且()(),f a f b =则ab a b ++的取值范围

为 .()1,1-

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内.15．在三角形ABC 中，已知2AB AC AB AC ?=?

，

设CAB α∠=， （1）求角α的值； （2

）若cos(-)=

7βα，其中5(,)36

βππ

∈，求cos β的值.

图一

第13题图

图二

解：（1）由2AB AC AB AC ?=? ，得2cos AB AC AB AC α?=?

所以1cos 2α=

，又因为0α<<π为三角形ABC 的内角，所以3

απ

=， …………………………………………6分

（2）由（1

）知：sin 2α=

，且(0,)2βαπ-∈，所以1

sin()7

βα-= …………………………………………8分

故cos cos()cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---

＝

11727214

-?=. …………………………………………14分 16．如图，平面ABCD ⊥平面PAD ,△APD 是直角三角形，090APD ∠=，四边形ABCD 是

直角梯形,其中//BC AD ,90BAD ∠=

,BC AD 2=,的中点是AD O (1)求证：//CD PBO 平面；

(2)求证:PAB PCD ⊥平面平面.

16．证明：（1）因为2AD BC =,且O 是AD 中点， 所以OD BC =，又//AD BC ， 所以//OD BC ， 所以四边形BCDO 为平行四边形， …………………………………………2分 所以//,CD BO CD ?平面PBO , 且BO ?平面PBO ,故//CD 平面PBO , …………………………………………6分 (2)因为90BAD ∠=

，所以BA AD ⊥，

又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =,AB ?平面ABCD , 所以AB ⊥平面PAD , …………………………………………8分 PD ?平面PAD ，

所以AB PD ⊥,,AP PD AB AP A ⊥= ，

所以PD ⊥平面PAB , …………………………………………12分 PD ?平面PCD ，

故平面PAB ⊥平面PCD . …………………………………………14分

A

D

C

B

P

O

第16题图

A

D

C

B

P

O

第16题图

17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P

点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；

（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，

当CD =求直线CD 的方程；

（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以2

2

(2)(2)4m m +-=，解之得：4

0,5

m m == 故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55

P ． …………………………………………4分 （2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离

为

=， …………………………………………6分

解得，1k =-或17

k =-

， 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………8分 （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,

1)2

m

Q m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2

222()(1)(1)22

m m

x m y m -+-

-=+-……………………………10分 化简得：2

2

2(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，

故2220,20,

x y y x y ?+-=?+-=?解得02x y =??=?或1,

1.x y =??=?

所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分 18．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足2

21n n a S -=，令

1

1

n n n b a a +=

?，数列{}n b 的前n 项和为n T .

（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；

（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n

的值；若不存在，请说明理由.

17．解：（1）因为{}n a 是等差数列，由2

12121()(21)

(21)2

n n n n a a n a S n a --+-==

=-，

又因为0n a ≠，所以21n a n =-， ……2分 由111111

()(21)(21)22121

n n n b a a n n n n +=

==--+-+， 所以111111(1)2335212121

n n

T n n n =

-+-++-=

-++ ． ……6分 (2)由(1)知，21n n T n =+， 所以11,,32121

m n m n

T T T m n ===

++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m n

m n =++，即22

44163m n m m n =+++．……8分 解法一：由2244163m n m m n =+++， 可得22

3241

m m n m

-++=， 所以2

2410m m -++>， ……12分

从而：1122

m -

<<+，又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{

}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列。……16分 解法二：因为11

3636

6n n n

=<++，故22

14416m m m <++，即22410m m --<，……12分

从而：11m <<+（以下同上）．

19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优

化产业结构，调整出*()x x ∈N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润

为310()500

x

a -

万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高000.2x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调

整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利

润，则a 的取值范围是多少？

19.（1）由题意得：000.10(1000)(1)2x x -+?≥101000， …………………………4分

即2500x x -≤0,又0,x >所以0x <≤500.

即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500

x

a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+

万元，则00310())(1)500

0.2x a x x x -+≤10(1000-， …………………………………………10分

所以231000500x ax -≤2

12500x x x +--， 所以ax ≤

221000500x x ++， 即a ≤21000

1500x x ++恒成立， …………………………………………12分

因为

21000

500x x

+≥2

4=， 当且仅当21000

500x x

=

，即500x =时等号成立． 所以5a ≤， 又>0a ， 所以05a <≤，

即a 的取值范围为(0,5]． …………………………………………16分 20．设函数22

()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．

(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2

(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和

()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”

．设

2

a =

，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

20．解：（1）因为2

2

()f x a x =，所以2

'()2f x a x =，令2

'()21f x a x ==

得：212x a =

，此时214y a =， …………2分

则点2211

(,)24a a

到直线30x y --=的距离为

即=，解之得a =． …………4分

（2）解法一：不等式2

(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，

等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故2

10a -<， …………6分 令2

2

()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2

(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数2

2

()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，

则另一个零点一定在区间(3,2)--， …………8分

故(2)0,(3)0,

h h ->??

-

32a <<． …………10分

解法二：2

2

(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故2

10a -<，即1a >，…………6分

[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，

所以

1111x a a <<-+，又因为1011a

<<+， …………8分

所以1321a -<<--，解之得43

32

a <<． …………10分

（3）设21()()()ln 2

F x f x g x x e x =-=-，则2'

()e x e F x x x x -=-==．

所以当0x <<

时，'()0F x >；当x >时，'()0F x <．

因此x =时，()F x 取得最小值0，

则()f x 与()g x 的图象在x =)2

e

． …………12分

设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2

e

y k x -=-，

即2e

y kx =+

-

由()2

e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，则2

220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．

所以2

2

2

44(2)4844(0k e k e k ?=-=-=≤成立，

因此k = …………14分

下面证明()(0)2

e

g x x ≤-

>恒成立．

设()ln 2

e

G x e x =-，则)()e x G x x x '==．

所以当0x <<

'()0G x >；当x >'()0G x <．

因此x =时()G x 取得最大值0

，则()(0)2

e

f x x ≤->成立．

故所求“分界线”方程为：2

e

y =-

． …………16分

附加题部分

A ．选修4－1（几何证明选讲）

如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的O 交于点F ，延长CF 交AB 于E ．（1）求证：E 是AB 的中点；（2）求线段BF 的长． （1）证明：利用CDO BCE ?△△，可证：

12

EB OC AB ==

（2）由△FEB ∽△BEC ，得BF CB

BE CE

=

,

∴5BF a =．

B ．选修4－2（矩阵与变换） 已知矩阵a b A c d ??

=?

???，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α??=????

，属于特征值－1的一个特征向量为211α??

=??-??

，求矩阵A ． 解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α??=????可得a b c d ???

???11??????＝311??

????

，

即3

3a b c d +=??+=?

； …………………………………4分

由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为211α??

=??-??

，可得a b c d ??????11????-??＝（－1）11????-??，

E

O

B C

即1

1

a b c d -=-??

-=? …………………………………………6分

解得12

21

a b c d =??=?

?=??=? 即矩阵1221A ??=???? ………………10分

C ．选修4－4（坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线C

的极坐标方程为)4

π

ρθ=-

，以极点为原点，极轴为x 轴的

正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为415

315x t y t

?

=+????=--??

（t 为参数），求直线l 被

曲线C 所截得的弦长.

解：将方程)4πρθ=-，415

315x t y t

?

=+????=--??

分别化为普通方程：

22220x y x y ++-=， 3410x y ++=………(6分)

由曲线C 的圆心为(1,1)C -

，所以圆心C 到直线l 的距离为

2

5

，

故所求弦长为=

………(10分) D ．选修4—5（不等式选讲）

已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求2

2

2

23x y z ++的最小值；

解：由柯西不等式可知：2222

222()))1x y z z ??

??++++?++????

??

≤

…………………………………………5分 故2

2

2

242311x y z ++≥

1z ==，即：6412

,,111111x y z === 22223x y z ++取得最小值为

24

11

…………………………………………10分

4A

M

N

3A

2A

1A

22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --

λ的值.

解：以1,,AB AD AA

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，

设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；1(0,0,4)A ，1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ.………2分

设平面1C PQ 法向量为(1,,)n b c = ，而1(0,2,4)PC = ，(44,2,0)PQ λ=-

，

所以240

(44)20

b c b λ+=??-+=?，可得一个法向量(,,)n a b c = =(1,2(1),(1))λλ---，………6分

设面1C PQ 的一个法向量为(0,1,0)u =

，

则cos ,7

n u <>=

=

， …………………………8分 即：2

1(1)9λ-=

，又因为点Q 在棱CD 上，所以2

3

λ=.……………………………10分 23．如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是

道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到

,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 为止.

（１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种； （２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率；

B

D

1

B 1

（３）求甲、乙两人相遇的概率. 解：（１）甲经过2A ，可分为两步： 第一步，甲从M 经过2A 的方法数为1

3C 种； 第二步，甲从2A 到N 的方法数为1

3C 种；

所以甲经过2A 到达N 的方法数为12

3()9C =种.………………………………2分 （２）由（１）知，甲经过2A 的方法数为2

13)(C ；乙经过2A 的方法数也为2

13)(C . 所以甲、乙两人在2A 处相遇的方法数为4

13)(C ＝81；

甲、乙两人在2A 处相遇的概率为400

81

)(36364

13==C C C P .………………………6分

（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在)

4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有4

13)(-i C 种方法；

所以：4

334

234

134

03)()()()(C C C C +++＝164 故甲、乙两人相遇的概率100

41

400164=

=

P . 答：（1）甲经过2A 到达N 的方法数为9种； （2）甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81

400

； （3）甲、乙两人相遇的概率41

100

. ………………………10分